Exercicios de matematica -(140)

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Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
61. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \cos(\frac{x}{3}) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3}) \). 
 Explicação: A derivada de \( \cos(\frac{x}{3}) \) é \( -\frac{1}{3}\sin(\frac{x}{3}) \), aplicando 
a regra da cadeia. 
 
62. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \tan^2(x) \). 
 Resposta: \( \int \tan^2(x) \, dx = \tan(x) - x + C \). 
 Explicação: A integral de \( \tan^2(x) \) é \( \tan(x) - x \) mais a constante de integração \( 
C \). 
 
63. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \ln(\frac{x}{2}) \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{1}{x} \). 
 Explicação: A derivada de \( \ln(\frac{x}{2}) \) é \( \frac{1}{x} \), aplicando a regra da cadeia. 
 
64. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = e^{-x} \) de 0 a \( \infty \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = \lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_{0}^{b} = \lim_{b \to 
\infty} (-e^{-b} - (-e^0)) = \lim_{b \to \infty} (-e^{-b} - (-1)) = 1 \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos o limite da função 
enquanto o limite superior da integral se aproxima do infinito. 
 
65. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{\sin(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}} \). 
 Explicação: A derivada de \( \sqrt{\sin(x)} \) é \( \frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}} \) usando a 
regra da cadeia. 
 
66. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{\sin^2(x)} \, dx = -\cot(x) + C \). 
 Explicação: A integral de \( \frac{1}{\sin^2(x)} \) é \( -\cot(x) \) mais a constante de 
integração \( C \). 
 
67. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = e^{\sqrt{x}} \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}} \). 
 Explicação: A derivada de \( e^{\sqrt{x}} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}} \), aplicando a 
regra da cadeia. 
 
68. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = \ln(2x) \) de 1 a 2.