Gráfico de Simetria em Dados

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Em dados ordenados y1 ; y2 ; y3 ; . . . ; yn ;
observar que�
�
�
�
Os valores y1 e yn
são mínimo e máximo dos dados...
estão em �posições opostas�
�
�
�
�
Os valores y2 e yn−1 estão
em �posições opostas�
�
�
�
�
Os valores y3 e yn−2 estão
em �posições opostas�
e assim por diante.
�Grá�co de Simetria�:
comparação de distâncias da mediana para
quantis inferiores e superiores...
Exemplo
Para dados amostrais
54 ; 82 ; 45 ; 56 ; 37 ; 88 ; 48 ; 68 ; 89 ; 44 ;
33 ; 78 ; 49 ; 63 ; 20 ; 36 ; 77 ; 65 ; 53 ; 69 ;
construir os pontos do grá�co de simetria.
54 ; 82 ; 45 ; 56 ; 37 ; 88 ; 48 ; 68 ; 89 ; 44 ;
33 ; 78 ; 49 ; 63 ; 20 ; 36 ; 77 ; 65 ; 53 ; 69 ;
Estatísticas de ordem:
20 ; 33 ; 36 ; 37 ; 44 ; 45 ; 48 ; 49 ; 53 ; 54 ;
56 ; 63 ; 65 ; 68 ; 69 ; 77 ; 78 ; 82 ; 88 ; 89 ;
Mediana = 55
( 55 − 20 ; 89 − 55 ) ;
( 55 − 33 ; 88 − 55 ) ;
( 55 − 36 ; 82 − 55 ) ; . . .
54 ; 82 ; 45 ; 56 ; 37 ; 88 ; 48 ; 68 ; 89 ; 44 ;
33 ; 78 ; 49 ; 63 ; 20 ; 36 ; 77 ; 65 ; 53 ; 69 ;
Estatísticas de ordem:
20 ; 33 ; 36 ; 37 ; 44 ; 45 ; 48 ; 49 ; 53 ; 54 ;
56 ; 63 ; 65 ; 68 ; 69 ; 77 ; 78 ; 82 ; 88 ; 89 ;
Mediana = 55
(35;34) ; (22;33) ; (19;27) ;
(18;23) ; (11;22) ; (10;14) ; (7;13) ;
(6;10) ; (2;8) ; (1;1)
10 20 30
10
20
30
'
&
$
%
Pequena De�nição:
Para um número real a ∈ R qualquer
⌊a⌋ denota
o arredondamento �para baixo� de a
Exemplos:
⌊7,8⌋ = 7
⌊25,4⌋ = 25
⌊0,9⌋ = 0
Generalizando:
Em dados ordenados y1 ; y2 ; y3 ; . . . ; yn ;
yi & yn+1−i
estão em posições opostas
i ∈ { 1 , . . . , ⌊n/2⌋ }�
�
�
�
... e são valores de quantis relacionados!
(inferior e superior)
Para uma lista de dados amostrais
x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn ;
com �estatísticas de ordem� denotadas por
y1 ; y2 ; y3 ; . . . ; yn ;
o �grá�co de simetria� consiste em
pontilhar no plano cartesiano
os seguintes pares ordenados de distâncias{ (
Q1/2 − yi ; yn+1−i − Q1/2
)
; i ∈ {1 , . . . , ⌊n/2⌋}
}
( Mediana − yi ; yn+1−i − Mediana )
︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸↖ ↗
valores
em posições
opostas na lista
i ∈ {1 , . . . , ⌊n/2⌋}
↑
índice máximo
não ultrapassando
a �metade� da lista
Exemplo: Construir o grá�co de simetria para os seguintes dados
amostrais
70;35;15;59;12;20;22;13;23;65;30;11;39;99;80;16;45;27;89;51
11;12;13;15;16;20;22;23;27;30;
35;39;45;51;59;65;70;80;89;99;
11;12;13;15;16;20;22;23;27;30;35;39;45;51;59;65;70;80;89;99
0 10 20 30 40 50 60 70
0
10
20
30
40
50
60
70
(assimetria positiva é evidente nas duas representações grá�cas...)
Exemplo: Construir o grá�co de simetria para os seguintes dados
amostrais
1,1 ; 2,2 ; 2,9 ; 3,7 ; 4,5 ; 5,0 ; 5,6 ;
5,9 ; 6,0 ; 6,1 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,6 ; 6,9 ;
1,1; 2,2; 2,9; 3,7; 4,5; 5,0; 5,6; 5,9; 6,0; 6,1; 6,3; 6,4; 6,6; 6,9
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
(assimetria negativa é evidente nas duas representações grá�cas...)
Exercício
Para dados amostrais
45 ; 88 ; 20 ; 36 ; 77 ; 69 ;
construir os pontos do grá�co de simetria.
Exercício
Para dados amostrais
45 ; 88 ; 19 ; 99 ; 20 ; 36 ; 77 ; 69 ; 52 ;
construir os pontos do grá�co de simetria.