Terceira lista de mecânica Clássica I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM FÍSICA 
 
Terceira Lista de Mecânica Clássica 
 
1. Considere uma partícula e massa 𝑚 cujo movimento é iniciado do repouso em um campo 
gravitacional constante. Se uma força de resistência proporcional ao quadrado da velocidade 
(isto é, 𝑘𝑚𝑣2) é encontrada, mostre que a distância 𝑠 que a partícula cai acelerando de 𝑣0 a 𝑣𝑖 é 
dada por 
𝑠(𝑣0 → 𝑣𝑖) =
1
2𝑘
ln [
𝑔 − 𝑘𝑣0
2
𝑔 − 𝑘𝑣𝑖
2] 
2. Uma partícula é projetada verticalmente para cima em um campo gravitacional constante com 
velocidade inicial 𝑣0. Mostre que se existe força de resistência proporcional ao quadrado do 
modulo da velocidade instantânea, o modulo da velocidade da partícula quando ela retorna a 
posição inicial é 
𝑣0𝑣𝑡
√𝑣0
2 + 𝑣𝑡
2
 
onde 𝑣𝑡 é o modulo da velocidade terminal. 
3. Uma partícula move-se em um meio sob a influência de uma força de resistência igual a 
𝑚𝑘(𝑣3 + 𝑎2𝑣), onde 𝑘 e 𝑎 são constantes. Mostre que para qualquer valor do modulo da 
velocidade inicial a partícula nunca se moverá por uma distância maior que 𝜋/2𝑘𝑎 e que a 
partícula chega ao repouso apenas para 𝑡 → ∞. 
4. O movimento de uma partícula carregada em um campo eletromagnético pode ser obtido da 
equação de Lorentz1 para a força sobre uma partícula em tal campo. Se o vetor campo elétrico 
é �⃗� e o veto r campo magnético é �⃗� , a força sobre a partícula de massa 𝑚 que porta a carga 𝑞 e 
possui velocidade 𝑣 é dada por 
𝐹 = 𝑞�⃗� + 𝑞𝑣 × �⃗� 
onde supomos que 𝑣 ≪ 𝑐 (velocidade da luz). 
(a) Se não existe campo elétrico e se a partícula entra no campo magnético em uma direção 
perpendicular às linhas de fluxo magnético, mostre que a trajetória é um circulo com raio 
𝑟 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
=
𝑣
𝜔𝑐
 
onde 𝜔𝑐 ≡ 𝑞𝐵/𝑚 é a freqüência de cíclotron. 
(b) Escolha o eixo 𝑧 para estar na direção de �⃗� e seja o plano 𝑦𝑧 o plano que contem �⃗� e �⃗� . 
Assim 
�⃗� = 𝐵�̂�, �⃗� = 𝐸𝑦𝑗̂ + 𝐸𝑧�̂� 
Mostre que a componente 𝑧 do movimento é dada por 
𝑧(𝑡) ≡ 𝑧0 + �̇�0𝑡 +
𝑞𝐸𝑧
2𝑚
𝑡2 
onde 
𝑧(0) ≡ 𝑧0 e �̇�0 ≡ �̇�0 
 
1 Veja, por exemplo. Heald e Marion, Classical Eletromagnetic Radiation (95, Seção 1.7) 
http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://i46.photobucket.com/albums/f125/dannncampos/logoUFPI.jpg&imgrefurl=http://www.inscricoesvestibular.com/2009/08/vestibular-de-verao-da-ufpi-2010/&usg=__2wgAtDNoqJI7sxWVwUpO_QXIGbE=&h=135&w=122&sz=7&hl=pt-BR&start=6&um=1&tbnid=wo8mXlSYBEe1DM:&tbnh=92&tbnw=83&prev=/images?q=ufpi&hl=pt-BR&um=1
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM FÍSICA 
 
 
FIGURA 2-A Problema 2-25. 
 
FIGURA 2-C Problema 2-42. 
(c) Continue o calculo e obtenha expressões para �̇�(𝑡) e �̇�(𝑡). Mostre que as médias temporais 
destas componentes de velocidade são 
〈�̇�〉 =
𝐸𝑦
𝐵
, 〈�̇�〉 = 0 
(Mostre que o movimento é periódico e então faça a media sobre um período completo.) 
(d) Integre as equações de velocidade para encontradas em (c) e mostre que (com condições 
iniciais 𝑥(0) = −𝐴/𝜔𝑐, �̇�(0) = 𝐸𝑦/𝐵, 𝑦(0) = 0, �̇�(0) = 𝐴) que 
𝑥(𝑡) =
−𝐴
𝜔𝑐
cos𝜔𝑐𝑡 +
𝐸𝑦
𝐵
𝑡, 𝑦(𝑡) =
𝐴
𝜔𝑐
sen𝜔𝑐𝑡 
Estes são as equações paramétricas de um trocoide. Esquematize a projeção da trajetória sobre o 
plano 𝑥𝑦 para os casos (i) 𝐴 > |𝐸𝑦/𝐵|, (ii) 𝐴 < |𝐸𝑦/𝐵|, e (iii) 𝐴 = |𝐸𝑦/𝐵|. (o último caso 
produz um cicloide.) 
5. Um bloco de massa 𝑚 = 1,62 𝑘𝑔 deslizando 
para baixo de uma inclinação sem atrito 
(Figura 2-A). O bloco é abandonado de uma 
altura ℎ = 3,91 𝑚 acima da base do laço. 
(a) Qual é a força do trilho inclinado sobre 
o bloco na base (ponto 𝐴)? 
(b) Qual é a força do trilho sobre o bloco no 
ponto B? 
(c) Com que velocidade o bloco deixa o 
trilho? 
(d) Quão distante do ponto A o bloco permanecerá ao nível 
do solo? 
(e) Esboce o gráfico da energia potencial 𝑈(𝑥) do bloco. 
Indique a energia total sobre o esboço. 
6. Um cubo sólido de densidade uniforme e lados 𝑏 está em 
equilíbrio sobre o topo de um cilindro de raio 𝑅 (Figura 2-
C). Os planos dos quatro lados do cubo são paralelos ao 
eixo do cilindro. O contato entre o cubo e a esfera é 
perfeitamente rugosa. Sob que condições o equilíbrio é 
estável ou não estável? 
7. Considere a partícula movendo-se na região 𝑥 > 0 sob a 
influência do potencial 
𝑈(𝑥) = 𝑈0 (
𝑎
𝑥
+
𝑥
𝑎
) 
onde 𝑈0 = 1 𝐽 e 𝑎 = 2 𝑚. Faça o gráfico do potencial, determine os pontos de equilíbrio, e 
determine se eles são máximos ou mínimos. 
8. Duas estrelas ligadas através de força gravitacional com massas iguais 𝑚, separadas por uma 
distância 𝑑, giram em torno do seu centro de massa em órbitas circulares. Mostre que o período 
𝜏 é proporcional a 𝑑3/2 (Terceira Lei de Kepler) e determine a constante de proporcionalidade. 
 
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