Números binomiais e triângulo de Pascal

Prévia do material em texto

COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
1 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
Exercícios de Analíse Combinatória. 
Numeros binomiais e triângulos de Pascal. 
QUESTÃO 1 
 O conjunto {1995, 1996, 1997, … , 2008} possui, 
exatamente, X subconjuntos com, no mínimo, 4 
elementos. Assinale a alternativa na qual se 
encontra o valor de X. 
 
A) 2
10 
B) 2
4
 (2
10
 – 1) 
C) 20.020 
D) 15.914 
QUESTÃO 2 
A arte de mosaico teve seu início aproximadamente 
em 3.500 a.C. e seu apogeu no século VI d.C., 
durante o Império bizantino. O mosaico consiste na 
formação de uma figura com pequenas peças 
(pedras, vidros, etc.) colocadas sobre o cimento 
fresco de uma parede ou de um piso. No Brasil o 
mosaico foi utilizado, entre outros, por Cândido 
Portinari, Di Cavalcanti e Tomie Ohtake em diversas 
obras. Ele ainda é utilizado, principalmente, na 
construção civil em imensos painéis, na decoração 
de piscinas e em pisos e paredes dos mais diversos 
ambientes. 
 
 
 
Admirador desta arte, um famoso milionário 
contratou um renomado artista para decorar o piso 
de sua casa de campo com mosaicos. Inspirado nos 
trabalhos de Escher, o artista decidiu construir o 
mosaico colorindo os números do triângulo de 
Pascal (veja as figuras) que são múltiplos de dois. O 
triângulo de Pascal é constituído pelos termos 
binomiais 
. 
 
 
 
Completando o triângulo de Pascal acima e 
colorindo os múltiplos de 2, obtém-se a figura 
idealizada pelo artista, representada na alternativa 
 
 
QUESTÃO 3 
Um aeroporto tem n portas de acesso e estará 
aberto quando ao menos uma porta estiver aberta. 
Se houver 63 formas diferentes de abrir o aeroporto, 
abrindo uma ou mais portas, podemos concluir que 
o número de portas de acesso é: 
 
A. 5 
B. 6 
C. 7 
D. 8 
E. 9 
QUESTÃO 4 
Considere o desenvolvimento binomial do binômio 
(x − y)
11
, ordenado em potências decrescentes de 
x, para assinalar a(s) alternativa(s) correta(s). 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
2 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
01) A soma dos valores absolutos dos coeficientes 
do desenvolvimento dado é igual à soma dos 
coeficientes do desenvolvimento de (| x | − | y |)
11
. 
 
02) A soma dos coeficientes dos termos em 
potências pares de x é 2
10
. 
 
04) Existem 55 maneiras de escolher ao acaso uma 
dupla de coeficientes do desenvolvimento do 
binômio. 
 
08) Escolhendo-se ao acaso uma dupla de 
coeficientes do desenvolvimento do binômio, a 
probabilidade de que a soma desses coeficientes 
seja zero é . 
 
16) Escolhendo-se ao acaso uma dupla de 
coeficientes do desenvolvimento do binômio, a 
probabilidade de que o produto desses coeficientes 
seja positivo é . 
QUESTÃO 5 
Se n é um cubo perfeito, qual o menor cubo perfeito 
maior que n? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
QUESTÃO 6 
O quadro numérico a seguir é conhecido como o 
triângulo de Pascal-Tartaglia: 
 
........................................................................ 
e assim sucessivamente. 
 
Observando a lógica construtiva do quadro anterior, 
podemos concluir que a soma do segundo elemento 
da 2009
a
 linha com o penúltimo elemento da linha 
imediatamente anterior é 
 
A) 4.015. 
B) 4.017. 
C) 4.019. 
D) 4.021. 
QUESTÃO 7 
Considere a configuração dos números dispostos 
nas colunas e linhas a seguir. 
 
 
coluna 
0 
coluna 
1 
coluna 
2 
coluna 
3 
 coluna 
4 
coluna 
5 
coluna 
6 
coluna 
7 
 ... 
linha 0 1 
linha 1 1 1 
linha 2 1 2 1 
linha 3 1 3 3 1 
linha 4 1 4 6 4 1 
linha 5 1 5 10 10 5 1 
linha 6 1 6 15 20 15 6 1 
linha 7 1 7 21 35 35 21 7 1 
 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 
O número localizado na linha 15 e na coluna 13 é 
 
a) 15. 
b) 91. 
c) 105. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
3 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
d) 120. 
e) 455. 
QUESTÃO 8 
No desenvolvimento binomial de , 
quantas parcelas são números inteiros? 
QUESTÃO 9 
O padrão numérico apresentado chama-se triângulo 
de Pascal. 
 
Linha 1 1 
Linha 2 1 1 
Linha 3 1 2 1 
Linha 4 1 3 3 1 
Linha 5 1 4 6 4 1 
Linha 6 1 5 10 10 5 1 
 
Seja P o total de números nas primeiras n linhas do 
triângulo de Pascal que não são iguais a 1 (mas que 
possam se repetir), e Q o total de números 1 nas n 
primeiras linhas. Nessas condições, é igual a 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
4 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
QUESTÃO 1 
D 
RESOLUÇÃO: 
O conjunto dado é composto de 14 elementos. 
Logo, seus subconjuntos são combinações de 14 
elementos, 4 a 4, ou 5 a 5, ou 6 a 6, e assim até 14 
a 14. Desta forma: 
 
 
 
Os elementos da soma pertencem à 14
a
 linha do 
triângulo de Pascal, cuja soma é 2
14
. Desta forma: 
 
 
 
QUESTÃO 2 
E 
RESOLUÇÃO: 
O triângulo de Pascal possui muitas propriedades. 
Entre elas, a soma de dois números lado a lado é 
igual ao número imediatamente inferior. 
Completando o triângulo, tem-se: 
 
 
 
QUESTÃO 3 
B 
RESOLUÇÃO: 
Pelo enunciado, temos que tal situação pode ser 
representada pela soma de uma linha do triângulo 
de Pascal: 
. 
 
Porém, como pelo menos uma das portas deve 
estar aberta, descontamos a possibilidade de 
nenhuma porta estar aberta, ou seja, . 
Logo, temos que: 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
5 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
QUESTÃO 4 
08 + 16 = 24 
RESOLUÇÃO: 
01) Falsa. Para x < 0, a soma dos 
coeficientes de (| x | − | y |)11 será o oposto 
da soma dos coeficientes de (x − y)11. 
 
02) Falsa. Os termos de potências pares de 
x são os termos de potências ímpares de y. 
Assim, todos os coeficientes são negativos. 
Dessa forma, do triângulo de Pascal, temos 
que a soma de tais coeficientes é dado por 
– = –210. 
 
04) Falsa. Podemos escolher uma dupla de 
coeficientes do desenvolvimento do 
binômio de 66 maneiras: C12, 2 
= = 66. 
 
08) Verdadeira. Há 6 possibilidades de a 
soma dos coeficientes de uma dupla 
resultar zero; portanto, a probabilidade de 
isso ocorrer é . 
 
16) Verdadeira. O produto dos coeficientes 
de uma dupla pode ser positivo de 30 
maneiras diferentes – 2 × C6, 2 = 2 
× = 2 × 15 = 30. 
Assim sendo, a probabilidade desejada 
é . 
 
QUESTÃO 5 
A 
RESOLUÇÃO: 
O menor cubo maior que n 
é 
 
QUESTÃO 6 
A 
RESOLUÇÃO: 
O segundo elemento de cada linha x é sempre x – 
1, como se pode observar no quadro. O mesmo 
acontece com o penúltimo. Logo, o segundo 
elemento da 2009
a
 linha será o número 2008 e o 
penúltimo elemento da 2008
a
 linha será o número 
2007. 
 
Portanto, a soma será: 
 
2008 + 2007 = 4015. 
 
QUESTÃO 7 
C 
RESOLUÇÃO: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
6 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
Pela fórmula do triângulo de Pascal, o número 
binomial corresponde à combinação C15,13 
cujo valor é encontrado pela fórmula seguinte: 
 
 
QUESTÃO 8 
GABARITO: 
A maior potência de 3 que divide 10! é 3
4
, os cinco 
primeiros coeficientes binomiais são 1, 10, 45, 120 e 
210. Somente e são inteiros. 
 
QUESTÃO 9 
C 
RESOLUÇÃO: 
Analisando o triângulo de Pascal, percebemos que 
P é a soma dos elementos de uma progressão 
aritmética, tal que a1 = 1, an = n – 2 e aquantidade 
de termos é n – 2. 
Logo, . 
Continuando a análise, temos 
que . 
QUESTÃO 1 
GABARITO: 
D 
RESOLUÇÃO: 
O conjunto dado é composto de 14 elementos. 
Logo, seus subconjuntos são combinações de 14 
elementos, 4 a 4, ou 5 a 5, ou 6 a 6, e assim até 14 
a 14. Desta forma: 
 
 
 
Os elementos da soma pertencem à 14
a
 linha do 
triângulo de Pascal, cuja soma é 2
14
. Desta forma: 
 
 
 
QUESTÃO 2 
GABARITO: 
E 
RESOLUÇÃO: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
7 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
O triângulo de Pascal possui muitas propriedades. 
Entre elas, a soma de dois números lado a lado é 
igual ao número imediatamente inferior. 
Completando o triângulo, tem-se: 
 
 
 
QUESTÃO 3 
GABARITO: 
B 
RESOLUÇÃO: 
Pelo enunciado, temos que tal situação pode ser 
representada pela soma de uma linha do triângulo 
de Pascal: 
 
. 
Porém, como pelo menos uma das portas deve 
estar aberta, descontamos a possibilidade de 
nenhuma porta estar aberta, ou seja, . 
Logo, temos que: 
 
 
QUESTÃO 4 
GABARITO: 
08 + 16 = 24 
RESOLUÇÃO: 
01) Falsa. Para x < 0, a soma dos 
coeficientes de (| x | − | y |)11 será o oposto 
da soma dos coeficientes de (x − y)11. 
 
02) Falsa. Os termos de potências pares de 
x são os termos de potências ímpares de y. 
Assim, todos os coeficientes são negativos. 
Dessa forma, do triângulo de Pascal, temos 
que a soma de tais coeficientes é dado por 
– = –210. 
 
04) Falsa. Podemos escolher uma dupla de 
coeficientes do desenvolvimento do 
binômio de 66 maneiras: C12, 2 
= = 66. 
 
08) Verdadeira. Há 6 possibilidades de a 
soma dos coeficientes de uma dupla 
resultar zero; portanto, a probabilidade de 
isso ocorrer é . 
 
16) Verdadeira. O produto dos coeficientes 
de uma dupla pode ser positivo de 30 
maneiras diferentes – 2 × C6, 2 = 2 
× = 2 × 15 = 30. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
8 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
Assim sendo, a probabilidade desejada 
é . 
 
QUESTÃO 5 
GABARITO: 
A 
RESOLUÇÃO: 
O menor cubo maior que n 
é 
 
QUESTÃO 6 
A 
RESOLUÇÃO: 
O segundo elemento de cada linha x é sempre x – 
1, como se pode observar no quadro. O mesmo 
acontece com o penúltimo. Logo, o segundo 
elemento da 2009
a
 linha será o número 2008 e o 
penúltimo elemento da 2008
a
 linha será o número 
2007. 
 
Portanto, a soma será: 
 
2008 + 2007 = 4015. 
 
QUESTÃO 7 
C 
RESOLUÇÃO: 
Pela fórmula do triângulo de Pascal, o número 
binomial corresponde à combinação C15,13 
cujo valor é encontrado pela fórmula seguinte: 
 
 
 
QUESTÃO 8 
GABARITO: 
A maior potência de 3 que divide 10! é 3
4
, os cinco 
primeiros coeficientes binomiais são 1, 10, 45, 120 e 
210. Somente e são inteiros. 
 
QUESTÃO 9 
C 
RESOLUÇÃO: 
Analisando o triângulo de Pascal, percebemos que 
P é a soma dos elementos de uma progressão 
aritmética, tal que a1 = 1, an = n – 2 e a quantidade 
de termos é n – 2. 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
9 | http://comissaovestibulandos.blogspot.com.br/ 
Logo, . 
Continuando a análise, temos 
que . 
Portanto, 
 
 
Portanto, 
 
 
 
	Exercícios de Analíse Combinatória.
	Numeros binomiais e triângulos de Pascal.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 1
	D
	Resolução:
	Questão 2
	E
	Resolução:
	Questão 3
	B
	Resolução:
	Questão 4
	08 + 16 = 24
	Resolução:
	Questão 5
	A
	Resolução:
	Questão 6
	A
	Resolução:
	Questão 7
	C
	Resolução:
	Questão 8
	Gabarito:
	Questão 9
	C
	Resolução:
	Questão 1
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 2
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 3
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 4
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 5
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 6
	A
	Resolução:
	Questão 7
	C
	Resolução:
	Questão 8
	Gabarito:
	Questão 9
	C
	Resolução: