Modulo3 - Eletronica analogica

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Módulo 3
Eletrônica Analógica
1
Capítulo 7
Filtros Ativos I: Fundamentos
2
Definição
A definição formal de filtro é a seguinte:
Um filtro elétrico é um quadripolo capaz de atenuar determinadas frequências do espectro do sinal de entrada e permitir a passagem das demais.
Chamamos de espectro de um sinal a sua decomposição numa escala de amplitude versus frequência. Isso é feito através das séries de Fourier ou utilizando um analisador de espectro. Notemos que, enquanto um osciloscópio é um instrumento para análise de um sinal no domínio do tempo, o analisador de espectro é um instrumento para análise de um sinal no domínio da frequência.
Em nosso estudo de filtros ativos trataremos dos filtros cujos sinais de entrada são senoidais.
3
Vantagens e desvantagens dos filtros ativos
Os filtros ativos possuem uma série de vantagens em relação aos filtros passivos:
Eliminação de indutores, os quais em baixas frequências são volumosos, pesados e caros;
Facilidade de projeto de filtros complexos através da associação em cascata de estágios simples;
Possibilidade de se obter grande amplificação do sinal de entrada (ganho), principalmente quando este for um sinal de nível muito baixo;
Grande flexibilidade de projeto.
4
Vantagens e desvantagens dos filtros ativos
Por outro lado, existem algumas desvantagens dos filtros ativos:
Exigem fonte de alimentação;
A resposta em frequência dos mesmos está limitada à capacidade de resposta dos AOPs utilizados;
Não podem ser aplicados em sistemas de média e alta potência (como, por exemplo, filtros para conversores e inversores tiristorizados).
5
Classificação
Os filtros podem ser classificados sob três aspectos:
Quanto à função executada;
Quanto à tecnologia empregada;
Quanto à função-resposta (ou aproximação) utilizada. 
O primeiro nos permite considerar quatro tipos básicos de filtros:
Filtro Passa-Baixas (PB)
	Só permite a passagem de frequências abaixo de uma frequência determinada fc (frequência de corte). As frequências superiores são atenuadas.
Filtro Passa-Altas (PA)
	Só permite a passagem de frequências acima de uma frequência determinada fc. As frequências inferiores são atenuadas.
6
Classificação
Filtro Passa-Faixa (PF)
Só permite a passagem das frequên-
cias situadas numa faixa delimitada
por uma frequência de corte inferior
(fc1) e outra superior (fc2). As frequências situadas abaixo de fc1 ou acima de fc2 são atenuadas.
Filtro Rejeita-Faixa (RF)
Só permite a passagem das frequên-
cias situadas abaixo de uma frequên-
cia de corte inferior (fc1) ou acima de
uma frequência de corte superior
(fc2). A faixa de frequências delimitada por fc1 e fc2 é atenuada.
7
Classificação
As curvas de respostas dadas na Figura 7.2(a) são gráficos que nos mostram o ganho do filtro em função da frequência do sinal aplicado.
Utilizaremos a letra K para representar o ganho máximo do filtro. 
A notação |H(jw)| ou simplesmente |H| representa o módulo do ganho de tensão do filtro em termos da variável w.
8
Classificação
No caso de um filtro real, a sua curva de resposta pode ser dividida em diversas faixas. Para um filtro PB, temos a seguinte divisão:
Faixa de passagem (0 a fc);
Faixa de transição (fc a fs);
Faixa de corte (acima de fs).
A Figura 7.2(b) nos mostra essas três faixas para um filtro PB, e a Figura 7.2(c) nos mostra as cinco faixas de um filtro PF. Neste último existem, evidentemente, duas faixas de transição e duas de corte.
9
Classificação
O segundo aspecto de classificação dos filtros nos permite considerar três tecnologias fundamentais:
Filtros passivos
	São aqueles construídos apenas com elementos passivos, tais como: resistores, capacitores e indutores. Tais filtros são inviáveis em baixas frequências, pois exigem componentes muito grandes.
Filtros ativos
	São aqueles construídos com alguns elementos passivos associados a elementos ativos (válvulas, transistores ou amplificadores operacionais).
	A primeira geração foi construída tendo as válvulas como elementos ativos.
	A segunda geração de filtros ativos utilizava os transistores.
	A terceira geração utiliza os amplificadores operacionais como elementos ativos. A alta resistência de entrada e a baixa resistência de saída dos AOPs, associadas a suas outras características, permitem filtros de ótimas qualidades.
10
Classificação
Filtros digitais
	Tais filtros utilizam componentes digitais como elementos constitutivos. Um sinal analógico é convertido em sinais digitais através de um sistema de conversão analógico-digital. O sinal binário representativo do sinal de entrada, obtido pelo processo citado, é filtrado pelo filtro digital e o resultado é reconvertido em sinal analógico por um sistema de conversão digital-analógico.
11
Ressonância, fator Qo e seletividade
O circuito RLC mostrado na Figura 7.3 tem, em condição de circuito aberto, uma impedância de entrada dada por:
Diz-se que o circuito está em ressonância-série quando Zi(w) é real (e assim | Zi(w)| é um mínimo); ou seja:
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Ressonância, fator Qo e seletividade
Na Figura 7.4, temos a variação de fase do circuito RLC série em função da frequência. 
Figura 7.4 gerada em Matlab para R = 1; L = 1 e C = 1.
 log(w/wo) no eixo x.
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Ressonância, fator Qo e seletividade
A resposta em frequência (apenas módulo) está na Figura 7.5. Observe que ocorre redução tanto abaixo como acima da frequência ressonante. 
Figura 7.5 gerada em Matlab para R = 1; L = 1 e C = 1.
 log(w/wo) no eixo x.
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Ressonância, fator Qo e seletividade
O fator de qualidade, Qo, pode ser definido para o circuito RLC série, quando em ressonância.
O fator de qualidade relaciona a energia máxima ou de pico armazenada com a energia dissipada no circuito por ciclo de oscilação:
No circuito RLC série, o pico da energia armazenada é LI2/2, enquanto que a potência média dissipada em um período é RIef2, onde I e Ief são os valores de pico e eficaz da corrente, respectivamente. A energia dissipada em um período é RIef2To=RI2/(2fo). Logo,
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Ressonância, fator Qo e seletividade
A potência média dissipada no circuito RLC é		
onde I é a amplitude da corrente do circuito.
A maior potência dissipada ocorre na ressonância, quando I = Vm/R; logo,
Para certas frequências w = wc1, wc2, a potência dissipada é metade do valor máximo, ou seja,
Com Vm constante, metade da potência é obtida quando:
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Ressonância, fator Qo e seletividade
As frequências de meia potência são obtidas escrevendo
17
Ressonância, fator Qo e seletividade
Resolvendo para w, obtemos
As frequências de meia potência em termos de wo e Qo são obtidas como segue:
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Ressonância, fator Qo e seletividade
Outro conceito importante é o conceito de seletividade. Esse termo pode ser definido como habilidade de um circuito em distinguir, num dado espectro de frequências, uma determinada frequência em relação às demais. Esse conceito tem muito significado nos filtros PF e RF, mas nos demais o mesmo quase não se aplica.
A subtração, membro a membro, das expressões anteriores nos permite escrever:
o que sugere que quanto maior o fator de qualidade, tanto mais estreita é a largura da faixa, ou seja, maior será a seletividade do circuito.
19
Ressonância, fator Qo e seletividade
Apesar de não haver consenso geral acerca da melhor definição do fator Qo, acreditamos que a definição clássica é a que melhor atende aos nossos propósitos:
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Ressonância, fator Qo e seletividade
Figura 7.6 gerada em Matlab: log(w/wo) no eixo x.
R = 2, L = 1 e C = 1				R = 0.5, L = 1 e C = 1	
Qo= 0.5 = baixa seletividade			Qo= 2 = alta seletividade
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Ressonância, fator Qo e seletividade
Exercício
Num circuito RLC série, a frequência de ressonância é igual a 3kHz e o fator de qualidade é igual a 15. pede-se:
Determinar as frequências de corte inferior (fc1) e superior (fc2).
Determinar a largura de faixa do circuito.
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Filtros de Butterworth
Os filtros Butterworthforam descritos primeiramente pelo engenheiro britânico S. Butterworth em sua publicação "On the Theory of Filter Amplifiers“.
Os filtros de Butterworth possuem a seguinte função-resposta:
					(aproximação para filtro PB)
onde KPB é o ganho do filtro PB quando a frequência w é nula; wc é a frequência de corte (wc = 2pfc) e n é a ordem do filtro.
Em termos matemáticos, a ordem de um filtro, é por definição, o número de polos existentes na função de transferência do mesmo. Em termos físicos, podemos dizer que a ordem de um filtro é dada pelo número de redes de atraso presentes em sua estrutura. É interessante frisar que, quanto maior for a ordem de um filtro, mais a sua resposta se aproximará das curvas ideais.
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Filtros de Butterworth
A Figura 7.7 nos mostra diversas respostas, supondo KPB=1 e fazendo n=2, 4, 6 e 8.
					
Verificamos que as respostas se aproximam gradativamente da resposta ideal de um filtro PB, à medida que n aumenta.
					
24
Filtros de Butterworth
Figura 7.7 gerada no Matlab, supondo KPB=1 e fazendo n=2, 4, 6 e 8.
(w/wc) no eixo x.
					
25
Filtros de Butterworth
Se na equação
fizermos w>>wc, podemos escrever a seguinte expressão aproximada:
Em termos de decibéis teremos para w ≥ wc:
Esta expressão nos permite concluir que a taxa de atenuação (TA) é dada por:
			(dB)
					
26
Filtros de Butterworth
Exercícios
Qual o valor da taxa de atenuação (TA) de um filtro PB de sexta ordem implementado segundo a função-resposta de Butterworth? Supor uma variação de uma década, em relação à frequência de corte.
 Determinar o ganho de tensão (em decibéis) de um filtro PB de segunda ordem e resposta Butterworth, quando w assume os seguintes valores:
 w = 0
 w = 300 rad/s
 w = 3.000 rad/s
 w = 30.000 rad/s
O ganho máximo do filtro é igual a 4 e sua frequência de corte é 300 rad/s.
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Filtros de Chebyshev
Nas frequências próximas à frequência de corte (wc), a resposta Butterworth não é muito boa para filtros de baixa ordem. Os filtros de resposta Chebyshev possuem melhor definição nas vizinhanças de wc. Se considerarmos um filtro do tipo Butterworth e outro do tipo Chebyshev, ambos de mesma ordem e com a mesma estrutura de implementação, a resposta do filtro Chebyshev será melhor em termos de frequência de corte, ou seja, sua transição próxima à frequência de corte será muito mais aguda do que a obtida para o filtro Butterworth.
A função-resposta (ou aproximação) sugerida por Chebyshev é a seguinte:
onde KPB é o ganho do filtro PB para frequência nula; wc é a frequência de corte; E é uma constante que define a amplitude (PR) dos ripples presentes na faixa de passagem, e Cn é o chamado polinômio de Chebyshev, dado por:
			
					
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Filtros de Chebyshev
Se representarmos
supondo KPB=1 e wc = 1 rad/s, para diversos valores de n, teremos o gráfico mostrado na Figura 7.8.
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Filtros de Chebyshev
Figura 7.8 gerada no Matlab, supondo KPB=1, E = 0,99763 e fazendo n=2, 4, 5 e 6. (w/wc) no eixo x.
					
30
Filtros de Chebyshev
O número de ripples presentes na faixa de passagem é igual à ordem do filtro. Por outro lado, conforme dissemos, a amplitude dos ripples (PR) depende do parâmetro E. Outra observação interessante é que, para n ímpar, os ripples apresentam em w = 0 seu valor máximo e, para n par, os ripples apresentam em w = 0 o seu valor mínimo.
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Filtros de Chebyshev
Figura 7.9 gerada no Matlab, supondo KPB=1, E = 0,99763 e fazendo n=2, 4, 5 e 6. (w/wc) no eixo x.
					
32
Filtros de Chebyshev
A taxa de atenuação (TA) do filtro Chebyshev é, na maioria das vezes, superior a 20n dB/década. Seu valor pode ser calculado através da seguinte expressão do ganho (válida somente para w ≥ wc):
da qual se obtém:
A amplitude dos ripples (PR) em decibéis está relacionada com E através da seguinte expressão:
da qual se obtém:
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Filtros de Chebyshev
É conveniente observar um fato curioso e contraditório acerca dos filtros Chebyshev: quanto maior a amplitude do ripple, maior será a atenuação obtida na faixa de transição.
Finalmente, percebe-se por
que para E = 1 e n = 1, os filtros Butterworth e Chebyshev apresentam a mesma taxa de atenuação, dada por -20 dB/década. Assim sendo, não se costuma distinguir filtros de primeira ordem em termos de uma função-resposta Butterworth ou Chebyshev.
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Filtros de Chebyshev
Exercício
Qual o valor da taxa de atenuação (TA) de um filtro PB de sexta ordem implementado segundo a função-resposta de Chebyshev, cuja amplitude dos ripples (PR) é de 1 dB? Supor uma variação de uma década.
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Filtros de Cauer ou elípticos
Os filtros de Cauer, ou elípticos, apresentam ripples tanto na faixa de passagem como na faixa de corte. Todavia, são os que têm a melhor definição em termos de frequência de corte. Em outras palavras, a sua faixa de transição é bastante estreita. Esse tipo de filtro é muito utilizado em equipamentos que exigem alta precisão no ponto de corte, bem como uma atenuação acentuada na faixa de corte.
A Figura 7.10 nos mostra a curva de resposta típica para um filtro elíptico de quinta ordem, onde wc = 1 rad/s.
Comparando com a Figura 7.9(a), pode-se constatar uma performance muito melhor do filtro elíptico em relação ao filtro de Chebyshev.
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Filtros de Cauer ou elípticos
O ganho de um filtro elíptico passa baixa em função da frequência é dado por:
Uma função racional elíptica de grau n em x com fator ξ é geralmente definida como: 
onde Rn é a função racional elíptica de ordem n, wc é a frequência de corte, E é o fator de ripple e ξ é o fator de seletividade.
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Filtros de Cauer ou elípticos
Figura gerada no Matlab, supondo KPB=1, E = 0,99763, x=1,1 e fazendo n = 1, 2, 3 e 4. (w/wo) no eixo x.
					
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Defasagens em filtros
Até o momento só nos preocupamos com as características de ganho e atenuação dos filtros. Neste item vamos tecer alguns comentários sobre defasagens entre os sinais de entrada e de saída num filtro.
Existem situações nas quais as defasagens entre entrada e saída podem prejudicar a performance de um sistema. Um exemplo desse caso ocorre quando se transmite sinais digitais via linhas telefônicas. Nesse tipo de transmissão, o sincronismo é fundamental e a o ocorrência de atrasos de tempo provocados por defasagens pode causar sérios distúrbios.
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Defasagens em filtros
A resposta de amplitude e atenuação de um filtro de Chebyshev para uma determinada ordem é melhor que a do filtro de Butterworth da mesma ordem. Entretanto, a resposta de fase do filtro de Chebyshev é menos linear que a do filtro de Butterworth, conforme se vê na Figura 7.11 (considerando ambos com n = 6).
40
Capítulo 8
Filtros Ativos II: Projetos
41
Estruturas de Implementação
Existem inúmeras estruturas de implementação para filtros ativos. Em nosso estudo, iremos abordar as duas estruturas mais comuns na prática:
Estrutura de realimentação múltipla – MFB (multiple-feedback)
Estrutura de fonte de tensão controlada por tensão – VCVS
 (voltage-controlled voltage source)
Ambas as estruturas possuem algumas vantagens que as tornam muito usuais na prática: boa estabilidade, baixa impedância de saída, facilidade de ajuste de ganho e de frequência, e requerem poucos componentes externos. Entretanto, o máximo valor do fator Qo para filtros implementados com essas estruturas é da ordem de 10.
42
Estruturas de Implementação
A estrutura MFB apresenta polaridade de saída invertida, ou seja, apresenta um ganho invertido –K (K > 0). Essa característica não tem qualquer efeito prejudicial na performance dos filtros implementados com estrutura MFB.
A denominação VCVS está relacionada com o fato do AOP, como amplificador de tensão, poder ser comparado a uma fonte de tensão cuja saída é função da tensão de entrada e do ganho do circuito.
Veremos que uma mesma estrutura pode ser utilizada para implementar diferentes aproximações. A determinação de uma certa função-resposta é estabelecidapelos valores dos componentes da estrutura.
43
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de primeira ordem – VCVS
AOI com realimentação negativa
44
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de primeira ordem – VCVS
Demonstração do valor de R1
usando rede de atraso (seção 2.8)
No circuito RC da Figura 8.1
temos:
Quando Xc = R1, temos:
45
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de primeira ordem – VCVS
Esse circuito apresenta um ganho K dado por:
Por outro lado, é interessante minimizar o efeito da tensão de offset de entrada, impondo a seguinte relação:	
(resistor de equalização)
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Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de primeira ordem – VCVS
O valor de C pode ser estabelecido por uma regra prática para projetos de filtros ativos, a qual consiste em se estabelecer para o capacitor C um valor comercial em torno de 10/fc, onde para fc dado em Hertz, se obtém C em microfarad.
Finalmente, resta-nos considerar o parâmetro b na equação
		 	onde b é um parâmetro que irá determinar o tipo de função-			resposta para filtros de ordem ímpar ≥ 3.
Esse parâmetro tem valor unitário, caso se deseje apenas um filtro de primeira ordem. Entretanto, quando projetarmos filtros de ordem ímpar igual ou superior à terceira, o parâmetro b será obtido através de tabelas apropriadas.
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Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de primeira ordem – VCVS
Podemos resumir as etapas do projeto do filtro PB de primeira ordem no quadro-projeto
	1	Estabelecer o valor de K
	2	Estabelecer o valor de fc
	3	Determinar C = 10/fc
	4	Determinar R1 (Equação 8-3)
	5	Determinar R2 (Equação 8-4)
	6	Determinar R3 (Equação 8-5)
	7	Montar um protótipo em laboratório e executar testes
	8	Ajustar o ganho através de R2 ou R3
	9	Ajustar a frequência de corte em -3dB através de R1
	10	Substituir os potenciômetros R1, R2 e R3 por resistores comerciais próximos
	11	Montar o circuito definitivo
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Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – MFB
AOI com realiment. negativa
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Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – MFB
Solução para ajustar os componentes (Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ):
50
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – MFB
51
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – MFB
Antonio Pertence Júnior
52
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – MFB
Antonio Pertence Júnior
53
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – MFB
Antonio Pertence Júnior
54
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – MFB
Antonio Pertence Júnior
55
Filtros Passa-Baixas
56
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – MFB
Algumas vezes, ao projetarmos filtros ativos, podemos obter capacitâncias muito grandes e resistências muito pequenas. Para contornar essa situação, utiliza-se uma regra denominada escalonamento de impedância. Essa regra é a seguinte:
Um filtro ativo não tem sua performance alterada quando multiplicamos (ou dividimos) os valores dos resistores por um fator m > 1, desde que os valores dos capacitores sejam divididos (ou multiplicados) pelo mesmo fator.
57
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – MFB
Podemos resumir as etapas do projeto do filtro PB de segunda ordem no quadro-projeto
	1	Estabelecer o valor de K
	2	Estabelecer o valor de fc
	3	Estabelecer o valor de PR (no caso do filtro de Chebyshev)
	4	Determinar os parâmetros a e b através da tabela apropriada
	5	Determinar C2 = 10/fc (comercial)
	6	Determinar C1 (Equação 8-10)
	7	Determinar R2 (Equação 8-7)
	8	Determinar R1 (Equação 8-8)
	9	Determinar R3 (Equação 8-9)
	10	Montar um protótipo em laboratório e executar testes
	11	Fazer ajuste de K e fc
	12	Montar o circuito definitivo
58
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – VCVS
AOI com realimentação negativa
Substituindo Vx e V+ na equação (1):
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Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – VCVS
Solução para ajustar os componentes (Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ):
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Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – VCVS
61
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – VCVS
Antonio Pertence Júnior
62
Filtros Passa-Baixas
Projeto do filtro PB de segunda ordem – VCVS
Podemos resumir as etapas do projeto do filtro PB de segunda ordem no quadro-projeto
	1	Estabelecer o valor de K
	2	Estabelecer o valor de fc
	3	Estabelecer o valor de PR (no caso do filtro de Chebyshev)
	4	Determinar os parâmetros a e b através da tabela apropriada
	5	Determinar C2 = 10/fc (comercial)
	6	Determinar C1 (Equação 8-16)
	7	Determinar R1 (Equação 8-12)
	8	Determinar R2 (Equação 8-13)
	9	Determinar R3 (Equação 8-14)
	10	Determinar R4 (Equação 8-15)
	10	Montar um protótipo em laboratório e executar testes
	11	Fazer ajuste de K e fc
	12	Montar o circuito definitivo
63
Filtros Passa-Altas
Um filtro PA pode ser obtido a partir da estrutura de um filtro PB, bastando para tanto, fazer a permutação dos resistores por capacitores e dos capacitores por resistores. Essa permutação é denominada transformação RC CR.
Projeto do filtro PA de primeira ordem - VCVS
Se aplicarmos a transformação RC CR no circuito da Figura 8.1, obteremos o circuito da Figura 8.4.
64
Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de primeira ordem - VCVS
AOI com realimentação negativa
65
Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de primeira ordem – VCVS
A condição de minimização da tensão de
offset de entrada é usada no projeto:
66
Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de primeira ordem – VCVS
Podemos resumir as etapas do projeto do filtro PA de primeira ordem no quadro-projeto
	1	Estabelecer o valor de K
	2	Estabelecer o valor de fc
	3	Determinar C = 10/fc
	4	Determinar R1 (Equação 1)
	5	Determinar R2 (Equação 2)
	6	Determinar R3 (Equação 3)
	7	Montar um protótipo em laboratório e executar testes
	8	Fazer ajustes de K e fc
	9	Montar o circuito definitivo
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Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de segunda ordem - MFB
A Figura 8.5 nos mostra a implementação com estrutura MFB do filtro PA de segunda ordem. Note a transformação RC CR desse circuito em relação ao da Figura 8.2.
68
Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de segunda ordem – MFB
AOI com realiment. negativa
69
Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de segunda ordem – MFB
Solução para ajustar os componentes (Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ):
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Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de segunda ordem – MFB
71
Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de segunda ordem – MFB
Antonio Pertence Júnior
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Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de segunda ordem – MFB
Podemos resumir as etapas do projeto do filtro PA de segunda ordem no quadro-projeto
	1	Estabelecer o valor de K
	2	Estabelecer o valor de fc
	3	Estabelecer o valor de PR (no caso do filtro de Chebyshev)
	4	Determinar os parâmetros a e b através da tabela apropriada
	5	Determinar C1 = 10/fc (comercial)
	6	Determinar C2 (Equação 8-21)
	7	Determinar R1 (Equação 8-22)
	8	Determinar R2 (Equação 8-23)
	9	Montar um protótipo em laboratório e executar testes
	10	Fazer ajuste de K e fc
	11	Montar o circuito definitivo
73
Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de segunda ordem - VCVS
A estrutura VCVS para o filtro PA de segunda ordem acha-se indicada na Figura 8.6. Mais uma vez utilizamos a transformação RC CR (em relação à estrutura da Figura 8.3).
74
Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de segunda ordem – VCVS
Antonio Pertence Júnior
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Filtros Passa-Altas
Projeto do filtro PA de segunda ordem – VCVS
Podemos resumir as etapas do projeto do filtro PA de segunda ordem no quadro-projeto
	1	Estabelecer o valor de K
	2	Estabelecer o valor de fc
	3	Estabelecer o valor de PR (no caso do filtro de Chebyshev)
	4	Determinar os parâmetrosa e b através da tabela apropriada
	5	Determinar C = 10/fc (comercial)
	6	Determinar R1 (Equação 8-25)
	7	Determinar R2 (Equação 8-26)
	8	Determinar R3 (Equação 8-27)
	9	Determinar R4 (Equação 8-28)
	10	Montar um protótipo em laboratório e executar testes
	11	Fazer ajuste de K e fc
	12	Montar o circuito definitivo
76
Filtros de Ordem Superior à Segunda
Associando em cascata filtros PB ou PA de primeira e segunda ordens, podemos obter os filtros de ordem superior à segunda. Assim, por exemplo, um filtro PB de sexta ordem pode ser obtido com a associação de três estágios PB de segunda ordem. Por outro lado, um filtro PB de quinta ordem pode ser implementado com dois estágios PB de segunda ordem seguidos por um estágio PB de primeira ordem.
77
Filtros de Ordem Superior à Segunda
Cada estágio deve ser projetado como se fosse um estágio independente. Os valores de a e b deverão ser obtidos em função da ordem do filtro desejado e de acordo com a função-resposta necessária ao projeto.
Como o ganho de uma associação em cascata é dado pelo produto dos ganhos de cada estágio, torna-se necessário distribuir o ganho total entre os estágios, de modo que o produto dos ganhos individuais seja igual ao ganho total estabelecido para o filtro. De modo geral, uma associação com m estágios e ganho total KT nos permite obter um ganho individual K, dado por:
78
Filtros de Ordem Superior à Segunda
Projeto
Projetar um filtro PB de terceira ordem, resposta Chebyshev 0,5 dB, ganho total igual a 4 e frequência de corte igual a 1 kHz. Utilizar estruturas VCVS e fazer todos os capacitores iguais a 0,01 mF.
Cálculos
Utilizaremos um estágio de segunda ordem seguido por um estágio de primeira ordem. Cada estágio terá um ganho K dado por:
Da Tabela 8.2, temos (para n=3 e PR=0,5):
1º estágio: a = 0,626456 b = 1,142448
2º estágio: b = 0,626456
79
Filtros de Ordem Superior à Segunda
Projeto
O primeiro estágio pode ser calculado fazendo K = 2
80
Filtros de Ordem Superior à Segunda
Projeto
O segundo estágio pode ser calculado fazendo K = 2
81
Filtros Passa-Faixa
Os filtros PB também podem ser implementados com qualquer uma das estruturas vistas anteriormente (MFB ou VCVS). Entretanto, para o filtro PF, iremos apresentar apenas a estrutura MFB, por ser a mais comum na prática. 
A Figura 8.9 nos mostra a curva de resposta de frequência para um filtro PF.
Utilizando
podemos demonstrar a seguinte relação:
82
Filtros Passa-Faixa
Observando a Figura 8.9, podemos concluir que uma outra forma de implementar filtros PF seria a utilização de um filtro PA associado em cascata com um filtro PB. Ambos os filtros devem ter o mesmo ganho, e a frequência de corte do filtro PA (fc1) deve ser menor que a frequência de corte do filtro PB (fc2). 
Essa forma de implementar filtros PB é uma solução alternativa (principalmente para filtros de ordem superior à segunda), mas, infelizmente, não apresenta boa precisão em termos da resposta do filtro PF obtido, pois surgem problemas com o fator Qo, com a largura de faixa resultante da associação e com o ganho do circuito na faixa de passagem.
83
Filtros Passa-Faixa
Projeto do filtro PF com estrutura MFB
A Figura 8.11 nos mostra o circuito de um filtro PF implementado com estrutura MFB. Normalmente, o projetista estabelece as frequências de corte fc1 e fc2 (BW = fc2 – fc1) e, a partir dessas condições, determina-se fo, wo e Qo. O ganho K do filtro também deve ser estabelecido pelo projetista, mas o seu valor deve obedecer à seguinte condição:
O valor de C pode ser selecionado arbitrariamente, mas, como de costume, é conveniente estabelecer um valor comercial próximo a 10/fo.
84
Filtros Passa-Faixa
Projeto do filtro PF com estrutura MFB
85
Filtros Passa-Faixa
Projeto do filtro PF com estrutura MFB
86
Filtros Passa-Faixa
Projeto do filtro PF com estrutura MFB
Podemos resumir as etapas do projeto do filtro PF no quadro-projeto
	1	Estabelecer fc1 e fc2
	2	Determinar fo e wo (equação 8-30)
	3	Determinar Qo = fo/(fc2-fc1)
	4	Estabelecer o valor de K (equação 8-31)
	5	Determinar C = 10/fo (comercial)
	6	Determinar R1 (Equação 8-32)
	7	Determinar R2 (Equação 8-33)
	8	Determinar R3 (Equação 8-34)
	9	Montar um protótipo em laboratório e executar testes
	10	Fazer ajuste de K e fo
	11	Montar o circuito definitivo
87
Filtros Rejeita-Faixa
Basicamente, todas as considerações feitas acerca do filtro PF, em termos da aplicabilidade das equações de ressonância, bem como em termos dos problemas decorrentes da associação em cascata para obtenção de filtros de ordem superior à segunda, se aplicam, também, aos filtros RF. Entretanto, a implementação mais usual do filtro RF de segunda ordem é feita com a estrutura VCVS, em vez da estrutura MFB.
Projeto do filtro RF com estrutura VCVS
A Figura 8.12 nos mostra o circuito de um filtro RF implementado com estrutura VCVS. Novamente, o fator Qo está intimamente relacionado com os valores dos componentes passivos do circuito. Os procedimentos para determinação de fo, Qo e C são análogos aos utilizados para projetar o filtro PF.
88
Filtros Rejeita-Faixa
Projeto do filtro RF com estrutura VCVS
89
Filtros Rejeita-Faixa
Projeto do filtro RF com estrutura VCVS
90
Filtros Rejeita-Faixa
Projeto do filtro RF com estrutura VCVS
Podemos resumir as etapas do projeto do filtro RF no quadro-projeto
	1	Estabelecer fc1 e fc2
	2	Determinar fo e wo (equação 8-30)
	3	Determinar Qo = fo/(fc2-fc1)
	4	Neste circuito K = 1
	5	Determinar C = 10/fo (comercial)
	6	Determinar R1 (Equação 8-36)
	7	Determinar R2 (Equação 8-37)
	8	Determinar R3 (Equação 8-38)
	9	Montar um protótipo em laboratório e executar testes
	10	Fazer ajuste de fo
	11	Montar o circuito definitivo
91
Circuitos Deslocadores de Fase
Esses circuitos não afetam a amplitude dos sinais transmitidos em função da frequência dos mesmos (por isso são também denominados filtros “passa-todas”) e possibilitam que numa determinada frequência exista um determinado deslocamento de fase entre o sinal de entrada e o sinal de saída.
A Figura 8.13 nos mostra a defasagem existente entre o sinal de entrada e o sinal de saída (numa determinada frequência) em um circuito deslocador de fase. Note que à defasagem fo corresponde um intervalo de tempo Dt = t2 – t1.
92
Circuitos Deslocadores de Fase
Suponhamos que numa determinada frequência um sinal v sofreu uma defasagem de – fo graus ao passar por um circuito A. Evidentemente, para corrigir esse atraso, devemos colocar em série com os sinal um circuito equalizador de fase B que aplique no mesmo uma nova defasagem de + fo graus, de tal modo que seja compensada a defasagem inicial e o sinal na saída volte a ficar idêntico ao sinal de entrada. 
93
Circuitos Deslocadores de Fase
Projeto do circuito deslocador de fase – MFB 
Os resistores podem ser calculados para qualquer K < 1. Adotaremos K = 1/2.
94
Circuitos Deslocadores de Fase
Projeto do circuito deslocador de fase – MFB
A frequência fo é a frequência na qual o projetista deseja que ocorra a defasagem fo necessário ao projeto. Temos dois casos relacionados com fo:
0 < fo < 180º 
-180º < fo < 0
Em cada um desses casos, o projetista deverá determinar o valor do parâmetro a.
No primeiro caso, temos:
Para o segundo caso, temos:
95
Circuitos Deslocadores de Fase
Projeto do circuito deslocador de fase – MFB 
Quadro-projeto para o circuito deslocador de fase
	1	Estabelecer fo e fo
	2	Determinar a (Equação 8-43 ou Equação 8-44)
	3	Determinar C = 10/fo (comercial)
	4	Neste circuito K = 1/2
	5	Determinar R1 (Equação 8-40)
	6	Determinar R2 (Equação 8-41)
	7	Determinar R3 (Equação 8-42)
	8	Montar um protótipo em laboratório e executar testes
	9	Fazer ajuste de fo e fo
	10	Montar o circuito definitivo
96
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