Cálculos de Integral e Derivada

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3. Problema: Resolva a integral definida de \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3} \). 
 Explicação: A integral de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). Aplicando os limites de integração, 
obtemos \( \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \). 
 
4. Problema: Determine o valor de \( \frac{d}{dx} (e^{2x}) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (e^{2x}) = 2e^{2x} \). 
 Explicação: A derivada da função exponencial \( e^{2x} \) é \( 2e^{2x} \) pela regra da 
cadeia. 
 
5. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int x \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C \). 
 Explicação: Utilizamos integração por partes para resolver esta integral. 
 
6. Problema: Encontre a raiz quadrada de 121. 
 Resposta: A raiz quadrada de 121 é 11. 
 Explicação: 11 multiplicado por si mesmo resulta em 121. 
 
7. Problema: Calcule o valor de \( \frac{d}{dx} (\ln(x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x} \). 
 Explicação: A derivada da função logarítmica natural \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \). 
 
8. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). 
 Explicação: Este é um resultado fundamental da trigonometria e cálculo conhecido 
como o limite fundamental. 
 
9. Problema: Resolva a integral definida de \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = 0 \). 
 Explicação: A integral de \( \sin(x) \) em um período completo é zero. 
 
10. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \).