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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 91 5 Seqüências e séries numéricas 5.1 Sucessões ou seqüências Definição: Uma sucessão ou seqüência é uma relação cujo domínio é um conjunto dos números naturais e os números da imagem da relação são chamados de elementos da sucessão. 1⋅⋅⋅⋅ 2⋅⋅⋅⋅ 3⋅⋅⋅⋅ ���� ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a3 ���� �������� Uma seqüência infinita é denotada por { }na ou na e representada por { } { }�� ,a,,a,a,aa n321n = ou �� ,a,,a,a,aa n321n = , onde 1a é o primeiro termo da sucessão e na é o termo geral. Exemplos: i) �� ,3n,,6,5,4,3an += ii) *n Nn; n 10 a ∈= iii) �� ,2,,2,2,2,2an = iv) ( ) �� ,1,,1,1,1,1a nn −−−= v) ( ) * n n n Nn;2 1 a ∈ − = Definição: Uma sucessão na é dita convergente para ℜ∈L se Lalim n n = +∞→ . Caso contrário, ela é dita divergente. Exemplos: Verifique se as sucessões convergem ou divergem: i) 3nan += ii) *n Nn; n 10 a ∈= iii) 2an = iv) ( )nn 1a −= v) * n n Nn;2 1 a ∈� � � � � � −= EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 92 vi) ( ) *n Nn; n nln a ∈= vii) 1n n n 3 2 a + = viii) 25n 3nn a 2 3 n + − = ix) *n Nn; n 1 senna ∈� � � � � � ⋅= Definição: Uma seqüência na é dita crescente (decrescente) se 1nn aa +< ( )1nn aa +> , n∀ . Observação: Uma seqüência que seja sempre crescente, sempre decrescente ou sempre constante é chamada monótona. Exemplos: Verifique se as seqüências abaixo são monótonas: i) 23n 12n − + ii) � � � � � � 2 n� sen Definição: Um número I (S) é dito cota inferior (superior) de uma sucessão na se naI ≤ ( )naS ≥ , n∀ . Definição: Se na tem cota inferior (superior) diz-se que ela é limitada inferiormente (superiormente). Se uma seqüência é limitada superior e inferiormente diz-se que ela é limitada. Exemplos: Verifique se as seqüências são limitadas: i) 3n + ii) *Nn; n 10 ∈ iii) ( )n1− iv) n 2 1 � � � � � � − v) *Nn; 12n 1 ∈ − vi) ( ) 12n n1 n + ⋅− vii) n2 !n Definição: Toda seqüência limitada e monótona é convergente. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 93 5.2 Exercícios OBS: a maior parte dos exercícios deste capítulo foram retirados do livro de Cálculo, volume 2, Munem-Foulis. 1) Calcule os 6 primeiros termos de cada seqüência e também o 100º, supondo *Nn ∈ : a) 1n2 + R: 001.10;37;26;17;10;5;2 b) ( ) 1n 1 1n + − + R: 101 1 ; 7 1 ; 6 1 ; 5 1 ; 4 1 ; 3 1 ; 2 1 −−−− c) 5n n 2 + R: 005.10 100 ; 41 6 ; 30 5 ; 21 4 ; 14 3 ; 9 2 ; 6 1 d) n 12 + R: 100 201 ; 6 13 ; 5 11 ; 4 9 ; 3 7 ; 2 5 ;3 2) Encontre a expressão do termo geral da seqüência: a) �, 2 7 ,3, 2 5 ,2, 2 3 ,1, 2 1 R: 2 1n an + = b) �,1,0,1,0,1,0,1 R: ( )( )�� ∈+= ∈= = Npe12pnímparn;0 Npe2pnparn;1 an c) �, 6 1 , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 R: *n Nn;1n 1 a ∈ + = d) �,121,81,49,25,9,1 R: ( ) 2n 12na += OU ( ) *2n Nn;12na ∈−= 3) Determine se cada seqüência abaixo converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite: a) n 100 b) 15n n 2 2 + c) 2n7n 5nn 3 3 + − d) 59n 12n 2 2 + + e) 13n 5n2 + f) ( ) n n 10 1− g) � � � � � � ⋅ + + 2n � sen 1n n2n2 h) nn nn 33 33 − − − + i) ( ) 1n 1nln + + j) ( )4nln n 1ln + � � � � � � k) n1n 1 2 −+ EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 94 l) n 1 n m) n n 11 � � � � � � + R: a) 0; b) 5 1 ; c) 7 1 ; d) 9 2 ; e) diverge; f) 0; g) pi; h) 1; i) 0; j) 1− ; k) diverge; l) 1; m) e 4) Diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Por último diga se a seqüência converge ou diverge: a) 23n 12n + + R: Crescente, limitada e convergente; b) ( ) 2n1− R: Não-monótona, limitada e divergente; c) n 21 n − R: Decrescente, limitada superiormente e divergente; d) n 4 �n sen � � � � � � R: Não-monótona, limitada e convergente. 5.3 Séries numéricas infinitas Definição: Dada uma sucessão na , diz-se que a soma de todos os termos desta sucessão, +∞ = =++++ 1n nn21 aaaa �� , é uma série numérica infinita. Observação: �==== +∞ = + +∞ = − +∞ = +∞ = 0m 1m 2j 1j 1i i 1n n aaaa . Soma de um número infinito de parcelas: Dada a sucessão na e a série infinita �� ++++= +∞ = n21 1n n aaaa , seja a sucessão de somas parciais definida abaixo: 11 aS = 21212 aSaaS +=+= 323213 aSaaaS +=++= � n1nn21n aSaaaS +=+++= −� EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 95 Daí, se a sucessão infinita �� ,S,,S,S,SS n321n = convergir para S, isto é, se SSlim n n = +∞→ , então a série infinita +∞ =1n na também convergirá para S � � � � � � � � == +∞→ +∞ = SSlima n n1n n . Exemplos: Determine se as séries numéricas infinitas abaixo convergem ou divergem: i) +∞ = +∞ = � � � � � � + −= 1n1n n 1n 1 n 1 a ii) +∞ =1n n iii) ( ) +∞ = +⋅1n 2nn 2 5.4 Série geométrica Definição: A série �� ++++=⋅ − +∞ = − 1n 1n 1n ararara é denominada de série geométrica, que é a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão r e 1º termo igual a a. Vamos determinar a convergência desta série. ( ) ( )nn n2 n 1n n r1aSr1 arararrS araraS −⋅=⋅− �� � � +++= +++= − − � � � ( ) �� � � =⋅ ≠ − −⋅ = 1r;an 1r; r1 r1a S n n � � ( ) ( ) = � � � � � � � � =⋅ < − −⋅ > − −⋅ = +∞→ +∞→ +∞→ +∞→ 1r;an lim 1r; r1 r1alim 1r; r1 r1alim Slim n n n n n n n � � � �� � =∞+ < − >∞+ = 1r; 1r; r1 a 1r; Daí, a série +∞ = − ⋅ 1n 1nra converge para r1 a − , se 1r < . Nos outros casos a série diverge. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 96 Resumindo, r1 a rara 0n n 1n 1n − =⋅=⋅ +∞ = +∞ = − , se 1r < . Exemplos: 1) Determine a convergência ou divergência das séries geométricas: i) +∞ =1n n2 ii) +∞ = − 1n n5 iii) +∞ = � � � � � � 0n n 8 7 2) Escreva as dízimas periódicas abaixo sob a forma de fração, utilizando série geométrica: i) 0,333... ii) 0,454545... iii) 0,1232323... iv) 1,235474747... 3) Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 6m sobre uma superfície plana. Cada vez que a bola atinge o plano, caindo de uma altura h, ela retorna a uma altura h 4 1 . Determine a distância total percorrida pela bola. R: 10 m 5.5 Exercícios 1) Verifique, através de uma mudança de índices, que as duas somas são idênticas: a) = + 10 2n 2 1n n e −= ++ +7 1k 2 106kk 3k b) ( ) = − − 12 2n n 1n 1 e ( ) = + − 11 1k 1k k 1 c) = − 25 4n 2 9n 1 e = − 28 7k 2 6kk 1 d) = 15 0n 2n !n 3 e ( ) −= + ⋅ 13 2n 2n !2n 381 2) Calcule os 5 primeiros termos de cada série na e então calcule os 5 primeiros termos da seqüência nS de suas somas parciais. Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial nS em função de n e determine se a série converge ou diverge. Se convergir calcule sua soma S: a) ( ) ( ) +∞ = +⋅−1n 12n12n 1 b) ∞+ = � � �� � + − 1n 32n 21ln EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 97 c) ( ) +∞ = +⋅ 1n 1nn d) +∞ = +1n 2 2nn 1 e) ( ) +∞ = +⋅ + 1n 22 1nn 12n R: a) � � � � � � ++++ 99 1 63 1 35 1 15 1 3 1 ; � � � � � � 11 5 , 9 4 , 7 3 , 5 2 , 3 1 ; 12n nSn + = ; 2 1S = b) ( ) ( )( )13ln3ln − ; � � � � � � + = 32n 3lnSn ; divergec) ( )30201262 ++++ ; ( )70,40,20,8,2 ; diverge d) �� � � �� � � � � � � � � −−+ 7 1 6 1 2 11 2 1 ; � � �� � + − + −= 2n 1 1n 1 2 3 2 1Sn ; 3S = e) � � � � � � − 36 11 ; ( ) 2n 1n 11S + −= ; 1S = 3) Encontre a série infinita com a seqüência de somas parciais dada, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma: a) 1n nSn + = b) ( ) nn 11S −−= c) 1nn 2 12S − −= d) nSn = R: a) ( ) 11nn 1 1n = +⋅ +∞ = ; b) ( ) diverge12 1n 1n ∴−⋅ +∞ = + ; c) 2 2 1 1n 1n = +∞ = − ; d) diverge1 1n ∴ +∞ = 4) Determine a convergência ou divergência das séries geométricas: a) +∞ =0n n10 3 R: 3 10 b) +∞ = − 0n n n 3 21 R: 2 3 − c) +∞ = + 1n 2n2 1 R: 4 1 d) ( ) +∞ = − − 1n n 1n 4 5 R: diverge e) +∞ = + 0n n 3n 3 2 R: 24 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 98 f) +∞ = + − 2n 1n3 1n 4 3 R: 15616 3 5) Escreva as dízimas periódicas abaixo sob a forma de fração, utilizando série geométrica: a) 0,777... b) 0,242424... c) 0,62454545... d) 0,112019019... 6) Mostre que as igualdades são verdadeiras nas seguintes séries geométricas (sugestão: resolva da direita para a esquerda): a) ( ) 1x, x1 1 x1 0n nn < + =⋅− +∞ = b) ( ) 1x, x1 1 x1 2 0n n2n < + =⋅− +∞ = 7) Encontre uma expansão em série para a expressão (utilize série geométrica): a) 1xpara x1 x < − R: +∞ = +∞ = + = 1n n 0n 1n xx b) 1xpara x1 x < + R: ( ) +∞ = + ⋅− 0n 1nn x1 c) 1xpara x1 x 2 <+ R: ( ) +∞ = + ⋅− 0n 1n2n x1 5.6 Série harmônica É a série +∞ =1n n 1 , que é divergente (provaremos este fato posteriormente no teste da integral). 5.7 Séries positiva, negativa e alternada Série positiva (ou série de termos positivos) é a série em que todas as suas parcelas são positivas. Série negativa (ou série de termos negativos) é a série em que todas as suas parcelas são negativas. Série alternada é a série em que suas parcelas são alternadamente positivas e negativas. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 99 Exemplo: ( ) +∞ = − 1n n !n 1 . Numa série positiva, nS é monótona crescente; numa série negativa, nS é monótona decrescente. 5.8 Observações importantes Observação: Se numa série infinita acrescentarmos ou retirarmos um número finito de parcelas não alteraremos sua natureza, isto é, se ela era convergente continuará convergente e se era divergente continuará divergente. Exemplos: 1) +∞ = − � � � � � � 8n 1n 5 3 2) +∞ = 281n n 1 Teorema: Se +∞ =1n na e +∞ =1n nb são séries convergentes com somas A e B, respectivamente, então: i) ( ) +∞ = + 1n nn ba converge e tem soma A+B; ii) Se ℜ∈c então ( ) +∞ = ⋅ 1n nac converge e tem soma c.A; iii) ( ) +∞ = − 1n nn ba converge e tem soma A–B. Exemplo: Mostre que a série ( ) +∞ = + � � � � � + +⋅1n 1n3 2 2nn 10 converge para 6 47 . Teorema: Sejam +∞ =1n na e +∞ =1n nb séries infinitas. i) Se +∞ =1n na e +∞ =1n nb convergem então ( ) +∞ = ± 1n nn ba converge; ii) Se +∞ =1n na converge e +∞ =1n nb diverge então ( ) +∞ = ± 1n nn ba diverge; iii) Se +∞ =1n na e +∞ =1n nb divergem então ( ) +∞ = ± 1n nn ba pode convergir ou divergir. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 100 Observação: Como geralmente é difícil encontrar uma fórmula simples para nS e, conseqüentemente, encontrar S, caso exista, apresentaremos algumas técnicas para testar a convergência de uma série, nos preocupando apenas com a sua natureza (convergente ou divergente). Série alternada: é a série infinita cujos termos são alternadamente positivos e negativos. Geralmente a representamos na forma ( ) +∞ = ⋅− 1n n n a1 , onde 0a i > . 5.9 Critérios de convergência 5.9.1 TERMO GERAL Teorema: Se +∞ =1n na converge então 0alim n n = +∞→ (critério de convergência). Teorema: Se 0alim n n ≠ +∞→ então +∞ =1n na diverge (critério de divergência). Exemplos: 1) ( ) +∞ =1n nln 2) +∞ = +1n 1n n 3) +∞ =1n n 1 5.9.2 CRITÉRIOS DE COMPARAÇÃO i) Com uma série: Se os termos de uma série positiva forem menores ou iguais aos termos correspondentes de uma série convergente então esta série também converge. Se os termos de uma série positiva forem maiores ou iguais aos termos correspondentes de uma série divergente então esta série também diverge. Exemplos: 1) ( ) +∞ =2n nln 1 2) +∞ =2n !n 1 3) ( ) +∞ = +1n n5nsen 1 4) +∞ = +1n n31 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 101 ii) Com uma integral: Seja ( )xfy = uma função obtida pela introdução da variável contínua x no lugar da variável discreta n em na , termo geral de +∞ =1n na . Se ( )xf for decrescente então ( )� ∞+ 1 dxxf e +∞ =1n na convergem ou divergem, simultaneamente. Exemplos: 1) Mostre que a série harmônica generalizada (ou série-p ou p-série) +∞ =1n pn 1 converge para 1p > e diverge para 1p ≤ . 2) Utilizando o resultado do exercício 1, diga se as séries harmônicas generalizadas abaixo convergem ou divergem: a) +∞ =1n 2n 1 b) +∞ =1n n 1 c) +∞ = − 1n 3n 1 3) Use o teste da integral para determinar se as séries dadas convergem ou divergem: a) +∞ = +1n 2 1n 1 b) ( )( ) +∞ = ⋅2n 4 1 nlnn 1 4) Use o teste da comparação com uma série para determinar a convergência ou divergência das séries: a) +∞ = +1n 2 17n 1 b) +∞ = +1n 2n 1 iii) Com um limite: Sejam +∞ =1n na e +∞ =1n nb , duas séries com 0an > e 0bn > , tal que k b alim n n n = +∞→ . � Se 0k > e ℜ∈k então ou ambas as séries convergem ou ambas divergem; � Se 0k = então se +∞ =1n nb converge então +∞ =1n na converge; � Se +∞→k então se +∞ =1n nb diverge então +∞ =1n na diverge. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 102 Exemplos: Determine a convergência das séries: a) +∞ = +1n 5 2 3n 1 b) ( ) +∞ = +⋅ + 1n 3n 23 1n3 n2n c) ( ) +∞ =1n 4n nln d) +∞ = +1n 12n 1 5.9.3 TESTE DE LEIBNIZ PARA SÉRIES ALTERNADAS Seja ( ) +∞ = ⋅− 0n n n a1 uma série alternada. Se 0aa 1kk >≥ + para todo inteiro positivo k (ou seja, decrescente) e 0alim n n = +∞→ então ( ) +∞ = ⋅− 0n n n a1 converge. Exemplos: Estude a convergência das séries: a) ( ) +∞ = − − 1n 1n n 1 b) ( ) ( ) +∞ = + + +⋅− 1n 1n 7n 1n1 Teorema: Se ( ) +∞ = ⋅− 0n n n a1 é uma série alternada convergente então o erro cometido ao aproximarmos a soma S da série pela soma parcial de ordem n, nS , é numericamente inferior a 1na + . Exemplo: Dê uma estima numérica para a soma da série ( ) +∞ = − − 1n 5 1n n 1 com uma precisão de 3 casas decimais. Solução: Em primeiro lugar verifique que a série converge (use Leibniz). Assim, ( ) 0,00051n 1 aR 51nn =+ =< + . Daí, ( ) 4n4n320001n 5 =�<<�=+ . Logo, ( ) 0,972S 4 1 3 1 2 11 n 1SS 555 4 1n 5 1n 4 ≈�−+−= − =≈ = − . Convergência absoluta: Diz-se que uma série infinita +∞ =1n na é absolutamente convergente se a série +∞ =1n na é convergente. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 103 Exemplo: A série ( ) +∞ = − − 1n 3 1n n 1 é absolutamente convergente pois a série ( ) +∞ = +∞ = − = − 1n 3 1n 3 1n n 1 n 1 é a série-p convergente ( )1p > . Teorema: Se uma série infinita converge absolutamente então ela converge.Exemplo: Estude a convergência da série ( ) +∞ =1n 2n nsen . Definição: Uma série que é convergente, mas não absolutamente, é dita condicionalmente convergente. Exemplo: ( ) +∞ = − − 1n 1n n 1 5.9.4 TESTE DA RAZÃO Seja +∞ =0n na uma série infinita, onde l a alim n 1n n = + +∞→ . Daí: i) Se 1l < , a série +∞ =0n na converge absolutamente; ii) Se 1l > , a série +∞ =0n na diverge; iii) Se 1l = , nada podemos afirmar. Exemplos: 1) +∞ =0n n3 !n 2) +∞ =1n n2 n 3) ( ) +∞ = ⋅− 0n nn !n 21 4) +∞ = ⋅1n n3n !n EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 104 5.9.5 TESTE DA RAIZ Seja +∞ =0n na uma série infinita, onde lalim n n n = +∞→ . Daí: i) Se 1l < , a série +∞ =0n na converge; ii) Se 1l > , a série +∞ =0n na diverge; iii) Se 1l = , nada podemos afirmar. Exemplos: 1) +∞ =1n n 2n n e 2) +∞ = � � � � � � +1n n 12n n 3) +∞ = � � � � � � +1n n 13n 5n 5.10 Exercícios 1) Utilize os critérios da divergência para determinar a natureza das séries: a) +∞ =1n 2 n n e b) +∞ = ++ + 1n 23 3 1nn 1n c) +∞ = � � � � � � + 1n n n 1n d) ( ) +∞ = ⋅ 1n n nlne 2) Utilize o teste da comparação com uma série para determinar se cada série converge ou diverge: a) +∞ = ++1n 4 2 13nn n b) +∞ = ⋅1n n5n 1 c) +∞ = +1n 3 7 3n 5n d) +∞ = +1n 3 1n 8 e) +∞ = ++1n 3 2 34nn n f) +∞ = ++1n 3 34nn 1 R: a) converge; b) converge; c) converge; d) diverge; e) diverge; f) converge 3) Use o teste da integral para determinar se cada série converge ou diverge: a) +∞ = ⋅1n 3 nn 1 b) +∞ = +1n 2 4n 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 105 c) +∞ = +1n 3 2 16n 3n d) 2 1n n 1000 ∞+ = � � � � � � e) +∞ = − ⋅ 1n nen f) ( ) ( )( ) +∞ = ⋅⋅3n nlnlnnlnn 1 R: a) converge; b) converge; c) diverge; d) converge; e) converge; f) diverge 4) Utilize o teste da comparação de limite para determinar se cada série converge ou diverge: a) +∞ = −2n 3 1n 1 b) +∞ = +1n n1 1 c) +∞ = + ++ 1n 3 2 1n 12n3n d) +∞ = + + 1n 2 n9n2n 100n5 e) +∞ = � � � � � � 1n n � sen f) +∞ = + + 1n n n 51 21 R: a) converge; b) diverge; c) diverge; d) converge; e) diverge; f) converge; 5) Dê uma estimativa numérica para a soma da série ( )( ) +∞ = + − 0n n !12n 1 com uma precisão de 3 casas decimais. R: 0,842 6) O mesmo exercício anterior para a série ( ) +∞ = − 0n n !n 1 . R: 0,367 7) Aplique o teste da razão para determinar se cada série converge absolutamente ou diverge: a) ( ) +∞ = + ⋅ ⋅− 1n n n1n 4n 51 b) ( ) ( ) ∞+ = + +⋅− 1n 31n !n 1n1 c) ( )( ) +∞ = + ⋅− 1n n1n !3n 71 d) ( ) ( ) +∞ = −⋅− 1n n n e !12n1 e) ( )( ) +∞ = + ⋅− 1n n 41n 1,02 n1 f) ( ) ( ) ∞+ = +⋅− 1n n nn 2 e11 R: a) diverge (D); b) converge absolutamente (CA); c) CA; d) D; e) CA; f) D EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 106 5.11 Séries de Potências Definição: Se x é uma variável então uma série da forma +∞ = ⋅ 0n n n xa é denominada uma série de potências de x. Analogamente, ( ) +∞ = −⋅ 0n n 0n xxa é uma série de potências de 0xx − . Definição: Dizemos que uma série de potências +∞ = ⋅ 0n n n xa converge em ℜ∈c se +∞ = ⋅ 0n n n ca converge. Dizemos que a série converge no conjunto S se +∞ = ⋅ 0n n n da converge para todo Sd ∈ . Teorema: Se +∞ = ⋅ 0n n n xa converge para 0c ≠ então ela converge absolutamente para todo x tal que cx < . Se uma série de potências diverge para um número 0d ≠ então ela diverge para todo x tal que dx > . Existem, então, três possibilidades para uma série de potências: 1ª) A série converge apenas em 0x = ; 2ª) A série é absolutamente convergente para todos os números reais x; 3ª) Existe um número positivo r tal que a série converge para rx < e diverge para rx > . Associado a cada caso existe um raio de convergência: 1ª) O raio de convergência é zero; 2ª) O raio de convergência tende a ∞+ ; 3ª) O raio de convergência é r. Observação: Para determinarmos o raio de convergência utilizaremos, inicialmente, o teste da razão. Exemplos: Determine os valores de x para os quais as séries convergem (intervalo de convergência – IC): 1) ( ) +∞ = ⋅ − 1n n n x n 1 2) +∞ = ⋅ 1n n 2 xn 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 107 3) +∞ = ⋅ 1n n n x 6 n 4) ( ) +∞ = ⋅ 1n n x !3n !n 5.12 Exercícios Determine o intervalo de convergência (IC) das seguintes séries: 1) +∞ = ⋅ 0n n x!n 2) ( ) +∞ = −⋅ 1n n2xn 3) +∞ = ⋅ +0n n x 1n 1 4) +∞ = ⋅ 1n n 2 n x n 2 5) ( ) +∞ = ⋅ +1n n x 1nln 1 6) ( ) +∞ = ⋅ 0n n x !2n 1 7) ( ) +∞ = −⋅ ⋅1n n n 3x n2 1 8) +∞ = ⋅ 1n n n x n 2 9) ( ) ( ) +∞ = −⋅ − 1n n n n 5x 10 1 10) ( ) +∞ = +⋅ 0n n n 7x !n 100 11) +∞ = � � � � � � −⋅ 1n n 1 4 x n 1 12) +∞ = ⋅ 0n n x !n 1 13) ( ) +∞ = −+⋅ 1n 1n 2 2xn 1 14) ( )( ) +∞ = ⋅ + ⋅− 0n n 3 nn x 1n 21 15) ( ) ( ) +∞ = −⋅ ⋅+0n n n x1 31n 1 16) +∞ = ⋅ 0n nn x7 R: 1) ( )1,3 ; 2) ( )1,3 ; 3) [ )1,1− ; 4) � � �� � − 2 1 , 2 1 ; 5) ℜ; 6) ℜ; 7) [ )1,5 ; 8) � � � �� � − 2 1 , 2 1 ; 9) ( )5,15− ; 10) ℜ; 11) [ )0,8 ; 12) ℜ; 13) [ ]13,−− ; 14) � � �� � − 2 1 , 2 1 ; 15) ( ]2,4− ; 16) � � � � � � − 7 1 , 7 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 108 5.13 Diferenciação e Integração de Série de Potências Teorema: Se ( ) +∞ = ⋅= 0n n n xaxf , ( )cc,x −∈∀ então f é diferenciável em ( )cc,− e ( ) ( ) +∞ = − +∞ = +∞ = ⋅⋅=⋅= � � � � � � � � ⋅=′ 1n 1n n 0n n n 0n n n xanxadx d xa dx d xf Exemplos: 1) Sabendo-se que a função ( ) xexf = pode ser representada como uma série de potências na forma ( ) +∞ = == 0n n x !n x exf , mostre que ( ) xexf =′ . 2) Seja a série geométrica 1x; x1 1 x 1n 1n < − = +∞ = − . Suponhamos ( ) 1x; n x xg 1n n <= +∞ = . Como ( ) 1x; x1 1 x n xn xg 1n 1n 1n 1n < − == ⋅ =′ +∞ = − +∞ = − e ( ) 00g = , temos que ( ) ( ) 1x; x1 1lnx1lndx x1 1 xg <� � � � � � − =−−= − = � . Daí, 1x; x1 1ln n x 1n n <� � � � � � − = +∞ = . 3) Sabendo-se que ( ) +∞ = − =− 1n n n x x1ln , determinaremos a série para a função ( ) ( ) 3x1 1 xf − = . ( ) +∞ = − =− 1n n n x x1ln � +∞ = − −= − − 1n 1n x x1 1 � � ( ) ( ) +∞ = − ⋅−−= − − 2n 2n 2 x1n x1 1 � � ( ) ( ) ( ) +∞ = − ⋅−⋅−−= − − 3n 3n 3 x2n1n x1 2 � � ( ) ( ) ( ) +∞ = − ⋅−⋅−⋅= − 3n 3n 3 x2n1n2 1 x1 1 � EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 109 � ( ) ( ) +∞ = − ⋅+⋅⋅= − 1n 1n 3 x1nn2 1 x1 1 Teorema: Se ( ) +∞ = ⋅= 0n n n xaxf converge em ( )cc,− então f é integrável em ( )cc,− e ( ) ( ) Cx 1n adxxadxxadxxf 0n 1nn 0n n n 0n n n +⋅+ =⋅= � � � � � � � � ⋅= �� � +∞ = + +∞ = +∞ = . Teorema: [ ] � +∞ = ++ +∞ = −⋅ + = � � � � � � � � ⋅ 0n 1n1nnd c 0n n n cd1n adxxa Exemplos: 1) Seja ( ) ( ) ( )1,1x;x1x1 1 x1 1 0n nn −∈⋅−= −− = + +∞ = . ( )� � � � � � � � ⋅−= + +∞ = dxx1dx x1 1 0n nn � ( ) ( ) Cx 1n 1 x1ln 0n 1n n +⋅ + − =+ +∞ = + 0C0x =�= . Daí, ( ) ( ) ( ) ( )1,1x;x n 1 x 1n 1 x1ln 1n n 1n 0n 1nn −∈⋅ − =⋅ + − =+ +∞ = −+∞ = + . 2) Analogamente, ( ) ( ) ( )1,1x;x1x1 1 x1 1 0n 2nn 22 −∈⋅−= −− = + +∞ = . ( ) ( ) Cx 12n 1 xarctg 0n 12n n +⋅ + − = +∞ = + . 0C0x =�= . Daí, ( ) ( ) ( )1,1x;x 12n 1 xarctg 0n 12n n −∈⋅ + − = +∞ = + . 5.14 Séries de Taylor e MacLaurin Teorema: Se a expansão em série de potências de uma função f é ( ) ( ) +∞ = −⋅= 0n n 0n xxaxf , para todo x em um intervalo aberto I contendo 0x , então ( )( ) !n xf a 0 n n = e ( ) ( ) ( ) +∞ = −⋅= 0n n 0 0 n xx !n xf xf . Demonstração: Seja ( ) ( ) ( ) �=�−⋅= +∞ = 00 0n n 0n axfxxaxf ( )00 xfa = EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 110 ( ) ( ) ( ) �=′�−⋅⋅=′ +∞ = − 10 1n 1n 0n axfxxanxf ( )01 xfa ′= ( ) ( ) ( ) ( ) �=′′�−⋅⋅−⋅=′′ +∞ = − 20 2n 2n 0n 2axfxxa1nnxf ( ) 2 xf a 02 ′′ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �⋅=′′′�−⋅⋅−⋅−⋅=′′′ +∞ = − 30 3n 3n 0n 2a3xfxxa2n1nnxf � ( ) 23 xf a 03 ⋅ ′′′ = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �−⋅⋅−⋅−⋅−⋅= +∞ = − 4n 4n 0n iv xxa3n2n1nnxf ( )( ) �⋅⋅=� 40iv 2a34xf ( )( ) 234 xf a 0 iv 4 ⋅⋅ = Daí, ( )( ) !n xf a 0 n n = . Logo, ( ) ( ) ( ) +∞ = −⋅= 0n n 0 0 n xx !n xf xf . Definição: Se uma função f é de classe ∞C em 0xx = então a série ( ) ( ) ( ) +∞ = −⋅= 0n n 0 0 n xx !n xf xf é denominada série de Taylor de f em 0x . Além disso, se 0x0 = , essa série é também conhecida como a série de MacLaurin de f ( ) ( ) � � � � � � � � ⋅= +∞ =0n n n x !n 0f xf . 5.15 Exercícios 1) Determine as séries de Taylor das funções dadas em torno do ponto 0x : a) ( ) 0x;exf 0x == b) ( ) 1x;exf 0x −== c) ( ) 1x; x 1 xf 0 == d) ( ) ( ) 1x;xlnxf 0 == e) ( ) ( ) 0x;xsenxf 0 == f) ( ) ( ) �x;xsenxf 0 == g) ( ) ( ) 0x;xcosxf 0 == h) ( ) ( ) 2 � x;xcosxf 0 == i) ( ) ( ) 0x;xarctgxf 0 == R: a) +∞ =0n n !n x b) ( ) +∞ = ⋅ + 0n n !ne 1x c) ( ) ( )[ ] +∞ = −⋅− 0n nn 1x1 d) ( ) ( ) +∞ = − −⋅− 1n n1n n 1x1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 111 e) ( )( ) +∞ = + + ⋅− 0n 12nn !12n x1 f) ( ) ( )( ) +∞ = ++ + −⋅− 0n 12n1n !12n �x1 g) ( )( ) +∞ = ⋅− 0n 2nn !2n x1 h) ( ) ( ) ∞+ = + + + � � � � � � −− 0n 12n 1n !12n 2 � x1 i) ( ) +∞ = + + ⋅− 0n 12nn 12n x1 2) Encontre a série de MacLaurin para ( ) ( )2xsenxf = (sugestão: utilize a o resultado do exercício 1e). R: ( )( ) +∞ = + + ⋅− 0n 24nn !12n x1 3) Encontre a série de MacLaurin para ( ) ( )xcosxf = (sugestão: utilize a o resultado do exercício 1g). R: ( )( ) +∞ = ⋅− 0n nn !2n x1 4) Encontre a série de MacLaurin para ( ) ( )32 xcosxxf ⋅= . R: ( )( ) +∞ = + ⋅− 0n 2n6n !2n x1 5) Determine a série de MacLaurin para a função ( ) ( )xsenhxf = , sabendo-se que ( ) ( )xx ee 2 1 xsenh −−⋅= e para a função ( ) ( )xcoshxf = , sabendo-se que ( ) ( )xx ee 2 1 xcosh −+⋅= . R: ( ) +∞ = + +0n 12n !12n x e ( ) +∞ =0n 2n !2n x 6) Use uma série de potências para aproximar � − 1 0 x dxe 2 com um erro menor que 0,01. (Sugestão: Escreva o integrando como uma série utilizando o exercício 1ª. Integre esta soma. Some os 4 primeiros termos.) R: 0,74 7) Idem para: a) ( )� 2 � 0 dx x xsen com um erro menor que 0,0001. R: 1,3708 b) ( )� ⋅2 � 0 dxxcosx com um erro menor que 0,0001. R: 0,7040
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