2012 1 AP1 PC GABARITO

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AP 01 – 2012-1 Gabarito Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
 
Considere a função ( ) 
 
 
 
(a) [1,3 ponto] Mostre que é uma das raízes do polinômio do denominador de ( ) e encontre o 
domínio de ( ). 
(b) [1,2 ponto] Encontre os valores de tais que ( ) . 
Para isso, simplifique a expressão que define a função. Responda em notação de união de intervalos 
disjuntos. 
RESOLUÇÃO: 
(a) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) é raiz de ( ). 
O domínio de ( ) são os valores de que não anulam ( ), precisamos encontrar as outras raízes de ( ). 
 
Usando o algoritmo de Briot-Ruffini, 
 
 
 
 
Logo, ( ) ( )( ) 
Temos que resolver : 
 √ 
 
 
 
 
 





2
3
2
4
2
6
 
 
Portanto, o domínio da função é lR – . 
 
(b) ( ) 
 
 
 
( )( )
( )( )
 
 
 
 
Logo, ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 ou ou . 
Resposta: ( ) ( ) ( ) ( . 
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2ª. Questão [3,0 pontos] 
Considere as funções 
1)(  xxf
 e 
2)( 2  xxg
. 
(a) [1,0 ponto] Encontre o domínio da função 
)( xfy 
. Esboce o gráfico da função 
f
, que deve ser 
explicado a partir de possíveis transformações (translações, reflexões,...) da função 
xy 
. Diga 
quais são essas transformações. 
(b) [1,0 ponto] Esboce o gráfico da função 
2)( 2  xxg
, que deve ser explicado a partir de 
possíveis transformações (translações, reflexões,...) da função 
2xy 
. Diga quais são essas 
transformações. 
(c) [1,0 ponto] Seja a função 
))(()()()( xgfxgfxh  
. 
Dê a lei de formação da função 
)(xhy 
 e o domínio da função 
h
. O gráfico da função 
)( xhy 
 é 
parte de uma curva já estudada. Identifique essa curva e explique o gráfico da função 
h
. Esboce o 
gráfico dessa curva e da função 
)( xhy 
. 
Resolução: 
(a) Para que a raiz quadrada 
1x
 possa ser calculada é preciso que o radicando 
1x
 seja positivo 
ou nulo. Assim, 
101   xx
. 
Logo, 
),1[)( fDom
. 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 
1)(  xxf
 é a seguinte sequência de 
transformações de funções: 
11
)2()1(
 xyxyxy
. 
(1): translação da função 
xy 
 horizontalmente para direita de 1 unidade, obtendo 
1 xy
; 
(2): reflexão da função 
1)(  xxf
em torno do eixo 
xO
, obtendo 
1 xy
; 
xy 
 
1 xy
 
 )1(
 
 
 
 
 
 )2( 1 xy
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
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(b) Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 
2)( 2  xxg
 é a seguinte sequência de 
transformações de funções: 
22
)2(2)1(2  xyxyxy
. 
(1): reflexão da função 
2xy 
em torno do eixo 
xO
, obtendo 
2xy 
; 
(2): translação da função 
2xy 
 verticalmente para cima de 2 unidades, obtendo 
22  xy
; 
2xy 
 
2xy 
 
22  xy
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(c) 
2222 1112)2())(()()()( xxxxfxgfxgfxh  
 
Sabemos que 
.IR)()(  gDomgfDom  
Para que 
))(( xgf
 possa ser calculada é preciso que: 
IR)(  gDomx
 e 
),1[)()(  fDomxg
. 
Assim, temos que resolver: 
12)( 2  xxg
. 
Então: 
11111112 2222       xxxxxx
 
Logo, 
]1,1[)( hDom
. Também poderíamos chegar a essa conclusão, lembrando que 
21 xy 
 é uma 
parábola de raízes 
11 e
 e concavidade voltada para baixo. 
Consideremos a função 
21 xy 
. 
Para saber qual a curva que deu origem a esta função, vamos fazer alguns cálculos. 
Temos que, 
1111 2222
2
222   



   yxxyxyxy
 
A equação 
122  yx
define um círculo de centro 
)0,0(C
 e raio 
1r
. 
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Como em 
21 xy 
, 
11  x
, concluímos, que o gráfico de 
21 xy 
 é o semicírculo 
inferior, que está nos 3º. e 4º. quadrantes e mais os pontos sobre o eixo 
xO .
 
122  yx
 
21 xy 
 
 
 
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3ª. Questão [2,0 pontos] 
Ao lado está esboçado o gráfico da função ( ). 
Sabemos que ( ) é uma função par, crescente no intervalo 
( ) e que ( ) . 
(a) [0,6 ponto] Calcule ( ) ( ). 
(b) [0,7 ponto] Dê os intervalos do domínio em que ( ) . 
(c) [0,7 ponto] Dê os intervalos do domínio em que a função é 
crescente. 
 
 
RESOLUÇÃO: 
(a) Como é uma função par, sabemos que ( ) ( ) e como podemos ver no gráfico que ( ) 
 , concluímos que ( ) . 
Como é uma função par, sabemos que ( ) ( ) e como foi dado que ( ) , concluímos que 
 ( ) . 
Calculando o que foi pedido, ( ) ( ) . 
(b) Como ( ) é crescente no intervalo ( ), sabemos que ( ) ( ) quando e também 
podemos ver no gráfico que ( ) , logo concluímos que ( ) quando . 
Pelo gráfico, vemos que ( ) quando . 
Como a função é par, por simetria do gráfico em relação ao eixo , podemos concluir que: ( ) ( ) 
 ( ) quando e ( ) quando . 
Conclusão final: ( ) em ( ) . 
(c) Pelo gráfico vemos que ( ) é crescente no intervalo [ e continua crescendo quando ultrapassa 
o valor 2, como foi dito no enunciado que ( ) é crescente no intervalo ( ), concluímos que ( ) é 
crescente no intervalo [ ). 
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Pelo gráfico vemos que ( ) é decrescente no intervalo . 
Como a função é par, por simetria do gráfico em relação ao eixo , podemos concluir que: 
 ( ) é decrescente no intervalo ( e é crescente no intervalo [ . 
Conclusão final: ( ) é crescente em [ ). 
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4ª. Questão [2,5 pontos] 
(a) [1,3 ponto] Esboce o gráfico de ( ) (
 
 
) considerando . 
(b) [1,2 ponto] Resolva a equação (
 
 
) considerando lR. 
RESOLUÇÃO: 
a) Para construir o gráfico da função ( ) (
 
 
) fazemos duas transformações no gráfico da 
função elementar ( ). 
Uma possível sequência: ( )
 ( ) 
→ ( ) 
 ( ) 
→ (
 
 
) . 
(1) Alongamento vertical: os valores de 
são multiplicados pelo fator . 
(2) Alongamento horizontal: os valores de 
 são multiplicados pelo fator . 
 
 
 
(a) Resolvendo, 
 (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 
Fazendo uma mudança de variável, 
 
 
 
 ( ). 
Voltando à variável original, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 .