Resolução de Questões de Trigonometria

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AP2 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 5 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2023-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
AP2 – GABARITO 
Código da disciplina EAD01002 – Cursos: Física, Química, Matemática ANTIGO 
Código da disciplina EAD01082 – Curso: Matemática NOVO 
 
Questão 1 [2,0 pontos] Considere que cos(𝜃) =
3
5
 e 𝜃 é um ângulo do quarto 
quadrante. 
• Calcule sen(𝜃) , sen(2𝜃) e cos(2𝜃). 
• Responda em qual quadrante está o ângulo 2𝜃. Justifique sua resposta. 
• Calcule o valor de 8 cot(2𝜃) − 2 sec(−𝜃). 
RESOLUÇÃO: 
• Determinando 𝐬𝐞𝐧(𝜽) 
Da identidade trigonométrica fundamental sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 e dado que cos(𝜃) =
3
 5 
 , 
temos 
 sen2(𝜃) + (
3
 5 
)
2
= 1 ⟺ sen2(𝜃) = 1 − (
3
 5 
)
2
 ⟺ sen2(𝜃) = 1 −
9
25
 
=
25−9
25
=
16
25
 ⟺ sen2(𝜃) =
16
25
 ⟺ sen(𝜃) =
4
5
 𝑜𝑢 sen(𝜃) = −
4
5
 . 
Considerando que 𝜃 é um ângulo do quarto quadrante, sabemos que sen(𝜃) < 0. 
Portanto, 𝐬𝐞𝐧(𝜽) = −
𝟒
𝟓
 . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Determinando 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽) 
Da identidade trigonométrica sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃) , 
e sabendo que sen(𝜃) = −
4
5
 , e que cos(𝜃) =
3
5
 , temos que 
sen(2𝜃) = 2 (−
4
5
) (
3
5
) = −
24
25
. 
Portanto, 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽) = −
𝟐𝟒
𝟐𝟓
. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Determinando 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 
Da identidade trigonométrica cos(2𝜃) = cos2(𝜃) − sen2(𝜃), 
e sabendo que sen(𝜃) = −
4
5
 , e cos(𝜃) = 
3
5
 ,temos que 
cos(2𝜃) = (
3
5
)
2
− (−
4
5
)
2
=
9
25
−
16
25
= −
7
25
. 
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Portanto, 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) = −
𝟕
𝟐𝟓
. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
• Determinando o quadrante de 𝟐𝜽 
sen(2𝜃) = −
24
25
< 0 e cos(2𝜃) = −
7
25
< 0 ⟹ 𝟐𝜽 está no terceiro quadrante. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
• Calculando 𝟖 𝐜𝐨𝐭(𝟐𝜽) − 𝟐 𝐬𝐞𝐜(−𝜽) 
8 cot(2𝜃) − 2 sec(−𝜃) = 8
cos(2𝜃)
sen(2𝜃)
− 2 
1
cos(−𝜃) 
 = 8
cos(2𝜃)
sen(2𝜃)
− 2 
1
cos(𝜃) 
 = 
8 ∙ 
−
7
25
−
24
25
− 2 ∙ 
1
3
5
 
 = 8 ∙ 
7
24
 − 2 ∙
5
3
 = 
7
3
 −
10
3
= −
3
3
= −1. 
Portanto, 𝟖 𝐜𝐨𝐭(𝟐𝜽) − 𝟐 𝐬𝐞𝐜(−𝜽) = −𝟏 . 
________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [1,2 ponto] Resolva as equações para 𝑥 ∈ [0,2𝜋]: 
• 1 − 2 cos(𝑥) = 0 
• 
√3
2
+ cos(𝑥) = 0 
RESOLUÇÃO: 
Resolvendo cada uma das equações acima: 
• 1 − 2 cos(𝑥) = 0 ⟺ 2 cos(𝑥) = 1 ⟺ cos(𝑥) =
1
2
 . 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, vemos que as 
soluções no intervalo [0,2𝜋] são: 
𝑥 =
𝜋
3
 ou 𝑥 = 2𝜋 −
𝜋
3
=
5𝜋
3
. 
Portanto a solução da equação 1 − 2 cos(𝑥) = 0 é o conjunto 
 𝑆1 = {
𝜋
3
,
5𝜋
3
}. 
• 
√3
2
+ cos(𝑥) = 0 ⟺ cos(𝑥) = − 
√3
2
 
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Observando o círculo trigonométrico ao lado, vemos que as 
soluções no intervalo [0,2𝜋] são: 
𝑥 =
5𝜋
6
 ou 𝑥 = 𝜋 +
𝜋
6
=
7𝜋
6
. 
Portanto a solução da equação 
√3
2
+ cos(𝑥) = 0 é o conjunto 
 𝑆2 = {
5𝜋
6
,
7𝜋
6
}. 
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Questão 3 [1,4 ponto] Resolva −√3 ≤ 2 cos(𝑥) ≤ 1 para 𝒙 ∈ [𝝅, 𝟐𝝅]. 
Marque a solução da inequação no círculo trigonométrico. 
 
RESOLUÇÃO: 
−√3 ≤ 2cos (𝑥) ≤ 1 ⟺ −
√3
2
≤
2
2
cos(𝑥) ≤
1
2
 ⟺ −
√3
2
≤ cos(𝑥) ≤
1
2
. 
Temos que resolver as equações 
 cos 𝑥 =
1
2
 , 𝑥 ∈ [𝜋, 2𝜋] e cos 𝑥 = −
√3
2
 , 𝑥 ∈ [𝜋, 2𝜋] 
Essas equações foram resolvidas na Questão 2 para 𝑥 ∈ [0,2𝜋], portanto, temos que: 
 cos 𝑥 =
1
2
 , 𝑥 ∈ [𝜋, 2𝜋] ⟺ 𝑥 =
5𝜋
3
 
e 
cos 𝑥 = −
√3
2
 , 𝑥 ∈ [𝜋, 2𝜋] ⟺ 𝑥 =
7𝜋
6
 
Observando no círculo trigonométrico ao lado, vemos que 
quando 𝑥 cresce de −
√3
2
 para 
 1 
2
, no eixo horizontal 
(eixo onde marcamos o cosseno de um ângulo), o 
correspondente ângulo cresce de 
7𝜋
6
 para 
5𝜋
3
 
Portanto a solução da inequação é 𝑆 = [
7𝜋
6
 ,
 5𝜋
3
] 
 
 
________________________________________________________________________________ 
Questão 4 [1,1 ponto] Calcule 2 arcsen (−
√2
2
) + 12 arccos (
 √3 
2
) . Mostre os 
cálculos com as devidas justificativas. 
RESOLUÇÃO: 
Temos que: 
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arcsen (−
√2
2
) = −
𝜋
4
 , pois sen (−
𝜋
4
) = −sen (
𝜋
4
) = −
√2
2
 e −
𝜋
4
∈ [−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
 ], que é o 
intervalo de inversão da função 𝑦 = sen (𝑥). 
arccos (
 √3 
2
) =
𝜋
6
 , pois cos (
𝜋
6
) =
 √3 
2
 e 
𝜋
6
∈ [0, 𝜋], que é o intervalo de inversão da função 
𝑦 = cos (𝑥). 
Portanto, 2 arcsen (−
√2
2
) + 12 arccos (
 √3 
2
) = 2 ∙ (−
𝜋
4
 ) + 12 ∙
𝜋
6
= −
𝜋
2
+ 2𝜋 = 
3𝜋
2
 . 
________________________________________________________________________________ 
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES Q5 e Q6. 
Considere a função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧 (
 𝒙+𝟑 
𝟐𝒙𝟐
) 
 
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Questão 5 [2,0 pontos] 
Determine o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥). Escreva a resposta na forma de intervalo 
ou união de intervalos disjuntos. Mostre os cálculos com as devidas justificativas. 
RESOLUÇÃO: 
• Para determinar o domínio da função 𝑓 , temos que impor duas restrições 
 
 𝑥+3 
2𝑥2
> 0 𝑒 2𝑥2 ≠ 0 
Como 2𝑥2 > 0 para todo 𝑥 ≠ 0 então 
 𝑥 + 3 
2𝑥2
> 0 𝑒 2𝑥2 ≠ 0 ⟺ 𝑥 + 3 > 0 𝑒 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 > −3 𝑒 𝑥 ≠ 0 . 
 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−3 , 0) ∪ (0 , ∞). 
________________________________________________________________________________ 
Questão 6 [2,3 pontos] 
Resolva a equação 𝑓(𝑥) = 0 para encontrar os pontos de interseção do gráfico da 
função 𝑓 com o eixo 𝑥. Quais são esses pontos? Mostre os cálculos com as devidas 
justificativas. O gráfico da função 𝑓 corta ou toca o eixo 𝑦 ? Explique. 
RESOLUÇÃO: 
• O gráfico da função 𝑓 não corta o eixo 𝒚 , pois 𝑥 = 0 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e os pontos do eixo 𝑦 
são da forma (0 , 𝑏) , 𝑏 ∈ ℝ. 
Interseção com o eixo 𝒙 
ln (
 𝑥 + 3 
2𝑥2
) = 0 ⟺ 
 𝑥 + 3 
2𝑥2
= 1 ⟺ 2𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0 𝑒 𝑥 ≠ 0 ⟺ 
1 ± √(−1)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−3)
2 ∙ 2
 = 
1 ± √25
4
 = 
1 ± 5
4
 ⟺ 𝑥 =
6
4
=
3
2
 ou 𝑥 = −1. 
AP2 – 2023-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 5 de 5 
O gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑥 nos pontos 
(−1 , 0) e (
3
2
 , 0) .