Operações com Vetores

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:957201)
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Prova 80180101
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = 1.
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 4.
( ) u x v = -4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B V - F - F - F.
C F - F - V - F.
D F - V - F - F.
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito 
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de 
uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial 
para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., 
como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os 
seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, 
plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
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A+ Alterar modo de visualização
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B V - F - F - F.
C V - V - V - F.
D F - V - F - F.
Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas 
retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. No 
entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, 
determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares 
de vetores apresentados, com relação aos ângulos agudos, analise as opções a seguir:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B As opções I e IV estão corretas.
C As opções I, III e IV estão corretas.
D As opções III e V estão corretas.
Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos 
colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências naturais 
de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente 
a isto, devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam 
corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação:
A É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
B É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
C É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
D É um número real que anula a transformação.
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços 
vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação 
linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações 
lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
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II- T (x,y) = (2x + 1, x + y).
III- T (x,y) = (2x + y, x - y).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B As opções III e IV estão corretas.
C As opções II e III estão corretas.
D As opções I e II estão corretas.
Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na 
mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um 
plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que 
estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, 
analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos.
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos.
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos.
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos.
Assinale a alternativa CORRETA:
A As sentenças I e III estão corretas.
B As sentenças II e III estão corretas.
C As sentenças I e IV estão corretas.
D Somente a sentença I está correta.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema 
encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão do Núcleo deste operador:
A 2.
B 0.
C 1.
D 3.
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A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, 
C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades 
em todos os outros vértices (excetuando-se A). Sobre as informações na imagem, assinale a 
alternativa CORRETA:
A AC.
B AB.
C AD.
D AE.
Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar com 
o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação damos o nome 
de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo deste 
resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Sobre o exposto, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - F - V.
B V - F - F - F.
C F - V - F - F.
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D F - F - V - F.
A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor 
analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida 
em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou 
módulo) do vetor z = (3,4):
A 3.
B Raiz de 10.
C Raiz de 5.
D 5.
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