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Sequencias e Series de Numeros Reais

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
91
5 Seqüências e séries numéricas 
 
5.1 Sucessões ou seqüências 
 
Definição: Uma sucessão ou seqüência é uma relação cujo domínio é um 
conjunto dos números naturais e os números da imagem da relação são chamados de 
elementos da sucessão. 
1⋅⋅⋅⋅
2⋅⋅⋅⋅
3⋅⋅⋅⋅
����
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a3
����
��������
 
Uma seqüência infinita é denotada por { }na ou na e representada por 
{ } { }�� ,a,,a,a,aa n321n = ou �� ,a,,a,a,aa n321n = , onde 1a é o 
primeiro termo da sucessão e na é o termo geral. 
 
Exemplos: 
 i) �� ,3n,,6,5,4,3an += 
 ii) *n Nn;
n
10
a ∈= 
 iii) �� ,2,,2,2,2,2an = 
 iv) ( ) �� ,1,,1,1,1,1a nn −−−= 
 v) ( ) *
n
n
n Nn;2
1
a ∈
−
= 
 
Definição: Uma sucessão na é dita convergente para ℜ∈L se Lalim n
n
=
+∞→
. 
Caso contrário, ela é dita divergente. 
 
Exemplos: Verifique se as sucessões convergem ou divergem: 
 i) 3nan += 
 ii) *n Nn;
n
10
a ∈= 
 iii) 2an = 
 iv) ( )nn 1a −= 
 v) *
n
n Nn;2
1
a ∈�
�
�
�
�
�
−= 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
92
 vi) ( ) *n Nn;
n
nln
a ∈= 
 vii) 1n
n
n 3
2
a
+
= 
 viii) 
25n
3nn
a 2
3
n
+
−
= 
 ix) *n Nn;
n
1
senna ∈�
�
�
�
�
�
⋅= 
 
Definição: Uma seqüência na é dita crescente (decrescente) se 1nn aa +< 
( )1nn aa +> , n∀ . 
 
Observação: Uma seqüência que seja sempre crescente, sempre decrescente ou 
sempre constante é chamada monótona. 
 
Exemplos: Verifique se as seqüências abaixo são monótonas: 
 i) 
23n
12n
−
+
 
 ii) �
�
�
�
�
�
2
n�
sen 
 
Definição: Um número I (S) é dito cota inferior (superior) de uma sucessão 
na se naI ≤ ( )naS ≥ , n∀ . 
 
Definição: Se na tem cota inferior (superior) diz-se que ela é limitada 
inferiormente (superiormente). Se uma seqüência é limitada superior e inferiormente 
diz-se que ela é limitada. 
 
Exemplos: Verifique se as seqüências são limitadas: 
 i) 3n + 
 ii) *Nn;
n
10
∈ 
 iii) ( )n1− 
 iv) 
n
2
1
�
�
�
�
�
�
− 
 v) *Nn;
12n
1
∈
−
 
 vi) ( )
12n
n1 n
+
⋅− 
 vii) 
n2
!n
 
 
Definição: Toda seqüência limitada e monótona é convergente. 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
93
5.2 Exercícios 
 
OBS: a maior parte dos exercícios deste capítulo foram retirados do livro de 
Cálculo, volume 2, Munem-Foulis. 
 
1) Calcule os 6 primeiros termos de cada seqüência e também o 100º, supondo 
*Nn ∈ : 
a) 1n2 + R: 001.10;37;26;17;10;5;2 
b) ( )
1n
1 1n
+
−
+
 R: 
101
1
;
7
1
;
6
1
;
5
1
;
4
1
;
3
1
;
2
1
−−−− 
c) 
5n
n
2 +
 R: 
005.10
100
;
41
6
;
30
5
;
21
4
;
14
3
;
9
2
;
6
1
 
d) 
n
12 + R: 
100
201
;
6
13
;
5
11
;
4
9
;
3
7
;
2
5
;3 
 
2) Encontre a expressão do termo geral da seqüência: 
a) �,
2
7
,3,
2
5
,2,
2
3
,1,
2
1
 R: 
2
1n
an
+
= 
b) �,1,0,1,0,1,0,1 R: ( )( )��
	
∈+=
∈=
=
Npe12pnímparn;0
Npe2pnparn;1
an 
c) �,
6
1
,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
 R: *n Nn;1n
1
a ∈
+
= 
d) �,121,81,49,25,9,1 R: ( ) 2n 12na += OU 
 ( ) *2n Nn;12na ∈−= 
 
3) Determine se cada seqüência abaixo converge ou diverge. Se convergir, 
calcule seu limite: 
a) 
n
100
 
b) 
15n
n
2
2
+
 
c) 
2n7n
5nn
3
3
+
−
 
d) 
59n
12n
2
2
+
+
 
e) 
13n
5n2
+
 
f) ( )
n
n
10
1−
 
g) �
�
�
�
�
�
⋅
+
+
2n
�
sen
1n
n2n2
 
h) 
nn
nn
33
33
−
−
−
+
 
i) ( )
1n
1nln
+
+
 
j) ( )4nln
n
1ln
+
�
�
�
�
�
�
 
k) 
n1n
1
2
−+
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
94
l) n
1
n m) 
n
n
11 �
�
�
�
�
�
+ 
R: a) 0; b) 
5
1
; c) 
7
1
; d) 
9
2
; e) diverge; f) 0; g) pi; h) 1; i) 0; j) 1− ; k) diverge; 
 l) 1; m) e 
 
4) Diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou não-monótona e também 
se é limitada superiormente ou inferiormente. Por último diga se a seqüência 
converge ou diverge: 
a) 
23n
12n
+
+
 R: Crescente, limitada e convergente; 
b) ( ) 2n1− R: Não-monótona, limitada e divergente; 
c) 
n
21
n
− R: Decrescente, limitada superiormente e divergente; 
d) 
n
4
�n
sen �
�
�
�
�
�
 R: Não-monótona, limitada e convergente. 
 
 
5.3 Séries numéricas infinitas 
 
Definição: Dada uma sucessão na , diz-se que a soma de todos os termos 
desta sucessão, 
+∞
=
=++++
1n
nn21 aaaa �� , é uma série numérica infinita. 
 
Observação: �==== 
+∞
=
+
+∞
=
−
+∞
=
+∞
= 0m
1m
2j
1j
1i
i
1n
n aaaa . 
 
Soma de um número infinito de parcelas: 
Dada a sucessão na e a série infinita �� ++++=
+∞
=
n21
1n
n aaaa , seja a 
sucessão de somas parciais definida abaixo: 
11 aS = 
21212 aSaaS +=+= 
323213 aSaaaS +=++= 
� 
n1nn21n aSaaaS +=+++= −� 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
95
Daí, se a sucessão infinita �� ,S,,S,S,SS n321n = convergir para S, 
isto é, se SSlim n
n
=
+∞→
, então a série infinita 
+∞
=1n
na também convergirá para S 
�
�
�
�
�
�
�
�
==
+∞→
+∞
=
 SSlima n
n1n
n . 
 
Exemplos: Determine se as séries numéricas infinitas abaixo convergem ou 
divergem: 
 i) 
+∞
=
+∞
=
�
�
�
�
�
�
+
−=
1n1n
n 1n
1
n
1
a 
 ii) 
+∞
=1n
n 
 iii) ( )
+∞
=
+⋅1n 2nn
2
 
 
 
5.4 Série geométrica 
 
Definição: A série �� ++++=⋅ −
+∞
=
−
 1n
1n
1n ararara é denominada de série 
geométrica, que é a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão r e 1º 
termo igual a a. 
Vamos determinar a convergência desta série. 
( ) ( )nn
n2
n
1n
n
r1aSr1
arararrS
araraS
−⋅=⋅−
��
�
�
	
+++=
+++=
−
−
�
�
 � 
( )
��
�
�
	
=⋅
≠
−
−⋅
=
1r;an
1r;
r1
r1a
S
n
n � 
 � 
( )
( )
=
�
�
�
�
�
�
�
�
	
=⋅
<
−
−⋅
>
−
−⋅
=
+∞→
+∞→
+∞→
+∞→
1r;an lim
1r;
r1
r1alim
1r;
r1
r1alim
Slim
n
n
n
n
n
n
n
 
 
�
�
�
��
�
	
=∞+
<
−
>∞+
=
1r;
1r;
r1
a
1r;
 
Daí, a série 
+∞
=
−
⋅
1n
1nra converge para 
r1
a
−
, se 1r < . Nos outros casos a série 
diverge. 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
96
Resumindo, 
r1
a
rara
0n
n
1n
1n
−
=⋅=⋅ 
+∞
=
+∞
=
−
, se 1r < . 
 
Exemplos: 
1) Determine a convergência ou divergência das séries geométricas: 
 i) 
+∞
=1n
n2 
 ii) 
+∞
=
−
1n
n5 
 iii) 
+∞
=
�
�
�
�
�
�
0n
n
8
7
 
 
2) Escreva as dízimas periódicas abaixo sob a forma de fração, utilizando série 
geométrica: 
 i) 0,333... 
 ii) 0,454545... 
 iii) 0,1232323... 
 iv) 1,235474747... 
 
3) Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 6m sobre uma 
superfície plana. Cada vez que a bola atinge o plano, caindo de uma altura h, ela 
retorna a uma altura h
4
1
. Determine a distância total percorrida pela bola. R: 10 m 
 
 
5.5 Exercícios 
 
1) Verifique, através de uma mudança de índices, que as duas somas são 
idênticas: 
a) 
=
+
10
2n
2 1n
n
 e 
−=
++
+7
1k
2 106kk
3k
 
b) ( )
=
−
−
12
2n
n
1n
1
 e 
( )
=
+
−
11
1k
1k
k
1
 
c) 
=
−
25
4n
2 9n
1
 e 
=
−
28
7k
2 6kk
1
 
d) 
=
15
0n
2n
!n
3
 e ( )
−=
+
⋅
13
2n
2n
!2n
381
 
 
2) Calcule os 5 primeiros termos de cada série 
 na e então calcule os 5 
primeiros termos da seqüência nS de suas somas parciais. Encontre uma 
fórmula para a n-ésima soma parcial nS em função de n e determine se a 
série converge ou diverge. Se convergir calcule sua soma S: 
a) ( ) ( )
+∞
=
+⋅−1n 12n12n
1
 b) 
∞+
=

�
�
��
�
+
−
1n 32n
21ln 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
97
c) ( )
+∞
=
+⋅
1n
1nn 
d) 
+∞
=
+1n
2 2nn
1
 
e) ( )
+∞
=
+⋅
+
1n
22 1nn
12n
 
R: a) �
�
�
�
�
�
++++
99
1
63
1
35
1
15
1
3
1
; �
�
�
�
�
�
11
5
,
9
4
,
7
3
,
5
2
,
3
1
; 
12n
nSn +
= ; 
2
1S = 
 b) ( ) ( )( )13ln3ln − ; �
�
�
�
�
�
+
=
32n
3lnSn ; divergec) ( )30201262 ++++ ; ( )70,40,20,8,2 ; diverge 
 d) ��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
−−+
7
1
6
1
2
11
2
1
; 
�
�
��
�
+
−
+
−=
2n
1
1n
1
2
3
2
1Sn ; 3S = 
 e) �
�
�
�
�
�
−
36
11 ; ( ) 2n 1n
11S
+
−= ; 1S = 
 
3) Encontre a série infinita com a seqüência de somas parciais dada, determine 
se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma: 
a) 
1n
nSn +
= 
b) ( ) nn 11S −−= 
c) 1nn 2
12S
−
−= 
d) nSn = 
R: a) ( ) 11nn
1
1n
=
+⋅
+∞
=
; b) ( ) diverge12
1n
1n ∴−⋅
+∞
=
+ ; c) 2
2
1
1n
1n =
+∞
=
−
; 
 d) diverge1
1n
∴
+∞
=
 
 
4) Determine a convergência ou divergência das séries geométricas: 
a) 
+∞
=0n
n10
3
 R: 
3
10
 
b) 
+∞
=
−
0n
n
n
3
21
 R: 
2
3
− 
c) 
+∞
=
+
1n
2n2
1
 R: 
4
1
 
d) ( )
+∞
=
−
−
1n
n
1n
4
5
 R: diverge 
e) 
+∞
=
+
0n
n
3n
3
2
 R: 24 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
98
f) 
+∞
=
+
−
2n
1n3
1n
4
3
 R: 
15616
3
 
 
5) Escreva as dízimas periódicas abaixo sob a forma de fração, utilizando 
série geométrica: 
a) 0,777... 
b) 0,242424... 
c) 0,62454545... 
d) 0,112019019... 
 
6) Mostre que as igualdades são verdadeiras nas seguintes séries geométricas 
(sugestão: resolva da direita para a esquerda): 
a) ( ) 1x,
x1
1
x1
0n
nn <
+
=⋅−
+∞
=
 
b) ( ) 1x,
x1
1
x1 2
0n
n2n <
+
=⋅−
+∞
=
 
 
7) Encontre uma expansão em série para a expressão (utilize série geométrica): 
a) 1xpara
x1
x
<
−
 R: 
+∞
=
+∞
=
+
=
1n
n
0n
1n
xx 
b) 1xpara
x1
x
<
+
 R: ( )
+∞
=
+
⋅−
0n
1nn
x1 
c) 1xpara
x1
x
2 <+
 R: ( )
+∞
=
+
⋅−
0n
1n2n
x1 
 
 
5.6 Série harmônica 
 
É a série 
+∞
=1n n
1
, que é divergente (provaremos este fato posteriormente no teste 
da integral). 
 
 
5.7 Séries positiva, negativa e alternada 
 
Série positiva (ou série de termos positivos) é a série em que todas as suas 
parcelas são positivas. 
 
Série negativa (ou série de termos negativos) é a série em que todas as suas 
parcelas são negativas. 
 
Série alternada é a série em que suas parcelas são alternadamente positivas e 
negativas. 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
99
Exemplo: ( )
+∞
=
−
1n
n
!n
1
. 
 
Numa série positiva, nS é monótona crescente; numa série negativa, nS é 
monótona decrescente. 
 
 
5.8 Observações importantes 
 
Observação: Se numa série infinita acrescentarmos ou retirarmos um número 
finito de parcelas não alteraremos sua natureza, isto é, se ela era convergente 
continuará convergente e se era divergente continuará divergente. 
 
Exemplos: 
1) 
+∞
=
−
�
�
�
�
�
�
8n
1n
5
3
 
2) 
+∞
= 281n n
1
 
 
Teorema: Se 
+∞
=1n
na e 
+∞
=1n
nb são séries convergentes com somas A e B, 
respectivamente, então: 
 i) ( )
+∞
=
+
1n
nn ba converge e tem soma A+B; 
 ii) Se ℜ∈c então ( )
+∞
=
⋅
1n
nac converge e tem soma c.A; 
 iii) ( )
+∞
=
−
1n
nn ba converge e tem soma A–B. 
 
Exemplo: Mostre que a série ( )
+∞
=
+ 
�
�
�
�
�
+
+⋅1n
1n3
2
2nn
10
 converge para 
6
47
. 
 
Teorema: Sejam 
+∞
=1n
na e 
+∞
=1n
nb séries infinitas. 
 i) Se 
+∞
=1n
na e 
+∞
=1n
nb convergem então ( )
+∞
=
±
1n
nn ba converge; 
 ii) Se 
+∞
=1n
na converge e 
+∞
=1n
nb diverge então ( )
+∞
=
±
1n
nn ba diverge; 
 iii) Se 
+∞
=1n
na e 
+∞
=1n
nb divergem então ( )
+∞
=
±
1n
nn ba pode convergir 
ou divergir. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
100
 
Observação: Como geralmente é difícil encontrar uma fórmula simples para 
nS e, conseqüentemente, encontrar S, caso exista, apresentaremos algumas técnicas 
para testar a convergência de uma série, nos preocupando apenas com a sua natureza 
(convergente ou divergente). 
 
Série alternada: é a série infinita cujos termos são alternadamente positivos e 
negativos. Geralmente a representamos na forma ( )
+∞
=
⋅−
1n
n
n
a1 , onde 0a i > . 
 
 
5.9 Critérios de convergência 
 
5.9.1 TERMO GERAL 
Teorema: Se 
+∞
=1n
na converge então 0alim n
n
=
+∞→
 (critério de convergência). 
Teorema: Se 0alim n
n
≠
+∞→
 então 
+∞
=1n
na diverge (critério de divergência). 
 
Exemplos: 
1) ( )
+∞
=1n
nln 2) 
+∞
=
+1n 1n
n
 3) 
+∞
=1n n
1
 
 
 
5.9.2 CRITÉRIOS DE COMPARAÇÃO 
 
i) Com uma série: 
Se os termos de uma série positiva forem menores ou iguais aos 
termos correspondentes de uma série convergente então esta série 
também converge. 
Se os termos de uma série positiva forem maiores ou iguais aos termos 
correspondentes de uma série divergente então esta série também 
diverge. 
 
Exemplos: 
1) ( )
+∞
=2n nln
1
 
2) 
+∞
=2n !n
1
 
3) ( )
+∞
=
+1n
n5nsen
1
 
4) 
+∞
=
+1n
n31
2
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
101
ii) Com uma integral: 
Seja ( )xfy = uma função obtida pela introdução da variável contínua 
x no lugar da variável discreta n em na , termo geral de 
+∞
=1n
na . Se ( )xf 
for decrescente então ( )�
∞+
1
dxxf e 
+∞
=1n
na convergem ou divergem, 
simultaneamente. 
 
Exemplos: 
1) Mostre que a série harmônica generalizada (ou série-p ou p-série) 
+∞
=1n
pn
1
 converge para 1p > e diverge para 1p ≤ . 
 
2) Utilizando o resultado do exercício 1, diga se as séries harmônicas 
generalizadas abaixo convergem ou divergem: 
a) 
+∞
=1n
2n
1
 b) 
+∞
=1n n
1
 c) 
+∞
=
−
1n
3n
1
 
 
3) Use o teste da integral para determinar se as séries dadas convergem 
ou divergem: 
a) 
+∞
=
+1n
2 1n
1
 b) ( )( )
+∞
= ⋅2n 4
1
nlnn
1
 
 
4) Use o teste da comparação com uma série para determinar a 
convergência ou divergência das séries: 
a) 
+∞
=
+1n
2 17n
1
 b) 
+∞
=
+1n 2n
1
 
 
 
iii) Com um limite: 
Sejam 
+∞
=1n
na e 
+∞
=1n
nb , duas séries com 0an > e 0bn > , tal que 
k
b
alim
n
n
n
=
+∞→
. 
� Se 0k > e ℜ∈k então ou ambas as séries convergem ou ambas 
divergem; 
� Se 0k = então se 
+∞
=1n
nb converge então 
+∞
=1n
na converge; 
� Se +∞→k então se 
+∞
=1n
nb diverge então 
+∞
=1n
na diverge. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
102
 
Exemplos: Determine a convergência das séries: 
a) 
+∞
= +1n
5 2 3n
1
 
b) ( )
+∞
=
+⋅
+
1n
3n
23
1n3
n2n
 
c) ( )
+∞
=1n
4n
nln
 
d) 
+∞
=
+1n 12n
1
 
 
 
5.9.3 TESTE DE LEIBNIZ PARA SÉRIES ALTERNADAS 
 
Seja ( )
+∞
=
⋅−
0n
n
n
a1 uma série alternada. Se 0aa 1kk >≥ + para todo 
inteiro positivo k (ou seja, decrescente) e 0alim n
n
=
+∞→
 então ( )
+∞
=
⋅−
0n
n
n
a1 
converge. 
 
Exemplos: Estude a convergência das séries: 
a) ( )
+∞
=
−
−
1n
1n
n
1
 b) ( ) ( )
+∞
=
+
+
+⋅−
1n
1n
7n
1n1
 
 
Teorema: Se ( )
+∞
=
⋅−
0n
n
n
a1 é uma série alternada convergente então o 
erro cometido ao aproximarmos a soma S da série pela soma parcial de ordem 
n, nS , é numericamente inferior a 1na + . 
 
Exemplo: Dê uma estima numérica para a soma da série ( )
+∞
=
−
−
1n
5
1n
n
1
 
com uma precisão de 3 casas decimais. 
Solução: Em primeiro lugar verifique que a série converge (use Leibniz). 
 Assim, ( ) 0,00051n
1
aR 51nn =+
=< + . 
 Daí, ( ) 4n4n320001n 5 =�<<�=+ . 
 Logo, ( ) 0,972S
4
1
3
1
2
11
n
1SS 555
4
1n
5
1n
4 ≈�−+−=
−
=≈ 
=
−
. 
 
Convergência absoluta: Diz-se que uma série infinita 
+∞
=1n
na é 
absolutamente convergente se a série 
+∞
=1n
na é convergente. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
103
 
Exemplo: A série ( )
+∞
=
−
−
1n
3
1n
n
1
 é absolutamente convergente pois a série 
( )
+∞
=
+∞
=
−
=
−
1n
3
1n
3
1n
n
1
n
1
 é a série-p convergente ( )1p > . 
 
Teorema: Se uma série infinita converge absolutamente então ela 
converge.Exemplo: Estude a convergência da série ( )
+∞
=1n
2n
nsen
. 
 
Definição: Uma série que é convergente, mas não absolutamente, é dita 
condicionalmente convergente. 
 
Exemplo: ( )
+∞
=
−
−
1n
1n
n
1
 
 
 
5.9.4 TESTE DA RAZÃO 
 
Seja 
+∞
=0n
na uma série infinita, onde l
a
alim
n
1n
n
=
+
+∞→
. Daí: 
i) Se 1l < , a série 
+∞
=0n
na converge absolutamente; 
ii) Se 1l > , a série 
+∞
=0n
na diverge; 
iii) Se 1l = , nada podemos afirmar. 
 
Exemplos: 
1) 
+∞
=0n
n3
!n
 
2) 
+∞
=1n
n2
n
 
3) ( )
+∞
=
⋅−
0n
nn
!n
21
 
4) 
+∞
=
⋅1n
n3n
!n
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
104
5.9.5 TESTE DA RAIZ 
 
Seja 
+∞
=0n
na uma série infinita, onde lalim n n
n
=
+∞→
. Daí: 
i) Se 1l < , a série 
+∞
=0n
na converge; 
ii) Se 1l > , a série 
+∞
=0n
na diverge; 
iii) Se 1l = , nada podemos afirmar. 
 
Exemplos: 
1) 
+∞
=1n
n
2n
n
e
 
2) 
+∞
=
�
�
�
�
�
�
+1n
n
12n
n
 
3) 
+∞
=
�
�
�
�
�
�
+1n
n
13n
5n
 
 
 
5.10 Exercícios 
 
1) Utilize os critérios da divergência para determinar a natureza das séries: 
a) 
+∞
=1n
2
n
n
e
 
b) 
+∞
=
++
+
1n
23
3
1nn
1n
 
c) 
+∞
=
�
�
�
�
�
� +
1n
n
n
1n
 
d) ( )
+∞
=
⋅
1n
n nlne 
 
2) Utilize o teste da comparação com uma série para determinar se cada série 
converge ou diverge: 
a) 
+∞
=
++1n
4
2
13nn
n
 
b) 
+∞
=
⋅1n
n5n
1
 
c) 
+∞
= +1n
3 7 3n
5n
 
d) 
+∞
=
+1n
3 1n
8
 
e) 
+∞
=
++1n
3
2
34nn
n
 
f) 
+∞
=
++1n
3 34nn
1
 
R: a) converge; b) converge; c) converge; d) diverge; e) diverge; f) converge 
 
3) Use o teste da integral para determinar se cada série converge ou diverge: 
a) 
+∞
=
⋅1n
3 nn
1
 b) 
+∞
=
+1n
2 4n
1
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
105
c) 
+∞
=
+1n
3
2
16n
3n
 
d) 
2
1n n
1000
∞+
=
�
�
�
�
�
�
 
e) 
+∞
=
−
⋅
1n
nen 
f) ( ) ( )( )
+∞
=
⋅⋅3n nlnlnnlnn
1
 
R: a) converge; b) converge; c) diverge; d) converge; e) converge; f) diverge 
 
4) Utilize o teste da comparação de limite para determinar se cada série 
converge ou diverge: 
a) 
+∞
=
−2n
3 1n
1
 
b) 
+∞
=
+1n n1
1
 
c) 
+∞
=
+
++
1n
3
2
1n
12n3n
 
d) 
+∞
=
+
+
1n
2 n9n2n
100n5
 
e) 
+∞
=
�
�
�
�
�
�
1n n
�
sen 
f) 
+∞
=
+
+
1n
n
n
51
21
 
R: a) converge; b) diverge; c) diverge; d) converge; e) diverge; f) converge; 
 
5) Dê uma estimativa numérica para a soma da série ( )( )
+∞
=
+
−
0n
n
!12n
1
 com uma 
precisão de 3 casas decimais. R: 0,842 
 
6) O mesmo exercício anterior para a série ( )
+∞
=
−
0n
n
!n
1
. R: 0,367 
 
7) Aplique o teste da razão para determinar se cada série converge 
absolutamente ou diverge: 
a) ( )
+∞
=
+
⋅
⋅−
1n
n
n1n
4n
51
 
b) ( ) ( )
∞+
=
+ +⋅−
1n
31n
!n
1n1
 
c) ( )( )
+∞
=
+
⋅−
1n
n1n
!3n
71
 
d) ( ) ( )
+∞
=
−⋅−
1n
n
n
e
!12n1
 
e) ( )( )
+∞
=
+
⋅−
1n
n
41n
1,02
n1
 
f) ( ) ( )
∞+
=
+⋅−
1n
n
nn
2
e11
 
R: a) diverge (D); b) converge absolutamente (CA); c) CA; d) D; e) CA; f) D 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
106
5.11 Séries de Potências 
 
Definição: Se x é uma variável então uma série da forma 
+∞
=
⋅
0n
n
n xa é 
denominada uma série de potências de x. Analogamente, ( )
+∞
=
−⋅
0n
n
0n xxa é uma 
série de potências de 0xx − . 
 
Definição: Dizemos que uma série de potências 
+∞
=
⋅
0n
n
n xa converge em 
ℜ∈c se 
+∞
=
⋅
0n
n
n ca converge. Dizemos que a série converge no conjunto S se 
+∞
=
⋅
0n
n
n da converge para todo Sd ∈ . 
 
Teorema: Se 
+∞
=
⋅
0n
n
n xa converge para 0c ≠ então ela converge 
absolutamente para todo x tal que cx < . 
 Se uma série de potências diverge para um número 0d ≠ então ela 
diverge para todo x tal que dx > . 
 
Existem, então, três possibilidades para uma série de potências: 
 
1ª) A série converge apenas em 0x = ; 
2ª) A série é absolutamente convergente para todos os números reais x; 
3ª) Existe um número positivo r tal que a série converge para rx < e diverge 
para rx > . 
 
Associado a cada caso existe um raio de convergência: 
1ª) O raio de convergência é zero; 
2ª) O raio de convergência tende a ∞+ ; 
3ª) O raio de convergência é r. 
 
Observação: Para determinarmos o raio de convergência utilizaremos, 
inicialmente, o teste da razão. 
 
Exemplos: Determine os valores de x para os quais as séries convergem 
(intervalo de convergência – IC): 
1) ( )
+∞
=
⋅
−
1n
n
n
x
n
1
 2) 
+∞
=
⋅
1n
n
2 xn
1
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
107
3) 
+∞
=
⋅
1n
n
n
x
6
n
 4) ( )
+∞
=
⋅
1n
n
x
!3n
!n
 
 
 
5.12 Exercícios 
 
Determine o intervalo de convergência (IC) das seguintes séries: 
 
1) 
+∞
=
⋅
0n
n
x!n 
2) ( )
+∞
=
−⋅
1n
n2xn 
3) 
+∞
=
⋅
+0n
n
x
1n
1
 
4) 
+∞
=
⋅
1n
n
2
n
x
n
2
 
5) ( )
+∞
=
⋅
+1n
n
x
1nln
1
 
6) ( )
+∞
=
⋅
0n
n
x
!2n
1
 
7) ( )
+∞
=
−⋅
⋅1n
n
n
3x
n2
1
 
8) 
+∞
=
⋅
1n
n
n
x
n
2
 
9) ( ) ( )
+∞
=
−⋅
−
1n
n
n
n
5x
10
1
 
10) ( )
+∞
=
+⋅
0n
n
n
7x
!n
100
 
11) 
+∞
=
�
�
�
�
�
�
−⋅
1n
n
1
4
x
n
1
 
12) 
+∞
=
⋅
0n
n
x
!n
1
 
13) ( )
+∞
=
−+⋅
1n
1n
2 2xn
1
 
14) ( )( )
+∞
=
⋅
+
⋅−
0n
n
3
nn
x
1n
21
 
15) ( ) ( )
+∞
=
−⋅
⋅+0n
n
n
x1
31n
1
 
16) 
+∞
=
⋅
0n
nn
x7 
R: 1) ( )1,3 ; 2) ( )1,3 ; 3) [ )1,1− ; 4) 
�
�
��
�
−
2
1
,
2
1
; 5) ℜ; 6) ℜ; 7) [ )1,5 ; 8) �
�
�
��
�
−
2
1
,
2
1
; 
9) ( )5,15− ; 10) ℜ; 11) [ )0,8 ; 12) ℜ; 13) [ ]13,−− ; 14) 
�
�
��
�
−
2
1
,
2
1
; 
15) ( ]2,4− ; 16) �
�
�
�
�
�
−
7
1
,
7
1
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
108
5.13 Diferenciação e Integração de Série de Potências 
 
Teorema: Se ( ) 
+∞
=
⋅=
0n
n
n xaxf , ( )cc,x −∈∀ então f é diferenciável em 
( )cc,− e ( ) ( ) 
 +∞
=
−
+∞
=
+∞
=
⋅⋅=⋅=
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅=′
1n
1n
n
0n
n
n
0n
n
n xanxadx
d
xa
dx
d
xf 
 
Exemplos: 
1) Sabendo-se que a função ( ) xexf = pode ser representada como uma série 
de potências na forma ( ) 
+∞
=
==
0n
n
x
!n
x
exf , mostre que ( ) xexf =′ . 
 
2) Seja a série geométrica 1x;
x1
1
x
1n
1n <
−
=
+∞
=
−
. 
 Suponhamos ( ) 1x;
n
x
xg
1n
n
<=
+∞
=
. 
 Como ( ) 1x;
x1
1
x
n
xn
xg
1n
1n
1n
1n
<
−
==
⋅
=′ 
+∞
=
−
+∞
=
−
 e ( ) 00g = , temos que 
( ) ( ) 1x;
x1
1lnx1lndx
x1
1
xg <�
�
�
�
�
�
−
=−−=
−
= � . 
 Daí, 1x;
x1
1ln
n
x
1n
n
<�
�
�
�
�
�
−
=
+∞
=
. 
 
3) Sabendo-se que ( ) 
+∞
=
−
=−
1n
n
n
x
x1ln , determinaremos a série para a função 
( ) ( ) 3x1
1
xf
−
= . 
 ( ) 
+∞
=
−
=−
1n
n
n
x
x1ln � 
+∞
=
−
−=
−
−
1n
1n
x
x1
1
 � 
 � ( ) ( )
+∞
=
−
⋅−−=
−
−
2n
2n
2 x1n
x1
1
 � 
 � ( ) ( ) ( )
+∞
=
−
⋅−⋅−−=
−
−
3n
3n
3 x2n1n
x1
2
 � 
 � ( ) ( ) ( )
+∞
=
−
⋅−⋅−⋅=
− 3n
3n
3 x2n1n2
1
x1
1
 � 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
109
 � ( ) ( )
+∞
=
−
⋅+⋅⋅=
− 1n
1n
3 x1nn2
1
x1
1
 
 
Teorema: Se ( ) 
+∞
=
⋅=
0n
n
n xaxf converge em ( )cc,− então f é integrável em 
( )cc,− e ( ) ( ) Cx
1n
adxxadxxadxxf
0n
1nn
0n
n
n
0n
n
n +⋅+
=⋅=
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅= 
 �� 
�
+∞
=
+
+∞
=
+∞
=
. 
 
Teorema: [ ]
� 
 +∞
=
++
+∞
=
−⋅
+
=
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅
0n
1n1nnd
c
0n
n
n cd1n
adxxa 
 
Exemplos: 
1) Seja ( ) ( ) ( )1,1x;x1x1
1
x1
1
0n
nn
−∈⋅−=
−−
=
+ 
+∞
=
. 
 ( )� 
�
�
�
�
�
�
�
⋅−=
+
+∞
=
dxx1dx
x1
1
0n
nn
 � ( ) ( ) Cx
1n
1
x1ln
0n
1n
n
+⋅
+
−
=+ 
+∞
=
+
 
 0C0x =�= . 
 Daí, ( ) ( ) ( ) ( )1,1x;x
n
1
x
1n
1
x1ln
1n
n
1n
0n
1nn
−∈⋅
−
=⋅
+
−
=+ 
+∞
=
−+∞
=
+
. 
 
2) Analogamente, ( ) ( ) ( )1,1x;x1x1
1
x1
1
0n
2nn
22
−∈⋅−=
−−
=
+
+∞
=
. 
 ( ) ( ) Cx
12n
1
xarctg
0n
12n
n
+⋅
+
−
=
+∞
=
+
. 0C0x =�= . 
 Daí, ( ) ( ) ( )1,1x;x
12n
1
xarctg
0n
12n
n
−∈⋅
+
−
=
+∞
=
+
. 
 
 
5.14 Séries de Taylor e MacLaurin 
 
Teorema: Se a expansão em série de potências de uma função f é 
( ) ( )
+∞
=
−⋅=
0n
n
0n xxaxf , para todo x em um intervalo aberto I contendo 0x , então 
( )( )
!n
xf
a 0
n
n = e ( ) ( ) ( )
+∞
=
−⋅=
0n
n
0
0
n
xx
!n
xf
xf . 
Demonstração: Seja ( ) ( ) ( ) �=�−⋅=
+∞
=
00
0n
n
0n axfxxaxf ( )00 xfa = 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
110
( ) ( ) ( ) �=′�−⋅⋅=′ 
+∞
=
−
10
1n
1n
0n axfxxanxf ( )01 xfa ′= 
( ) ( ) ( ) ( ) �=′′�−⋅⋅−⋅=′′ 
+∞
=
−
20
2n
2n
0n 2axfxxa1nnxf
( )
2
xf
a 02
′′
=
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �⋅=′′′�−⋅⋅−⋅−⋅=′′′ 
+∞
=
−
30
3n
3n
0n 2a3xfxxa2n1nnxf 
 �
( )
23
xf
a 03
⋅
′′′
=
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �−⋅⋅−⋅−⋅−⋅=
+∞
=
−
4n
4n
0n
iv
xxa3n2n1nnxf 
 
( )( ) �⋅⋅=� 40iv 2a34xf
( )( )
234
xf
a 0
iv
4
⋅⋅
=
 
Daí, 
( )( )
!n
xf
a 0
n
n = . Logo, ( ) ( ) ( )
+∞
=
−⋅=
0n
n
0
0
n
xx
!n
xf
xf . 
 
Definição: Se uma função f é de classe ∞C em 0xx = então a série 
( ) ( ) ( )
+∞
=
−⋅=
0n
n
0
0
n
xx
!n
xf
xf é denominada série de Taylor de f em 0x . Além disso, 
se 0x0 = , essa série é também conhecida como a série de MacLaurin de f 
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅=
+∞
=0n
n
n
x
!n
0f
xf . 
 
 
5.15 Exercícios 
 
1) Determine as séries de Taylor das funções dadas em torno do ponto 0x : 
 a) ( ) 0x;exf 0x == 
 b) ( ) 1x;exf 0x −== 
 c) ( ) 1x;
x
1
xf 0 == 
 d) ( ) ( ) 1x;xlnxf 0 == 
 e) ( ) ( ) 0x;xsenxf 0 == 
 f) ( ) ( ) �x;xsenxf 0 == 
 g) ( ) ( ) 0x;xcosxf 0 == 
 h) ( ) ( )
2
�
x;xcosxf 0 == 
 i) ( ) ( ) 0x;xarctgxf 0 == 
 R: a) 
+∞
=0n
n
!n
x
 
 b) ( )
+∞
=
⋅
+
0n
n
!ne
1x
 
 c) ( ) ( )[ ]
+∞
=
−⋅−
0n
nn 1x1 
 d) ( ) ( )
+∞
=
−
−⋅−
1n
n1n
n
1x1
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
111
 e) ( )( )
+∞
=
+
+
⋅−
0n
12nn
!12n
x1
 
 f) ( ) ( )( )
+∞
=
++
+
−⋅−
0n
12n1n
!12n
�x1
 
 g) ( )( )
+∞
=
⋅−
0n
2nn
!2n
x1
 
 h) 
( )
( )
∞+
=
+
+
+
�
�
�
�
�
�
−−
0n
12n
1n
!12n
2
�
x1
 
 i) ( )
+∞
=
+
+
⋅−
0n
12nn
12n
x1
 
 
2) Encontre a série de MacLaurin para ( ) ( )2xsenxf = (sugestão: utilize a o 
resultado do exercício 1e). 
 R: ( )( )
+∞
=
+
+
⋅−
0n
24nn
!12n
x1
 
 
3) Encontre a série de MacLaurin para ( ) ( )xcosxf = (sugestão: utilize a o 
resultado do exercício 1g). 
 R: ( )( )
+∞
=
⋅−
0n
nn
!2n
x1
 
 
4) Encontre a série de MacLaurin para ( ) ( )32 xcosxxf ⋅= . 
 R: ( )( )
+∞
=
+
⋅−
0n
2n6n
!2n
x1
 
 
5) Determine a série de MacLaurin para a função ( ) ( )xsenhxf = , sabendo-se 
que ( ) ( )xx ee
2
1
xsenh −−⋅= e para a função ( ) ( )xcoshxf = , sabendo-se que 
( ) ( )xx ee
2
1
xcosh −+⋅= . R: ( )
+∞
=
+
+0n
12n
!12n
x
 e ( )
+∞
=0n
2n
!2n
x
 
 
6) Use uma série de potências para aproximar �
−
1
0
x dxe
2
 com um erro menor 
que 0,01. 
 (Sugestão: Escreva o integrando como uma série utilizando o exercício 1ª. 
Integre esta soma. Some os 4 primeiros termos.) 
 R: 0,74 
 
7) Idem para: 
 a) ( )� 2
�
0
dx
x
xsen
 com um erro menor que 0,0001. R: 1,3708 
 b) ( )� ⋅2
�
0
dxxcosx com um erro menor que 0,0001. R: 0,7040

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