Modelos Probabilísticos

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Modelos Probabilísticos 
Aplicados à Engenharia
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Brena Silva
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
Noções de Probabilidade
Noções de Probabilidade
 
 
• Discutir como a probabilidade e modelos probabilísticos são usados em Engenharia e 
em Ciência;
• Entender e descrever espaços amostrais e eventos para experimentos aleatórios.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Experimentos Aleatórios, Espaço Amostral e Eventos.
UNIDADE Noções de Probabilidade
Introdução
A probabilidade é usada no nosso dia a dia o tempo todo. Muitas vezes nós acorda-
mos e nos perguntamos: será que hoje fará frio ou calor? Será que choverá? Quanto 
tempo ficarei no trânsito?
De uma forma geral, atribuímos um valor à chance de que determinado evento acon-
teça. Então, decidimos qual roupa devemos usar e qual horário devemos sair de casa 
para cumprir os nossos compromissos, por exemplo. Assim, muitas de nossas decisões 
são baseadas em probabilidades de que eventos ocorram ou não.
Assim como usamos no nosso dia a dia, a probabilidade é empregada em muitas 
situações em Engenharia como, por exemplo, desenvolvimento de novos produtos em 
análises de desempenho de qualidade e condições de funcionamento; planejamento 
de rotinas de prevenção de máquinas em análise de probabilidade de falhas; desenvol-
vimento de tecnologias para a construção civil. Em outras palavras, usamos modelos 
 matemáticos probabilísticos para estimar possíveis resultados em função de determi-
nadas características, antes que fenômenos ocorram.
Segundo Meyer (2003), todas as vezes que empregamos a matemática a fim de 
 estudar alguns fenômenos de observação, deveremos essencialmente começar por cons-
truir um modelo matemático, determinístico ou probabilístico, para esses fenômenos. 
Os modelos determinísticos são aqueles que estipulam que as condições sob as quais 
um experimento seja executado determinem o resultado do experimento. Por exemplo, 
se introduzirmos uma bateria em um circuito simples, o modelo matemático que, pre-
sumivelmente, descreveria o fluxo de corrente elétrica observável seria 
VI
R
= , isto é, a 
Lei de Ohm. O modelo prognostica o valor de I (corrente elétrica) tão logo os valores de 
V (tensão) e R (resistência) sejam fornecidos.
Já os modelos probabilísticos são aqueles em que as condições da experimenta-
ção determinam somente o comportamento probabilístico do resultado observável. Por 
exemplo, suponhamos que se tenha um fragmento de material radioativo que emita 
partícula alfa. Com o auxílio de um dispositivo de contagem, poderemos registrar o nú-
mero dessas partículas emitidas durante um intervalo de tempo especificado. É evidente 
que não poderemos antecipar precisamente o número de partículas emitidas, ainda que 
se conheçam de modo exato a forma, dimensão, a composição química e a massa do 
objeto em estudo. Por isso, deveremos considerar um modelo probabilístico de modo a 
estipularmos a probabilidade de n partículas como uma função de várias características 
do experimento.
Os modelos de probabilidade ajudam a quantificar os riscos envolvidos em inferências 
estatísticas, isto é, os riscos envolvidos em decisões feitas todos os dias.
Nesse contexto, devido à importância da probabilidade para a Engenharia e a Ciên-
cia, nesta Unidade aprenderemos alguns conceitos básicos para o entendimento de pro-
babilidade e modelos probabilísticos, tais como experimentos aleatórios, espaço amos-
tral, técnicas de contagem, probabilidade condicional e teorema de Bayes. 
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Experimentos Aleatórios,
Espaço Amostral e Eventos
Segundo Dantas (2013), um experimento aleatório pode ser definido como experi-
mentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo 
resultado. Exemplos: 
• Quando retiramos um lote de peças num processo de produção, observamos que o 
número de peças defeituosas em um período de 8 horas;
• Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima;
• A resistência à tração de uma barra pode variar a cada medição de uma barra;
• Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é ensaiada quanto à duração da vida, pela 
colocação em um soquete e anotação de tempo decorrido até queimar.
O que esses experimentos têm em comum?
Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente 
inalteradas e produzirá resultados inesperados. Ou seja, resultados aleatórios. Muito 
embora não sejamos capazes de afirmar que um resultado particular ocorrerá, seremos 
capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.
Se medirmos a corrente em um fio fino de cobre, conduziremos um experimento. 
Entretanto, em repetições diárias da medida, os resultados poderão diferir levemente, 
por causa de pequenas variações em variáveis que não estejam controladas em nos-
so experimento, incluindo variações nas temperaturas de cada ambiente, leves varia-
ções nos medidores e pequenas impurezas na composição química do fio, se diferentes 
 localizações forem selecionadas e se a fonte da corrente oscilar. Consequentemente, 
esse experimento (assim como muitos que conduzimos) é dito ter um componente alea-
tório. Em alguns casos, as variações aleatórias que experimentamos são suficientemente 
pequenas, relativas aos nossos objetivos experimentais, que podem ser ignoradas.
No entanto, não importa quão cuidadosamente nosso experimento tenha sido pla-
nejado e conduzido, a variação está quase sempre presente e sua magnitude pode ser 
suficientemente grande de modo que as conclusões importantes de nosso experimento 
podem não ser óbvias. Nesses casos, os métodos aqui apresentados para modelar e 
analisar resultados experimentais são bem valiosos (MONTGOMERY; RUNGER, 2018). 
Nosso objetivo é compreender, quantificar e modelar os tipos de variações que 
 encontramos com frequência. Quando incorporamos a variação em nosso pensamento 
e análises, podemos fazer julgamentos baseados em nossos resultados que não sejam 
invalidados pela variação. Modelos e análises que incluem variação não são diferentes 
dos modelos usados em outras áreas de Engenharia e Ciência.
Um modelo (ou abstração) matemático(a) do sistema físico é desenvolvido(a). Não neces-
sita ser uma abstração perfeita. Além disso, são modelos úteis que podem ser estudados 
e analisados para quantificar aproximadamente o desempenho de uma ampla faixa de 
produtos de Engenharia. Dada uma abstração matemática que seja válida com medidas 
de nosso sistema, podemos usar o modelo para entender, descrever e quantificar aspectos 
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UNIDADE Noções de Probabilidade
importantes do sistema físico e prever a resposta do sistema à alimentação de dados 
(inputs) (MONTGOMERY; RUNGER, 2018).
Denominamos espaço amostral associado a um experimento o conjunto de seus 
resultados possíveis (DANTAS, 2013).
Para cada experimento ε do tipo que estamos considerando, definiremos o espaço 
amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de ε. Geralmente, represen-
taremos esse conjunto por S (MEYER, 2003).
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUNGER, 2018)
Considere um experimento em que você seleciona uma câmera de telefone celular e 
registra o tempo de recarga de um flash (o tempo necessário para aprontar a câmera 
para outro flash). Os valores possíveis para esse tempo dependem da resolução do tem-
porizador e dos tempos máximo e mínimo de recarga. Entretanto, pode ser conveniente 
definir o espaço amostral como simplesmente a linha real positiva:
S = R+ = {x|x > 0}
Se é sabido que todos os tempos de recarga estão entre 1,5 e 5 segundos, o espaço 
amostral pode ser:
S1 = {x|1,5 < x < 5}
Se o objetivo da análise for considerar apenas o fato de o tempo de recarga ser baixo, 
médio ou alto, então o espaço amostral poderá ser considerado como o conjunto de 
três resultados: 
S2 = {baixo, médio, alto}
Se o objetivo da análise for considerar apenas o fato de a câmera particular satisfazer 
ou não às especificações do tempo de recarga mínimo,então o espaço amostral poderá 
ser simplificado para um conjunto de dois resultados:
S3 = {sim, não}
Segundo Montgomery e Runger (2018), um espaço amostral pode ser considerado 
discreto ou contínuo: um espaço amostral é considerado discreto quando é composto 
por um conjunto finito ou infinito contável de resultados. Por exemplo, o espaço amos-
tral S3 é considerado espaço amostral discreto. Já um espaço amostral é considerado 
contínuo se contém um intervalo (tanto finito como infinito) de números reais. Por exem-
plo, o espaço amostral S1 é considerado espaço amostral contínuo.
Evento
Um evento A (relativo a um particular espaço amostral S associado a um experimento ε) 
é simplesmente um conjunto de resultados possíveis. Na terminologia dos conjuntos, um 
evento é um subconjunto de um espaço amostral S (MEYER, 2003).
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Segundo Montgomery e Runger (2018), podemos estar interessados em descrever 
novos eventos a partir de combinações de eventos existentes. Pelo fato de eventos serem 
subconjuntos, podemos usar operações básicas de conjuntos, tais como uniões, inter-
seções e complementos, para formar outros eventos de interesse. Se A e B forem dois 
eventos, podemos chamar:
• A união de dois eventos, que é o evento que consiste em todos os resultados que 
estão contidos em cada um dos dois eventos. Denotamos a união por A ∪ B;
• A interseção de dois eventos como o evento que consiste em todos os resultados 
que estão contidos nos dois eventos, simultaneamente. Denotamos a interseção por 
A ∪ B. Quando há dois eventos mutuamente excludentes, temos que a interseção 
deles é ø, isto é, A ∪ B = ∅;
• O complemento de um evento em um espaço amostral é o conjunto dos resulta-
dos no espaço amostral que não estão no evento. Denotamos o complemento do 
evento A por A’. A notação Ac é também usada em algumas literaturas para deno-
tar o complemento.
Como os eventos são subconjuntos do espaço amostral, podemos representar a 
união, interseção de dois eventos e o complementar de um evento, conforme os diagra-
mas representados na Figura 1:
A ∩ B
A
ACA ∪ B
Figura 1 – União, interseção e complementar de eventos
Fonte: Adaptada de DANTAS, 2013
Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013) 
Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é retirada da urna e seu 
número anotado. Sejam A e B os seguintes eventos: 
• A o número da bola retirada é par;
• B o número da bola retirada é múltiplo de 3; 
• Determinemos os eventos A ∪ B, A ∩ B e Ac. 
Resolução 
• O espaço amostral S associado a esse experimento é o conjunto: S = {1, 2, 3, ... 14, 15}
• O evento A será: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
• O evento B será: B = {3, 6, 9, 12, 15}
Assim: 
A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15}
A ∩ B = {6, 12}
Ac = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
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UNIDADE Noções de Probabilidade
Interpretações e Axiomas de Probabilidade
Probabilidade é usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrência de 
um resultado de um experimento aleatório (MONTGOMERY; RUNGER, 2018). Con-
sideremos um espaço amostral S com N eventos simples, que suporemos igualmente 
possíveis. Seja A um evento de S composto de m eventos simples. A probabilidade de 
A, que denotaremos P(A), é definida por (DANTAS, 2013): 
( ) mP A
N
=
Definição
Seja um experimento ε. Seja um espaço amostral S associado ao experimento ε. 
A cada evento A associaremos um número real representado por P(A) e denominado 
probabilidade de A, que satisfaça às seguintes propriedades (MEYER, 2003):
• 0 ≤ P(A) ≤ 1;
• P(S) = 1;
• Se A e B forem mutuamente excludentes, P (A ∪ B) = P(A) + P(B);
• Se Ac for um evento complementar de A, então P(A) = 1 – P(Ac);
• Se A e B forem dois eventos quaisquer, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). 
Assim, a probabilidade de um evento conjunto pode frequentemente ser determinada a 
partir de probabilidades dos eventos individuais que o compreendem. Operações básicas 
de conjuntos são também, algumas vezes, úteis na determinação da probabilidade de um 
evento conjunto. 
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUNGER, 2018)
Um experimento aleatório pode resultar em um dos resultados {a, b, c, d} com proba-
bilidades 0,1; 0,3; 0,5; 0,1, respectivamente. Seja o evento A = {a, b}, B o evento {b, c, d} 
e C o evento {d}. Calcule:
a) P(A)
b) P(A ∩ B)
c) P(A ∪ B)
d) P(Cc)
Resolução
a) P(A) = {a, b} = 0,1 + 0,3 = 0,4
b) P(A ∩ B) = {b} = 0,3
c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(B) = 0,3 + 0,5 + 0,1 = 0,9
P(A ∩ B) = 0,3
P(A ∪ B) = 0,4 + 0,9 – 0,3 = 1
d) P(Cc) = {a, b, c} = 0,1 + 0,3 + 0,5 = 0,9
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Técnicas de Contagem
Em muitos exemplos é fácil determinar o número de resultados em cada qual. 
Em  exemplos mais complicados, a determinação de resultados que compreendem o 
espaço amostral (ou um evento) se torna mais difícil. Nesse sentido, a contagem dos 
números de resultados no espaço amostral e os vários eventos são usados para analisar 
os experimentos aleatórios. Esses métodos são referidos como técnicas de contagem, 
de modo que a seguir serão apresentados alguns princípios ou regras de contagem:
Regra da multiplicação (para técnicas de contagem) 
Suponhamos que uma tarefa pode ser executada em duas etapas. Se a primeira eta-
pa pode ser realizada de n maneiras e a segunda etapa de m maneiras, então, a tarefa 
completa pode ser executada de n ⋅ m maneiras.
Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013) 
Desejamos ir da Cidade A à Cidade C. Os caminhos de A e C passam pela Cidade 
B. Se há dois caminhos que ligam A e B e três caminhos que ligam B e C, de quantas 
maneiras podemos ir de A à C?
Resolução 
O número de caminhos que ligam A à C é seis, conforme o seguinte desenho:
A B C
Figura 2
Se designarmos por 1 e 2 os caminhos que ligam A à B e por 3, 4 e 5, temos:
A B C
1
2
3
4
5
Figura 3
Assim, um possível caminho seria 1 até 3, isto é, 13:
A C
1
2
3
4
5
3
B
Figura 4
Então, os caminhos que ligam A à C são: 13, 14, 15, 23, 24, 25.
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UNIDADE Noções de Probabilidade
Permutações 
Outro cálculo útil é o número de sequências ordenadas dos elementos de um conjunto. 
Considere um conjunto de elementos, tal como S = {a, b, c}. Uma permutação é uma sequ-
ência ordenada dos elementos. Por exemplo: abc, acb, bac, e cba são todas as permuta-
ções dos elementos de S (MONTGOMERY; RUNGER, 2018).
Consideramos uma amostra como ordenada se os seus elementos forem ordenados, 
isto é, se duas amostras com os mesmos elementos, porém, em ordens diferentes, forem 
consideradas diferentes. 
O número de permutações de n elementos diferentes é n!, sendo 
n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 2 × 1. Permutações tais como esta são referidas algumas 
vezes como permutações lineares.
Consideramos uma amostra como não ordenada se os seus elementos não forem 
ordenados; assim, uma amostra não ordenada de tamanho n coincide com um subcon-
junto de tamanho n (DANTAS, 2013).
O número de amostras não ordenadas sem reposição de tamanho n, de um conjunto 
com N elementos, é dado por:
( )
!
! !
n
r
n nC
r r n r
 
= =  − 
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018)
Um silo com 50 itens fabricados contém três itens defeituosos e 47 itens não defeitu-
osos. Uma amostra de 6 itens é selecionada a partir dos 50 itens. Os itens selecionados 
não são repostos. Ou seja, cada item pode somente ser selecionado uma única vez e a 
amostra é um subconjunto dos 50 itens. Quantas amostras diferentes existem, de tama-
nho 6, que contêm exatamente 2 itens defeituosos?
Resolução 
Um subconjunto contendo exatamente dois itens defeituosos pode ser formado esco-
lhendo primeiro os dois itens defeituosos a partir de três itens defeituosos:
3 3! 3 
2 2!1!
maneiras diferentes  = = 
 
Então, a segunda etapa é selecionar os quatro itens restantes dos 47 itens aceitáveis 
no silo:
47 47! 178.365 
4 4!3!
maneiras diferentes  = = 
 
Por conseguinte, da regra de multiplicação, o número de subconjuntos de tamanho 
seis que contém exatamente dois itens defeituosos é:
3 × 178.365 = 535.095
14
15Com um cálculo adicional, o número total de subconjuntos diferentes de tamanho 
seis é:
50 50! 15.890.700
6 6!44!
 
= = 
 
Probabilidade Condicional
Algumas vezes, probabilidades necessitam ser reavaliadas à medida que informações 
adicionais se tornam disponíveis. Uma maneira útil de incorporar informação adicional 
em um modelo de probabilidade é considerar o resultado que será gerado como um 
membro de um dado evento. 
Considere a seguinte situação: um lote de 80 peças não defeituosas e 20 peças 
 defeituosas. Suponha que escolhemos duas peças desse lote: (a) com reposição; (b) sem 
reposição. Definamos os dois eventos seguintes:
{ } A a primeira peçaé defeituosa=
{ } B a segunda peçaé defeituosa=
Se estivermos extraindo com reposição, P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5, porque cada 
vez que extrairmos do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100. No entanto, 
se estivermos extraindo sem reposição, os resultados não serão tão imediatos. É ainda 
verdade, naturalmente, que P(A) = 1/5. Mas sobre P(B)? É evidente que, a fim de cal-
cularmos P(B), deveremos conhecer a composição do lote no momento de se extrair 
a segunda peça. Isto é, deveremos saber se A ocorreu ou não. Este exemplo mostra a 
necessidade de se introduzir o seguinte conceito (MEYER, 2003):
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento ε. Denotaremos por 
P(B |A) a probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido.
Nesse exemplo, P(B|A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então, para a segunda 
extração restarão somente 99 peças, das quais 19 serão defeituosas.
Segundo Dantas (2013), a probabilidade condicional de B dado A é definida por:
( ) ( )( )
|
P A B
P B A
P A
∩
=
Frequentemente, necessita-se calcular a probabilidade da interseção de dois eventos. 
Tal definição pode ser utilizada para prover uma fórmula conhecida como regra da 
multiplicação para probabilidades, na qual:
P(A ∩ B) = P (B|A) P(A) = P(A|B) P(B)
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018) 
A probabilidade de que o primeiro estágio de uma operação, numericamente 
controlada, de usinagem para pistões com alta rotação por minuto (rpm) atenda às 
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UNIDADE Noções de Probabilidade
especificações é igual a 0,90. Falhas são causadas por variações no metal, alinhamento 
de acessórios, condição da lâmina de corte, vibração e condições ambientais. Dado que 
o primeiro estágio atende às especificações, a probabilidade de que o segundo estágio 
de usinagem atenda às especificações é de 0,95. Qual é a probabilidade de ambos os 
estágios atenderem às especificações?
Resolução
Sejam A e B os eventos em que o primeiro e o segundo estágios atendem às especi-
ficações, respectivamente, a probabilidade requerida é:
P(A ∩ B) = P(B|A) P(A) = 0,95 (0,90) = 0,855
Interpretação prática: a probabilidade de que ambos os estágios atendam às espe-
cificações é aproximadamente 0,85, e se estágios adicionais fossem necessários para 
completar um pistão, a probabilidade diminuiria mais. Consequentemente, a proba-
bilidade de que cada estágio seja completado com sucesso necessita ser grande para 
que um pistão atenda a todas as especificações.
Em alguns casos, a probabilidade condicional de P(B|A) pode ser igual a P(B). Nesse 
caso especial, o conhecimento de que o resultado do experimento esteja no evento A 
não afeta a probabilidade de que o resultado esteja no evento B. Segundo Montgomery 
e Ruger (2018), chama-se independência de dois eventos quando dois eventos são 
independentes e qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira:
( ) ( )|P A B P A=
( ) ( )|P B A P B=
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018)
O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da 
esquerda para a direita. A probabilidade de cada dispositivo funcionar é mostrada no 
seguinte diagrama. Suponha que os dispositivos falhem independentemente. Qual é a 
probabilidade de o circuito operar?
0,8 0,9
Figura 5
Fonte: Adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018
Resolução
Sejam E e D os eventos em que os dispositivos da esquerda e da direita operem, respec-
tivamente, há somente uma rota se ambos operam. A probabilidade de o circuito operar é:
P(E e D) = P(E ∩ D) = P(E) P(D) = 0,80 (0,90) = 0,72
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Interpretação prática: note que a probabilidade de o circuito operar diminui para 
aproximadamente 0,5 quando todos os dispositivos tiverem de ser funcionais. A pro-
babilidade de cada dispositivo ser funcional necessita ser grande para um circuito 
operar quando muitos dispositivos são conectados em série.
Teorema de Bayes
Essas probabilidades condicionais comumente fornecem a probabilidade de um evento 
dada uma condição. Entretanto, depois de um experimento aleatório gerar um resultado, 
estamos naturalmente interessados na probabilidade de uma condição estar presente dado 
um resultado. Thomas Bayes tratou essa questão essencial na década de 1700 e desen-
volveu o resultado fundamental, conhecido como teorema de Bayes (MONTGOMERY; 
RUNGER, 2018).
Seja B1, B2, ... Bn eventos que são mutuamente exclusivos e seja A um evento qual-
quer, temos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
1 1 2 2
|
|
| | | n n
P A B P B
P B A
P A B P B P A B P B P A B P B
=
+ +…+
Para P(A)>0.
Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013) 
Uma companhia monta rádios cujas peças são produzidas em três de suas fábricas 
denominadas A1, A2, e A3. Produzem, respectivamente, 15%, 35% e 50% do total. 
As probabilidades das fábricas A1, A2, e A3 produzirem peças defeituosas são 0,01; 0,05 
e 0,02, respectivamente. Uma peça é escolhida ao acaso do conjunto das peças produzi-
das. Essa peça é testada e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade que tenha 
sido produzida pela fábrica Ai, para i = 1, 2, 3?
Resolução 
A probabilidade de as fábricas produzirem peças são 15%; 35% e 50%, respectiva-
mente; então, a probabilidade de a peça ser escolhida ao acaso nas três fábricas é:
( )1 0,15P A =
( )2 0,35P A =
( )3 0,5P A =
Chamaremos de D o evento de peças defeituosas, então, a probabilidade de as fábri-
cas produzirem peças defeituosas é:
( )1| 0,01P D A =
( )2| 0,05P D A =
( )3| 0,02P D A =
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UNIDADE Noções de Probabilidade
Temos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3| | |P D A P A P D A P A P D A P A+ + =
( )( ) ( )( ) ( )( )0,01 0,15 0,05 0,35 0,02 0,5 0,0290+ + =
Assim, o cálculo de P(A1|D) será:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
|
|
| | |
i i
i
P D A P A
P A D
P D A P A P D A P A P D A P A
=
+ +
( ) ( ) ( )||
0,0290
i i
i
P D A P A
P A D =
Portanto, calculando cada probabilidade condicional, temos:
( ) ( ) ( ) ( )( )1 11
| 0,15 0,01
| 0,0517
0,0290 0,0290
P D A P A
P A D = = =
( ) ( ) ( ) ( )( )2 22
| 0,35 0,05
| 0,6034
0,0290 0,0290
P D A P A
P A D = = =
( ) ( ) ( ) ( )( )3 33
| 0,50 0,02
| 0,3448
0,0290 0,0290
P D A P A
P A D = = =
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Conjuntos Numéricos
https://youtu.be/wD7a9DAYb-4
Probabilidade Condicional | Ep 9
https://youtu.be/IDdvfEia8RA
 Leitura
Probabilidade
https://bit.ly/38Y1mXm
Noções de probabilidade
https://bit.ly/331aK8y
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UNIDADE Noções de Probabilidade
Referências
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 3. ed. São Paulo: Edusp, 2013. 
MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para 
engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
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