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NOÇÕES DE GEOMETRIA DESCRITIVA Referência: Noções de G. Descritiva, Alfredo dos Reis Príncipe Junior , Vol 1 ESTUDO DO PONTO (Cap 1 - LT) - PROJ . ORTOGONAL DE UM PONTO É o pé da perpendicular baixada do ponto ao plano de projeção A é a projeção do ponto (A) sobre o plano α. (A) A é a projetante do ponto (A) - DETERMINAÇÃO DO PONTO Dois métodos: - Método dos planos cotados - Método das Projeções USAREMOS O 2º MÉTODO: Para que um ponto fique bem determinado, é necessária uma dupla projeção. - CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES: Sistema Cônico ou Perspectivo : Onde (o) é o centro de proj a uma distância finita. Se o ponto (o) estiver no infinito, teremos o sistema de proj Cilíndrico ou Paralelo. Ficam melhor caracterizadas através da proj de uma reta (A)(B): PROJEÇÃO CÔNICA PROJEÇÃO CILÍNDRICA As projeções Cilíndricas podem ser: - Oblíquas (Proj oblíqua ao plano de projeção) - Ortogonais (Projetante perpendicular ao pl. Proj) PROJEÇÃO CILÍNDRICA ORTOGONAL MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE (Gaspar Monge, matemático francês, no fim do século XVIII, desenvolveu a Geometria Descritiva, que tem por fim representar num plano as figuras do espaço de modo que possam ser resolvidos todos os problemas relativos a essas figuras.) - Para determinar um ponto (A), determinam-se duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares entre si, uma horizontal (π) e outro vertical (π’) interceptando-se na linha de terra. Por convenção, o ponto (o), centro de proj, considera-se situado à frente do pl. vertical e acima do pl. horizontal a uma distância infinita. Assim, o ponto (A) fica bem determinado pelas interseções (A)A e (A)A’. Por convenção, a proj no pl. Horizontal (π) de um ponto (A) é A; no pl. Vertical (π’) é A’. Os planos de proj. formam quatro regiões, denominadas DIEDROS, limitadas por quatro semi-planos. - Horizontal Anterior (πA) - Horizontal Posterior (πP) - Vertical Superior (π’S) - Vertical Inferior (π’I) ÉPURA Resultado do rebatimento do plano vertical sobre o horizontal (Sentido AH), 90°, em torno da LT. (π’S) passa a coincidir com (πP) (π’I) passa a coincidir com (πA) A LT é representada por uma linha horizontal π π’ (ou 2 traços abaixo das extremidades ) ÉPURA → Representação de uma figura do espaço pelas suas projeções (estando o P.V. rebatido sobre o P.H.) - COTA E AFASTAMENTO Cota de um ponto: Distância deste ao Plano horizontal de projeção (PHP) : (A)A Afastamento: Distância do ponto ao Plano vertical de Projeção (PVP) : (A)A’ Linha de projeção ou Linha de chamada: Linha perpendicular à LT que une as proj de um mesmo ponto. - POSIÇÕES DO PONTO O ponto pode ocupar 9 (NOVE) posições diferentes em relação aos planos de projeção. ❶ 1º DIEDRO ❷ 2º DIEDRO ❸ 3º DIEDRO ❹ 4º DIEDRO ❺ (π’s) ❻ ( π’I) ❼ (πA) ❽ (πP) ❾ LT EXERCÍCIO Determinar as posições dos pontos abaixo: (A) Semiplano vertical inferior (π’I) (B) 3º diedro (C) 1º diedro (D) Semiplano vertical superior (π’S) (E) Semiplano horizontal posterior (πP) (F) 4º diedro (G) 2º diedro (cota = afastamento) - COORDENADAS Abscissa (x) Afastamento (y) Cota (z) (+ ou -) NO ESPAÇO EM ÉPURA COTA POSITIVA 1º e 2º diedros Acima da LT COTA NEGATIVA 3º e 4º diedros Abaixo da LT AFAST. POSITIVO 1º e 4º diedros Abaixo da LT AFAST. NEGATIVO 2º e 3º diedros Acima da LT EXEMPLO: Dar a épura do ponto (A) [1; 2; 1] O ponto (A) está no 1º diedro. EXERCÍCIO: Localize a épura do ponto (B) [-1; 3; -2] O ponto (B) está no 4º diedro. LER NO CAP 1 : Livro- Texto Simetria dos Pontos (P. 17) - Em relação aos planos de projeção - Em relação aos planos bissetores - Em relação à Linha de Terra (PÁG. 21) EXERCÍCIOS ❶ Dar a épura de um ponto (A) situado no 1º diedro. Mais próximo do plano horizontal que do vertical. SOLUÇÃO: O ponto terá cota menor do que o afastamento (Z < Y) ❷ Dê a épura dos pontos: (A) [0;2;-3] (B) [2;-2;-3] SOLUÇÃO: B está no 4º diedro; C está no 3º diedro. Z Y ● ● ❺ Determine as coordenadas de um ponto (B) simétrico a (A) [1;0;-2] em relação a (π) SOLUÇÃO: (A) encontra-se no (πI’) e (B) simétrico a (A) em relação a (π) deve estar no (π’s). Troca-se o sinal da cota, portanto. ❻ Preencha as lacunas (Pág. 26) a) Chama-se cota de um ponto a distância desse ponto ao plano horizontal de projeção. b) Linha de projeção ou de chamada é a linha perpendicular à L.T. que une as duas projeções de um mesmo ponto. c) Em relação aos planos de projeção, um ponto qualquer pode ocupar nove posições diferentes. d) O diedro em que um ponto tem cota e afastamento negativos é o 3º . e) Em épura, cota negativa é marcada abaixo da Linha de terra. f) Um ponto situado no plano bissetor tem cota e afastamento iguais. g) Dois pontos são simétricos em relação a um plano quando este plano é o mediador do segmento formado pelos dois pontos. h) A simetria de dois pontos em relação à L.T. é o produto das simetrias em relação aos dois planos (π) e (π’). ESTUDO DA RETA (Cap 2 - LT) A proj. de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre o plano. Baixando perpendiculares ao plano, os pés delas dão lugar à proj. ortogonal da reta. As perpendiculares formam um plano (α) perpendicular ao plano (π). (α)→ Pl. projetante da reta A proj. da reta (A)(B) é a interseção dos 2 planos. A proj. de uma reta varia de acordo com a inclinação dessa sobre o plano, passando seu comprimento por valores desde zero (quando a reta é perpendicular ao plano) até o máximo, que é igual ao comprimento do segmento de reta (quando a reta é paralela ao plano). Neste caso, diz-se que a reta se projeta em VERDADEIRA GRANDEZA (V.G.) TRAPÉZIO PARALELOGRAMO (A)(B) > AB A Ξ B , AB Ξ O - DETERMINAÇÃO DE UMA RETA A posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas suas projeções sobre os planos ortogonais. Na figura seguinte, sejam os dois planos (π) e (π’), perpendiculares e AB e A’B’ as proj. respectivas da reta (A)(B) cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpendicular a (π) e, por A’B’ um plano perpendicular a (π’). Esses planos são os pl. projetantes da reta nos respectivos pl. de proj. e, como se cortam segundo (A)(B), que é a única reta que tem AB e A’B’ como projeções, esta reta (A)(B) fica bem determinada. ( A reta pode ser designada por (A)(B) ou por uma letra minúscula entre parênteses: r , r’ ou (r) ) ÉPURA - PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA REGRA GERAL: Um ponto pertence a uma reta quando as proj. desse ponto estão sobre as proj. do mesmo nome da reta, isto é, a proj. horizontal do ponto sobre a proj. horizontal da reta e a proj. vertical também sobre a proj. vertical da reta. Exemplos: * EXCEÇÃO : Reta de perfil (estudada adiante) - POSIÇÕES DA RETA a) Reta Qualquer Épura: Projeções oblíquas à L.T. b) Reta Horizontal ou de nível: Paralela ao plano Horizontal (π) e oblíqua a (π’). Épura: Proj. vertical paralela à L.T., Proj. horizontal oblíqua e em V.G. c) Reta Frontal (ou de frente): Paralela a (π’) e oblíqua a (π). Épura: Proj. horizontal paralela à L.T., Proj. vertical oblíqua à L.T. e em V.G. d) Reta Frontohorizontal (Paralela à L.T.): Paralela simultaneamente a (π) e (π’). Ambas as proj. são paralelas à L.T. em V.G. e) Reta Vertical: Perpendicular ao plano horizontal e paralela ao plano vertical.f) Reta de Topo: Perpendicular ao plano vertical e paralela ao plano horizontal. A reta pode, também, estar contida num dos planos de projeção ou na L.T. EXEMPLOS: NO (π’s) NO (π’I) NO (πA) NO(π ) - TRAÇOS DE RETAS É o ponto em que a reta atravessa o plano. Se for paralela ao plano, não terá traço. - Traço sobre (π): Traço horizontal (H) - Traço sobre (π’): Traço vertical (V) Na épura, basta PROLONGAR a projeção horizontal para determinar (V) e a projeção vertical para determinar (H). DETERMINAÇÃO TRAÇO DETERMINAÇÃO TRAÇO LINHA DE CHAMADA REGRA (sem exceção): A projeção horizontal V do traço vertical (V) e a projeção vertical H’ do traço horizontal (H) estão sempre sobre a L.T., podendo as proj. V’ e H se situarem abaixo ou acima da L.T. Observações: (i) O método acima para determinar-se os traços não pode ser usado para a reta de perfil. (ii) Uma reta só possui os 2 traços se for oblíqua aos 2 planos (π) e (π’). Assim, as retas horizontal, frontal, vertical e de topo possuem um traço e a frontohorizontal, nenhum. - POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS - Sejam as retas (r) e (s), plano (α) e o ponto (M) comum à reta (s) e a (α). - O ponto (M) e a reta (r) definem o plano (α); a reta (s) não pertence a (α) pois tem apenas (M) em comum. - Neste caso, diz-se que (r) e (s) são reversas ou não coplanares. - Se (s) também pertencer a (α), (r) e (s) são coplanares e definem o plano (α), podendo ser: • Concorrentes: há 1 ponto comum, (M), próprio. • Paralelas: não há ponto comum. RETAS CONCORRENTES Quando : a) O ponto de interseção das projeções verticais e o ponto das projeções horizontais estiverem numa mesma linha de chamada. OU b) Duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas se cortam. OU c) Uma das projeções de uma das retas se reduz a um ponto situado sobre a projeção mesmo nome da outra reta. RETAS PARALELAS a) Quando suas projeções de mesmo nome são paralelas; OU b) Duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas são paralelas. OU c) Suas projeções sobre um mesmo plano se reduzem cada uma, a um ponto. Ex.: 2 retas verticais ou de topo. RETAS DE PERFIL: Oblíquas aos dois planos de projeção numa posição particular: perpendicular (ou ortogonal) à L.T. Uma reta de perfil só pode ocupar duas posições em relação aos planos de projeção: - OU possui os dois traços (H) e (V) distintos e ela, então, passa por 3 diedros; - OU se os seus traços são coincidentes , sobre a L.T. passando por 2 diedros. - DETERMINAÇÃO DOS TRAÇOS DE UMA RETA DE PERFIL - A e B são rebatidos sobre a L.T, no sentido AH. - H é obtido desfazendo-se o rebatimento, no sentido H (alçamento). OBS.: É sempr e a pro jeção horizo ntal qu e se re bate (no sen tido AH ). ÉPURA: OBS.: Os segmentos de reta (A1)(B1) (rebatidos) mostram a V.G. do segmento de reta no espaço. Neste caso, o ponto (A) está no 1º diedro e o ponto (B), no 2º diedro. (Pág.69) EXERCÍCIOS Fazer os exercícios: 16, 17, 18, 19, 21, 23, 24 1. (17) Traçar uma reta horizontal que esteja a 3cm do plano (π), contendo um ponto (A) no bissetor do 1º diedro e um ponto (B) no (π’S). A’A₀ = AA₀ = B’B 2. (19) Dados os pontos (A) [0; -2; -1] e (B)[4; 2; 2,5] Trace: a) A épura da reta (A)(B) b) Seus traços c) Quais diedros ela atravessa ? d) Sua posição no espaço SOLUÇÃO: a) b) c) 1º, 2º e 3º B’ → 1º diedro A’ → 3º diedro 3. (23) Traçar as épuras das retas abaixo, todas no 1º diedro: a) De topo, com um ponto no (π’S) e outro no (βI); SOLUÇÃO: A’ Ξ B’ Ξ (A) A B A’A Ξ AB b) De perfil , toda no (βI), com um ponto na L.T.; SOLUÇÃO: C Ξ C’ Ξ (C) D’ D D’C Ξ DC c) Horizontal com cota nula; SOLUÇÃO: d) Qualquer, com um ponto no (π’S), distante 1,5cm de (π) e outro no (πA), distante 2cm de (π’S). SOLUÇÃO: ESTUDO DO PLANO (Cap. 3 - LT) - TRAÇOS DO PLANO É a interseção desse plano em outro. Em geral, usa-se para exprimir sua interseção com os planos de projeção. Na figura, o plano (α) intercepta (π) segundo a reta απ e o plano (π’) segundo απ’. Portanto, os traços horizontal e vertical do plano são, respectivamente, απ e απ’ . São designados por uma letra grega que indica o plano considerado, seguido da letra correspondente ao plano de projeção. Quando os traços são distintos e não paralelos à LT concorrem num mesmo ponto dessa linha (ponto (T) Ξ T Ξ T’ ). São dados, em geral, a abcissa do ponto T Ξ T’ e os ângulos que cada traço forma com π π’. POSIÇÕES DO PLANO: a) Plano Qualquer: Dois traços distintos, concorrendo sobre ππ’ num mesmo ponto. Os dois traços são oblíquos à ππ’ b) Plano Horizontal (ou de nível): É um plano paralelo a (π). Sua épura possui apenas o traço vertical, e paralelo à ππ’. c) Plano Frontal (ou de frente): Plano paralelo a (π’). Em épura possui apenas o traço horizontal, que é paralelo a ππ’. d) Plano Vertical : Plano perpendicular a (π) e oblíquo a (π’) . Sua épura tem o traço vertical perpendicular a ππ’ e o horizontal oblíquo a ela. e) Plano de Topo : Plano perpendicular a (π’) e oblíquo a (π). Na épura, o traço horizontal é perpendicular a ππ’ e o traço vertical é oblíquo. f) Plano de Perfil : Perpendicular aos dois planos de projeção. A épura apresenta os dois traços coincidentes e perpendiculares a ππ’. g) Plano paralelo à ππ’ : Oblíquo a (π) e (π’). Sua épura possui os dois traços // a ππ’. h) Plano passando pela ππ’ : Os traços coincidem com a ππ’ . Exemplo: Plano bissetor - RETAS DO PLANO Já vimos as diversas retas: qualquer, horizontal, frontal, frontohorizontal, vertical, de topo, de perfil. Estudamos, também, os planos: qualquer, horizontal, frontal, vertical, de topo, de perfil, paralelo à ππ’ e o passando pela ππ’. Vamos estudar, agora, a combinação de ponto, retas e planos, focalizando a pertinência entre eles. Um plano não pode conter senão determinadas retas. Com exceção do plano qualquer, que pode conter 4 tipos diferentes de retas, os demais planos só podem conter 3 tipos cada um. 1. RETAS DE PLANO QUALQUER - Qualquer - Horizontal - Frontal - De perfil REGRA GERAL DE PERTINÊNCIA: EXCEÇÃO : Quando se trata de um plano de passa pela linha de terra. UMA RETA PERTENCE A UM PLANO QUANDO POSSUI OS SEUS TRAÇOS SOBRE OS TRAÇOS CORRESPONDENTES DO PLANO. a) Reta qualquer : A reta qualquer (r) pertence ao plano qualquer cujos traços são απ e απ’ porque seus traços (V) e (H) encontram-se sore os traços correspondentes do plano. b) Reta Horizontal : Como não tem traço horizontal, o ponto comum à proj. horiz. da reta e ao traço horiz. do plano será um ponto impróprio (no infinito). A projeção horizontal da reta deverá ser paralela ao traço horizontal do plano. O traço vertical da reta deverá t b c) Reta Frontal : Como não tem traço vertical, o ponto comum à proj. vertical da reta e ao traço vertical do plano será impróprio (no infinito). A proj. vertical da reta será paralela ao traço vertical do plano e o traço horizontal da reta estará sobre o traço correspondente do plano. d) Reta de Perfil : Como a épura não indica diretamente se a reta pertence a um plano qualquer, opera-se o rebatimento do plano de perfil que contém a reta, determinando-se os traços da mesma. Estando sobre os traços do plano qualquer considerado, a reta pertence ao plano. 2. RETAS DE PLANO HORIZONTAL Sendo paralelo ao plano horizontal de projeção, o planohorizontal só poderá conter retas paralelas ao plano horizontal de projeção : - Reta Horizontal - Reta Frontohorizontal - Reta de Topo a) Reta Horizontal : A projeção vertical da reta e o traço απ’ coincidem. O traço vertical da reta está sobre απ’. b) Reta Frontohorizontal : Como não possui traços, fica caracterizada como pertencente ao plano horizontal considerado ao ter sua projeção vertical (r’) coincidente com o traço vertical do plano (απ’). c) Reta de Topo : Sua projeção vertical é reduzida a um ponto, que coincide com seu traço vertical e está sobre o traço απ’ . A projeção horizontal é perpendicular a ππ’. 3. RETAS DE PLANO FRONTAL Sendo o plano frontal paralelo ao plano vertical de projeção, só poderá conter retas paralelas a estes : - Frontal - Frontohorizontal - Vertical a) Reta Frontal : Sua projeção horizontal coincide com απ, que contém o traço horizontal (único) da reta (H). b) Reta Frontohorizontal : Sua projeção horizontal coincide com απ. Não tem traços. c) Reta Vertical : Sua projeção horizontal reduzida a um ponto está sobre απ. Projeção vertical perpendicular a ππ’. 4. RETAS DE UM PLANO PARALELO A ππ’ Sendo o plano paralelo a ππ’ e oblíquo aos dois planos de projeção, só poderá conter retas paralelas a ππ’ ou oblíquas àqueles planos : - Qualquer - Frontohorizontal - De perfil a) Reta Qualquer : Seus traços devem estar sobre os traços correspondentes do plano. b) Reta Frontohorizontal : Neste caso, a épura não indica diretamente se ela pertence ao plano. Pode- se usar uma reta auxiliar, qualquer, fazendo- a passar por um ponto (0) com projeções 0 e 0’ sobre a reta dada. A reta auxiliar terá traços (H) (V), situando-se (V) sobre απ’. A reta não pertence ao plano Se (H) estiver sobre απ, então a reta dada pertence ao plano (figura abaixo). Caso contrário, a reta não pertence ao plano (figura anterior) c) Reta de Perfil : A épura também neste caso não indica diretamente se a reta (A)(B) pertence ao plano dado. Operando-se o rebatimento, verifica-se se os traços da reta estão sobre os traços do plano. 5. RETAS DE UM PLANO VERTICAL Sendo o plano perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao plano vertical de projeção. Só poderá conter as retas mostradas na figura: - Qualquer - Horizontal - Vertical a) Reta Qualquer : Seus traços deverão estar sobre os traços correspondentes do plano. V’ → απ’ H → απ Projeção horizontal coincide com απ Todas as projeções horizontais de qualquer reta desse plano vertical coincidirão com απ. b) Reta Horizontal : Seu único traço V’ deve estar sobre απ’ . Sua projeção horizontal coincide com απ. c) Reta Vertical : Seu único traço horizontal está sobre απ. Sua projeção vertical é paralela ao traço απ’. 6. RETAS DE UM PLANO DE TOPO Sendo o plano perpendicular ao plano vertical de projeção e oblíquo ao horizontal, só poderá conter as retas mostradas na figura: - Qualquer - Frontal - De topo Todas as projeções verticais dessas retas coincidirão com o traço vertical do plano. a) Reta Qualquer : Seus traços deverão estar sobre os traços correspondentes do plano. V’ sobre απ´; H sobre απ e a sua projeção vertical coincide com απ’. b) Reta Frontal : Seu único traço, (H), está sobre απ. Sua projeção vertical coincide com απ’. c) Reta de Topo : Seu único traço, (V), está sobre απ’. Sua projeção horizontal é paralela ao traço horizontal. 7. RETAS DE UM PLANO DE PERFIL Como este plano é perpendicular a π, π’ e ππ’, suas retas serão perpendiculares aos planos ou à ππ’, isto é : - Reta de topo - Reta vertical - Reta de perfil As projeções de cada uma das retas anteriores coincidirão com os traços do plano, que são perpendiculares a ππ’. Exemplo: 8. RETAS DE UM PLANO QUE PASSA POR ππ’ - Lembrar que esse plano só ficará determinado se conhecermos outros elementos do mesmo (ex.: um ponto ou uma reta), pois seus traços se confundem com ππ’. - Esse plano é uma exceção à regra que diz estarem os traços da reta sobre os traços do plano. Vejamos um exemplo na figura ao lado. A reta (A)(B) tem seus traços sobre ππ’ (e, portanto, sobre os traços do plano), mas não pertence ao plano. Já a reta (A)(C) pertence ao plano porque ambos os pontos (A) e (C) pertencem ao plano ππ’ (C). MAS, examinando-se a épura, NÃO SE PODE AFIRMAR se a reta pertence ao plano. É preciso verificar se mais um ponto da reta pertence ao plano. É o problema da pertinência de ponto e plano, VISTO A SEGUIR. PERTINÊNCIA DE PONTO E PLANO - EXEMPLO : (Figura a seguir) Dados o plano qualquer de traços απ e απ’ e o ponto (A). REGRA GERAL (SEM exceção) : “ UM PONTO PERTENCE A UM PLANO QUANDO PERTENCE A UMA RETA DO PLANO. ” Para verificar se o ponto pertence ao plano, faz-se passar por uma das projeções do ponto (vertical, por exemplo) uma reta (r) do plano (horizontal, por exemplo), com traço vertical sobre o traço corresponde do plano e projeção horizontal paralela ao traço do plano. Como A não está sobre r , o ponto não pertence à reta e não pertence, portanto, ao plano. No exemplo a seguir, uma frontal (r) cuja projeção r’ passando por A’ é paralela a απ’ e a projeção r é paralela a ππ’ pertence ao plano porque seu traço horizontal H está sobre απ. Como A está sobre r, ponto (A) pertence a (r) e, portanto, pertence ao plano (α). A pertinência de um ponto a um plano pode ser simplificada conforme o plano seja “projetante” ou “não projetante”. NÃO - PROJETANTE Planos oblíquos aos planos de projeção: . Qualquer . Paralelo à ππ’ . Passando por ππ’ PROJETANTE Quando perpendicular, pelo menos, a um dos planos de projeção : . Horizontal (perpendicular a π’) . Frontal (perpendicular a π) . Vertical (perpendicular a π) . Topo (perpendicular a π’) . Perfil (perpendicular a π e π’) I ) Se o plano é “PROJETANTE”, a épura indica diretamente se um ponto dado pertence ou não ao plano. A simples situação de uma das projeções do ponto, é suficiente para verificar-se sua pertinência ao plano. Consideremos a que plano de projeção o plano dado é perpendicular: a) Se for perpendicular ao plano horizontal (π), basta que a projeção horizontal do ponto esteja sobre o traço horizontal do plano. Neste caso, não importa onde esteja a projeção vertical do ponto; ele pertencerá ao plano α. b) Se for perpendicular ao plano vertical (π’), basta que a projeção vertical do ponto esteja sobre o traço vertical do plano. Não importa onde esteja a projeção horizontal do ponto; ele pertencerá ao plano (α). II) Se o plano é “NÃO PROJETANTE”, cabe então a regra geral anteriormente descrita : o ponto pertence ao plano se pertencer a uma reta do plano. EXEMPLOS: a) Plano paralelo à ππ’ : b) Plano qualquer com dois pontos A e B estando, respectivamente, sobre os traços horizontal e vertical do plano. RETAS PRINCIPAIS DE UM PLANO : São as retas horizontais e frontais do plano, de grande aplicação prática (na solução de problemas). RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E MÁXIMA INCLINAÇÃO - Reta de máximo declive (ou de maior declive) de um plano em relação a outro plano é a pertencente a ele que forma, com o outro, o maior ângulo possível. EXEMPLO: Dados dois planos oblíquos (α) e (ß), toda reta (A)(B) de máximo declive de (α) em relação a (ß) é perpendicular à interseção αß dos dois planos. As retas de máximo declive de um plano (em relação ao plano horizontal) são perpendiculares às horizontais deste plano. Em épura, a reta de máximo declive é caracterizada por possuir sua projeção horizontal VH perpendicular ao traço horizontal απ do plano. Se, por outro lado, tivermos uma retaperpendicular ao traço vertical απ’ do plano, diz-se, então, que a reta é de máxima inclinação. Se o plano considerado for paralelo a ππ’ ou passar por esta linha, a reta de máximo declive (e também de máxima inclinação) será uma reta de perfil. Tratando-se de planos projetantes, tem-se: máx. declive: não há - Pl. Horizontal máx. inclinação: Reta de topo máx. declive: Reta vertical - Pl. Frontal máx. inclinação: não há máx. declive: Reta vertical - Pl. Vertical máx. inclinação: Reta horizontal máx. declive: Reta frontal - Pl. de Topo máx. inclinação: Reta de topo máx. declive: Reta vertical - Pl. de Perfil máx. inclinação: Reta de topo ELEMENTOS GEOMÉTRICOS QUE DEFINEM UM PLANO - Duas retas concorrentes; - Duas retas paralelas; - Uma reta e um ponto (exterior a ela); - Três pontos não em linha reta. PARALELISMO DE RETAS E PLANOS a) Reta paralela a plano : (Pág. 141) Uma reta é paralela a um plano quando é paralela a uma reta do plano. b) Plano paralelo a uma reta : (Pág. 144) Basta que contenha uma reta paralela a essa reta. c) Plano paralelo a plano : (Pág. 147) Quando um deles contiver duas retas concorrentes paralelas ao outro EXE RCÍC I OS
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