6ª Lista de Exercícios MTM 5245

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6ª Lista de Exercícios – MTM 5245 – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
1. Determine os autovalores e autovetores dos operadores: 
a) 
2 2:T 
, 
( , ) (5 , 3 )T x y x y x y  
 
b) 
2 2:T 
, 
( , ) ( 3 , )T x y x y x y  
 
c) 
3 3:T 
, 
( , , ) ( , , )T x y z x y x y y z   
 
d) 
3 3:T 
, 
( , , ) ( , 2 ,2 2 )T x y z x x y x y z    
. 
 
2. Determine os autovalores e autovetores das matrizes: 
a) 2 1
3 4
 
 
  
 b) 
0 0 2
0 1 0
2 0 0
 
 
 
 
  
c) 
3 2 1
1 4 1
1 2 3
 
 
 
 
 
 d) 
3 1 3
0 2 3
0 0 1
 
 
 
  
. 
 
3. Encontre a transformação linear 
2 2:T 
, sabendo que: 
a) 
T
 tem autovalores 5 e -1, com autovetores 
   1,1 e 2, 1
 respectivamente. 
b) 
T
 tem autovalores 1 e 3, com autovetores 
   2, 2 e 0,1
 respectivamente. 
 
4. Para as matrizes abaixo que forem diagonalizáveis, determine uma base de autovetores, a matriz 
diagonalizadora e a forma diagonal. 
a) 9 1
4 6
 
 
 
 b) 5 1
1 3
 
 
 
 c) 
1 2 2
0 1 0
0 2 3
  
 
 
 
 
 d) 
3 0 2
5 1 5
2 0 1
 
 
 
  
. 
 
5. Para os operadores abaixo que forem auto-adjuntos, ortogonais ou normais com autovalores 
reais, determine uma base ortonormal de autovetores e a matriz diagonalizadora. Apresente a 
forma diagonal. 
a) 
2 2:T 
, 
( , ) ( 2 ,2 )T x y x y x y  
 
b) 
2 2:T 
, 
( , ) ( ,2 )T x y x y y 
 
c) 
2 2:T 
, 
( , ) ( , )T x y x y x y   
 
d) 
2 2:T 
, 
3 3
( , ) ,
2 2 2 2
yx
T x y y x
 
   
 
 
e) 
3 3:T 
, 
( , , ) ( 3 3 , 4 , 3 3 )T x y z x y z y x y z     
. 
6. Mostre que se 
A
 e 
B
 são matrizes ortogonais 
n n
, então 
AB
e 
BA
são ortogonais. 
 
7. Encontre uma matriz 
P
 que diagonaliza ortogonalmente 
2 2 2
2 1 4
2 4 1
A
 
  
 
   
. 
 
8. a) Determinar as matrizes das rotações em 2 que admitem valores e vetores próprios. 
b) Determinar os valores e os vetores próprios das rotações referidas no item (a). 
 
9. Considere o produto interno 
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2( , ),( , ) 2x y x y x x x y x y y y    
 em 2 . Verifique se 
o operador linear 
 2 2: , ( , ) 2 3 ,3T T x y x y x y   
 é auto-adjunto. Justifique. 
 
10. Considere o produto interno 
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2( , ),( , ) 2 2 2 5x y x y x x x y x y y y    
 em 2 . Verifique 
se o operador linear 
2 2 3 4 4 3: , ( , ) ,
5 5
x y x y
T T x y
  
   
 
 é ortogonal. Justifique. 
 
11. Determinar os vetores 
 , ,a b c
para que o conjunto 
      1, 3,2 , 2,2,2 , , ,a b c  
 seja uma 
base ortogonal do 3 em relação ao produto interno usual. Construir a partir de 

uma base 
ortonormal. 
 
12. Mostre que se um operador linear 
:T V V
 admite 
0 
 como valor próprio, então 
T
 não é 
inversível. 
 
13. Mostre que uma matriz 
A
 e sua transposta TA possuem os mesmos valores próprios. 
 
14. Mostre que se 
u
e 
v
 são vetores característicos de uma transformação linear associados a 

, 
então 
au bv
 é também vetor característico associado a 

. 
 
15. Seja 
:T V V
um operador linear não-inversível. Os vetores não nulos do núcleo de 
T
 são 
vetores próprios? Em caso afirmativo, determinar o valor próprio associado e, em caso negativo, 
justificar.