Métodos de Zero de Funções

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ZERO DE FUNÇÕES 
LINEARES E NÃO 
LINEARES 
 
 
 
 
 
 
 
Igor Utzig Picco 
 
 
 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
Olá aluno (a) Unifacear! 
Seja bem-vindo (a) à aula de Zero de funções lineares e não lineares através de 
métodos iterativos. Nessa aula irei apresentar para vocês mais métodos numéricos 
iterativos que visam encontrar a raiz de equações. Apresento o conceito de métodos 
intervalares e métodos abertos e em seguida apresento um método intervalar e três 
métodos numéricos. Finalizamos o tópico com um exemplo de resolução de uma mesma 
função através de dois métodos numéricos abertos diferentes. 
 
MÉTODOS INTERVALARES VS ABERTOS 
 
Os métodos intervalares são métodos que isolam a raiz em um intervalo. Esses 
métodos exigem duas estimativas iniciais para a raiz. Cada método tem estratégias 
diferentes para sistematicamente diminuir a largura do intervalo e aproximar-se da 
resposta correta (CHAPRA, CANALE, 2013). Esses métodos exigem uma análise 
preliminar para garantir que o intervalo inicial abrace a raiz estudada. Caso o intervalo 
inicial seja correto, os métodos intervalares sempre irão convergir. 
Os métodos abertos são baseados em fórmulas que exigem apenas um único valor 
inicial de x, ou dois valores iniciais, que não precisam necessariamente delimitar a raiz. 
Sendo assim, eles algumas vezes divergem (não convergem), se afastando da raiz 
verdadeira à medida que os cálculos prosseguem, não tendo a garantia de convergência. 
Entretanto, nos casos de convergência os métodos abertos apresentam velocidade 
muito maior que os métodos intervalares (CHAPRA, CANALE, 2013). 
No tópico anterior foi apresentado o Método da Bissecção, que é o método mais 
básico e simples de encontrar raiz de equações, classificando-se como um método 
intervalar. 
Nesse tópico é apresentado um método intervalar mais avançado e com melhor 
desempenho, o Método da Falta Posição, e em seguida diversos métodos abertos, o 
Método da Iteração de Ponto Fixo, o Método da Secante e o Método Newton-Raphson, 
sendo o último o mais utilizado em situações práticas, na engenharia, economia, química 
e etc. 
 
 
 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO 
 
Apesar do Método da Bissecção funcionar, sua abordagem é ineficiente, sendo 
muito lenta. Visando melhorar o Método da Bissecção, o Método da Falsa Posição foi 
desenvolvido a partir de percepção gráfica. 
No Método da Bissecção, o intervalo é dividido em duas metades iguais. Somente 
o sinal é considerado, não levando em consideração o módulo da função nos extremos do 
intervalo. Normalmente, é possível afirmar que a raiz se encontra mais próxima do limite 
intervalar de menor módulo, como ilustrado na Figura 1. 
 
Figura 1. Descrição gráfica do Método da Falsa Posição. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
Baseando-se na ilustração apresentada na Figura 1 foi modulado a fórmula 
principal do Método da Falsa Posição, também chamada muitas vezes de Método da 
Interpolação Linear. 
Utilizando triângulos semelhantes, a interseção com o eixo x pode ser obtida 
através da Equação 1 (CHAPRA, CANALE, 2013). 
 
𝑓(𝑥𝑙)
𝑥𝑟 − 𝑥𝑙
=
𝑓(𝑥𝑢)
𝑥𝑟 − 𝑥𝑢
 
 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −
𝑓(𝑥𝑢)(𝑥𝑙 − 𝑥𝑢)
𝑓(𝑥𝑙) − 𝑓(𝑥𝑢)
 (1) 
 
Sendo: 
𝑥𝑙 Limite inferior do intervalo (x lower); 
𝑥𝑢 Limite superior do intervalo (x upper); 
𝑥𝑟 Novo limite a ser calculado; 
 
A Equação 1 é chamada de fórmula da falsa posição. O valor de 𝑥𝑟 calculado 
substitui qualquer um dos limites intervalares, substituindo o que fornece o valor de 
função de mesmo sinal que 𝑓(𝑥𝑟). 
O gráfico apresentado na Figura 2 ilustra a eficiência relativa dos métodos da 
bissecção e falsa posição. É possível observar que o erro diminui muito mais rapidamente 
no método da falsa posição devido ao seu método mais eficiente de localização da raiz. 
Essa diferença vem da análise do módulo da função. 
 
Figura 2. Comparação gráfica de desempenho entre dois métodos intervalares. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
ALGORITMO DO MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO 
 
O seguinte algoritmo descreve os passos realizados no método numérico da Falsa 
Posição. 
 
1. Escolher o primeiro intervalo [a,b] em que existe uma solução da raiz (𝑓(𝑎) ∗
𝑓(𝑏) < 0). Pode-se utilizar um gráfico de f(x) para o auxílio da obtenção de um 
intervalo inicial otimizado. Defina i=0. Defina o critério de parada através de um 
erro aceitável ε. 
2. Obtém-se uma nova estimativa de intervalo através da Equação 1. 
 
𝑥𝑖 = 𝑏 −
𝑓(𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏)
 
 
3. Determine se a solução da função estudada se encontra entre para [𝑎, 𝑥𝑖] ou 
[𝑥𝑖 , 𝑏]. 
4. Substitua a ou b por 𝑥𝑖 , incremente o valor de i e atualize o valor do novo intervalo 
[𝑎, 𝑏]𝑖. 
5. Repita os passos 2 a 4 até que o tamanho do intervalo seja menor que ε, ou seja, 
repita até que a inequação de erro seja válida. Lembrando que 𝑥𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 pode ser 
o ponto médio do intervalo obtido. 
 
|𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1|
𝑥𝑖
< ε 
 
MÉTODO DA ITERAÇÃO DE PONTO FIXO 
 
A partir de agora iremos estudas os métodos abertos. O método aberto mais 
simples e de aplicação geral é o Método da Iteração de Ponto Fixo, também chamado de 
Método da Iteração Linear. 
O método visa resolver o cálculo de uma raiz da equação: 
 
𝑓(𝑥) = 0 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
Sendo f(x) uma função contínua em um intervalo que contenha a raiz procurada, 
cria-se como objetivo reescrever a equação analisada, isolando a variável x, conforme 
apresentado na Equação 2. 
 
𝑥 = 𝑔(𝑥) (2) 
 
Sendo assim, utiliza-se a equação para calcular o novo valor de x a partir da 
Equação 2, conforme explicitado na Equação 3. 
 
𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥𝑖) (3) 
 
Características e desempenho do método: O método não pode ser aplicado 
adequadamente para qualquer equação. Equações de múltiplas raízes e que não tem 
maneira adequada de isolar a variável x não apresentam desempenho adequado. 
O método apresenta erro relativo porcentual proporcional ao erro da iteração 
anterior. Por apresentar essa propriedade, chamada de convergência linear, vem o nome 
de Iteração Linear. O método apresenta possibilidade de convergência, não tendo 
convergência garantida. 
 
ALGORITMO DO MÉTODO DA ITERAÇÃO DE PONTO FIXO 
 
O seguinte algoritmo descreve os passos realizados no método numérico da Iteração 
de Ponto Fixo. 
 
1. Reescrever a função 𝑓(𝑥) = 0 de maneira a isolar x, deixando no formato 𝑥 =
𝑔(𝑥). Defina a primeira estimativa de x. Defina i=0. Defina o critério de parada 
através de um erro aceitável ε. 
2. Obtém-se uma nova estimativa de x através da Equação 3. 
 
𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥𝑖) 
 
3. Repita o passo 2 até que a diferença entre as iterações seja menor que ε, ou seja, 
repita até que a inequação de erro seja válida. 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
|𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1|
𝑥𝑖
< ε 
 
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
 
A fórmula de Newton-Raphson é provavelmente a fórmula mais amplamente 
usada para localizar uma raiz. Sendo xi a aproximação da raiz, pode-se estender uma reta 
tangente a partir do ponto [𝑥𝑖, 𝑓(𝑥𝑖)]. O ponto onde essa tangente cruza o eixo x 
usualmente representa uma estimativa melhor da raiz (CHAPRA, CANALE, 2013). 
A obtenção da fórmula de Newton-Raphson vem da interpretação geométrica da 
Figura 3 e é apresentada de maneira organizada na Equação 4. 
 
𝑓′(𝑥𝑖) =
𝑓(𝑥𝑖) − 0
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1
 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
 (4) 
 
Características e desempenho do método: O método apresenta rápida 
convergência. A dedução pelo método de Taylor, não apresentada nesse tópico, 
demonstra que o erro é aproximadamente proporcional ao quadrado do erro anterior,sendo assim, pode-se considerar que o número de algoritmos significativos de acurácia 
dobra a cada iteração (CHAPRA, CANALE, 2013). 
Embora o método seja muito eficiente, há situações em que ele não apresenta um 
desempenho adequado. Alguns casos são: raízes múltiplas, pontos de inflexão, oscilação 
próxima de pontos de máximos e mínimos (devido a inclinação próxima a zero 𝑓′(𝑥𝑖) =
0). 
Sua convergência depende da natureza da função e da precisão da aproximação 
inicial. Para algumas funções, nenhuma aproximação funcionará, para outras, 2 iterações 
são o suficiente para resolver o problema, onde outros métodos poderiam precisar de 
dezenas. O problema do método está na necessidade de calcular constantemente derivadas 
da função, o que pode ser caro, computacionalmente. 
 
 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
Figura 3. Descrição gráfica do Método de Newton-Raphson. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
ALGORITMO DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
 
O seguinte algoritmo descreve os passos realizados no método numérico de Newton-
Raphson. 
 
1. Obter a derivada da função 𝑓(𝑥) analisada. Defina a primeira estimativa de x. 
Defina i=0. Defina o critério de parada através de um erro aceitável ε. 
2. Obtém-se uma nova estimativa de x através da Equação 4. 
 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
 
 
3. Repita o passo 2 até que a diferença entre as iterações seja menor que ε, ou seja, 
repita até que a inequação de erro seja válida. 
|𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1|
𝑥𝑖
< ε 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
MÉTODO DA SECANTE 
 
O Método da Secante pode ser considerado como uma modificação do Método de 
Newton-Raphson. Esse método visa substituir a derivada 𝑓′(𝑥𝑖),cuja obtenção e cálculo 
numérico é uma séria desvantagem. O método substitui a derivada 𝑓′(𝑥𝑖) pelo quociente 
das diferenças, apresentado na Equação 5. 
O Método da Secante tem convergência inferior ao de Newton-Raphson, porém 
serve como uma boa alternativa por necessitar somente do cálculo da função. Além disso, 
utiliza somente um cálculo de função por iteração, pois o cálculo da função no ponto 
anterior foi calculado no passo anterior (Franco, 2006). 
 
𝑓′(𝑥𝑖) =
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
 (5) 
 
Sendo assim, temos a equação do Método da Secante, apresentada na Equação 6. 
A Figura 4 ilustra o Método da Secante. 
 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
 
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
 
 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)𝑓(𝑥𝑖)
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)
 
 
𝑥𝑖+1 =
𝑥𝑖−1 ∗ 𝑓(𝑥𝑖) − 𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)
 (6) 
 
O Método da Secante se assemelha ao Método da Falsa Posição. Ambos utilizam 
duas estimativas e calculam uma aproximação da inclinação da função que é utilizada 
para projetar para o eixo x uma nova estimativa da raiz. 
Uma diferença crítica é que no método da secante só há um valor de x, que é 
sempre substituído e atualizado. No Método da Falsa Posição há sempre dois valores de 
intervalo, onde um muda e outro continua o mesmo. No Método da Secante o valor de x 
é único e sempre modificado, podendo não convergir. 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
Figura 4. Descrição gráfica do Método da Secante. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
Algoritmo do Método da Secante 
 
O seguinte algoritmo descreve os passos realizados no método numérico da Secante. 
 
1. Defina os dois valores iniciais de x. Defina i=0. Defina o critério de parada através 
de um erro aceitável ε. 
2. Obtém-se uma nova estimativa de x através da Equação 6. 
 
𝑥𝑖+1 =
𝑥𝑖−1 ∗ 𝑓(𝑥𝑖) − 𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)
 
 
1. Repita o passo 2 até que a diferença entre as iterações seja menor que ε, ou seja, 
repita até que a inequação de erro seja válida. 
 
|𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1|
𝑥𝑖
< ε 
 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
EXEMPLO DE RESOLUÇÃO POR DIFERENTES MÉTODOS 
 
Nessa sessão iremos encontrar uma mesma raiz utilizando dois métodos abertos: 
o Método da Iteração de Ponto Fixo e o Método de Newton-Raphson. A função a ser 
analisada é informada na Equação 7. Para ambas a resoluções iremos utilizar a estimativa 
inicial como 1 e ε = 0,01. Como a função contém um seno, iremos considerar os valores 
de dentro do seno como radianos. 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 4 (7) 
 
RESOLUÇÃO PELO MÉTODO DA ITERAÇÃO DE PONTO FIXO 
 
Para este método, iniciamos reescrevendo a equação. Essa equação pode ser 
reescrita com facilidade, obtendo a equação apresentada na Equação 8. 
 
−3𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 4 
 
𝑥 =
−𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4
3
 (8) 
 
Iniciando com o valor 𝑥𝑖=0 = 1: 
 
Iteração i=1 
 
𝑔(𝑥) =
−𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4
3
 
 
𝑥𝑖 = 𝑔(𝑥0) 
𝑥1 =
−𝑠𝑒𝑛(1) + 4
3
 
𝑥1 =
−0.8415 + 4
3
= 1,0528 
 
Calculando o erro: 
 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
|1,0528 − 1|
1,0528
= 0,0501 > ε 
 
Como o erro é maior que a tolerância, o processo iterativo prossegue. 
 
Iteração i=2 
 
𝑥2 = 𝑔(𝑥1) 
𝑥2 =
−𝑠𝑒𝑛(1,0528) + 4
3
 
𝑥2 =
−0,8688 + 4
3
= 1,0437 
 
Calculando o erro: 
|1,0437 − 1,0528|
1,0437
= 0,0087 < ε 
 
Como o erro foi menor que a tolerância, podemos encerrar o processo iterativo e 
assumir 𝑥 = 1,0437. 
 
RESOLUÇÃO PELO MÉTODO DE NEWTON RAPHSON 
 
Inicialmente, obtemos a derivada da função: 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 4 
𝑓′(𝑥) = 3 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
 
Em seguida, montamos a equação de Newton-Raphson: 
 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′(𝑥𝑖)
 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 4
3 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
 
 
 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
Iniciando com o valor 𝑥𝑖=0 = 1: 
 
Iteração i=1 
 
𝑥1 = 𝑥0 −
3𝑥0 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥0) − 4
3 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥0)
 
𝑥1 = 1 −
3 ∗ 1 + 0,8415 − 4
3 + 0,5403
 
𝑥1 = 1 −
−0,1585
3,5403
 
𝑥1 = 1,0448 
 
Calculando o erro: 
|1,0448 − 1|
1,0448
= 0,04288 > ε 
 
Como o erro é maior que a tolerância, o processo iterativo prossegue. 
 
Iteração i=2 
 
𝑥2 = 𝑥1 −
3𝑥1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥1) − 4
3 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥1)
 
𝑥2 = 1,0448 −
3 ∗ (1,0448) + 𝑠𝑒𝑛(1,0448) − 4
3 + 𝑐𝑜𝑠(1,0448)
 
𝑥2 = 1,0448 −
3,1344 + 0,8648 − 4
3 + 0,5021
 
𝑥2 = 1,0448 −
3,1344 + 0,8648 − 4
3 + 0,5021
= 1,0450 
 
Calculando o erro: 
|1,0450 − 1,0448|
1,0450
= 0,0002 < ε 
 
Como o erro foi menor que a tolerância, podemos encerrar o processo iterativo e 
assumir 𝑥 = 1,0450. 
 Zero de funções lineares e não lineares 
Apesar dos dois métodos obterem os resultados em duas iterações, vemos que o 
erro do Método de Newton-Raphson foi menor. 
 
 
RESUMO 
 
Nesse capítulo foi realizado a apresentação dos métodos numéricos amplamente 
utilizados na literatura. 
Métodos intervalares e abertos foram apresentados, apresentando seus algoritmos 
e com exemplo de resolução. 
 
 
 
 
 
 
 Zero de funções lineares e não lineares 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. McGraw-Hill, 
2008. 
 
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. Pearson, 2006. 
 
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; E SILVA, L. H. M. Cálculo numérico. 2° edição 
São Paulo. Pearson, 2014.