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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – CÁLCULO LINEAR Marllon Gilberto Caetano Bispo Matrícula: 01441984 Engenharia Civil Estudo de caso Em uma indústria hipotética utilizam-se os conhecimentos de cálculo vetorial para operar um determinado maquinário a fim de se produzir uma mercadoria com base em um determinada matéria-prima. Esse maquinário trabalha com o deslocamento de partículas dessa determinada matéria-prima ao longo de um campo vetorial determinado (F). Ao final desse trajeto no campo vetorial, as partículas colidem-se com um anteparo, onde ficam presas. O acúmulo dessas partículas, de acordo com a movimentação do equipamento, é o que proporciona a elaboração dessa determinada mercadoria a ser vendida pela indústria em questão. É imprescindível, para os fins operacionais dessa indústria, que se determine o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial. Para isso, é necessário todo o conhecimento estudado até o momento, ou seja, o conhecimento acerca de gradiente, campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de linha de trabalho. Por fim, ressalta-se que, por designações operacionais do equipamento, o campo vetorial a ser considerado sempre deve ser conservativo para que o maquinário, e consequentemente todo o sistema produtivo da indústria, funcione de maneira ótima. Retomou-se nos textos-base e em suas validações os conceitos de gradiente, campo vetorial conservativo, curva parametrizada e integral de linha de trabalho. Esses são os conceitos necessários para se realizar essa proposta de atividade que terá, por sua vez, embasamento na situação-problema apresenta no case. Considere-se o funcionário dessa empresa, encarregado de tal tarefa, ou seja, determinar o trabalho de uma partícula em um campo vetorial desse maquinário. Para isso, seu superior lhe apresenta duas opções de campo vetoriais a serem escolhidos para se trabalhar: F1 (x, y, z) = - ½ 𝑥𝑖 − 1 2 𝑦𝑗 + 1 4 𝑘 ou F2(x, y, z) = xi + 2xj + zk A trajetória feita pela partícula é dada pela curva parametrizada no espaço r(t)= cos (t) i + sem (t) j + tk, sendo que a partícula se move do ponto A (1,0,0) até B (-1,0,4π). A dinâmica de todo esse processo é mostrada na figura abaixo: O objetivo, portanto, é: Determinar o trabalho que a partícula realiza ao longo do seu deslocamento, em um determinado campo F. O seguinte campo foi escolhido para produzir essa atividade: F (x, y, z) = − 1 2 𝑥𝑖 − 1 2 𝑦𝑗 + 1 4 𝑘 Para este sentido, faremos uso da integral de linha de trabalho, que se mostra: w= ∫ 𝑐 F ∗ dr =∫ 𝐹 𝑏 𝑎 (r (t)) ∗ r’ (t) dt Vemos sua primeira parte da integral de linha, assim repetimos a função do campo vetorial F em função dos parâmetros de r(t): F(r (t))→ F(x (t), y (t), z (t) = − 1 2 (cos(𝑡) 𝑖, − 1 2 (𝑠𝑒𝑛 (𝑡)𝑗, + 1 4 𝑘 Partindo à segunda parte da integral de linha, precisa-se encontrar o vetor tangente r’(t) através das derivadas parciais dos componentes do arco de hélice, logo temos: 𝑑𝑟 𝑑𝑡 (𝑡) = 𝑟′(𝑡) = 𝜕 cos(𝑡) 𝜕𝑡 𝑖 + 𝜕 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝜕𝑡 𝑗 + 𝜕𝑡𝑘 𝜕𝑡 𝑟′(𝑡) = −𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(t)j + k Com os resultados obtidos em relação ao campo vetorial F e o valor encontrado da tangente ao destino da partícula, segue a integral de linha, aparente como no início da questão. ≈ 3,1416 Frente à questão desenvolvida, sabemos que a partícula ao decorrer percurso é definido pelo resultado da integral, o escalar entre vetor tangente e a direção a partícula é um vetor do campo vetorial dentro dos limites da variável (t), a solução permanecerá constantemente sendo escalar. Somado a isso, imagine uma segunda situação, em que um colega de trabalho sugere uma alteração da trajetória da partícula, ou seja, sugere alterar o caminho feito entre A e B nesse campo, dizendo que existem outros caminhos a serem percorrido resultariam em um menor trabalho realizado pela partícula. Portanto, deve-se avaliar, também: Essa sugestão do colega de trabalho, apontando os aspectos relevantes que devem ser discutidos para que haja ou não uma alteração no caminho entre os pontos A e B realizados pela partícula. Sabe-se que para a máquina atingir o funcionamento ideal o campo precisa ter a propriedade de conservar sua energia para que o trabalho seja independente do seu caminho, ficando independente os pontos inicial e final do trajeto da partícula. Logo, a resposta fica evidente. Cálculo do gradiente: Analisando o cálculo do gradiente, vemos que o campo não se difere, logo não há alteração no trabalho desenvolvido pela partícula . Referências: Questão proposta no case – Material Didático (blackboard.com) (1229) CAMPO CONSERVATIVO - FUNÇÃO POTENCIAL - YouTube (1229) teste para verificar se um campo vetorial é conservativo, cálculo da função potencial - YouTube https://sereduc.blackboard.com/ultra/courses/_92815_1/outline/scorm/launchFrame?toolHref=https:~2F~2Fsereduc.blackboard.com~2Fwebapps~2Fscor-scormengine-BB5d2e2e7dd5953~2Fdelivery%3Faction%3DlaunchPackage%26content_id%3D_5080817_1%26course_id%3D_92815_1%26from_ultra%3Dtrue&courseId=_92815_1&contentId=_5080817_1 https://www.youtube.com/watch?v=4NuWtXIKYWo https://www.youtube.com/watch?v=52hcoy-PUW8 https://www.youtube.com/watch?v=52hcoy-PUW8