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Um modelo do movimento harmônico simples é o sistema massa-mola. Considere um bloco de massa preso à uma mola, como ilustrado na Figura 1.10. Quando o bloco move-se para a direita, a força age para restaurar no sentido oposto (esquerda), levando o bloco para a posição de equilíbrio , ou seja, sempre que o bloco estiver na posição de equilíbrio, a força restauradora será nula. Figura 1.9 - Ilustração do equilíbrio estável Fonte: Elaborada pelo autor. m x = 0 Em muitos sistemas, a força restauradora surge, quando deslocamos o sistema do equilíbrio, de modo que a força é proporcional ao deslocamento, conforme descrito na equação (1). Sendo o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio, e a constante elástica da mola que, no Sistema Internacional (SI), possui unidade de newton por metro . Em um movimento harmônico simples, a força é proporcional ao deslocamento. Como a força é restauradora, veri�camos a existência de um sinal negativo. Assim, toda vez que uma força age em um sentido, o deslocamento age no sentido oposto, de modo a restaurar a posição de equilíbrio. Partícula em Movimento Harmônico Simples O modelo discutido na seção anterior pode ser descrito como uma partícula em movimento harmônico simples. Podemos aplicar a segunda Lei de Newton, ao sistema massa-mola, escolhendo o eixo como referência, ao longo do qual ocorre a oscilação. Então: Figura 1.10 - Um sistema massa-mola em uma superfície sem atrito Fonte: Serway e Jewett (2011, p. 5). F (x) = −kx (1) x k (N/m) x F = ma = −kx (2) Lembrando que, por de�nição, , podemos escrever: Que podemos reescrever como: A qual chamamos a razão de , assim, e a equação toma a forma: A solução deve ser do tipo periódica. A equação da posição deve satisfazer a equação diferencial de segunda ordem, bem como possuir a representação matemática da posição da partícula como uma função do tempo. As funções trigonométricas seno e cosseno exibem este comportamento. Sendo assim, podemos nos basear nessas funções, para encontrar a nossa solução. No tempo inicial , puxamos o corpo de massa e, depois, soltamos. Como o movimento inicial tem um deslocamento não nulo, a função cosseno é mais apropriada que a função seno, já que Logo, a solução é dada por: é a amplitude máxima do movimento a partir do equilíbrio; é a constante de fase, apresentando o deslocamento da curva do cosseno para a direita ou para a esquerda A função é periódica, ou seja, sua forma repete-se a cada período de oscilação . A função cosseno completa um ciclo a cada (em radianos), isto é, (em graus). O argumento da função cosseno é o qual pode variar de até , e o tempo pode variar de até Logo: ou seja, conforme representação na Figura 1.11: a = dv/dt = x/dd 2 t2 m = −kx (3) xd 2 dt2 = − x (4) xd 2 dt2 k m k/m ω2 = k/mω2 = − x (5) xd 2 dt2 ω 2 x (t) (t = 0) m cos ( ) = 1.00 x (t) = A cos (ωt + Φ) (6) A Φ (Φ < 0) (Φ > 0). x (t) T 2π 360o ωt, 0 2π 0 2π. ωT = 2π (7) T = 2π/ω (8)