ELC 1060 - Sinais e sistemas discretos

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ELC1060 – Processamento digital de sinais
Sinais e sistemas discretos
Marcos H. Maruo
marcos.maruo@ufsm.br
Departamento de Eletroˆnica e Computac¸a˜o
Centro de Tecnologia
Universidade Federal de Santa Maria
2019
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 1 / 58
Conteu´do
1 Introduc¸a˜o
2 Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais
Sinais elementares
Distribuic¸a˜o de Heaviside
Delta de Dirac
Distribuic¸a˜o de Heaviside discreta
Func¸a˜o Delta de Kronecker
Exponencial complexa discreta
3 Sistemas
Propriedades de Sistemas
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Objetivo
Apo´s esta aula, o aluno deve ser capaz de enumerar as aplicac¸o˜es de
processamento digital de sinais.
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Introduc¸a˜o I
Sinais
Sinais sa˜o modelos matema´ticos importantes na atuac¸a˜o de qualquer
engenheiro. Exemplos de sinais encontrados frequentemente sa˜o sinais de
fala, a´udio, imagem e v´ıdeo. Um sinal e´ uma func¸a˜o de varia´veis
independentes como tempo, distaˆncia, posic¸a˜o, temperatura e pressa˜o.
Muitos dos sinais sa˜o gerados por fenoˆmenos naturais. Entretanto, sinais
podem ser gerados artificialmente ou por meio de simulac¸o˜es
computacionais. Geralmente um sinal carrega informac¸a˜o e o objetivo do
processamento digital de sinais e´ extrair informac¸a˜o relevante contida no
sinal. Assim, o processamento digital de sinais se preocupa com a
representac¸a˜o matema´tica do sinal e as operac¸o˜es executadas pelos
algoritmos para extrair a informac¸a˜o presente.
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Introduc¸a˜o II
Representac¸a˜o de sinais
A representac¸a˜o do sinal pode ser realizada em termos de func¸o˜es base
ou em um dom´ınio transformado. Analogamente, a extrac¸a˜o de
informac¸a˜o pode ser realizada no dom´ınio original do sinal ou em um
dom´ınio transformado.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais I
Dependendo da natureza das varia´veis independentes e do conjunto ao
qual os valores que o sinal pertencem, va´rios tipos de sinais podem ser
definidos. Por exemplo, as varia´veis independentes podem ser definidas
para conjuntos conta´veis e na˜o-conta´veis. Analogamente, o sinal pode ser
descrito por uma func¸a˜o cont´ınua ou discreta das varia´veis independentes.
Um sinal pode ainda ser descrito por uma ou mais varia´veis independentes.
No primeiro caso, trata-se de um sinal escalar e no segundo de um sinal
vetorial. Por exemplo, uma imagem em preto-e-branco e´ um sinal
bidimensional no qual as varia´veis independentes sa˜o a abscissa e a
ordenada de cada pixel da imagem. Um v´ıdeo em preto-e-branco e´ um
sinal tridimensional no qual as varia´veis sa˜o o tempo, a abscissa e a
ordenada de cada pixel do v´ıdeo.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais II
Descric¸a˜o de Sinais
Um sinal x [n] e´ uma relac¸a˜o un´ıvoca entre um conjunto A e um conjunto
B em que x [n] ∈ B | n ∈ A. Dependendo da natureza de A e B os sinais
podem ser agrupados em algumas classes.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais III
Sinais Discretos
Quando A e´ um conjunto conta´vel, enta˜o x [n] e´ um sinal discreto.
Exemplos de conjuntos conta´veis sa˜o os conjuntos dos nu´meros inteiros,
nu´meros naturais, nu´meros racionais, etc. Sinais discretos sa˜o
indefinidos fora de A. Exemplo : 100 ml de cerveja conte´m
A´gua (%) 92
Prote´ına (g) 0,28
Gordura (g) 0
Colesterol (mg) 0
Carboidrato (g) 3,61
Ca´lcio (mg) 3,89
Fo´sforo (mg) 13,89
Ferro (mg) 0,03
Pota´ssio (mg) 31,94
So´dio (mg) 5
Tiamina (mg) 0,01
Riboflavina (mg) 0,03
Niacina (mg) 0,5
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais IV
Sinais Cont´ınuos
Quando A e´ um conjunto na˜o-conta´vel, enta˜o x(t) e´ um sinal cont´ınuo.
Exemplos de conjuntos na˜o-conta´veis sa˜o os conjuntos dos nu´meros
reais, nu´meros complexos, nu´meros irracionais, etc. Exemplo: Tensa˜o
ele´trica nos terminais de um circuito analo´gico
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais V
Amostras de um sinal discreto
A dependeˆncia funcional de um sinal com sua representac¸a˜o matema´tica e´
frequentemente mostrada explicitamente. Cada elemento de x [n] (para
diferentes valores de n) e´ chamado de amostra. Normalmente, em
aplicac¸o˜es de engenharia, um sinal discreto e´ gerado a partir de um sinal
cont´ınuo por meio de amostragem em intervalos uniformes da varia´vel
independente. Quando o sinal e´ amostrado de maneira uniforme, a varia´vel
independente pode ser facilmente normalizada para um subconjunto dos
nu´meros inteiros.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais VI
Sinais determin´ısticos e aleato´rios
Outra classificac¸a˜o de sinais se preocupa com a certeza com que um sinal
pode ser descrito unicamente. Um sinal pode ser determinado por um
processo bem definido como uma expressa˜o matema´tica, uma busca em
uma tabela ou segue alguma regra previs´ıvel e´ chamado de sinal
determin´ıstico. Um sinal que e´ gerado de maneira aleato´ria e na˜o pode ser
previsto e´ chamado de sinal aleato´rio. Durante esse curso, os sinais que
sera˜o utilizados sa˜o predominantemente determin´ısticos. Contudo, como
sistemas discretos costumam utilizar tamanhos de palavra finitos para
armazenar sinais e portanto sa˜o necessa´rias ferramentas para analisar o
efeito desses tamanhos de palavra finitos no desempenho de sistemas
discretos. Por isso, e´ conveniente representar certos sinais por meio de
sinais aleato´rios e utilizar te´cnicas estat´ısticas para ana´lise.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais VII
Exemplos de sinais (quase) determin´ısticos
Tera´ arroz e feija˜o no almoc¸o do R.U.;
Trajeto´ria el´ıptica da Terra ao redor do Sol;
Hora´rio dos trens da Alemanha.
Exemplos de sinais aleato´rios
Ru´ıdo em uma gravac¸a˜o de a´udio;
Custo de roteamento atrave´s de uma rota espec´ıfica;
Temperatura de um microprocessador.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais VIII
Sinais Perio´dicos – Definic¸a˜o
Um sinal e´ considerado perio´dico se e somente se seu comportamento se
repete quando a varia´vel independente e´ transladada por um valor T ∈ A.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais IX
Sinais discretos e perio´dicos
Um sinal discreto g [n] e´ perio´dico para todo n ∈ A se e somente se
g [n] = g [n + T ].
O per´ıodo do sinal e´ o m´ınimo valor de T ∈ A para o qual a equac¸a˜o
anterior e´ va´lida. Consequentemente, quando n pertence a um conjunto
nume´rico, tem-se
g [n] = g [n + k · T ].
em que k ∈ Z.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais X
Sinais perio´dicos no tempo
Quando a varia´vel independente n e´ o tempo, a periodicidade de x [n]
implica que o sinal deve se repetir para qualquer valor de k ∈ Z inclusive
±∞. Portanto, esses sinais na˜o existem ou sa˜o extremamente raros na
natureza. Na˜o obstante, a ana´lise do comportamento de sistemas pode ser
simplificada significativamente assumindo a aproximac¸a˜ode periodicidade.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais XI
Exerc´ıcio
Classifique os seguintes sinais em perio´dicos ou na˜o-perio´dicos
1 x(t) = e jωt , para ω ∈ R∗+ e t ∈ R
2 x [n] = (−1)n para n ∈ Z;
3 x(t) = sen(pit)pit para t ∈ R;
4 x [n] = cos(n) para n ∈ Z
5 x [n] = cos
(
pin2
8
)
para n ∈ Z
Sinais pares
Um sinal discreto e´ par se e somente se
x [−n] = x [n] ∀t ∈ A.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais XII
Sinais ı´mpares
Um sinal discreto e´ ı´mpar se e somente se
x [−n] = −x [n] ∀t ∈ A.
A maioria dos sinais na˜o e´ nem par nem ı´mpar;
Entretanto, todo sinal pode ser decomposto em sua parte par e parte
ı´mpar.
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais XIII
Partes par e ı´mpar de um sinal
Supondo que x [n] e´ um sinal que na˜o e´ nem par nem ı´mpar enta˜o
x [n] = x [n] +
x [−n]− x [−n]
2
=
x [n] + x [−n]
2
+
x [n]− x [−n]
2
= even(x [n]) + odd(x [n])
em que
even(x [n]) =
x [n] + x [−n]
2
= even(x [−n])
odd(x [n]) =
x [n]− x [−n]
2
= −odd(x [−n])
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais XIV
Homogeneidade de sinais ı´mpares
Supondo que x [n] e´ um sinal ı´mpar, para n = 0 e´ necessa´rio que
x [0] = −x [0]
x [0] = 0
Produto de sinais com paridade diferente e´ ı´mpar
Considere que x1[n] = x1[−n], x2[n] = −x2[−n] e x3[n] = x1[n]x2[n] enta˜o
x3[−n] = x1[−n]x2[−n]
= −x1[n]x2[n]
= −x3[n]
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Caracterizac¸a˜o e classificac¸a˜o de sinais XV
Produto de sinais com mesma paridade e´ par
Para sinais pares:
Considere que x1[n] = x1[−n], x2[n] = x2[−n] e x3[n] = x1[n]x2[n] enta˜o
x3[−n] = x1[−n]x2[−n]
= x1[n]x2[n]
= x3[n]
Para sinais ı´mpares
Considere que x1[n] = −x1[−n], x2[n] = −x2[−n] e x3[n] = x1[n]x2[n]
enta˜o
x3[−n] = x1[−n]x2[−n]
= (−1)2x1[n]x2[n]
= x3[n]
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Sinais elementares
Sa˜o sinais que aparecem frequentemente durante a ana´lise de sistemas.
Esses sinais costumam ser utilizados na construc¸a˜o de sinais mais
complexos
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Distribuic¸a˜o de Heaviside I
Modelo para mudanc¸as abruptas
Considere o circuito ilustrado na figura abaixo. A chave esta´ normalmente
aberta portanto na˜o ha´ transfereˆncia de energia da bateria para o circuito.
Contudo, em um instante de tempo arbitra´rio, a chave e´ acionada por um
operador e a bateria passa a alimentar o circuito. Supondo que e´
necessa´rio determinar a tensa˜o no capacitor, e´ necessa´rio modelar esse
comportamento de mudanc¸a abrupta no comportamento do circuito.
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Distribuic¸a˜o de Heaviside II
Distribuic¸a˜o de Heaviside ou degrau unita´rio
Considere uma distribuic¸a˜o u(t), indefinida para t = 0, tal que
u(t) =
{
1, t > 0
0, t < 0
e que 0 < u(0) < 1. O fato de u(t) na˜o ser definida para um ponto
impede sua definic¸a˜o como uma func¸a˜o convencional. Na˜o existe func¸a˜o
ordina´ria que satisfac¸a esta propriedade. A teoria das distribuic¸o˜es foi
desenvolvida a fim de manipular determinadas singularidades que surgem
na f´ısica matema´tica.
Atualmente distribuic¸o˜es sa˜o indispensa´veis em diversos ramos da
matema´tica, f´ısica e eletrote´cnica, por exemplo na teoria das equac¸o˜es
diferenciais parciais, bem como em ana´lise de Fourier.
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Distribuic¸a˜o de Heaviside III
Definic¸a˜o alternativa da distribuic¸a˜o de Heaviside
Tambe´m chamada de aproximac¸a˜o linear da distribuic¸a˜o de Heaviside.
Para isso, uma func¸a˜o auxiliar que, quando seu paraˆmetro tende a zero,
converge para o degrau unita´rio.
Considere a func¸a˜o auxiliar
uaux(t) =

0, t < 0
t
� 0 ≤ t ≤ �
1, t > �
.
O gra´fico de uaux(t) pode ser visto abaixo
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Distribuic¸a˜o de Heaviside IV
Definic¸a˜o alternativa da distribuic¸a˜o de Heaviside – continuac¸a˜o
Finalmente, lim�→0 uaux(t) = u(t)
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 25 / 58
Distribuic¸a˜o de Heaviside V
Oliver Heaviside
Oliver Heaviside (18 de Maio de 1850 – 3 de
Fevereiro de 1925) foi um engenheiro eletricista
autodidata, matema´tico e f´ısico que adaptou a
teoria dos nu´meros complexos para o estudo de
circuitos ele´tricos, desenvolveu te´cnicas de soluc¸a˜o
de equac¸o˜es diferenciais e formulou as equac¸o˜es de
Maxwell do eletromagnetismo em func¸a˜o de forc¸as
ele´tricas, magne´ticas e fluxo de energia. Devido a
sua formac¸a˜o alternativa, entrou em choque com a
comunidade cient´ıfica de sua e´poca durante boa
parte de sua vida. Na˜o obstante, seu legado na
f´ısica, matema´tica e engenharia de telecomunicac¸o˜es
e´ indiscutivelmente significativo.
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Distribuic¸a˜o de Heaviside VI
Outras definic¸o˜es alternativas da distribuic¸a˜o de Heaviside
Por meio da func¸a˜o arctan
u(t) = lim
�→0
[
1
2
+
1
pi
arctan
( t
�
)]
Por meio da func¸a˜o erro complementar
u(t) = lim
�→0−
1
2
erfc
( t
�
)
Por meio da func¸a˜o exponencial
u(t) = lim
�→0+
[
1 − e−( t�)
]
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 27 / 58
Distribuic¸a˜o Delta de Dirac I
Definic¸a˜o a partir da distribuic¸a˜o degrau unita´rio
A maneira mais compacta de definir a distribuic¸a˜o Delta de Dirac e´
utilizando a distribuic¸a˜o degrau unita´rio em que
δ(t) =
d u(t)
dt
.
Dessa definic¸a˜o observa-se que
δ(t) =
{
0, t 6= 0
∞ t = 0
e que ∫ ∞
−∞
δ(t)dt = 1
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 28 / 58
Distribuic¸a˜o Delta de Dirac II
Representac¸a˜o gra´fica
A distribuic¸a˜o delta de Dirac e´ indefinida para t = 0 e portanto requer
uma simbologia espec´ıfica para sua representac¸a˜o gra´fica. Devido a` sua
natureza particular em que δ(t) = 0 para t 6= 0 sua representac¸a˜o e´
ideˆntica a` func¸a˜o nula para esses valores. Para t = 0, para indicar que o
valor da func¸a˜o tende a infinito utilizando um trac¸o finito, a func¸a˜o e´
representada por uma seta vertical.
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 29 / 58
Distribuic¸a˜o Delta de Dirac III
Definic¸a˜o alternativa para a distribuic¸a˜o delta de Dirac
Considere um pulso retangular de altura 1� e largura � conforme ilustrado
na figura abaixo para t0 = 0
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 30 / 58
Distribuic¸a˜o Delta de Dirac IV
Definic¸a˜o alternativa para a distribuic¸a˜o delta de Dirac
Seja
δ�(t) =
1
�
[
u
(
t +
�
2
)
− u
(
t − �
2
)]
A integral dessa func¸a˜o no intervalo de −∞ ate´ ∞ e´∫ ∞
−∞
δ�(t)dt =
∫ −�
2
−∞
0dt +
∫ �
2
�
2
1
�
dt +
∫ −�
2
−∞
0dt
=
1
�
∣∣∣∣ �2−�
2
= 1
independente de �. Conforme � diminui a largura do pulso diminui e sua
altura aumenta. Quando �→ 0 δ�(t) = δ(t)
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 31 / 58
Distribuic¸a˜o Delta de Dirac V
Func¸a˜o delta de Dirac?
Apesar de ser chamada de func¸a˜o Delta de Dirac por muitos autores, a
distribuic¸a˜o Delta de Diracna˜o e´ verdadeiramente uma func¸a˜o. δ(t) difere
de uma func¸a˜o g(t) = 0 apenas em t = 0, e portanto as duas sa˜o func¸o˜es
iguais “quase sempre”. Contudo, de acordo com a teoria de integrac¸a˜o de
Lebesgue, duas func¸o˜es integra´veis e iguais “quase sempre”, teˆm integrais
ideˆnticas. Entretanto, a integral da func¸a˜o g(t) e´ zero, e a da distribuic¸a˜o
Delta de Dirac na˜o.
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 32 / 58
Distribuic¸a˜o Delta de Dirac VI
Propriedades da distribuic¸a˜o Delta de Dirac I
1 Considere que x(t) e´ um sinal cont´ınuo e t ∈ R. E´ fa´cil verificar que
x(t)δ(t) = x(0)δ(t)
pois δ(t) e´ zero exceto para t = 0 enta˜o a multiplicac¸a˜o da func¸a˜o
com a distribuic¸a˜o e´ zero exceto para t = 0. De maneira similar, se
for realizada uma translac¸a˜o da varia´vel independente na distribuic¸a˜o
delta de Dirac e´ fa´cil verificar que
x(t)δ(t − ζ) = x(ζ)δ(t − ζ)
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 33 / 58
Distribuic¸a˜o Delta de Dirac VII
Propriedades da distribuic¸a˜o Delta de Dirac II
2 Propriedade da amostragem: Considere o produto interno de um sinal
cont´ınuo qualquer com uma distribuic¸a˜o Delta com a varia´vel
independente transladada
< x(t), δ(t − T ) > =
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t − T )dt
= x(T )
∫ ∞
−∞
δ(t − T )dt = x(T )
Essa propriedade e´ conhecida como propriedade de amostragem
(ou peneiramento) da distribuic¸a˜o delta de Dirac.
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 34 / 58
Distribuic¸a˜o Delta de Dirac VIII
Paul Dirac
Paul Adrien Maurice Dirac (8 de Agosto de 1902 —
20 de Outubro de 1984) foi um f´ısico teo´rico ingleˆs
que fez contribuic¸o˜es fundamentais aos primo´rdios
da mecaˆnica quaˆntica e a eletrodinaˆmica quaˆntica.
Entre muitas contribuic¸o˜es, ele formulou a equac¸a˜o
que previa o comportamento dos fermions e previa a
existeˆncia da antimate´ria (po´sitrons). Em 1933 ele
recebeu o preˆmio Nobel (dividido com Erwin
Schro¨dinger) por suas descobertas na teria atoˆmica.
Dirac era conhecido entre seus colegas por ser uma
pessoa exceˆntrica. Albert Einstein o descreveu como
“se equilibrando na delicada diferenc¸a entre geˆnio e
louco”.
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 35 / 58
Distribuic¸a˜o de Heaviside I
Distribuic¸a˜o de Heaviside ou degrau unita´rio
Considere uma distribuic¸a˜o u[n] tal que
u[n] =
{
1, n ≥ 0
0, n < 0
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 36 / 58
Distribuic¸a˜o de Heaviside II
Outras definic¸o˜es alternativas da distribuic¸a˜o de Heaviside
Por meio da func¸a˜o arctan
u[n] = lim
�→0
[
1
2
+
1
pi
arctan
(n
�
)]
Por meio da func¸a˜o erro complementar
u[n] = lim
�→0−
1
2
erfc
(n
�
)
Por meio da func¸a˜o exponencial
u[n] = lim
�→0+
[
1 − e−( n� )
]
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 37 / 58
Func¸a˜o Delta de Kronecker I
Func¸a˜o delta de Kronecker
A func¸a˜o delta de Kronecker e´ definida como
δ[n] =
{
0, n 6= 0
1, n = 0
(1)
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 38 / 58
Func¸a˜o Delta de Kronecker II
Propriedades da func¸a˜o Delta de Kronecker I
Considere que x [n] e´ um sinal cont´ınuo com n ∈ Z. E´ fa´cil verificar que
x [n]δ[n] = x [0]δ[n]
pois δ[n] e´ zero exceto para n = 0 enta˜o a multiplicac¸a˜o dos sinais e´ zero
exceto para n = 0. De maneira similar, se for realizada uma translac¸a˜o da
varia´vel independente na distribuic¸a˜o Delta de Dirac, e´ fa´cil verificar que
x [n]δ[n − N] = x [N]δ[n − N]
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 39 / 58
Func¸a˜o Delta de Kronecker III
Propriedades da distribuic¸a˜o Delta de Kronecker II
Propriedade da amostragem: Considere o produto interno de um sinal
discreto nume´rico x [n] em que n ∈ Z qualquer com uma func¸a˜o Delta de
Kronecker com a varia´vel independente transladada
< x [n], δ[n − N] > =
∞∑
n=−∞
x [n]δ[n − N]
= x [N]
∞∑
n=−∞
δ[n − N] = x [N]
Essa propriedade e´ conhecida como propriedade de amostragem (ou
peneiramento) da distribuic¸a˜o delta de Kronecker.
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 40 / 58
Func¸a˜o Delta de Kronecker IV
Representac¸a˜o de sinais com a func¸a˜o delta de Kronecker
Um sinal discreto com n ∈ Z pode ser representado por meio de uma
combinac¸a˜o linear de func¸o˜es delta de Kronecker deslocadas
x [n] =
∞∑
k=−∞
δ[n − k]x [k].
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 41 / 58
Func¸a˜o Delta de Kronecker V
Leopold Kronecker
Leopold Kronecker (7 de Dezembro de 1823 – 29 de
Dezembro de 1891) foi um matema´tico alema˜o que
se destacou por seus estudos na teoria dos nu´meros,
a´lgebra e lo´gica. Ele foi um dos principais cr´ıticos
do trabalho de Cantor na teoria dos conjuntos e foi
citado por Weber por ter dito “Die ganzen Zahlen
hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk” (Deus criou os nu´meros inteiros,
todo o resto e´ inventado pelo homem).
Marcos H. Maruo (UFSM) ELC1060 – Processamento digital de sinais 2019 42 / 58
Exponencial complexa cont´ınua I
O sinal exponencial complexo discreto ou sequeˆncia exponencial e´ definido
por
x [n] = Cαn
em que C , α ∈ C. Alternativamente, esse sinal pode ser expresso como
x [n] = Ceβn
em que α = eβ.
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Exponencial complexa cont´ınua II
C , α ∈ R, exponencial real discreta
Para compreender o comportamento da exponencial real discreta, pode-se
utilizar o conhecimento pre´vio do comportamento de func¸o˜es exponenciais
cont´ınuas. Inicialmente, representando α em uma notac¸a˜o baseada em
mo´dulo e fase
α = |α|e j∠α
em que, para α ∈ R, ∠α = 0 para α real positivo e ∠α = pi para reais
negativos. O valor de β pode ser determinado pelo logaritmo natural da
equac¸a˜o anterior resultando em
β = ln(|α|) + j∠α
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Exponencial complexa cont´ınua III
C , α ∈ R, exponencial real discreta
Logo, a exponencial real discreta pode ser expressa como
x [n] = Ce [ln(|α|)+j∠α]n
= Ce ln(|α|)ne j∠αn
ou seja, essa func¸a˜o se comporta de maneira semelhante a` exponencial
complexa cont´ınua
x(t) = |C |eσte j(ωt+∠C)
em que σ > 0 quando |α| > 1, σ < 0 quando |α| < 1 e σ = 0 quando
σ = 0. Adicionalmente, a func¸a˜o apresenta comportamento oscilato´rio
quando ∠α = pi (alternaˆncia de sinal).
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Exponencial complexa cont´ınua IV
C , α ∈ R, exponencial real discreta
Em resumo
Amplitude crescente quando |α| > 1;
Amplitude decrescente quando |α| < 1;
Amplitude constante quando |α| = 1;
Alternaˆncia de sinal quando α < 0;
Manutenc¸a˜o do sinal quando α ≥ 0.
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Exponencial complexa cont´ınua V
C , α ∈ C, Exponencial complexa discreta
Para o caso geral do sinal exponencial discreto, pode-se utilizar a notac¸a˜o
polar para nu´meros complexos para escrever
C = |C |e j∠C
α = |α|e j∠α
Logo, o sinal x [n] torna-se
x [n] = |C |e j∠C (|α|e j∠α)n
= |C ||α|ne j(∠C+∠αn)
= |C ||α|n cos(∠C + ∠αn) + j |C ||α|n sin(∠C + ∠αn)
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Considerac¸o˜es finais sobre os sinais da fam´ılia exponencial
Exponenciais cont´ınuas formam bases ortogonais (
∫∞
−∞ e
jω1te jω2t = 0,
exceto quando ω1 = ω2) do espac¸o funcional;
O espac¸o funcional dos sinais exponenciais cont´ınuos e´ completo
(todas as sequeˆncias de Cauchy do espac¸ofuncional dos sinais
cont´ınuos nume´ricos e diferencia´veis convergem para alguma
combinac¸a˜o linear de sinais exponenciais);
As duas propriedades anteriores garantem que o espac¸o das func¸o˜es
exponenciais e´ um espac¸o de Hilbert que gera todo o espac¸o dos
sinais cont´ınuos, nume´ricos e diferencia´veis;
Analogamente, o conjunto das func¸o˜es exponenciais discretas e´ um
espac¸o de Hilbert que gera todo o espac¸o dos sinais discretos
nume´ricos;
Consequentemente, esses sa˜o sinais extremamente interessantes para
gerar transformac¸o˜es integrais.
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Sistemas
Sistemas sa˜o conjuntos de partes ou componentes interdependentes que
formam estruturas complexas. Os sistemas podem ser formados a partir da
func¸a˜o de suas partes (por exemplo o corpo humano e seus sistemas
nervoso, digestivo, o´sseo, reprodutivo, etc), caracter´ısticas espaciais (por
exemplo o sistema solar que inclui os corpos que sa˜o influenciados
significativamente pela gravidade do Sol) ou temporais. O comportamento
dos sistemas podem ser influenciado por sinais de entrada e o sistema
pode ser capaz de produzir outros sinais em sua sa´ıda.
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Sistemas – notac¸a˜o
Considere um sistema h[n] cuja resposta e´ uma func¸a˜o da varia´vel
independente n. Esse sistema e´ submetido a um sinal de entrada x [n] e
produz um outro sinal de sa´ıda y [n]. Essa configurac¸a˜o e´ representada por
x [n]
h[n]7−−→ y [n]
Sistemas podem ser classificados de acordo com suas propriedades
matema´ticas em uma infinidade de categorias.
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Sistemas – Propriedades I
Linearidade
Considere que um sistema S e´ submetido a 3 sinais de entrada diferentes
produzindo as sa´ıdas
x1[n]
S7−→ y1[n]
x2[n]
S7−→ y2[n]
x3[n]
S7−→ y3[n]
em que x3 = x1[n] + αx2[n]. O sistema S e´ linear se e somente se
y3[n] = y1[n] + αy2[n]
para quaisquer sinais x1[n], x2[n] e qualquer n ∈ A.
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Sistemas – Propriedades II
Linearidade – Exemplos
Determine se os sistemas abaixo sa˜o lineares
y [n] = sin(3pin)x [n] para x(t) ∈ R, n ∈ Z sobre o corpo nume´rico dos
nu´meros reais;
y [n] = x2[n] para x(t) ∈ C, n ∈ Z sobre o corpo nume´rico dos
nu´meros reais;
y [n] = =m{x [n]} para x(t) ∈ C, n ∈ Z sobre o corpo nume´rico dos
nu´meros reais;
y [n] = =m{x [n]} para x(t) ∈ C, n ∈ Z sobre o corpo nume´rico dos
nu´meros complexos;
y [n] = even{x [n]} para x [n] ∈ C e n ∈ Z sobre o corpo nume´rico dos
nu´meros complexos;
y [n] = ={x [n]} para x [n] ∈ C e n ∈ Z sobre o corpo nume´rico dos
nu´meros reais;
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Sistemas – Propriedades III
Invariaˆncia no tempo
Considere que um sistema S e´ submetido a 2 sinais de entrada diferentes
produzindo as sa´ıdas
x1[n]
S7−→ y1[n]
x2[n]
S7−→ y2[n]
em que x2[n] = x1[n− n0] para n0 ∈ A. O sistema e´ invariante no tempo
se e somente se
y2[n] = y1[n − n0]
para quaisquer x1[n], x2[n] ∈ B e n, n0 ∈ A.
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Sistemas – Propriedades IV
Invariaˆncia no tempo – Exemplos
y(t) = 12x(t)u(t) , n ∈ R;
y(t) = |x(t)|2 , n ∈ R;
y(t) = x(at), a, n ∈ Z;
y [n] = e
1
4
nx [n], n ∈ Z;
y [n] = x [2n]
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Sistemas – Propriedades V
Estabilidade externa
Considere que o sistema S e´ submetido a um sinal de entrada
x1[n]
S7−→ y1[n]
O sistema e´ esta´vel pelo crite´rio de estabilidade externa ou BIBO
(bounded-in bounded-out) se e somente se, para qualquer sinal entrada
x1[n] tal que |x1[n]| <∞ tem-se
|y1[n]| <∞
para todo n ∈ A.
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Sistemas – Propriedades VI
Estabilidade externa – Exemplos
y [n] = 1010
100
x(t), n ∈ Z;
y [n] = dx(t)dt , n ∈ Z;
y [n] = sinc(n)x [n], n ∈ Z;
y [n] = 1sin(x[n]) , n ∈ Z;
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Sistemas – Propriedades VII
Causalidade
Considere que o sistema S e´ submetido a um sinal de entrada
x1[n]
S7−→ y1[n]
O sistema e´ causal se e somente se o sinal de sa´ıda depende das entradas
x1[a] e das sa´ıdas y1[a] apenas para a ≤ n.
Causalidade – Exemplos
y [n] = 0.9y [n − 1] + x [n];
y [n] =
∑n+2
k=−∞ x [k];
y [n] =
∑2n
k=−∞ x [k];
y [n] = x [−n]
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Sistemas – Propriedades VIII
Memo´ria
Considere que o sistema S e´ submetido a um sinal de entrada
x1[n]
S7−→ y1[n]
O sistema e´ sem-memo´ria se e somente se o sinal de sa´ıda depende do
sinal de entrada x1[n] apenas em n. Do contra´rio, o sistema tem memo´ria.
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	Introdução
	Caracterização e classificação de sinais
	Sinais elementares
	Sistemas
	Propriedades de Sistemas