Mercado de Opções: Conceitos e Estratégias

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Mercado de Opções
Prof. Luiggi Senna
Objetivos 
O objetivo principal do curso é permitir ao aluno se familiarizar com o tema Opções,
habilitando o mesmo para:
• Conhecer os diferentes produtos financeiros
• Entender como funciona o mercado
• Compreender os riscos envolvidos
• Saber precificar os produtos financeiros
• Identificar oportunidades para a utilização dos produtos financeiros
Ementa
Opções é tema fundamental para o aluno de Finanças. Além de 
ser um produto financeiro amplamente negociado no mercado, é 
também utilizado em diversas estratégias financeiras tanto no 
mercado financeiro como empresarial, para hedge e arbitragem. 
Além disso, os conceitos por traz do tema permitem ao aluno 
observar oportunidades em qualquer segmento de mercado, 
tanto na formulação de contratos de fornecimento de serviços, 
como no investimento em ativos reais.
Metodologia e Avaliação
• Trabalho 1 = Nota de 0 a 10 = (Peso 30% na média final)
• Trabalho 2 = Nota de 0 a 10 = (Peso 60% na média final)
• Listas de exercícios = Média das Notas de 0 a 10 = (Peso 10% na
média final)
• Nota 1*(0,3) + Nota 2*(0,6) + Média das Notas das Listas*(0,1)
A participação individual de cada aluno poderá ser levada em
conta na composição final da nota.
Bibliografia
• HULL, J.C. Opções, futuros e outros derivativos. 9ª Edição. 
Bookman, 2016.
• HULL, J.C. Introdução aos mercados futuros e de opções. 2ª 
Edição. BM&F1996.
• BODIE, KANE, MARCUS. Investimentos. 10ª Edição. AMGH Editora, 
2015.
• ASSAF NETO, A. Mercado Financeiro. 15ª Edição. Atlas, 2021.
Características
• Uma opção dá ao titular o direito de fazer algo (mas não a 
obrigação)
• A compra de uma opção exige pagamento adiantado (prêmio)
• Nos contratos futuro e a termo as duas partes se comprometem 
com uma ação, porém não há custo inicial (exceto por 
requerimentos de margem e garantia)
Características
• Opção de compra (call) dá ao titular o direito de comprar o ativo 
subjacente
• Opção de venda (put) dá ao titular o direito de vender o ativo 
subjacente
• Estes contratos sempre tem uma data determinada para o 
exercício da opção (data de expiração, de exercício ou 
maturidade) e um preço específico (strike price)
Características
• Podem ser americanas ou europeias
• Americanas podem ser exercidas a qualquer momento até a data de 
exercício
• Europeias podem ser exercidas somente na data de vencimento
• As opções europeias são mais fáceis de analisar que as americanas e 
podemos deduzir algumas propriedades da última a partir da 
primeira
Características
• Todo contrato de opção tem dois lados.
• Um lado é o do investidor que adquiriu a opção.
• O outro lado é o do investidor que vendeu ou lançou a opção.
• O lançador de uma opção recebe caixa à vista, mas tem um passivo 
potencial no futuro.
• O lucro ou perda do lançador é o contrário daquele do comprador da 
opção.
Características
• Datas de expiração
• Preços de exercício
• Classe de opção: Compra ou Venda
• Série de opção: é composta de todas as opções de uma 
determinada classe com a mesma data de expiração e preço de 
exercício
Características
• As opções podem ser negociadas em bolsas ou no mercado de balcão.
• O mercado de balcão para opções tem ganhado importância desde o início da década de 1980 e agora é maior do que 
o mercado negociado em bolsas. Os principais participantes dos mercados de balcão são instituições financeiras, 
tesoureiros corporativos e gerentes de fundos. 
• As opções têm uma ampla variedade de ativos subjacentes. As opções de balcão sobre taxas de câmbio e taxas de 
juros são especialmente populares. 
• A principal desvantagem do mercado de balcão é que o lançador da opção pode inadimplir. Isso significa que o 
comprador está sujeito a algum risco de crédito. Na tentativa de superar essa desvantagem, os participantes do 
mercado (e os reguladores) muitas vezes exigem que as contrapartes ofereçam garantias.
• Os instrumentos negociados no mercado de balcão muitas vezes são estruturados por instituições financeiras para 
atender as necessidades exatas de seus clientes. Às vezes, isso envolve escolher datas de exercício, preços de 
exercício e tamanhos de contrato diferentes daqueles oferecidos por uma bolsa.
• Em outros casos, a estrutura da opção é diferente dos calls e puts tradicionais. A opção é então chamada de opção 
exótica.
Características
https://www.b3.com.br/pt_br/produtos
-e-servicos/negociacao/renda-
variavel/opcoes-sobre-acoes.htm
Características
file:///C:/Users/luigg/Downloads/Contrato%20O
pcoes%20de%20Compra%20sobre%20Acoes_
%20Units_%20ETFs%20e%20BDRs%20(4).pdf
Materiais adicionais:
https://www.b3.com.br/pt_br/solucoes/plataformas/puma-trading-
system/para-participantes-e-traders/regras-e-parametros-de-
negociacao/tuneis-de-negociacao/
https://www.b3.com.br/data/files/BD/47/D1/12/FE4666102F630666AC094EA8/Man
ual%20de%20Calculo%20dos%20Tuneis%20de%20Opcoes.pdf
https://www.b3.com.br/data/files/82/A3/50/AE/816D87107016CC87AC094EA8/Exer
cicio%20Automatico%20de%20Opcoes%20-
%20O%20que%20muda.pdf?csrt=10092658672849719821
Características – taxas B3
https://www.b3.com.br/pt_br/produtos-e-
servicos/tarifas/listados-a-vista-e-
derivativos/renda-variavel/tarifas-de-
acoes-e-fundos-de-investimento/opcoes-
de-acoes/
Características – Séries e meses de 
vencimento
Mês de 
vencimento
Data de 
Vencimento
Série da Opção de 
Compra (CALL)
Série da Opção de 
Venda (PUT)
Janeiro 20/01/2023 A M
Fevereiro 17/02/2023 B N
Março 17/03/2023 C O
Abril 20/04/2023 D P
Maio 19/05/2023 E Q
Junho 16/06/2023 F R
Julho 21/07/2023 G S
Agosto 18/08/2023 H T
Setembro 15/09/2023 I U
Outubro 20/10/2023 J V
Novembro 17/11/2023 K W
Dezembro 15/12/2023 L X
Características – posições em aberto
https://www.b3.com.br/pt_br/market-data-e-
indices/servicos-de-dados/market-
data/consultas/mercado-a-vista/opcoes/posicoes-
em-aberto/posicoes-em-aberto-
8AE490C877D179740177DEC0BF4C5BD2.htm?empres
aEmissora=AMBEV%20S.A.&data=28/02/2023&f=0
Características – posições em aberto
https://bvmf.bmfbovespa.com.br/cias-
listadas/Titulos-
Negociaveis/DetalheTitulosNegociaveis.as
px?or=res&cb=ABEV&tip=I&idioma=en-US
Características – margem mínima
file:///C:/Users/luigg/Downloads/CORE -
Fórmulas e Mapeamentos - V1.11.pdf
https://simulador.b3.com.br/
Características – exercício B3
https://ajuda.modalmais.com.br/hc/pt-
br/articles/1500008094002-Tudo-sobre-o-
exerc%C3%ADcio-de-
op%C3%A7%C3%B5es-de-
A%C3%A7%C3%B5es-Units-e-ETFs
Características – identificando opções
https://www.b3.com.br/pt_br/market-data-e-
indices/servicos-de-dados/market-
data/consultas/mercado-a-
vista/opcoes/posicoes-em-aberto/
Buscar VALE S.A. e identificar opções com 
maior volume negociado.
https://www.b3.com.br/pt_br/market-data-e-
indices/servicos-de-dados/market-
data/cotacoes/
Buscar gráfico de preço do ativo e derivativo.
Características – Ativos Subjacentes
• Opções sobre ações: São negociadas opções sobre milhares de ações diferentes. Um contrato dá ao 
titular o direito de comprar ou vender ações por um preço de exercício específico.
• Opções de moeda estrangeira: A maior parte da negociação de opções de moeda ocorre no mercado 
de balcão, mas uma parcela é negociada em bolsas. Um contrato é referente à compra ou venda de 
unidades de uma moeda estrangeira pela moeda local.
• Opções de índice: Muitas opções de índice diferentes são negociadas em todo o mundo, tanto no 
mercado de balcão quanto no de bolsas. Um contrato se refere à compra ou venda do índice ao preço 
de exercício especificado. A liquidação é sempre em caixa e não pela entrega do portfólio subjacente 
ao índice.
• Opções sobre futuros: Quando uma bolsa negocia um contrato futuro específico, ela muitas vezes 
negocia também opções americanas sobre esse contrato. A vida de uma opção sobre futuro 
normalmente termina em um breve período de tempo antes da expiração das negociações do contrato 
futuro subjacente. Quando uma opção de compra é exercida, o ganhodo titular é igual ao excedente 
do preço futuro em relação ao preço de exercício. Quando uma opção de venda é exercida, o ganho do 
titular é igual ao excedente do preço de exercício em relação ao preço futuro.
Características – Produtos não padrão
• Opções flexíveis (ou FLEX) sobre ações e índices de ações: Essas são opções nas quais os traders concordam em 
utilizar termos não padrões. Esses termos não padrões podem envolver um preço de exercício ou uma data de 
expiração diferente daqueles que costumam ser oferecidos pela bolsa.
• Opções sobre fundos de índices
• Opções binárias: São opções que oferecem um resultado fixo se o preço de exercício for alcançado. Por exemplo, uma 
opção de compra binária com preço de exercício de $50 oferece um resultado de $100 se o preço da ação subjacente 
exceder $50 na data de expiração; uma opção de venda binária com preço de exercício de $50 oferece um resultado 
de $100 se o preço da ação ficar abaixo de $50 na data de expiração. 
• Credit event binary Options (CEBOs): São opções que oferecem resultado fixo se uma determinada empresa sofre um 
“evento de crédito” até a data da maturidade, como falência, não pagamento de juros ou principal de uma dívida ou 
reestruturação de dívidas. Um CEBO é um tipo de credit default swap.
• Opções DOOM: São opções de venda muito fora do dinheiro. Como têm preços de exercício baixíssimos, elas custam 
muito pouco. Essas opções oferecem um resultado apenas se o preço do ativo subjacente despenca. As opções DOOM 
oferecem o mesmo tipo de proteção que os credit default swaps.
Funcionamento do mercado – Market 
Makers e Spread de Compra e Venda
• Um market maker para determinada opção é um indivíduo que, quando solicitado, cota 
um preço de oferta de compra e de venda para a opção.
• A oferta de compra é o preço pelo qual o market maker está preparado para comprar, 
enquanto a oferta de venda é o preço pelo qual o market maker está disposto a vender.
• A oferta de venda é sempre maior do que a de compra, e a diferença entre elas é chamada 
de spread entre compra e venda. A bolsa estabelece limites máximos para esse spread. 
• A existência do market maker garante que as ordens de compra e venda sempre poderão 
ser executadas a algum preço e sem qualquer atraso. Os market makers, por 
consequência, agregam liquidez ao mercado. 
• Os market makers em si obtêm seu lucro com o spread entre compra e venda.
Funcionamento do mercado – Ordens 
de Encerramento
• Um investidor que adquiriu opções pode encerrar a posição pela emissão de uma ordem de 
encerramento referente à venda do mesmo número de opções.
• Da mesma forma, um investidor que lançou opções pode encerrar sua posição emitindo uma ordem 
de encerramento referente à compra do mesmo número de opções. Nesse aspecto, os mercados de 
opções são semelhantes aos mercados futuros.
• Se, quando um contrato de opção é negociado, nenhum dos investidores está encerrando uma 
posição existente, as posições em aberto aumentam em um contrato.
• Se um investidor está encerrando uma posição e o outro não, as posições em aberto permanecem 
iguais.
• Se ambos os investidores estão encerrando posições existentes, as posições em aberto diminuem em 
um contrato.
Payoff
• Vamos ignorar o valor temporal do dinheiro. O lucro será o 
resultado final menos o custo inicial
Payoff
• Considere a situação de um investidor que adquire uma opção de 
compra europeia com preço de exercício de $100 (K) para comprar 
100 ações (n) de determinada empresa.
• Suponha que o preço atual da ação é $98 (S0), a data de expiração da 
opção é em 4 meses (T) e o preço de uma opção para comprar uma 
ação é $5 (c). O investimento inicial é $500.
• Como a opção é europeia, o investidor somente pode exercê-la na 
data de expiração.
Payoff
• Se o preço da ação nessa data for inferior a $100, o investidor 
claramente escolherá não exercer a opção. Não faz sentido 
comprar por $100 uma ação que tem valor de mercado inferior 
a $100.
• Nessas circunstâncias, o investidor perde todo o investimento 
inicial de $500.
Payoff
• Se o preço da ação fica acima de $100 na data da expiração, a opção 
é exercida.
• Suponha, por exemplo, que o preço da ação é $115. Ao exercer a 
opção, o investidor pode comprar 100 ações a $100 cada. 
• Se as ações são vendidas imediatamente, o investidor obtém ganho 
de $15 por ação, ou $1.500, se ignorarmos os custos de transação.
• Quando o custo inicial da opção é levado em conta, o lucro líquido 
para o investidor é de $1.000.
Payoff
• O gráfico mostra como o lucro ou prejuízo líquido do investidor em uma opção de 
compra de uma ação varia com o preço final da ação no exemplo
Payoff
• Qual seria o lucro/prejuízo da operação quando o preço da ação 
na data de exercício é igual a $120?
Payoff
• Qual seria o lucro/prejuízo da operação quando o preço da ação 
na data de exercício é igual a $120?
• Neste caso, ao exercer a opção ele pode comprar as ações por 
$100 e vendê-las no mercado a $120, obtendo um resultado de 
R$20 x 100 = $2.000.
• Considerando o custo das opções, o resultado final é de $1.500
Payoff
• Qual seria o lucro/prejuízo da operação quando o preço da ação 
na data de exercício é igual a $102?
Payoff
• Qual seria o lucro/prejuízo da operação quando o preço da ação na 
data de exercício é igual a $102?
• Neste caso, ao exercer a opção ele pode comprar as ações por $100 e 
vendê-las no mercado a $102, obtendo um resultado de R$2 x 100 = 
$200.
• Considerando o custo das opções, o resultado final é negativo em 
$300. Mesmo assim vale exercer as opções. Caso contrário o prejuízo 
seria de $500.
Payoff
• Enquanto o comprador de uma opção de compra espera que o preço da ação 
aumente, o comprador de uma opção de venda torce para que ele diminua.
• Considere um investidor que compra uma opção de venda europeia com preço de 
exercício de $70 (K) para vender 100 ações (n) de uma determinada empresa. 
• Suponha que o preço da ação é $65 (S0), a data de expiração da opção é em 3 
meses (T) e o preço de uma opção de venda de uma ação é $7 (p). O investimento 
inicial é de $700.
• Como a opção é europeia, ela será exercida apenas se o preço da ação ficar abaixo 
de $70 na data de expiração.
Payoff
• Suponha que o preço da ação é $55 nessa data. O investidor 
pode comprar 100 ações por $55 cada e, sob os termos da 
opção de venda, vender as mesmas ações por $70 e realizar um 
ganho de $15, ou $1.500. Mais uma vez, estamos ignorando os 
custos de transação.
• Quando o custo inicial de $700 da opção é levado em conta, o 
lucro líquido do investidor é igual a $800.
Payoff
• Não há garantia de que o investidor obterá um ganho. Se o 
preço final da ação fica acima de $70, a opção de venda expira 
com valor zero e o investidor perde $700
Payoff
• O gráfico mostra como o lucro ou prejuízo líquido do investidor em uma opção de 
venda de uma ação varia com o preço final da ação no exemplo
Payoff
• Qual seria o lucro/prejuízo da operação quando o preço da ação 
na data de exercício é igual a $50?
Payoff
• Qual seria o lucro/prejuízo da operação quando o preço da ação 
na data de exercício é igual a $50?
• O investidor pode comprar 100 ações por $50 cada e vendê-las 
por $70, realizando um ganho de $20, ou $2.000.
• Quando o custo inicial de $700 da opção é levado em conta, o 
lucro líquido do investidor é igual a $1.300.
Payoff
• Qual seria o lucro/prejuízo da operação quando o preço da ação 
na data de exercício é igual a 67?
Payoff
• Qual seria o lucro/prejuízo da operação quando o preço da ação 
na data de exercício é igual a 67?
• O investidor pode comprar 100 ações por $67 cada e vendê-las 
por $70, realizando um ganho de $3, ou $300.
• Quando o custo inicial de $700 da opção é levado em conta, o 
prejuízo do investidor é igual a $400.
Payoff
• Os exemplos anteriores demonstraram a posição do investidor 
que compra a opção, ou seja que está comprado na opção (não 
confundir com comprado/vendidono risco do ativo subjacente)
• Existem quatro tipos de posições em opções:
1. Uma posição comprada em uma opção de compra.
2. Uma posição comprada em uma opção de venda.
3. Uma posição vendida em uma opção de compra.
4. Uma posição vendida em uma opção de venda.
Payoff
• Os gráficos abaixo mostram a variação do lucro/prejuízo em função do 
preço final da ação para os lançadores das opções de compra e venda.
Opção de compra Opção de venda
Payoff
• Os gráficos abaixo mostram a variação do lucro/prejuízo em função do preço final 
da ação para os compradores e lançadores de uma opção de compra
Comprador
Lançador
Payoff
• Se K é o preço de exercício e ST é o preço final do ativo 
subjacente, o resultado de uma posição comprada em uma 
opção de compra europeia é:
max(ST – K, 0)
• Isso reflete o fato de que a opção será exercida se ST > K e não 
será exercida se ST ≤ K
Payoff
• O resultado para o titular da posição vendida na opção de 
compra europeia é:
-max(ST – K, 0) = min(K – ST, 0)
Payoff
• Os gráficos abaixo mostram a variação do lucro/prejuízo em função do preço final 
da ação para os compradores e lançadores de uma opção de venda
Comprador
Lançador
Payoff
• Se K é o preço de exercício e ST é o preço final do ativo 
subjacente, o resultado de uma posição comprada em uma 
opção de venda europeia é:
max(K – ST, 0)
• Isso reflete o fato de que a opção será exercida se ST < K e não 
será exercida se ST ≥ K
Payoff
• O resultado para o titular da posição vendida na opção de 
venda europeia é:
-max(K – ST, 0) = min(ST – K, 0)
Payoff
• Resultados de posições em 
opções europeias: 
(a) opção de compra comprada; 
(b) opção de compra vendida; 
(c) opção de venda comprada; 
(d) opção de venda vendida. 
• Preço de exercício K; preço do 
ativo na maturidade ST
Payoff
• As opções podem estar dentro do dinheiro (in-the-money), no dinheiro (at-the-money) ou fora do 
dinheiro (out-of-the-money). Considerando que S é o preço da ação e K é o preço de exercício:
• Uma opção de compra está:
• Dentro do dinheiro quando S > K;
• No dinheiro quando S = K e;
• Fora do dinheiro quando S < K.
• Uma opção de venda está:
• Dentro do dinheiro quando S < K;
• No dinheiro quando S = K e;
• Fora do dinheiro quando S > K.
• Claramente, uma opção será exercida apenas quando estiver dentro do dinheiro. Na ausência de 
custos de transação, uma opção dentro do dinheiro sempre será exercida na data de expiração se não 
tiver sido exercida anteriormente.
Payoff
• O valor intrínseco de uma opção é definido como o valor que ela teria se não houvesse 
tempo até a maturidade, de modo que a decisão de exercício precisaria ser tomada 
imediatamente. O valor intrínseco é, assim:
• Para uma opção de compra, max(S - K; 0).
• Para uma opção de venda, é max(K - S; 0).
• Uma opção americana dentro do dinheiro deve valor pelo menos tanto quanto seu valor 
intrínseco, pois o titular tem o direito de exercê-la imediatamente.
• Muitas vezes, o ideal é que o titular de uma opção americana dentro do dinheiro espere 
em vez de exercê-la imediatamente.
• Assim, diz-se que a opção tem valor temporal. O valor total de uma opção pode ser 
considerado como igual à soma de seu valor intrínseco e seu valor temporal.
Operações com Opções de Ações
https://www.b3.com.br/pt_br/produtos-e-
servicos/negociacao/renda-variavel/mercado-de-
acoes/operacoes-com-opcoes-de-acoes-e-etf.htm
(7 min)
Fatores de Risco
Seis fatores afetam o preço de uma opção sobre ações:
1. O preço atual da ação, S0
2. O preço de exercício, K
3. O tempo até a expiração, T
4. A volatilidade do preço da ação, σ
5. A taxa de juros livre de risco, r
6. Os dividendos pagos esperados.
Fatores de Risco
Resumo do efeito sobre o preço de uma opção sobre ações do aumento de
uma variável enquanto todas as outras permanecem fixas
Fatores de Risco
• Os gráficos a seguir mostram como os preços de opções de 
compra e de venda europeias dependem dos primeiros cinco 
fatores na situação em que S0 = 50, K = 50, r = 5% a.a., σ = 30% 
ao ano, T = 1 ano e não há dividendos.
• Nesse caso, o preço da opção de compra é 7,116 e o preço da 
opção de venda é 4,677
Fatores de Risco - Preço da ação e 
preço de exercício
• Se uma opção de compra é exercida em algum tempo futuro, o 
resultado será a quantia pela qual o preço da ação excede o 
preço de exercício.
• Assim, as opções de compra se tornam mais valiosas à medida 
que o preço da ação aumenta e menos valiosas à medida que o 
preço de exercício aumenta.
Fatores de Risco - Preço da ação e 
preço de exercício
• Para uma opção de venda, o resultado no exercício é a quantia 
pela qual o preço de exercício excede o preço da ação.
• Assim, as opções de venda se comportam de maneira contrária 
às de compra: elas se tornam menos valiosas à medida que o 
preço da ação aumenta e mais valiosas à medida que o preço 
de exercício aumenta.
Fatores de Risco - Preço da ação e 
preço de exercício
Fatores de Risco - Volatilidade
• Em termos gerais, a Volatilidade de um preço de ação é uma medida 
da incerteza sobre os movimentos futuros desse preço.
• À medida que a volatilidade aumenta, a chance da ação ter 
desempenho muito bom ou muito ruim aumenta. Para o proprietário 
da ação, esses dois resultados tendem a compensar um ao outro. 
• Contudo, o mesmo não vale para o proprietário de uma opção de 
compra ou de venda.
Fatores de Risco - Volatilidade
• O proprietário de uma opção de compra se beneficia dos aumentos 
de preço, mas tem riscos negativos limitados em caso de quedas de 
preço, pois o máximo que pode perder é o preço da opção. 
• Da mesma forma, o proprietário de uma opção de venda se beneficia 
quando o preço diminui, mas tem risco negativo limitado em caso de 
aumentos de preço.
• Os valores de ambos os tipos de opções, assim, aumentam à medida 
que a volatilidade aumenta.
Fatores de Risco - Volatilidade
Fatores de Risco - Tempo até a 
expiração
• Ambas as opções americanas, de compra e de venda, se tornam mais 
valiosas (ou pelo menos não perdem valor) à medida que o tempo até 
a expiração aumenta. 
• Considere duas opções americanas que diferem apenas em termos 
de suas datas de expiração. O proprietário da opção de vida mais 
longa tem a seu dispor todas as oportunidades de exercício que o 
proprietário da opção de vida mais curta, e mais.
• A opção de vida mais longa deve, assim, sempre valer pelo menos 
tanto quanto a de vida mais curta.
Fatores de Risco - Tempo até a 
expiração
• Apesar de as opções de compra e de venda europeias normalmente se tornarem 
mais valiosas à medida que o tempo até a expiração aumenta esse não é sempre o 
caso.
• Considere duas opções de compra europeias sobre uma ação: uma com data de 
expiração em 1 mês e a outra com data de expiração em 2 meses.
• Suponha que se espera um grande dividendo em 6 semanas. O dividendo fará com 
que o preço da ação diminua, de modo que a opção de vida mais curta pode valer 
mais do que a opção de vida mais longa.
• Estamos pressupondo que quando a vida da opção é alterada, os dividendos sobre 
a ação e sua tempestividade permanecem iguais
Fatores de Risco - Tempo até a 
expiração
Fatores de Risco - Taxa de juros livre de 
risco
• É menos claro como a taxa de juros livre de risco afeta o preço de uma opção. À 
medida que as taxas de juros na economia aumentam, o retorno esperado exigido 
pelos investidores da ação tende a aumentar. 
• Além disso, o valor presente de qualquer fluxo de caixa futuro recebido pelo titular 
da opção diminui. O impacto combinado desses dois efeitos é aumentar o valor das 
opções de compra e diminui o valor das opções de venda.
• É importante enfatizar que estamos pressupondo que as taxas de juros mudam, 
mas todas as outras variáveis permanecem iguais. Em especial, na Tabela exibida 
no início deste tópico estamos pressupondo que as taxas de juros mudam, mas o 
preço da ação permanece o mesmo.
Fatores de Risco - Taxa de juros livre de 
risco
• Naprática, quando as taxas de juros sobem (caem), os preços das ações 
tendem a cair (subir).
• O efeito combinado de um aumento da taxa de juros e da redução 
correspondente do preço da ação pode ser o de diminuir o valor de uma 
opção de compra e aumentar o valor de uma opção de venda.
• Da mesma forma, o efeito combinado de uma queda das taxas de juros e o 
aumento correspondente do preço da ação pode ser o de aumentar o valor 
de uma opção de compra e reduzir o valor de uma opção de venda.
Fatores de Risco - Taxa de juros livre de 
risco
Fatores de Risco - Quantia dos 
dividendos futuros
• Os dividendos têm o efeito de reduzir o preço da ação na data ex-dividendos, o que 
é má notícia para o valor das opções de compra e boa para o valor das opções de 
venda.
• Considere um dividendo cuja data ex-dividendos ocorre durante a vida de uma 
opção.
• O valor da opção está negativamente relacionado com o tamanho do dividendo 
caso a opção seja de compra e positivamente relacionado com o tamanho do 
dividendo caso a opção seja de venda
• Na B3 o preço de exercício é ajustado no caso de proventos, desdobramentos ou 
agrupamentos
Ajustes de Proventos na B3
https://www.b3.com.br/pt_br/market-
data-e-indices/servicos-de-
dados/market-data/consultas/mercado-a-
vista/opcoes/ajuste-de-proventos/
Precificação
Premissas
• 1. Não há custos de transação.
• 2. Todos os lucros das negociações (líquidos de perdas das negociações) estão 
sujeitos à mesma alíquota tributária.
• 3. Emprestar e tomar emprestado são possíveis pela taxa de juros livre de risco
• Os participantes do mercado aproveitam oportunidades de arbitragem à medida 
que estas ocorrem, ou seja, todas as oportunidades de arbitragem disponíveis 
desaparecem rapidamente. Desta forma é razoável pressupor que não há 
nenhuma oportunidade de arbitragem
Precificação
Notação
• S0: Preço da ação atual
• K: Preço de exercício da opção
• T: Tempo até a expiração da opção
• ST: Preço da ação na data de expiração
• r: Taxa de juros livre de risco com capitalização contínua para um investimento 
com maturidade no tempo T
• C: Valor de uma opção de compra americana referente à compra de uma ação
• P: Valor de uma opção de venda americana referente à venda de uma ação
• c: Valor de uma opção de compra europeia referente à compra de uma ação
• p: Valor de uma opção de venda europeia referente à venda de uma ação
Precificação
Premissas
• É preciso observar que r é a taxa de juros nominal, não a taxa de juros real.
• Podemos pressupor que r > 0. Caso contrário, um investimento livre de risco 
não ofereceria vantagens em relação ao caixa. 
• Se r < 0, manter o dinheiro em caixa seria preferível a realizar um 
investimento livre de risco.
Precificação - Limites superiores e 
inferiores
• As únicas premissas adotadas aqui são que r > 0 e que se um preço de 
opção está acima do limite superior ou abaixo do limite inferior, isso 
significa que ele oferece oportunidades lucrativas para arbitradores
Precificação - Limites superiores
• Uma opção de compra americana ou europeia dá ao titular o direito de 
comprar uma ação de uma empresa por um determinado preço. 
• Independentemente do que acontecer, a opção nunca pode valer mais do 
que a ação. Assim, o preço da ação é um limite superior para o preço da 
opção
c ≤ S0 e C ≤ S0
Precificação - Limites superiores
• Se essas relações não fossem verdadeiras, um arbitrador poderia facilmente 
obter um lucro sem risco comprando a ação e vendendo a opção de compra.
• Exemplo: Considere que a opção de compra custe $10 e a ação custe $9. O 
arbitrador poderia comprar a ação e vender a opção obtendo um resultado 
imediato de $1.
• No vencimento, caso a opção fosse exercida, o arbitrador ainda receberia o 
valor do preço de exercício. 
• Caso a opção não fosse exercida o arbitrador venderia a ação a mercado.
Precificação - Limites superiores
• Uma opção de venda americana dá ao titular o direito de vender uma ação 
de uma empresa por K.
• Independentemente de quanto o preço da ação caia, a opção nunca valerá 
mais de K. Assim:
P ≤ K
Precificação - Limites superiores
• Se essas relações não fossem verdadeiras, um arbitrador poderia facilmente 
obter um lucro sem risco vendendo a opção de venda e aguardando o 
exercício.
• Exemplo: Considere que a opção de venda custe $10 e o strike seja $9. O 
arbitrador poderia vender a opção e gerar um caixa positivo de $10.
• Caso a opção fosse exercida, o arbitrador teria que pagar o valor do 
exercício, no caso $9, obtendo um resultado positivo de $1. 
• Caso a opção não fosse exercida o arbitrador manteria o caixa gerado com a 
venda da opção.
Precificação - Limites superiores
• Para opções europeias, sabemos que na maturidade a opção não pode valer 
mais do que K. 
• Logo, sabemos que ela não pode valer mais do que o valor presente de K 
hoje:
P ≤ Ke-rT
Precificação - Limites superiores
• Se isso não fosse verdade, um arbitrador poderia obter um lucro sem risco lançando a opção e 
investindo o resultado da venda à taxa de juros livre de risco
• Exemplo: Considere que a opção de venda custe $9 e o strike seja $10, que trazido a valor presente 
pela taxa de juros seja igual a $9.
• O arbitrador poderia vender a opção e gerar um caixa positivo de $9 e investi-lo à taxa de juros.
• Caso a opção fosse exercida, o arbitrador teria que pagar o valor do exercício, no caso $10, 
exatamente o valor que ele teria em caixa, considerando que investiu à taxa de juros os $9 obtidos 
com a venda da opção. Nesse caso o resultado dele seria igual a zero.
• Qualquer valor maior que $9 para a opção, faria com que o arbitrador tivesse um ganho sem risco.
• Caso a opção não seja exercida, o arbitrador mantem o caixa da venda da opção.
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Um limite inferior para o preço de uma opção de compra europeia sobre uma 
ação que não paga dividendos é:
S0 – Ke-rT
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Suponha que S0 = $20, K = $18, r = 10% ao ano e T = 1 ano. Nesse caso:
S0 – Ke-rT = 20 – 18 x e-0,1 x 1 = 3,71
• Considere a situação na qual o preço da opção de compra europeia é $3,00, que é 
inferior ao mínimo teórico de $3,71.
• Um arbitrador poderia vender a ação a descoberto e comprar a opção de compra 
para obter um influxo de caixa de $20,00 - $3,00 = $17,00.
• Se investidos por 1 ano a 10% ao ano, os $17,00 aumentam para 17 x e0,1 x 1 = $18,79. 
• Ao final do ano, a opção expira. Se o preço da ação é maior do que $18,00, o 
arbitrador exerce a opção por $18,00, encerra a posição vendida e obtém um lucro 
de $18,79 - $18,00 = $0,79
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Se o preço da ação é inferior a $18,00, a ação é comprada no mercado e a 
posição vendida é encerrada. Nesse caso, o lucro do arbitrador é ainda 
maior.
• Por exemplo, se o preço da ação é $17,00, o lucro do arbitrador é: 
$18,79 - $17,00 = $1,79
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Para um argumento mais formal, vamos considerar os dois portfólios a seguir
• Portfólio A: uma opção de compra europeia (VP = c) mais um bônus de 
cupom zero que oferece um resultado de K no tempo T (VP = Ke-rT).
• Portfólio B: uma ação da empresa (VP = S0).
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• No portfólio A, o bônus de cupom zero vale K no tempo T. Se ST > K, a opção 
de compra é exercida na maturidade e o portfólio A vale ST.
K (valor do título) – K (exercício da opção) + ST (ação adquirida) = ST
• Se ST < K, a opção de compra expira sem valor e o portfólio vale K. 
• Assim, no tempo T, o portfólio A vale:
max(ST,K)
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• O portfólio B vale ST no tempo T.• Assim, o portfólio A sempre vale tanto quanto o portfólio B, e pode valer 
muito mais do que isso, na maturidade da opção.
• Logo, na ausência de oportunidades de arbitragem, isso também deve ser 
verdadeiro agora. O bônus de cupom zero vale Ke-rT hoje. Logo:
c + Ke-rT ≥ S0 ou: c ≥ S0 – Ke-rT
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Como o pior que pode acontecer com uma opção de compra é que ela expira 
sem valer nada, seu valor não pode se tornar negativo. Isso significa que c ≥ 
0 e, logo:
c ≥ max(S0 – Ke-rT, 0)
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Considere uma opção de compra europeia sobre uma ação que não paga 
dividendos quando o preço da ação é $51, o preço de exercício é $50, o 
tempo até a maturidade é de 6 meses e a taxa de juros livre de risco é 12% ao 
ano. Nesse caso, S0 = 51, K = 50, T = 0,5 e r = 0,12.
• Um limite inferior para o preço da opção é S0 – Ke-rT ou:
51 – 50 x e-0,12 x 0,5 = $3,91
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Para uma opção de venda europeia sobre uma ação que não paga 
dividendos, um limite inferior para o preço é:
Ke-rT – S0
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Mais uma vez, antes vamos considerar um exemplo numérico e depois um 
argumento mais formal.
• Suponha que S0 = $37, K = $40, r = 5% ao ano e T = 0,5 anos. Nesse caso:
Ke-rT – S0 = 40 x e-0,05 x 0,5 – 37 = $2,01
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Considere a situação na qual o preço de uma opção de venda europeia é $1,00, 
menor do que o mínimo teórico de $2,01.
• Um arbitrador pode tomar emprestado $38,00 por 6 meses para comprar a opção 
de venda e a ação em si.
• Ao final dos 6 meses, o arbitrador precisará repagar 38 x e0,05 x 0,5 = $38,96.
• Se o preço da ação ficar abaixo de $40,00, o arbitrador exerce a opção e vende a 
ação por $40,00, repaga o empréstimo e obtém um lucro de:
$40,00 - $38,96 = $1,04
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Se o preço da ação for maior do que $40,00, o arbitrador descarta a opção, 
vende a ação e repaga o empréstimo para obter um lucro maior ainda.
• Por exemplo, se o preço da ação é $42,00, o lucro do arbitrador é:
$42,00 - $38,96 = $3,04
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Para um argumento mais formal, vamos considerar os dois portfólios a 
seguir:
• Portfólio C: uma opção de venda europeia (VP = p) mais uma ação (VP = S0).
• Portfólio D: um bônus de cupom zero com resultado de K no tempo T 
(VP = Ke-rT).
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Se ST < K, então a opção no portfólio C é exercida na maturidade da opção e o portfólio passa a valer 
K.
• Se ST > K, então a opção de venda expira sem ter valor e o portfólio vale ST nessa data.
• Assim, o portfólio C vale: max(ST, K) no tempo T. 
• O portfólio D vale K no tempo T. 
• Assim, o portfólio C sempre vale tanto quanto o portfólio D, e às vezes mais do que isso, no tempo T. 
• Logo, na ausência de oportunidades de arbitragem, o portfólio C deve valer pelo menos tanto 
quanto o portfólio D hoje. Assim:
p + S0 ≥ Ke-rT ou: p ≥ Ke-rT – S0
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Como o pior que pode acontecer com uma opção de venda é que ela expire 
sem valer nada, seu valor não pode ser negativo. Isso significa que:
p ≥ max(Ke-rT – S0, 0)
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
• Considere uma opção de venda europeia sobre uma ação que não paga 
dividendos quando o preço da ação é $38, o preço de exercício é $40, o 
tempo até a maturidade é 3 meses e a taxa de juros livre de risco é 10% ao 
ano.
• Nesse caso, S0 = 38, K = 40, T = 0,25 e r = 0,10. O limite inferior para o preço 
da opção é 
Ke-rT – S0, ou: 40 x e-0,1 x 0,25 - 38 = $1,01
Precificação - Limites inferiores para opções de 
compra sobre ações que não pagam dividendos
Paridade Put-Call
• Agora vamos derivar uma relação importante entre os preços de opções de venda 
e compra europeias com o mesmo preço de exercício e o mesmo tempo até a 
maturidade. Considere os dois portfólios a seguir, usados na seção anterior:
• Portfólio A: uma opção de compra europeia (VP = C) mais um bônus de cupom zero
• que oferece um resultado de K no tempo T (VP = Ke-rT).
• Portfólio C: uma opção de venda europeia (VP = P) mais uma ação (VP = S0).
• Continuamos a pressupor que a ação não paga dividendos. As opções de compra e 
de venda têm o mesmo preço de exercício K e o mesmo tempo até a maturidade T.
Paridade Put-Call
• O bônus de cupom zero no portfólio A valerá K no tempo T. 
• Se o preço da ação ST no tempo T ficar acima de K, então a opção de compra 
no portfólio A será exercida.
• Isso significa que o portfólio A vale (ST - K) + K = ST no tempo T nessas 
circunstâncias. 
• Se ST ficar abaixo de K, então a opção de compra no portfólio A expira sem 
valor e o portfólio vale K no tempo T
Paridade Put-Call
• No portfólio C, a ação vale ST no tempo T.
• Se ST fica abaixo de K, a opção de venda no portfólio C é exercida. 
• Isso significa que o portfólio C vale (K - ST) + ST = K no tempo T nessas 
circunstâncias.
• Se ST fica acima de K, então a opção de venda no portfólio C expira sem valor 
e o portfólio vale ST no tempo T.
Paridade Put-Call
Paridade Put-Call
• Se ST > K, ambos os portfólios valem ST no tempo T.
• Se ST < K, ambos os portfólios valem K no tempo T.
• Em outras palavras, ambos valem: max(ST, K) quando as opções expiram no tempo T.
• Como são europeias, as opções não podem ser exercidas antes do tempo T. 
• Como os portfólios têm valores idênticos no tempo T, eles devem ter valores idênticos 
hoje.
• Se esse não fosse o caso, o arbitrador poderia comprar o portfólio mais barato e vender o 
mais caro. Como os portfólios têm 100% de chance de se cancelarem mutuamente no 
tempo T, essa estratégia de negociação garantiria um lucro de arbitragem igual à 
diferença nos valores dos dois portfólios.
Paridade Put-Call
• Os componentes do portfólio A valem c e Ke-rT hoje e os componentes do 
portfólio C valem p e S0 hoje. Assim:
c + Ke-rT = p + S0
• Essa relação é conhecida pelo nome de paridade put–call.
• Ela mostra que o valor de uma opção de compra europeia com um 
determinado preço de exercício e data de exercício pode ser deduzido a 
partir do valor de uma opção de venda europeia com os mesmos preço e data 
de exercício, e vice-versa.
Paridade Put-Call
• Para ilustrar as oportunidades de arbitragem quando a equação anterior não é 
válida, suponha que o preço da ação é $31, o preço de exercício é $30, a taxa de 
juros livre de risco é 10% ao ano, o preço de uma opção de compra europeia de 
três meses é $3 e o preço de uma opção de venda europeia de três meses é $2,25. 
Nesse caso:
c + Ke-rT = 3 + 30 x e-0,1 x 3/12 = $32,26 (portfólio A)
p + S0 = 2,25 + 31 = $33,25 (portfólio C)
• O portfólio C tem preço alto em relação ao portfólio A. Um arbitrador pode comprar 
os títulos no portfólio A e vender a descoberto os títulos no portfólio C. 
Paridade Put-Call
• A estratégia envolve comprar a opção de compra e vender a descoberto a 
opção de venda e a ação, gerando um fluxo de caixa positivo adiantado de:
-3 + 2,25 + 31 = $30,25
• Quando investida à taxa de juros livre de risco, essa quantia aumenta em 
três meses para:
30,25 x e0,1 x 0,25 = $31,02
Paridade Put-Call
• Se o preço da ação na expiração da opção for maior do que $30, a opção de 
compra é exercida. Se for inferior a $30, a opção de venda é exercida.
• Em ambos os casos, o arbitrador acaba comprando uma ação por $30. Essaação pode ser usada para encerrar a posição vendida. O lucro líquido é, 
então:
$31,02 - $30,00 = $1,02
Paridade Put-Call
• Para uma solução alternativa, suponha que o preço da opção de compra é 
$3 e o preço da opção de venda é $1. Nesse caso:
c + Ke-rT = 3 + 30 x e-0,1 x 3/12 = $32,26 (portfólio A)
p + S0 = 1 + 31 = $32,00 (portfólio C)
• O portfólio A tem preço alto em relação ao portfólio C. Um arbitrador pode 
vender a descoberto os títulos no portfólio A e comprar os títulos no portfólio 
C para garantir um lucro.
Paridade Put-Call
• A estratégia envolve vender a descoberto a opção de compra e comprar a 
opção de venda e a ação, com um investimento inicial de:
$31 + $1 - $3 = $29
• Quando um investimento é financiado à taxa de juros livre de risco, um 
repagamento de 29 x e0,1 x 0,25 = $29,73 será necessário ao final de três meses.
Paridade Put-Call
• Assim como no caso anterior, a opção de compra ou a de venda será 
exercida.
• A posição com opção de compra vendida e opção de venda comprada, 
assim, leva à ação ser vendida por $30,00. O lucro líquido é, portanto:
$30,00 - $29,73 = $0,27
Paridade Put-Call
Oportunidades de arbitragem quando a paridade put–call não é válida. Preço da ação = $31; taxa de juros = 10%; preço da 
opção de compra = $3. As opções de compra e de venda têm preço de exercício de $30 e três meses até a maturidade.
Paridade Put-Call
• A paridade put–call só é válida para opções europeias. Contudo, é possível 
derivar alguns resultados para os preços de opções americanas. 
• Podemos mostrar que, quando não há dividendos (não demonstrado):
S0 – K ≤ C – P ≤ S0 – Ke-rT
Paridade Put-Call
• Uma opção de compra americana sobre uma ação que não paga dividendos com preço de 
exercício de $20,00 e maturidade em 5 meses vale $1,50. Suponha que o preço atual da 
ação é $19,00 e a taxa de juros livre de risco é 10% ao ano. Da equação anterior, temos:
19 – 20 ≤ C – P ≤ 19 – 20 x e-0,1 x 5/12
ou: 1 ≥ P - C ≥ 0,18
• mostrando que P - C fica entre $1,00 e $0,18. Com C em $1,50, P deve ficar entre $1,68 e 
$2,50. 
• Em outras palavras, os limites superior e inferior para o preço de uma opção de venda 
americana com o mesmo preço de exercício e a mesma data de expiração que uma opção 
de compra americana são $2,50 e $1,68.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
• Vamos demonstrar agora que nunca é ideal exercer uma opção 
de compra americana sobre uma ação que não paga dividendos 
antes de sua expiração, mas que, sob certas circunstâncias, o 
exercício antecipado de uma opção de venda americana sobre 
tal ação é ideal.
• Quando há dividendos, pode ser ideal exercer opções de 
compra ou de venda antecipadamente
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE COMPRA SOBRE AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• Nunca é ideal exercer uma opção de compra americana sobre uma ação que não paga dividendos antes da 
data de expiração.
• Para ilustrar a natureza geral do argumento, considere uma opção de compra americana sobre uma ação 
que não paga dividendos com um mês até a expiração, quando o preço da ação é $70 e o preço de exercício é 
$40. A opção está muito dentro do dinheiro e o investidor que a possui pode ficar tentado a exercê-la 
imediatamente.
• Contudo, se o investidor planeja manter a ação obtida pelo exercício da opção por mais de um mês, essa não 
é a melhor estratégia. O melhor seria manter a opção e exercê-la no final do mês. Assim, o preço de exercício 
de $40 é pago um mês depois do que seria caso a opção fosse exercida imediatamente, de modo que o titular 
obtém juros sobre os $40 por um mês. Como a ação não paga dividendos, não é sacrificada nenhuma renda 
sobre a ação.
• Outra vantagem de esperar, em vez de exercer a opção imediatamente, é que há alguma chance (por mais 
remota que seja) de que o preço da ação cairá abaixo de $40 em um mês. Nesse caso, o investidor não 
exercerá a opção no final do mês e ficará contente em não ter tomado a decisão de exercício antecipado.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE COMPRA SOBRE AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• O argumento mostra que não há vantagem alguma em exercer uma opção 
antecipadamente caso o investidor planeje manter a ação pelo restante da vida desta (no 
caso, um mês).
• Mas e se o investidor acha que a ação está supervalorizada e está considerando exercer a 
opção e vender a ação? Nesse caso, o investidor se sai melhor vendendo a opção, não 
exercendo-a.
• A opção será comprada por outro investidor, que por sua vez deseja manter a ação em seu 
portfólio. Tais investidores necessariamente existem, ou então o preço atual da ação não 
seria $70. 
• Pelos motivos mencionados acima, o preço obtido pela opção será maior do que seu valor 
intrínseco de $30.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE COMPRA SOBRE AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• Para um argumento mais formal, podemos utilizar a equação:
c ≥ S0 – Ke-rT
• Como o proprietário de uma opção de compra americana tem todas as 
oportunidades de exercício abertas ao proprietário de uma opção de compra 
europeia correspondente, deve ser o caso que C ≥ c. Assim: 
C ≥ S0 – Ke-rT
• Dado r > 0, por consequência, C > S0 – K quando T > 0.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE COMPRA SOBRE AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• Isso significa que C sempre é maior do que o valor intrínseco da opção antes 
da maturidade.
• Se fosse ideal exercer a opção em algum momento específico antes da 
maturidade, C seria igual ao valor intrínseco da opção naquele momento. 
• Logo, nunca pode ser ideal exercer a opção antecipadamente.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE COMPRA SOBRE AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• Em resumo, há dois motivos para uma opção de compra americana sobre uma 
ação que não paga dividendos não dever ser exercida antecipadamente.
1. Um é referente ao seguro que ela oferece. Uma opção de compra, quando mantida 
no lugar da ação em si, na prática segura o titular contra uma queda do preço da 
ação abaixo do preço de exercício. Depois que a opção foi exercida e o preço de 
exercício foi trocado pelo preço da ação, o seguro desaparece.
2. O outro motivo é referente ao valor temporal do dinheiro. Da perspectiva do titular 
da opção, quanto mais tarde o preço de exercício for pago, melhor.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
• Como as opções de compra americanas nunca 
são exercidas antecipadamente quando não 
há dividendos, elas são equivalentes a opções 
de compra europeias, de modo que C = c.
• Das equações apresentadas anteriormente, os 
limites inferior e superior são dados por:
max(S0 – Ke-rT, 0) e S0
OPÇÕES DE COMPRA SOBRE AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
• A maneira geral como o preço da 
opção e compra varia com o preço 
da ação, S0, aparece na figura ao 
lado. À medida que r ou T ou a 
volatilidade do preço da ação 
aumenta, a linha que relaciona o 
preço da opção e compra ao preço 
da ação se move na direção 
indicada pelas setas.
OPÇÕES DE COMPRA SOBRE AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE VENDA SOBRE UMA AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• Pode ser ideal exercer antecipadamente uma opção de venda americana sobre 
uma ação que não paga dividendos. Na verdade, em qualquer momento durante 
sua vida, a opção de venda deve sempre ser exercida com antecipação se estiver 
suficientemente dentro do dinheiro.
• Considere uma situação extrema. Suponha que o preço de exercício é $10 e o 
preço da ação é praticamente zero. Exercendo imediatamente, o investidor obtém 
um ganho imediato de $10. Se ele esperar, o ganho do exercício pode ser inferior a 
$10, mas nunca será mais de $10, pois é impossível ter preços negativos.
• Além disso, receber $10 agora é preferível a receber $10 no futuro. Logo, a opção 
deve ser exercida imediatamente.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE VENDA SOBRE UMA AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• Assim comouma opção de compra, uma opção de venda pode ser considerada 
como uma fonte de seguro. Uma opção de venda, quando mantida em conjunto 
com a ação, garante o titular contra a queda do preço da ação abaixo de um 
determinado nível.
• Contudo, uma opção de venda é diferente de uma de compra, pois o investidor 
pode considerar ideal exercê-la antecipadamente para realizar o preço de 
exercício imediatamente.
• Em geral, o exercício antecipado de uma opção de venda se torna mais atraente à 
medida que S0 diminui, r aumenta e a volatilidade diminui.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE VENDA SOBRE UMA AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• Das equações apresentadas anteriormente, os limites inferior e superior para uma opção 
de venda europeia quando não há dividendos são dados por:
max(Ke-rT - S0; 0) ≤ p ≤ Ke-rT
• Para uma opção de venda americana sobre uma ação que não paga dividendos, a 
condição P ≥ max(K - S0, 0) deve ser válida, pois a opção pode ser exercida a qualquer 
momento.
• É uma condição mais forte do que aquela aplicada para uma opção de venda europeia. 
Usando o resultado de equação apresentada anteriormente, os limites para uma opção de 
venda americana sobre uma ação que não paga dividendos são:
max(K - S0; 0) ≤ P ≤ K
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE VENDA SOBRE UMA AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• Limites para opções de venda europeias e americanas quando não há 
dividendos.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE VENDA SOBRE UMA AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• A figura abaixo mostra a maneira geral como o preço de uma opção de venda americana varia com S0.
• Como argumentamos anteriormente, desde que r > 0, sempre é ideal exercer uma opção de venda americana 
imediatamente quando o preço da ação é suficientemente baixo.
• Quando o exercício antecipado é ideal, o valor da opção é 
K - S0.
• A curva que representa o valor da opção de venda se 
funde assim com o valor intrínseco da opção, K - S0, para 
um valor suficientemente baixo de S0.
• Na figura abaixo, esse valor de S0 é mostrado como o 
ponto A. A linha que relaciona o preço da opção de venda 
ao preço da ação se move na direção indicada pelas setas 
quando r diminui, quando a volatilidade aumenta e 
quando T aumenta.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE VENDA SOBRE UMA AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• Como em algumas circunstâncias é desejável exercer uma opção de venda 
americana antecipadamente, uma opção de venda americana sempre vale mais do 
que a opção de venda europeia correspondente.
• Além disso, como uma opção de venda americana ocasionalmente vale seu valor 
intrínseco, uma opção de venda europeia ocasionalmente deve valer menos do 
que seu valor intrínseco.
• Isso significa que a curva que representa a relação entre o preço da opção de 
venda e o preço da ação para uma opção europeia deve ficar abaixo da curva 
correspondente para uma opção americana.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE VENDA SOBRE UMA AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
• A figura abaixo mostra a variação do preço da opção de venda europeia com o 
preço da ação.
• Observe que o ponto B, no qual o preço da 
opção é igual a seu valor intrínseco, deve 
representar um valor maior do preço da ação 
do que o ponto A na figura anterior, pois a 
curva para a opção europeia está abaixo da 
daquela para a opção americana.
• O ponto E é onde S0 = 0 e o preço da opção de 
venda europeia é Ke-rT.
Exercício antecipado de Opções 
Americanas
OPÇÕES DE VENDA SOBRE UMA AÇÃO QUE NÃO PAGA DIVIDENDOS
EFEITO DOS DIVIDENDOS
• Vamos pressupor que os dividendos que serão pagos durante a vida da 
opção são conhecidos. A maioria das opções sobre ações negociadas em 
bolsas têm vida de menos de um ano, então esse pressuposto muitas vezes 
é suficientemente razoável.
• Usaremos D para denotar o valor presente dos dividendos durante a vida da 
opção. No cálculo de D, pressupõe-se que o dividendo ocorre no momento 
de sua data ex-dividendos.
EFEITO DOS DIVIDENDOS
• Podemos redefinir os portfólios A, B, C e D da seguinte maneira:
• Portfólio A: uma opção de compra europeia mais uma quantia em caixa igual a D + Ke-rT.
• Portfólio B: uma ação.
• Um argumento semelhante àquele usado anteriormente mostra que:
c ≥ max(S0 – D – Ke-rT, 0)
• Portfólio C: uma opção de venda europeia mais uma ação.
• Portfólio D: uma quantidade de caixa igual a D + Ke-rT.
• Um argumento semelhante àquele usado anteriormente mostra que:
p ≥ max(D + Ke-rT – S0, 0)
EFEITO DOS DIVIDENDOS
Exercício antecipado
• Quando são esperados dividendos, não podemos mais afirmar que uma 
opção de compra americana não será exercida antecipadamente.
• Às vezes, é ideal exercer uma opção de compra americana imediatamente 
antes de uma data ex-dividendos, mas nunca é ideal exercer uma opção de 
compra em outros momentos.
EFEITO DOS DIVIDENDOS
• Paridade put–call
• Comparando o valor na maturidade da opção dos portfólios redefinidos A e C 
percebe-se que, com os dividendos, o resultado da paridade put−call na 
equação (11.6) se torna:
c + D + Ke-rT = p + S0
• Os dividendos fazem com que a equação apresentada anteriormente seja 
modificada para:
S0 – D – K ≤ C – P ≤ S0 – Ke-rT
Árvore Binomial
• Em um primeiro momento, vamos considerar uma situação bastante 
simples. O preço da ação atual é $20 e sabe-se que ao final de 3 meses será 
$22 ou $18. 
• Estamos interessados em avaliar uma opção de compra europeia para 
comprar a ação por $21 em 3 meses. Essa opção terá um de dois valores ao 
final de 3 meses. 
• Se o preço da ação for $22, o valor da opção será $1.
• Se o preço da ação for $18, o valor da opção será zero
Árvore Binomial
Árvore Binomial
• Considere um portfólio composto de uma posição comprada em Δ (delta) ações da 
empresa e uma posição vendida em uma opção de compra. Calculamos o valor de 
Δ que torna o portfólio livre de risco.
• Se o preço da ação sobe de $20 para $22, o valor das ações é 22Δ e o valor da 
opção é 1, de modo que o valor total do portfólio é 22Δ - 1.
• Se o preço da ação cai de $20 para $18, o valor das ações é 18Δ e o valor da opção é 
zero, então o valor total do portfólio é 18Δ.
• O portfólio é livre de risco caso o valor de seja escolhido de forma que o valor final 
do portfólio seja igual para ambas as alternativas. Isso significa que:
22Δ – 1 = 18Δ ou: Δ = 0,25
Árvore Binomial
• Um portfólio sem risco é, assim:
• Comprado: 0,25 ação
• Vendido: 1 opção
• Se o preço da ação sobe $22, o valor do portfólio é: 22 x 0,25 – 1 = 4,5
• Se o preço da ação cai para $18, o valor do portfólio é: 18 x 0,25 = 4,5
• Independentemente do preço da ação subir ou descer, o valor do portfólio 
sempre é 4,5 ao final da vida da opção.
Árvore Binomial
• Na ausência de oportunidades de arbitragem, os portfólios sem risco devem 
obter a taxa de juros livre de risco. Suponha que, nesse caso, a taxa de juros 
livre de risco é de 12% ao ano. Logo, o valor do portfólio hoje deve ser o valor 
presente de 4,5, ou:
4,5 x e-0,12 x 3/12 = 4,367
• Sabe-se que o valor do preço da ação hoje é $20. Suponha que o preço da 
opção é denotado por f. O valor do portfólio hoje é:
20 x 0,25 – f = 5 – f Logo: 5- f = 4,367 ou: f = 0,633
Árvore Binomial
• Isso mostra que, na ausência de oportunidades de arbitragem, o valor atual da 
opção deve ser 0,633. 
• Se o valor da opção fosse maior do que 0,633, o portfólio custaria menos de 4,367 
para ser estruturado e obteria mais do que a taxa de juros livre de risco.
• Se o valor da opção fosse menos de 0,633, vender o portfólio a descoberto 
representaria uma maneira de tomar dinheiro emprestado a menos do que a taxa 
de juros livre de risco.
• Negociar 0,25 ação é, obviamente, impossível. Contudo, o argumento é o mesmo 
se imaginarmos a venda de 400 opções e a compra de 100 ações. Em geral, é 
necessário comprar Δ ações para cada opção vendida para formar um portfólio 
sem risco. O parâmetro Δ é importante no hedge de opções.Árvore Binomial
• Podemos generalizar o argumento sem arbitragem apresentado 
anteriormente considerando uma ação cujo preço é S0 e uma opção sobre 
tal ação (ou qualquer derivativo dependente da ação) cujo preço atual é f.
• Vamos supor que a opção dura o tempo T e que durante a vida desta o preço 
da ação pode subir de S0 para um novo nível, S0 x u, onde u > 1, ou descer de 
S0 para um novo nível, S0 x d, onde d < 1.
Árvore Binomial
• O aumento percentual no preço da ação quando há um movimento positivo 
é u – 1; a redução percentual quando há um movimento negativo é 1 – d . 
• Se o preço da ação sobe para S0 x u, supomos que o resultado da opção é fu; 
se o preço da ação cai para S0 x d, supomos que o resultado da opção é fd.
Árvore Binomial
• Assim como antes, imaginamos um portfólio composto de uma posição comprada em 
ações e uma posição vendida em uma opção. Calculamos o valor de que torna o portfólio 
sem risco. 
• Se há um movimento positivo no preço da ação, o valor do portfólio ao final da vida da 
opção é: S0 x u x Δ – fu
• Se há um movimento descendente no preço da ação, o valor se torna: 
S0 x d x Δ – fd
• Os dois são iguais quando:
𝑆0 𝑥 𝑢 𝑥 𝛥 – 𝑓𝑢 = 𝑆0 𝑥 𝑑 𝑥 𝛥 – 𝑓𝑑 ⇒ 𝛥 = 
𝑓𝑢 – 𝑓𝑑
𝑆0 𝑥 𝑢 − 𝑆0 𝑥 𝑑
Árvore Binomial
• Nesse caso, o portfólio é sem risco e, para que não haja oportunidades de 
arbitragem, ele deve obter a taxa de juros livre de risco.
• A equação anterior mostra que é a razão entre a mudança no preço da 
opção e a mudança no preço da ação à medida que nos movemos entre os 
nós no tempo T
Árvore Binomial
• Se denotamos a taxa de juros livre de risco por r, o valor presente do 
portfólio é:
(S0 x u x Δ – fu) x e-rT
• O custo de montar o portfólio é:
S0 x Δ – f
• Logo: S0 x Δ – f = (S0 x u x Δ – fu) x e-rT → f = S0 x Δ (1 – u x e-rT) + fu x e-rT
Árvore Binomial
• Substituindo na equação anterior o valor de Δ encontrado anteriormente, 
obtemos:
f = S0 x 
 – 
 
x (1 – u x e-rT) + fu x e-rT
ou: f = fu x (1 – d x e−rT) + fd x (u x e−rT – 1) 
u – d 
ou: f = e-rT x [p x fu + (1-p) x fd]
onde: p = 
erT– d
u – d 
Árvore Binomial
• As seguintes equações permitem que uma opção seja apreçada quando os 
movimentos no preço da ação são dados por uma árvore binomial de um 
passo. O único pressuposto necessário para a equação é que não haja 
oportunidades de arbitragem no mercado.
p = 
erT– d
u – d 
f = e-rT x [p x fu + (1-p) x fd]
Árvore Binomial
• No exemplo numérico considerado anteriormente u = 1,1, d = 0,9, r = 0,12, 
T = 0,25, fu = 1 e fd = 0. Podemos demonstrar que encontramos os mesmos resultados.
p = 
erT– d
u – d = 
e0,12 x 0,25 – 0,9
1,1– 0,9 = 0,6523
f = e-rT x [p x fu + (1-p) x fd] = e−0,12 x 0,25 x [0,6523 x 1 + (1 – 0,6523) x 0] = 0,633
Árvore Binomial
• A fórmula de apreçamento de opções não envolve as probabilidades de o preço das ações 
subir ou cair. Por exemplo, obtemos o mesmo preço de opção quando a probabilidade de um 
movimento positivo é 0,5 e quando é 0,9.
• O resultado é surpreendente e parece contraintuitivo. É natural pressupor que, à medida que a 
probabilidade de um movimento positivo no preço da ação aumenta, o valor de uma opção de 
compra sobre a ação aumenta e o valor de uma opção de venda sobre a ação diminui.
• Mas não é o caso. O principal motivo é que não avaliamos a opção em termos absolutos. 
Estamos calculando seu valor em termos do preço da ação subjacente.
• As probabilidades de movimentos positivos ou negativos futuros já estão incorporados no preço 
da ação: não precisamos levá-los em conta novamente quando avaliamos a opção em termos 
de preço da ação.
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• A avaliação risk-neutral afirma que, quando avaliamos um derivativo, podemos pressupor que os 
investidores são risk-neutral (ou seja, neutros em relação ao risco).
• Esse pressuposto significa que os investidores não aumentam o retorno esperado que exigem de um 
investimento para compensar o risco maior.
• O mundo no qual vivemos, obviamente, não é um mundo risk-neutral. Quanto maiores os riscos assumidos 
pelos investidores, maiores os retornos esperados que exigem. 
• À medida que os investidores se tornam mais avessos a riscos, os preços das ações diminuem, mas as 
fórmulas que relacionam os preços de opções aos preços de ações permanecem as mesmas.
• Quando estamos apreçando uma opção em termos do preço da ação subjacente, as preferências de risco não 
são importantes.
• Quase que por milagre, essa premissa resolve o problema de não sabermos praticamente nada sobre o nível 
de aversão ao risco dos compradores e vendedores de opções.
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• Um mundo risk-neutral tem duas características que simplificam o 
apreçamento de derivativos:
• 1. O retorno esperado sobre uma ação (ou qualquer outro investimento) é a 
taxa de juros livre de risco.
• 2. A taxa de desconto usada para o resultado esperado sobre uma opção (ou 
qualquer outro instrumento) é a taxa de juros livre de risco.
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• Voltando à equação do preço da opção, o parâmetro p deve ser interpretado como 
a probabilidade de um movimento positivo em um mundo risk-neutral, de modo 
que 1 - p é a probabilidade de um movimento negativo nesse mundo.
• Pressupomos que u > erT, então 0 < p < 1. A expressão pfu + (1 - p)fd é o resultado 
futuro esperado da opção em mundo risk-neutral.
• A equação afirma que o valor da opção hoje é seu resultado futuro esperado em 
um mundo risk-neutral, descontado pela taxa de juros livre de risco. Essa é uma 
aplicação da avaliação risk-neutral.
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• Para provar a validade de nossa interpretação de p, observamos que quando 
p é a probabilidade de um movimento positivo, o preço da ação esperado 
E(ST) no tempo T é dada por:
E(ST) = pS0u + (1 - p)S0d ou: E(ST) = pS0(u – d) + S0d 
• Inserindo o resultado da equação de p no lugar de p , obtemos: 
E(ST) = S0erT
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• Isso mostra que o preço da ação cresce, em média, à taxa de juros livre de risco 
quando p é a probabilidade de um movimento positivo. 
• Em outras palavras, o preço da ação se comporta exatamente como seria esperado 
em um mundo risk-neutral quando p é a probabilidade de um movimento positivo.
• Para aplicar a avaliação risk-neutral ao apreçamento de um derivativo, primeiro 
calculamos quais seriam as probabilidades de diferentes resultados se o mundo 
fosse risk-neutral. A seguir, calculamos o resultado esperado do derivativo e 
descontamos o resultado esperado pela taxa de juros livre de risco.
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• Agora voltamos ao exemplo da árvore binomial para ilustrarmos que a avaliação 
risk-neutral dá a mesma resposta que os argumentos sem arbitragem.
• O preço da ação atual é $20 e se moverá para $22 ou $18 ao final de 3 meses. A 
opção considerada é uma opção de compra europeia com preço de exercício de 
$21 e data de expiração em 3 meses. A taxa de juros livre de risco é 12% ao ano.
• Definimos p como a probabilidade de um movimento positivo no preço da ação em 
um mundo risk-neutral. Podemos calcular p com a equação apresentada 
anteriormente. 
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• Por outro lado, poderíamos argumentar que o retorno esperado sobre a ação 
em um mundo risk-neutral deve ser a taxa de juros livre de risco de 12%. 
• Isso significa que p deve satisfazer:
22p + 18(1 - p) = 20e0,12 x 3/12 ou: 4p = 20e0,12 x 3/12 – 18 
então: p = 0,6523
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• Ao final de 3 meses, a opção de compra tem probabilidade de 0,6523 de valer 1 e 
probabilidade de 0,3477 de valer zero. Seu valor esperado é, portanto:
0,6523 x 1 + 0,3477 x 0 = 0,6523
• Em um mundo risk-neutral, esse resultado deve ser descontado pela taxa de juros 
livre de risco. O valor da opção hoje é, assim:
0,6523 x e-0,12 x 3/12 = $0,633.
• É o mesmo valor obtido anteriormente, demonstrando que os argumentossem 
arbitragem e a avaliação risk-neutral dão a mesma resposta.
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• É preciso enfatizar que p é a probabilidade de um movimento positivo em um 
mundo risk-neutral. Em geral, esta não é a mesma que a probabilidade de um 
movimento positivo no mundo real.
• Em nosso exemplo, p = 0,6523. Quando a probabilidade de um movimento positivo 
é 0,6523, o retorno esperado sobre a ação e sobre a opção é a taxa de juros livre de 
risco de 12%.
• Suponha que, no mundo real, o retorno esperado sobre a ação é 16% e p* é a 
probabilidade de um movimento positivo nesse mundo. Logo:
• 22p* + 18(1 - p*) = 20e0,16 x 3/12 de modo que p* = 0,7041.
Árvore Binomial
Avaliação Risk Neutral
• O resultado esperado da opção no mundo real é dado por:
p* x 1 + (1 - p*) x 0 = 0,7041
• Infelizmente, não é fácil conhecer a taxa de desconto correta a ser aplicada ao resultado esperado 
no mundo real. O retorno que o mercado exige sobre a ação é 16%, e essa é a taxa de desconto que 
seria usada para os fluxos de caixa esperados de um investimento na ação.
• Uma posição em uma opção de compra é mais arriscada do que uma posição na ação. Por 
consequência, a taxa de desconto que será aplicada ao resultado de uma opção de compra é maior 
do que 16%, mas não sabemos o quanto maior ela deve ser.
• Usar a avaliação risk-neutral resolve esse problema, pois sabemos que em um mundo risk-neutral 
o retorno esperado sobre todos os ativos (e, logo, a taxa de desconto a ser usada para todos os 
resultados esperados) é a taxa de juros livre de risco.
Árvore Binomial
Árvore binomial de dois passos
• Podemos estender a análise para uma árvore binomial 
de dois passos como aquela mostrada na figura ao lado.
• Nela, o preço da ação começa em $20 e em cada um 
dos dois passos no tempo pode subir 10% ou cair 10%. 
Cada passo no tempo tem 3 meses de duração e a taxa 
de juros livre de risco é de 12% ao ano. Vamos 
considerar uma opção de 6 meses com preço de 
exercício de $21.
• O objetivo da análise é calcular o preço da opção no nó 
inicial da árvore. Para tanto, os princípios estabelecidos 
anteriormente neste capítulo devem ser aplicados de 
maneira repetida.
Árvore Binomial
Árvore binomial de dois passos
• A figura ao lado mostra a mesma árvore 
anterior, mas com o preço da ação e o preço da 
opção em cada nó. (O preço da ação é o 
número superior e o da opção é o número 
inferior.)
• Os preços de opções nos nós finais da árvore 
são fáceis de calcular. Eles são os resultados da 
opção. No nó D, o preço da ação é 24,2 e o 
preço da opção é 24,2 – 21 = 3,2; nos nós E e F a 
opção está fora do dinheiro e seu valor é zero. 
No nó C, o preço da opção é zero, pois o nó C 
leva ao nó E ou ao nó F, e em ambos o preço da 
opção é zero.
Árvore Binomial
Árvore binomial de dois passos
• Calculamos o preço da opção no nó B focando nos nós B, D e E. 
Usando a notação introduzida anteriormente, u = 1,1, d = 0,9, r = 
0,12 e T = 0,25, de modo que p = 0,6523, e usando a equação 
apresentada anteriormente, encontramos o valor da opção no nó B 
como: f = e-0,12 x 3/12 x (0,6523 x 3,2 + 0,3477 x 0) = 2,0257 
• Ainda precisamos calcular o preço da opção no nó inicial A. Para 
tanto, nos concentramos no primeiro passo da árvore. Sabemos que 
o valor da opção no nó B é 2,0257 e que no nó C é zero. Assim, o 
valor no nó A é: f = e-0,12 x 3/12 x (0,6523 x 2,0257 + 0,3477 x 0) = 1,2823.
• Observe que este exemplo foi construído de modo que u e d (os 
movimentos positivo e negativo proporcionais) fossem iguais em 
cada um dos nós da árvore e que os passos no tempo tivessem a 
mesma duração. Por consequência, a probabilidade risk-neutral, p, 
como calculada pela equação apresentada anteriormente, é a 
mesma em cada nó.
Árvore Binomial
Árvore binomial de dois passos – opção de 
venda 
• Os procedimentos descritos anteriormente 
também podem ser utilizados para opções 
de venda e não apenas para as de compra.
• Considere uma opção de venda europeia de 
2 anos com preço de exercício de $52 sobre 
uma ação cujo preço atual é $50. 
• Vamos supor que há dois passos no tempo 
de 1 ano e que em cada passo o preço da 
ação se move positiva ou negativamente 
em 20%. Vamos supor também que a taxa 
de juros livre de risco é 5%.
Árvore Binomial
Árvore binomial de dois passos – opção de venda 
• Nesse caso, u= 1,2, d = 0,8, t = 1 e r = 0,05. O valor da probabilidade 
risk-neutral, p , é dado por:
p = 
e−0,05 x 1 – 0,8
1,2 – 0,8 = 0,6282
• Os preços finais possíveis da ação são: $72, $48 e $32. Nesse caso, 
Fuu = 0, fud = 4 e fdd = 20. 
• Da equação: 
f = e-2 x 0,05 x 1 x (0,62822 x 0 + 2 x 0,6282 x 0,3718 x 4 + 0,37182 x 20) = 4,1923
• Esse resultado também pode ser obtido usando a equação 
apresentada anteriormente e analisando a árvore retroativamente, 
um passo de cada vez.
Delta
• Nesse momento, torna-se apropriado introduzir o delta, um parâmetro importante 
(também chamado de uma “letra grega” ou simplesmente uma “grega”) ao apreçamento 
e hedge de opções.
• O delta (Δ) de uma opção sobre ações é a razão entre a mudança no preço da opção sobre 
ações e a mudança no preço da ação subjacente.
• É o número de unidades da ação que devemos possuir para cada opção vendida a 
descoberto de modo a criar um portfólio livre de risco.
• Ele é igual ao introduzido anteriormente. A construção de um portfólio sem risco também 
é chamada de delta hedging.
• O delta de uma opção de compra é positivo, enquanto o delta de uma opção de venda é 
negativo.
Delta
• Na figura abaixo, podemos calcular o valor do delta da opção de compra sendo 
considerada como:
1 − 0
22 − 18
= 0,25
• Isso ocorre porque quando o preço da ação muda de $18 para $22, o preço da 
opção muda de $0 para $1.
Delta
• Na figura ao lado, o delta correspondente aos 
movimentos de preço da ação durante o 
primeiro passo no tempo é:
2,0257 − 0
22 − 18
= 0,5064
• O delta para os movimentos do preço da ação 
durante o segundo passo no tempo é:
•
,
, ,
= 0,7273, se há um movimento positivo 
durante o primeiro passo e
•
, ,
= 0, se há um movimento negativo 
durante o primeiro passo
Delta
• Na figura ao lado, o delta é:
•
, ,
= −0,4024, ao final do primeiro 
passo e 
• = -0,1667 ou = -1,0000, ao final do 
segundo passo
• Os exemplos de dois passos mostram que o 
delta muda com o tempo. Assim, para manter 
um hedge sem risco usando uma opção e a 
ação subjacente, precisamos ajustar nossas 
posições na ação periodicamente.