Relações Funções e Matrizes

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Relações, Funções e Matrizes 
Matrizes 
• Dados em muitos tipos de problemas podem ser 
representados através de um arranjo retangular 
de valores; 
• Tal arranjo é chamado de matriz. 
• Assim, 
– 
1 0 4
3 −6 8
 é uma representação de uma matriz 
com duas linhas e três colunas. 
• As dimensões da matriz são o número de linhas e 
o de colunas; Aqui é uma matriz 2x3. 
• Elementos de uma matriz são denotados por 𝑎𝑖𝑗 
onde i é o número da linha e j o da coluna. 
Exemplo 
• Temperaturas médias em 3 cidades diferentes em 
cada mês podem ser resumidas em uma matriz 
3x12. 
• Interpretamos aqui as 3 linhas como 
representando as 3 cidades e as 12 colunas como 
os 12 meses, de janeiro a dezembro. 
 
 
 
• Qual a temperatura média na terceira cidade no 
mês de abril, ou seja, o elemento 𝑎3 4? 
23 26 38 47 58 71 78 77 69 55 39 33 
14 21 33 38 44 57 61 59 49 38 25 21 
35 46 54 67 78 86 91 94 89 75 62 51 
Exemplo 
• Temperaturas médias em 3 cidades diferentes em 
cada mês podem ser resumidas em uma matriz 
3x12. 
• Interpretamos aqui as 3 linhas como 
representando as 3 cidades e as 12 colunas como 
os 12 meses, de janeiro a dezembro. 
 
 
 
• Qual a temperatura média na terceira cidade no 
mês de abril, ou seja, o elemento 𝑎3 4? 67
𝑜𝐹 
23 26 38 47 58 71 78 77 69 55 39 33 
14 21 33 38 44 57 61 59 49 38 25 21 
35 46 54 67 78 86 91 94 89 75 62 51 
Sistemas lineares 
• É possível obter soluções de muitos problemas 
resolvendo-se sistemas de equações lineares. 
• O sistema linear 
𝑥 + 𝑦 = 70
24𝑥 + 14𝑦 = 1180
 
• Pode ser representada pela matriz de 
coeficientes 
1 1
24 14
 e a solução x = 20 e y = 
50 pode ser encontrada facilmente como 
demostraremos no decorrer da aula. 
Matrizes iguais 
• Em uma matriz, a distribuição dos elementos 
é importante. Logo, para duas matrizes serem 
iguais elas têm que ter as mesmas dimensões 
e os mesmos elementos em cada posição. 
• Sejam 
𝑥 4
1 𝑦
𝑧 0
 = 
3 4
1 6
2 𝑤
 então, x = 3, y = 6, z = 2 e w = 0 
Matrizes iguais 
• Em uma matriz, a distribuição dos elementos 
é importante. Logo, para duas matrizes serem 
iguais elas têm que ter as mesmas dimensões 
e os mesmos elementos em cada posição. 
• Sejam 
𝑥 4
1 𝑦
𝑧 0
 = 
3 4
1 6
2 𝑤
 então, x = 3, y = 6, z = 2 e w = 0 
Matrizes quadradas e simétricas 
• Quando temos uma matriz onde o número de 
linhas é igual ao número de colunas, dizemos 
que ela é quadrada. 
• A = 
1 5 7
5 0 2
7 2 6
 A é uma matriz quadrada 3x3 
• Ela também é simétrica. A parte triangular 
superior à diagonal é uma reflexão da parte 
inferior. Note que 𝑎21 = 𝑎12 
Operações Matriciais 
• Multiplicação por escalar: 
• A x 3 sendo, A = 1 4 5
6 −3 2
 x 3 = 
3 12 15
18 −9 6
 
• A soma de duas matrizes A e B só está definida 
quando A e B são ambas matrizes n x m, então 
C = A + B é uma matriz também n x m com 
elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 
• A subtração de duas matrizes A e B só está 
definida quando A e B são ambas matrizes n x 
m, então C = A - B é uma matriz também n x m 
com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 - 𝑏𝑖𝑗 
Operações Matriciais 
• Multiplicação por escalar: 
• A x 3 sendo, A = 1 4 5
6 −3 2
 x 3 = 
3 12 15
18 −9 6
 
• A soma de duas matrizes A e B só está definida 
quando A e B são ambas matrizes n x m, então 
C = A + B é uma matriz também n x m com 
elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 
• A subtração de duas matrizes A e B só está 
definida quando A e B são ambas matrizes n x 
m, então C = A - B é uma matriz também n x m 
com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 - 𝑏𝑖𝑗 
Operações Matriciais 
• Multiplicação por escalar: 
• A x 3 sendo, A = 1 4 5
6 −3 2
 x 3 = 
3 12 15
18 −9 6
 
• A soma de duas matrizes A e B só está definida 
quando A e B são ambas matrizes n x m, então 
C = A + B é uma matriz também n x m com 
elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 
• A subtração de duas matrizes A e B só está 
definida quando A e B são ambas matrizes n x 
m, então C = A - B é uma matriz também n x m 
com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 - 𝑏𝑖𝑗 
Operações Matriciais 
• Multiplicação por escalar: 
• A x 3 sendo, A = 1 4 5
6 −3 2
 x 3 = 
3 12 15
18 −9 6
 
• A soma de duas matrizes A e B só está definida 
quando A e B são ambas matrizes n x m, então 
C = A + B é uma matriz também n x m com 
elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 
• A subtração de duas matrizes A e B só está 
definida quando A e B são ambas matrizes n x 
m, então C = A - B é uma matriz também n x m 
com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 - 𝑏𝑖𝑗 
• Matriz nula é aquela que todos seus elementos 
são iguais a zero “0”. 
• Pode ser representada por exemplo, 0 + A = A 
• Se A e B são matrizes m x n e se r e s são 
escalares, as seguintes equações matriciais são 
válidas: 
• A + 0 = A 
• A + B = B + A 
• (A + B) + C = A + (B + C) 
• r(A + B) = rA + rB 
• (r + s)A = rA + sA 
• r(sA) = (rs)A 
Multiplicação 
• Poderíamos esperar que a multiplicação de 
matrizes simplesmente multiplicasse os elementos 
correspondentes, mas a definição é mais 
complicada do que isso. 
• A definição da multiplicação de matrizes é baseada 
na utilização de matrizes em matemática para 
representar certas funções, conhecidas como 
transformações lineares, que levam pontos no 
plano real em pontos no plano real. 
• Apesar de não utilizarmos matrizes dessa maneira, 
usaremos a definição padrão para multiplicação de 
matrizes. 
Multiplicação 
• Para calcular A vezes B, A.B, o número de 
colunas de A tem que ser igual ao número de 
linhas de B. 
• Se A é uma matriz n x m e B uma matriz m x p, o 
resultado é uma matriz n x p. 
𝐶𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑗
𝑚
1 
• A = 
2 4 3
4 −1 2
 x B = 
5 3
2 2
6 5
 = C = 
36 29
30 20
 
Multiplicação 
• Para calcular A vezes B, A.B, o número de 
colunas de A tem que ser igual ao número de 
linhas de B. 
• Se A é uma matriz n x m e B uma matriz m x p, o 
resultado é uma matriz n x p. 
𝐶𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑗
𝑚
1 
• A = 
2 4 3
4 −1 2
 x B = 
5 3
2 2
6 5
 = C = 
36 29
30 20
 
• Se A, B e C são matrizes de dimensões 
apropriadas e se r e s são escalares, as seguintes 
equações matriciais são válidas: 
• A(B.C) = (A.B)C 
• A(B + C) = A.B + A.C 
• (A+B)C = A.C + B.C 
• rA. rB = (rs)(A.B) 
 
• A matriz n x n na qual todos os elementos da 
diagonal principal são elementos “1” um e os 
demais são “0” zero, são conhecidas como 
Identidades e é denotada por I 
• A . I = I . A = A 
• Uma matriz n x n é invertível se existe uma matriz n x n 
B tal que A.B = B.A = I 
• Nesse caso, dizemos que B é a inversa de A, denotada 
por 𝑨−𝟏 
 
Matriz Booleana 
 
• Matrizes Booleanas são compostas somente por 
elementos 0 e 1 
• A soma e multiplicação booleanas são definidas de 
maneiras diferentes das somas e multiplicações usuais. 
• Multiplicação Booleana: x ∧ y = min(x,y) 
• Soma Booleana: x ∨ y = max(x, y) 
• As operações com matrizes booleanas também 
são conhecidas como e booleano ou (e lógico) e 
ou booleano ou (ou lógico). 
• A multiplicação booleana é definida por: 
 (𝑎𝑖𝑘 ∧ 𝑏𝑘𝑗)
𝑚
𝑘=1 
• A = 
1 1 0
0 1 0
0 0 1
 B = 
1 0 0
1 1 1
0 0 1
 
 
A ∧ B = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 A ∨ B = 
1 1 0
1 1 1
0 0 1
 
• A x B 
 
• (1∧1)∨(1∧1)∨(0∧0) (1∧0)∨(1∧1)∨(0∧0) (1∧0)∨(1∧1)∨(0∧1) 
• (0∧1)∨(1∧1)∨(0∧0) (0∧0)∨(1∧1)∨(0∧0) (0∧0)∨(1∧1)∨(0∧1) 
• (0∧1)∨(0∧1)∨(1∧0) (0∧0)∨(0∧1)∨(1∧0) (0∧0)∨(0∧1)∨(1∧1) 
 
• 1∨1∨0 = 1 0∨1∨0 = 1 0∨1∨0 = 1 
• 0∨1∨0 = 10∨1∨0 = 1 0∨1∨0 = 1 
• 0∨0∨0 = 0 0∨0∨0 = 0 0∨0∨1 = 1 
 
• A x B = 
1 1 1
1 1 1
0 0 1