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Avaliação II - Individual (Cod.:957205) Código da prova: 81099368 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I (180984) Período para responder: 06/05/2024 - 21/05/2024 Peso: 2,00 1 - As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação. Assim, dada à derivada de uma função, o processo que consiste em achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação. Baseado nisto, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = x³ - x + 2 para todo x e f(1) = 2 e assinale a alternativa CORRETA: A ) I, apenas. B ) IV, apenas. C ) II, apenas. D ) III, apenas. 2 - A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para determinar ela, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O procedimento é simples: basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada), determinar a derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. Senso assim, determine a derivada da função inversa f(x) = 3x³ - 2x² + x no ponto (1, 2) e assinale a alternativa CORRETA: A ) g'(4) = 1/3. B ) g'(4) = 1/5. C ) g'(4) = 1/4. D ) g'(4) = 1/6. 3 - Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra. 20/05/2024, 17:25 about:blank about:blank 1/5 Resolva a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA: A ) Somente a opção IV está correta. B ) Somente a opção I está correta. C ) Somente a opção III está correta. D ) Somente a opção II está correta. 4 - Ao estudar o Cálculo Diferencial, descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio. Um exemplo disso é a função exponencial, que possui diferenciação de ordem superior infinita. Acerca das derivadas da função exponencial f(x) = -e-2x, analise as sentenças a seguir: I. A derivada primeira é 2e-2x. II. A derivada primeira é -2e-2x. III. A derivada segunda é -4e-2x. IV. A derivada segunda é 6e-2x. V. A derivada terceira é 8e-2x. Assinale a alternativa CORRETA: A ) As sentenças IV e V estão corretas. B ) As sentenças II e IV estão corretas. C ) As sentenças I, III e V estão corretas. D ) As sentenças I e IV estão corretas. 20/05/2024, 17:25 about:blank about:blank 2/5 5 - Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo: a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Com relação à função f(x) = 5x3 - 3x2 - 1, acompanhe as possibilidade para a derivada no ponto x = -1: I. -2 II. 9 III. 15 IV. 21 Assinale a alternativa CORRETA: A ) Somente a opção IV está correta. B ) Somente a opção I está correta. C ) Somente a opção II está correta. D ) Somente a opção III está correta. 6 - A derivada de uma função em um determinado ponto mede a taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto, indicando como a função está se comportando e o quanto ela está se aproximando ou afastando de uma reta tangente naquele ponto. Seja a função f(x) = 3x2 + cos(2x), assinale a alternativa que apresenta a sua derivada. A ) f'(x) = -6x + 2·sen(2x). B ) f'(x) = 6x + sen(2x). C ) f'(x) = 6x - 2·sen(2x). D ) f'(x) = 6x - sen(2x). 7 - A regra da potência na derivação desempenha um papel crucial na análise de polinômios. Essa regra além de ser uma das mais simples, é uma ferramenta essencial para entender e modelar fenômenos descritos por polinômios, tornando a análise e interpretação dos gráficos dessas funções mais eficientes e precisas. 20/05/2024, 17:25 about:blank about:blank 3/5 Utilizando dessa regra, derive a função f(x) = 2x5/5 - 4x2 + 28, e acerca do resultado, assinale a alternativa CORRETA: A ) f'(x) = 2x4 - 8x. B ) f'(x) = 2x4 - 4x. C ) f'(x) = 10x4 - 8x + 28. D ) f'(x) = 10x4 + 8x. 8 - A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo. Em outros momentos, é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes. Desta forma, sendo a função g(x) = cos(2x) + x-2, assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função. A ) g''(x) = 6x-4 – 4·cos(2x) B ) g''(x) = -6x-4 – cos(2x) C ) g''(x) = -6x-4 – 2·cos(2x) D ) g''(x) = 6x-4 – 2·cos(2x) 9 - Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções. Sendo assim, considerando o uso adequado da regra da cadeia, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) y = sin(2x), implica em y' = 2·cos(2x). ( ) y = ln(x²), implica em y' = 2/x². ( ) y = tan (3x²), implica em y' = sec²(3x²). ( ) y = (2x - 3)³, implica em y' = 6·(2x - 3)². Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 20/05/2024, 17:25 about:blank about:blank 4/5 A ) V - V - F - V. B ) V - F - F - V. C ) F - V - V - V. D ) F - F - V - F. 10 - O estudo da reta tangente foi a motivação do estudioso Leibniz e é importante para o entendimento da derivada. Tangenciar é tocar uma curva em apenas um ponto. Para defini-la precisamos saber o ponto em que a reta vai tocar a curva e o seu coeficiente angular. Assinale a alternativa CORRETA, que apresenta a equação da reta tangente à função f(x) = 1/x, no ponto x = -1: A ) y = -x - 2 B ) y = x + 2 C ) y = x - 2 D ) y = -x + 2 20/05/2024, 17:25 about:blank about:blank 5/5