Problemas de Cálculo Diferencial

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307. Problema: Resolva a equação \(\frac{d^2y}{dx^2} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0\). 
 Resposta: \(y = (C_1 + C_2x)e^{2x}\). 
 Explicação: É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
solução de raízes iguais. 
 
308. Problema: Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{\sin(x)}\)? 
 Resposta: O limite é 1. 
 Explicação: Use a definição de tangente como \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). 
 
309. Problema: Se \(f(x) = \ln(2x)\), qual é \(f'(x)\)? 
 Resposta: \(f'(x) = \frac{1}{x}\). 
 Explicação: Use a derivada da função logarítmica natural e a regra da cadeia. 
 
310. Problema: Se \(g(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x\), qual é \(g'(x)\)? 
 Resposta: \(g'(x) = x^2 - 4x + 5\). 
 Explicação: Use a regra do poder para encontrar a derivada. 
 
311. Problema: Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2}\)? 
 Resposta: O limite é 0. 
 Explicação: A função logarítmica cresce mais lentamente que qualquer função 
polinomial. 
 
312. Problema: Se \(h(x) = \arcsin(e^x)\), qual é \(h'(x)\)? 
 Resposta: \(h'(x) = \frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}}\). 
 Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada da função arcosseno. 
 
313. Problema: Qual é a área da região limitada pela curva \(y = \cos(x)\), o eixo x, e os 
pontos \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{2}\)? 
 Resposta: A área é 1. 
 Explicação: Integre a função \(\cos(x)\) no intervalo de 0 a \(\frac{\pi}{2}\).