Finanças Empíricas

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Ronaldo Nazaré
CEDEPLAR - UFMG
25 de março de 2024
Introdução à Finanças - Primeiro semestre, 2024
Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I Todos os aspectos da economia financeira envolve a análise de retornos dos ativos
financeiros, e não dos preços propriamente dito.
I Dois motivos:
1. Para o investidor médio, o mercado financeiro pode ser considerado
aproximadamente competitivo, de tal forma que o tamanho de seu
investimento não afeta as variações de preços.
2. Os retornos têm propriedades estatísticas mais atraentes que os preços dos
ativos, tais como estacionariedade e ergodicidade.
Introdução à Finanças - Primeiro semestre, 2024
Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I Seja Pt o preço de um ativo financeiro (ações, por exemplo).
I Assumimos por simplicidade que esse ativo não paga dividendos. Logo, o retorno
líquido simples de um ativo, entre os períodos t− 1 e t (por exemplo, entre dois
meses consecutivos) é definido como a variação percentual no valor de um ativo
composto discretamente:
Rt =
Pt
Pt−1
− 1 =
Pt − Pt−1
Pt−1
= %∆Pt (1)
I Assim também temos
Rt =
Pt − Pt−1
Pt−1
= %∆Pt;Rt+1 =
Pt+1 − Pt
Pt
= %∆Pt+1, ... (2)
I O retorno bruto simples é obtido ajustando a equação (1), Rt = Pt
Pt−1
− 1. É o
retorno líquido mais um (indica a variação do retorno sem considerar o percentual),
Rt + 1 =
Pt
Pt−1
(3)
I O retorno bruto simples pode ser interpretado como o valor futuro de R$1, 00
investido durante um mês (entre t− 1 e t). Mas quando nos referirmos aos
retornos, estaremos falando de retornos líquidos (taxa de variação percentual
do preço). Indica a variação do retorno sem considerar o percentual.
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Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I Também podemos resolver:
Rt =
Pt
Pt−1
− 1
Rt + 1 =
Pt
Pt−1
Pt = Pt−1(Rt + 1)
Pt = Pt−1 + Pt−1Rt (4)
I Lembre-se que, por ora, estamos considerando que a empresa não paga
dividendos.
I O que temos aqui é que o preço da ação hoje é o preço no período anterior mais o
retorno líquido simples.
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Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I Exercício: considere o investimento em ações de uma empresa qualquer.
I Você compra a ação por R$10, 00 em t− 1. Logo, você comprou Pt−1 = R$10, 00.
I Você consegue vender essa ação por Pt = R$10, 50. Assumimos, por ora, que a
empresa não pagou dividendos entre t− 1 e t.
I Qual é o retorno líquido simples? E o retorno bruto simples?
I O retorno líquido simples é de: Rt = 10,5−10
10
= 0, 05.
I Intuição: o investimento de um mês nessa empresa rendeu 5%.
I E o retorno bruto simples é: Rt + 1 = 10,5
10
= R$1, 05
I Intuição: R$1, 00 investidos nessa empresa no mês t− 1, valerá R$1, 05 no mês t.
I Obviamente, tudo isso sem o pagamento de dividendos.
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Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I Exercício: considere o investimento em ações de uma empresa qualquer.
I Você compra a ação por R$85, 00 em t− 1. Logo, você comprou Pt−1 = R$85, 00.
I Você consegue vender essa ação por Pt = R$90, 00. Assumimos, por ora, que a
empresa não pagou dividendos entre t− 1 e t.
I Qual é o retorno líquido simples? E o retorno bruto simples?
I O retorno líquido simples é de: Rt = 90−85
85
= 0, 0588.
I Intuição: o investimento de um mês nessa empresa rendeu 5, 88%.
I E o retorno bruto simples é: Rt + 1 = 10,5
10
= R$1, 05
I Intuição: R$1, 00 investidos nessa empresa no mês t− 1, valerá R$1, 0588 no mês
t.
I Obviamente, tudo isso sem o pagamento de dividendos.
Introdução à Finanças - Primeiro semestre, 2024
Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I Retornos para multiperíodos.
I O retorno simples para dois períodos sobre um investimento em um ativo financeiro
entre os período t− 2 e t é definido como
Rt(2) =
Pt − Pt−2
Pt−2
=
Pt
Pt−2
− 1 (5)
I Note que consideramos os preços intermediários:
Pt
Pt−2
=
Pt
Pt−1
Pt−1
Pt−2
(6)
I Podemos também escrever o retorno entre dois períodos como
Rt(2) + 1 =
Pt
Pt−1
Pt−1
Pt−2
= (1 + Rt)(1 + Rt−1) (7)
Rt(2) =
Pt
Pt−1
Pt−1
Pt−2
− 1 = (1 + Rt)(1 + Rt−1) − 1 (8)
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Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I Então, o retorno bruto (retorno acumulado bruto) é a equação (7) acima:
(1 + Rt(2)) = (1 + Rt)(1 + Rt−1) = 1 + Rt−1 + Rt + RtRt−1
I Que não é a simples soma dos retornos entre um período.
I Exercício:
I P1 = 10, P2 = 12, P3 = 14.
I Ache: R2, R3 e retorno bruto entre dois períodos.
I R2 = P2−P1
P1
= 0, 20; R3 = P3−P2
P2
= 0, 167.
I Logo, o retorno bruto simples entre dois períodos é
(1 + Rt(2)) = (1 + Rt)(1 + Rt−1) = (1 + 0, 167)(1 + 0, 20) = 1, 40.
I Isto é, se começamos investindo R$100, 00 no primeiro período, teremos R$140, 00
ao final do terceiro.
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Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I Cenário simples:
I Temos um fluxo de retornos anuais de:
I R1 = 0, 05, R2 = 0, 12, R3 = 0, 04 e R4 = −0, 10.
I Repare no sinal negativo de R4.
I Sabemos que o retorno bruto (retorno acumulado bruto) é:
(1 + Rt(4)) = (1 + Rt)(1 + Rt−1)(1 + Rt−2)(1 + Rt−3)
= (1 + 0, 05)(1 + 0, 12)(1 + 0, 04)(1 − 0, 10)
= (1, 05)(1, 12)(1, 04)(0, 90)
= 1, 10074 (9)
I Com o investimento de 1 real nesse ativo, terminamos com 1, 10074.
Introdução à Finanças - Primeiro semestre, 2024
Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I De maneira mais geral o retorno bruto do ativo entre os períodos t− k até k,
denotado por (1 + Rt(k)) é
(1 + Rt(k)) =
Pt
Pt−k
= (1 + Rt)(1 + Rt−1)...(1 + Rt−k+1)
=
Pt
Pt−1
× Pt−1
Pt−2
× ...× Pt−k+1
Pt−k
=
k−1∏
j=0
(1 + Rt−j) (10)
I O retorno bruto simples é o produto dos k retornos brutos simples de um
período, que estão envolvidos em k.
I Retornos sobre multiperíodos são também chamados de retornos compostos.
I E o retorno líquido entre os k períodos mais recentes é de
Rt(k) =
Pt − Pt−k
Pt−k
(11)
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Preços, Retornos e Juros Compostos
Manipulando Retornos
I Voltando ao caso de dois períodos com:
(1 + Rt(2)) = (1 + Rt)(1 + Rt−1) (12)
I Se Rt e Rt−1 são valores pequenos, então, RtRt−1 ≈ 0 e
(1 + Rt(2)) ≈ 1 + Rt−1 + Rt tal que Rt(2) ≈ Rt−1 + Rt.
I Mas se adicionamos dois retornos de um período cada para obter o mesmo
resultado da linha acima com um retorno com valores relativamente grandes,
poderemos encontrar resultados equivocados.
I Suponha que Rt−1 = 0, 50, isto é, 50% e Rt = −0, 50. Ao adicionar os retornos de
cada um dos períodos teremos um retorno de dois períodos igual a zero.
I No entanto, o verdadeiro retorno de dois períodos é de
1 + Rt(2) = 1 + Rt−1 + Rt + Rt−1Rt.
I Com os valores, temos: Rt(2) = 0, 5 + (−0, 5) + 0, 5(−0, 5) = −0, 25.
I Esse resultado traz mais informações. Ele nos diz que se começamos com
R$1, 00, vamos terminar, ao final de dois períodos, com R$0, 75. Ou seja, houve
uma redução de 25% no valor investido.
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