GEOTECNIA EXPERIMENTAL - AULA 1

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Disciplina:
Geotecnia Experimental (CIV - 2553)
Prof. Vitor Nascimento Aguiar
aguiar@puc-rio.br
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental
Curso de Pós-graduação em Engenharia Civil
Aula 1:
Análise de tensões: revisão de alguns conceitos
1
1- Forças
As forças internas são transmitidas no interior de um corpo sólido por
interação entre suas moléculas.
As forças internas são decorrentes da ação do meio exterior sobre o corpo
(forças externas), e podem ser de dois tipos: forças de volume (ou forças de
massa) e forças de superfície.
Forças de volume (ou forças de massa):
2
São exercidas por ação de um campo (gravitacional, magnético, etc..) e agem
em todo o volume (ou massa) do corpo. São especificadas em termos de
força por unidade de volume.
Forças de superfície:
São exercidas diretamente através do contato de um corpo sobre o outro e
agem ao longo da superfície de contato. São especificadas em termos de
força por unidade de área.
2- Tensões em um meio contínuo
3
Seja um corpo em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças externas. 
Seccionando-o ao longo da seção S e tomando o equilíbrio de forças em qualquer
uma das partes, tem-se que as forças internas f correspondem à ação de uma
parte do corpo sobre a outra.
As forças internas são forças de superfície.
2.1- Conceito de tensão
I II
S
I
S
II
S
f
f
2- Tensões em um meio contínuo
Para quantificar as forças internas em um ponto M pertencente ao plano S, tome-se 
em S um elemento de área ∆A contendo o ponto M.
Define-se o vetor tensão no ponto M associado ao 
plano S, cuja normal é o vetor , como:
4
O vetor tensão em um ponto está sempre associado a um plano.
I II
Plano s ∆A I
∆A
∆A N
~
~
ρN
~
dF
N
~
~
∆F
�̰
ρ̰� = lim
	
→�
ΔF̰
ΔA
2- Tensões em um meio contínuo
5
Fixando-se um referencial cartesiano x, y, z, o vetor , que atua em uma faceta 
∆A cuja normal é o vetor e que contêm o ponto M, pode ser divido nas 
componentes: , , ρ� ρ� ρ�
2.2- Decomposição do vetor tensão
ρ̰�
n̰
M
N
z
x y
ρz
ρx
ρy
N
~
~
ρ
~
6
Alternativamente, o vetor pode ser decomposto segundo as direções normal 
e paralela à faceta, recebendo as seguintes denominações: 
2- Tensões em um meio contínuo
σN : componente normal do vetor tensão ou tensão normal
τN : componente tangencial (ou cisalhante) do vetor tensão ou tensão cisalhante
ρ̰�
σN
N
~
~
ρΝ
τN
7
2- Tensões em um meio contínuo
O estado de tensões em um ponto está definido quando se conhecem os vetores
tensão que atuam nas facetas de um cubo infinitesimal que contêm o ponto.
Como por exemplo, as facetas cujos vetores normais são os eixos x, y, z do
referencial cartesiano adotado.
vetores unitários nas direções x, y, z, respectivamente.ḭ , j̰ , k̰ :
8
2- Tensões em um meio contínuo
: vetor tensão atuante na faceta cuja normal é o vetor unitário
: vetor tensão atuante na faceta cuja normal é o vetor unitário
: vetor tensão atuante na faceta cuja normal é o vetor unitário
ρ̰� ḭ
ρ̰� j̰
ρ̰� k̰
ρ̰� = σ� ḭ + τ�� j̰ + τ�� k̰
ρ̰� = τ�� ḭ + σ� j̰ + τ�� k̰
ρ̰� = τ�� ḭ + τ�� j̰ + σ� k̰
2- Tensões em um meio contínuo
Notação: faceta x faceta y faceta z 
direção x σx τyx τzx 
direção y τxy σy τzy 
direção z τxz τyz σz 
 
A faceta leva o nome da normal.
σx : tensão normal na faceta x
τzy : tensão cisalhante na faceta z com direção y
Convenção
de sinais
Tensões normais: Em estruturas: positivas quando de tração.
Em solos: positivas quando de compressão
Tensões cisalhantes: Se estiver atuando numa faceta cuja normal
exterior tem o mesmo sentido do eixo cartesiano, então é positiva se
tiver o mesmo sentido do eixo cartesiano ao qual é paralela.
9
9
2- Tensões em um meio contínuo
2.3 – Equações diferenciais do equilíbrio
No cubo infinitesimal atua uma força de massa (por unidade de volume) cujas
componentes são designadas por Fx, Fy e Fz.
F̰
F = F� ḭ + F� j̰ + F� k̰
1111
2- Tensões em um meio contínuo
σ� +
���
��
dx dy dz − σ� dy dz + τ�� +
�$%�
��
dy dx dz − τ�� dx dz 
Fazendo o equilíbrio de forças na direção x:
+ τ�� +
�$&�
��
dz dx dy − τ�� dx dy + F� dx dy dz = 0 
Portanto:
∂σ�
∂x
dx dy dz +
∂τ��
∂y
dy dx dz +
∂τ��
∂z
dz dx dy + F� dx dy dz = 0 
Finalmente:
∂σ�
∂x
+
∂τ��
∂y
+
∂τ��
∂z
+ F� = 0 Equação diferencial do equilíbrio de forças 
na direção x
1212
2- Tensões em um meio contínuo
Fazendo de forma análoga o equilíbrio de forças na direção y:
∂τ��
∂x
+
∂σ�
∂y
+
∂τ��
∂z
+ F� = 0 
Equação diferencial do equilíbrio de forças 
na direção y
Fazendo de forma análoga o equilíbrio de forças na direção z:
∂τ��
∂x
+
∂τ��
∂y
+
∂σ�
∂z
+ F� = 0 
Equação diferencial do equilíbrio de forças 
na direção z
2- Tensões em um meio contínuo
Fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo a x e passando
pelo centro do cubo:
τ�� dx dz 
)
*
 dy + τ�� +
�$%&
��
dy dx dz 
)
*
 dy
- τ�� dx dy 
)
*
 dz − τ�� +
�$&%
��
dz dx dy 
)
*
 dz = 0
Eliminando os termos de ordem superior:
τ�� dx dy dz - τ�� dx dy dz = 0
Finalmente:
τ�� = τ��
1313
1414
2- Tensões em um meio contínuo
Analogamente, fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo
ao eixo y e passando pelo centro do cubo:
τ�� = τ��
Analogamente, fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo
ao eixo z e passando pelo centro do cubo:
τ�� = τ��
Conclusões extraídas das equações de equilíbrio de forças e de momentos:
• As tensões cisalhantes atuantes em planos ortogonais que convergem para
(ou divergem da) mesma aresta são iguais.
• As equações de equilíbrio não são suficientes para resolver o problema. Trata-
se, portanto, de um problema estaticamente indeterminado.
• Temos 6 incógnitas: σ� , σ�, σ�, τ��, τ��, τ��
• 3 equações diferenciais de equilíbrio de forças (deduzidas anteriormente)
Balanço do problema até agora:
1515
2- Tensões em um meio contínuo
No desenvolvimento do problema ainda irão aparecer:
• 6 componentes de deformação específica do elemento:
ε� , ε�, ε�
• 3 componentes do vetor deslocamento: u, v, w
O problema torna-se determinado com a introdução de:
• 6 equações de compatibilidade de deformações.
• 6 equações de constitutivas (Lei de Hook Generalizada).
Ver “Introdução à Teoria da Elasticidade”, S.F. Vilaça e L.F. Taborda Garcia, ed.
COPPE/UFRJ, capítulos 1, 2 e 3.
γ��, γ��, γ��3 lineares : 3 angulares (distorção) :
relacionam as componentes de deformação específica com as componentes
de deslocamento
Ou seja, mais 9 incógnitas, totalizando 15 incógnitas.
relacionam as deformações específicas com as componentes de tensão
através de E, G e ν.
2- Tensões em um meio contínuo
1616
Uma vez conhecidas as tensões em três facetas ortogonais entre si, é possível
determinar o vetor tensão numa faceta qualquer cujo vetor unitário é
2.4 – Tensão em um plano qualquer
ρ̰� n̰
1717
2- Tensões em um meio contínuo
O vetor unitário é escrito a partir dos seus cosenos diretores:�
Sendo , , , os vetores unitários nas direções x, y, z, respectivamente. ḭ j̰ k̰
Para determinar o vetor tensão que atua na faceta ABC é preciso escrever as 
equações de equilíbrio de forças nas direções x, y e z. 
n̰ = cos(α) ḭ + cos(β) j̰ + cos(γ) k̰
ρ̰�
1818
2- Tensões em um meio contínuo
Fazendo o equilíbrio do tetraedro OABC:
Primeiramente decompõe-se o vetor em suas componentes , , ρ�� ρ�� ρ��
Fazendo o equilíbrio de forças na direção x:
ρ�� S
89 − σ� S:89 − τ�� S:
9 − τ�� S:
8 = 0
ρ�� S
89 = σ� S:89 + τ�� S:
9 + τ�� S:
8
ρ�� δA = σ� δA cos α + τ�� δA cos β + τ�� δA cos γ
ρ�� = σ� cos α + τ�� cos β + τ�� cos γ
Fazendo o equilíbrio de forças na direção y:
ρ�� = τ�� cos α + σ� cos β + τ�� cos γ
Fazendo o equilíbrio de forças na direção z:
ρ�� = τ�� cos α + τ�� cos β + σ� cos γ
<̰=
ρ�� = σ� cos α + τ�� cos β + τ�� cos γ
ρ�� =τ�� cos α + σ� cos β + τ�� cos γ
ρ�� = τ�� cos α + τ�� cos β + σ�cos γ
ρ��
ρ��
ρ��
=
 σ� τ��
τ��
τ��
 σ�
τ��
 
τ��
τ��
 σ�
cos α
cos β
cos γ 
1919
2- Tensões em um meio contínuo
Vetor Vetor
Sob a forma matricial: 
Tensor das tensões 
escrito em relação ao 
sistema cartesiano x, y, z
ρ̰�
n̰M̰���
ρ̰� = M̰��� n̰
2020
2- Tensões em um meio contínuo
Para determinar o vetor tensão numa faceta cujo vetor unitário seja basta 
multiplicar a matriz de tensões pelo vetor unitário normal . 
Portanto: 
Para obter as tensões normal e cisalhante na 
faceta ABC, basta fazer:
(produto escalar)
τ� = ρ̰�
*
− σ�
?
ρ̰� n̰
M̰��� n̰
σ� = ρ̰� ∘ n̰
2- Tensões em um meio contínuo
• Demonstra-se que existem três facetas ortogonais entre si nas quais o vetor
tensão é normal a direção das facetas, ou seja, não existem componentes
cisalhantes.
2121
• Essas facetas são chamadas de planos principais, as direções normais a estas
facetas são chamadas de direções principais, e as tensões que nelas atuam
são chamadas de tensões principais.
• A matriz de tensões escrita em relação ao sistema das direções principais é:
M̰)*A = 
 σ) 0
0
0
 σ*
0
 
0
0
 σA
2.5 – Tensões principais
σ) Tensão principal maior
σ* Tensão principal intermediária
σA Tensão principal menor
onde: σ1, σ2 e σ2 são as tensões
principais com: σ) ≥ σ* ≥ σA 
2222
2- Tensões em um meio contínuo
Dado um estado de tensões referido a um sistema x, y, z, procede-se da seguinte
forma para determinar as tensões e direções principais:
Uma vez que, em uma direção principal, o vetor tensão é normal ao 
plano, então é um múltiplo escalar do vetor normal ao plano principal . 
, onde σp é o valor do módulo do vetor tensão 
e que vem a ser o valor da tensão principal 
associado àquele plano principal.
Para determinar as tensões principais e
direções principais, escreve-se:
Onde: 
matriz identidade 3x3
matriz nula
<̰=
<̰= � ̰
<̰=<̰= = C̰DEF �̰ = GH �̰
C̰DEF − GH Ḭ �̰ = 0̰
Ḭ
0̰
C̰DEF�̰ − GH�̰ = 0̰
2323
2- Tensões em um meio contínuo
 GD JED
JDE
JDF
 GE
JEF
 
JFD
JFE
 GF
− GH
1 0
0
0
1
0
 
0
0
1
L
M
�
= 
0
0
0
 (GD−GH) JED
JDE
JDF
 (GE−GH)
JEF
 
JFD
JFE
 (GF−GH)
L
M
�
= 
0
0
0
Onde: 
l, m, n são os cosenos diretores do vetor normal 
L = cos (N)
M = cos (O)
� = cos (P)
Portanto:
Pela regra de Cramer, o sistema acima só tem solução não trivial se o determinante da 
matriz dos coeficientes for nulo. Trata-se de um problema de autovalores-autovetores.
C̰DEF − GH Ḭ �̰ = 0̰
�̰
repetindo :
2424
2- Tensões em um meio contínuo
Desenvolvendo o determinante da matriz dos coeficientes, tem-se que:
Q GH = GH
A − I) GH
* + I*GH − IA = 0 Q GH
Autofunção ou função
característica
I) = GD + GE + GF
I* = RST
GD JDE
JDE GE
+ RST
GD JDF
JDF GF
+RST
GE JEF
JEF GF
I* = GDGE + GDGF + GEGF − JDE
* − JDF
* − JEF
*
Onde:
IA = RST
GD JED JFD
JDE GE JFE
JDF JEF GF
IA = GD GE GF − GDJEF
* −GEJDF
* − GFJDE
* +2JDEJDFJEF
I) , I* , IA Invariantes das
tensões
Assumem os mesmos valores qualquer que
seja o sistema de eixos ortogonais adotado
como referência
Primeiro invariante de tensões
Segundo invariante de 
tensões
Terceiro invariante de tensões
2525
2- Tensões em um meio contínuo
• As três raízes da equação característica são reais e correspondem às tensões 
principais σ1, σ2, σ3. São os autovalores da equação característica.
• As três direções principais são os autovetores associados aos autovalores, e
podem ser determinadas substituindo-se no sistema σp por σ1, σ2, σ3 para a
determinação dos cosenos diretores (l = cos(α), m = cos(β), n = cos(γ)) das
direções principais associadas às tensões principais maior, intermediária e menor,
respectivamente. Lembrando que:
Invariantes de tensão em relação ao sistema de eixos ortogonais correspondentes 
às direções principais: 
I) = G) + G* + GA
I* = G)G* + G)GA + G*GA
IA = G) G* GA
Primeiro invariante de tensões
Segundo invariante de tensões
Terceiro invariante de tensões
L* + M* + �*= 1
2626
2- Tensões em um meio contínuo
2.8 – Representação gráfica de um estado tensional – Círculos de Mohr
De posse de σ1, σ2 e σ3, são construídos os círculos de Mohr abaixo.
Demonstra-se que todas as facetas, onde atuam σn e τn, correspondem a pontos P 
localizados na região delimitada pelos três círculos (lúnula de tensões).
O1: ponto médio entre σ2 e σ3
O2: ponto médio entre σ1 e σ3
Na faceta genérica representada pelo ponto P e cuja normal tem cosenos diretores 
em relação aos eixos principais: , , ,l̅ = cos (n, 1) mW = cos (n, 2) nX = cos (n, 3)
atuam um vetor tensão ρn de componentes σn (normal) e τn (tangencial).
O3: ponto médio entre σ1 e σ2
2727
2- Tensões em um meio contínuo
As circunferências que delimitam a lúnula de tensões, correspondem 
respectivamente a: , , . l̅ = 0 mW = 0 nX = 0
Uma circunferência de centro em O1 e raio r sendo:
representa todas as facetas que têm um certo . l̅ = cte
Analogamente para aquelas de centro em O2 correspondem a e para 
aquelas de centro em O3 correspondem a .
mW = cte
nX = cte
σ* − σA
2
\ r \ σ) −
σ* + σA
2
2828
2- Tensões em um meio contínuo
• Após a construção das circunferências que representam o estado tensional, marca-se o
ângulo (a partir da vertical σ1); ficam definidos sobre as circunferências de centros em
O2 e O3 dois pontos pertencentes à circunferência (dado do problema).L ̅ = cos NX
Da mesma forma, marcam-se o ângulo ou (apenas um é suficiente), obtendo
na interseção das circunferências e ou o ponto P, com suas
coordenadas σn e τn (solução do problema).
NX
P̅
L ̅ = ^TS MW �X = ^TS
O̅
2- Tensões em um meio contínuo
2929
2.7 – Tensões octaédricas
• O vetor normal ao plano octaédrico faz o mesmo ângulo com as três
direções principais.
Seus cosenos diretores são iguais a:
cos(�, 1) = cos(�, 2) = cos(�, 3)
Mas: l X* + m *+ n W * = 1
Então: L W = mW = nX =
3
?
3
l̅ = mW = nX
 �̰ : vetor unitário normal ao plano
octaédrico
l̅ mW nX
2- Tensões em um meio contínuo
3030
Sabe-se que:
Onde: e
3
?
3⁄
3
?
3⁄
3
?
3⁄
Então:
 σ) 0
0
0
 σ*
0
 
0
0
 σA
3
?
3⁄
3
?
3⁄
3
?
3⁄
Sabe-se que: (Produto escalar)
σ`ab = σ) 3
?
3⁄ , σ* 3
?
3⁄ , σA 3
?
3⁄ o 3
?
3⁄ , 3
?
3⁄ , 3
?
3⁄
σ`ab =
1
3
 σ) +
1
3
 σ* +
1
3
 σA
 σ) 3
?
3⁄
 σ* 3
?
3⁄
 σA 3
?
3⁄
σ`ab =
1
3
σ) + σ* + σA
ρ̰� = M̰)*A n̰
M̰)*A =
σ) 0 0
0 σ* 0
0 0 σA
 n̰ = 
ρ̰� c ρ̰� c
Vetor unitário
normal à faceta
octaédrica
Vetor tensão que
atua na faceta
octaédrica
σ`ab = ρ̰� ∘ n̰
Média das
tensões
principais
2- Tensões em um meio contínuo
3131
Sabe-se que:
Mas: ρ�
* =
1
3
σ)
* + σ*
* + σA
*
σ`ab
* = 
1
9
σ)
* + σ*
* + σA
* + 2 σ) σ* + 2 σ) σA + 2 σ* σA
Então:
τ`ab
* =
3
9
σ)
* + σ*
* + σA
* −
1
9
σ)
* + σ*
* + σA
* + 2 σ) σ* + 2 σ) σA + 2 σ* σA
τ`ab
* =
1
9
2σ)
* + 2σ*
* + 2σA
* − 2 σ) σ* − 2 σ) σA − 2 σ* σA
τ`ab
* =
1
9
σ)
* − 2 σ) σ* + σ*
* + σ)
* − 2 σ) σA + σA
* + σ*
* − 2 σ* σA + σA
*
τ`ab
* =
1
9
σ) − σ*
* + σ) − σA
* + σ* − σA
*
τ`ab
* = ρ�
* − σ`ab
*
2- Tensões em um meio contínuo
Gefg =
1
3
G) + G* + G*
Portanto:
τefg =
1
3
G) − G*
* + G) − GA
* + G* − GA
* ) *⁄
Finalmente:
3232
τefg =
1
3
G) − G*
* + G) − GA
* + G* − GA
* ) *⁄