Cálculo de Derivadas e Integrais

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Resposta: \( h'(x) = \frac{3}{1 + 9x^2} \). 
 Explicação: A derivada de \( \tan^{-1}(3x) \) é \( \frac{3}{1 + 9x^2} \), a função derivada 
do arco tangente. 
 
76. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = \sin^2(x) \) de 0 a \( \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}\left(x - 
\sin(x)\cos(x)\right)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}(0 - 0) = \frac{\pi}{4} \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
77. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(2x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2}{1 + 4x^2} \). 
 Explicação: A derivada de \( \tan^{-1}(2x) \) é \( \frac{2}{1 + 4x^2} \), a função derivada 
do arco tangente. 
 
78. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{1 + x^2} \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \). 
 Explicação: A integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \) é \( \tan^{-1}(x) \) mais a constante de 
integração \( C \). 
 
79. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \sqrt{4x^2 + 1} \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 1}} \). 
 Explicação: A derivada de \( \sqrt{4x^2 + 1} \) é \( \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 1}} \) usando a 
regra da cadeia. 
 
80. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = e^{x^2} \) de 0 a 1. 
 Resposta: \( \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \) não tem uma solução em termos de funções 
elementares. 
 Explicação: Esta integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, 
portanto, é representada por \( \int_{0}^{1} e^{x^2} \, dx \). 
 
81. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\cos(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). 
 Explicação: A derivada de \( \ln(\cos(x)) \) é \( -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) usando a regra da 
cadeia. 
 
82. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \sqrt{5x + 2} \).