Calculo IV Uniasselvi - Avaliação Discurssiva

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Uma função é solução para uma Equação Diferencial quando ao ser substituída na 
equação, mantém a sentença verdadeira. 
 
Resposta esperada 
Demonstração: 
Minha resposta 
Para encontrar a solução da equação diferencial dada, precisamos seguir alguns 
passos. 1. Encontrar a solução particular da equação diferencial homogênea 
associada. 2. Encontrar uma solução particular da equação diferencial não 
homogênea. 3. Somar a solução da equação homogênea com a solução particular da 
equação não homogênea para obter a solução geral. 1. Solução da equação 
diferencial homogênea associada. A equação homogênia associada é y" +2y' +y =0. 
Para resolver isso, assumimos uma solução na forma y = e^rx, onde r é uma 
constante a ser determinada. Substituindo y = e^rx na equação homogênea, 
obtemos: (r^2+ 2r+ 1) e^rx= 0 Como e^rx nunca é zero, a única maneira de obter 
zero é fazer oque está entre parênteses igual a zero: r^2+ 2r+ 1= 0 Essa é uma 
equação quadrática que pode ser resolvida fatorando ou usando a fórmula 
quadrática. Fatorando, obtemos: (r+ 1)^2= 0 Isso nos dá uma raiz dupla r= -1. 
Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea é: yh(x) = (c1 + c2x) e^-
x 2. Solução particular da equação diferencial não homogênea Para encontrar uma 
solução particular da equação não homogênea 2e^-x, podemos tentar uma solução 
na forma de uma constante, pois a derivada de uma constante é zero. Assumimos yp 
= Ae^-x, onde A é uma constante a ser determinada. Substituindo yp= Ae^-x na 
equação não homogênea, obtemos: (-Ae^-x)" + 2(-Ae^-x)' + Ae^-x = 2e^-x Ae^-x - 
2Ae^-x + Ae^-x = 2e^-x 0 = 2e^-x Não podemos obter 2e^-x desta maneira, então 
precisamos tentar uma solução na forma de Bx^2e^-x, onde B é uma constante a ser 
determinada. Substituindo yp= Bx^2e^-x na equação não homogênea, obtemos: 
(Bx^2e^-x)"+ 2(Bx^2e^-x)'+ Bx^2e^-x= 2e^-x Depois de calcular as derivadas e 
substituir na equação, encontramos: -2Bxe^-x + 2Be^-x + Bx^2e^-x = 2e^-x 
Comparando os termos semelhantes, obtemos: Bx^2e^-x = 2e^-x Portanto, B = 2. 
Assim, a solução particular é yp = 2x^2e^-x. 3. Solução Geral A solução geral da 
equação diferencial é a soma da solução da equação homogênea e da solução 
particular da equação não homogênea: y(x) = yh(x) + yp(x) y(x) = (c1 + c2x) e^-x + 
2x^2e^-x Portanto, y(x) = c1e^-x + c2xe^-x + 2x^2e^-x é a solução da equação 
diferencial dada. Em anexo está a solução detalhada da equação diferencial.