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3- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 3.1 Equação Linear Equação Linear é uma equação da forma: na qual são os respectivos coeficientes das variáveis, e b é o termo independente. 3.2 Solução de uma Equação Linear Uma solução da equação linear é qualquer conjunto de valores das variáveis que satisfazem à equação. Esses valores são denominados raízes da equação linear. EXEMPLO: 2x+y=10 3.3 Sistemas de Equações Lineares Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações lineares do tipo: { Com , o índice i indica a equação sendo e o índice j indica a variável , números reais (ou complexos). 3.4 Solução de um Sistema Linear Os valores das variáveis que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua solução. Esses valores são denominados raízes do sistema de equações lineares. 3.5 Classificação dos sistemas 3.5.1 Sistema Compatível: diz-se que um sistema de equações lineares é compatível quando admite solução, isto é, quando tem raízes. Sistema Compatível (Possível) Determinado: um sistema compatível é determinado quando admite uma única solução. Exemplo: { Sistema Compatível (Possível) Indeterminado: um sistema compatível é indeterminado quando admite mais de uma solução (na verdade, admite infinitas soluções). EXEMPLO: { 3.5.2 Sistema Incompatível (Impossível): diz-se que um sistema é incompatível (ou impossível) quando não admite solução. EXEMPLO: { 3.6 Sistema Linear Homogêneo: quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo. EXEMPLO: { Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução, denominada solução trivial. 3.7 Sistemas Equivalentes: diz-se que dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução. EXEMPLO: Os sistemas { { 3.8 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes: um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando se efetuam operações elementares sobre suas equações: Permutação de duas equações ( ) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero ( ). Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero ( ). 3.9 Sistemas e Matrizes Dado um sistema na sua forma genérica: o qual podemos escrever numa forma matricial: [ ] [ ] [ ] ou A . X = B onde: [ ] é a matriz dos coeficientes, [ ] a matriz das incógnitas [ ] a matriz dos termos independentes. Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é: [ ] que chamamos matriz ampliada do sistema. Cada linha desta matriz é simplesmente uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. EXEMPLO: Dado um sistema de equações lineares { 3.10 Métodos de Resolução 3.10.1 Método da Eliminação Gaussiana: Consiste em substituir o sistema dado por outro que lhe seja equivalente e mais simples, chamado sistema escalonado. Para isso, devemos trabalhar com a matriz ampliada do sistema e aplicar a ela uma série de operações elementares adequadas, a fim de aumentar o número de coeficientes iniciais nulos a cada linha (a partir da segunda) em relação à linha precedente. Este método é também chamado de Método Escalonamento Parcial. EXEMPLO: { - Procedimento para escalonar um sistema: Fixamos como primeira equação uma das que possua o coeficiente da primeira variável diferente de zero. Utilizamos as operações elementares, anulamos todos os coeficientes da primeira variável das demais equações. Anulamos todos os coeficientes da segunda variável a partir da terceira equação. Repetimos o processo com as demais variáveis, até que o sistema se torne escalonado. Podemos observar que as operações elementares efetuadas nas equações são equivalentes a operarmos nas linhas da Mariz ampliada associada ao sistema. EXEMPLO: Resolva o sistema: { 3.11 Forma escada Definição: uma matriz está em forma escada se: a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. b) Se a linha k não consiste apenas em zeros, o número de zeros no início da linha k+1 é maior do que o número de zeros no início da linha k. c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. EXEMPLOS: As matrizes estão em forma escada. [ ] [ ] C=[ ] 3.13 Outros Métodos de Resolução 3.13.1 Regra de Cramer A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema de n equações lineares com n variáveis. Seja o sistema: { Matriz dos coeficientes de A [ ] Matriz , oriunda da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de pela coluna dos termos independentes. [ ] Pela regra de Cramer ( ) ( ) De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas. [ ] ( ) ( ) EXEMPLO: 1) Resolva o seguinte sistema: { 2) Dado o sistema { , para que valores de a e b este sistema é: a) Possível e determinado b) Impossível c) Possível e indeterminado EXERCÍCIOS: 1- O curso de Álgebra I A do ano passado teve três provas. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Juca que acertou 3 questões na primeira prova, 6 na segunda e 6 na terceira, obteve no final um total de 54 pontos. Zé acertou 6,5 4, totalizando 47 pontos. Por sua vez o Mané acertou 2, 7 e 5 questões, atingindo 50 pontos. Já o Kico fez 5 questões certas na primeira prova, 8 na segunda e 3 na terceira. Qual foi o total de pontos de Kico? 2- Três pessoas lancharam da seguinte maneira: a primeira tomou um refrigerante, comeu 4 pastéis e 5 balas; a segunda 2 refrigerantes, 1 pastel e 6 balas e a terceira, 1 pastel e 2 balas. Quais os preços do refrigerante, do pastel e da bala, se a primeira pessoa gastou R$4,00; a segunda R$2,20 e a terceira R$0,90? 3- Calcule os valores das variáveis dos sistemas: a) { ) { ) { d){ e){ f) { g){h){ i){ j){ k) { l){ 4- Classifique os sistemas: a) { ) { c) { d){ e){ f) { – 5- Dado o sistema { ( ) , para que valores de a e b este sistema é: a) Possível b) impossível c) indeterminado 6- Determine o valor de k, de modo que o sistema: { , seja: a) Indeterminado b) impossível 7- Discuta, em função de m, os seguintes sistemas: a) { ( ) ( ) b){ c) { 8- Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes a, b e c para que seja compatível o sistema: {