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1a Questão Marque a alternativa correta Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares. Respondido em 04/05/2020 14:25:23 Explicação: Definições no conteúdo online 2a Questão Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais. 2/3 e -2 -1 e 0 1 e 2/3 -1 e 1/2 0 e 1/2 Respondido em 04/05/2020 14:25:27 Explicação: 2 + m = 2 3 + 2n = 4 3a Questão Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ? 3/2 -3/2 2/5 8/3 -8/3 Respondido em 04/05/2020 14:25:38 Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 4a Questão Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante. 72 97 90 30 87 Respondido em 04/05/2020 14:26:30 Explicação: c2=a2+b2 c2=a2+b2 c2=722+652 c2=722+652 c2=5184+4225 c2=5184+4225 c=9409 √c=9409 c = 97 km O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 5a Questão Sendo dados os vetores a=(1,1) , b=(1,0) e c=(0,1), calcule o ângulo entre os vetores a-c e c-b. 0° 135° 270° 180° 120° Respondido em 04/05/2020 14:26:28 Explicação: a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0) c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1) (a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1 !!a-c!!=V1²+0²=1 !!c-b!!=V(-1)²+1²=V2 Logo: cos A=(a-c).(c-b) / !!a-c!!.!!c-b!! = -1 / 1.V2 = -V2/2 => Â=135° 6a Questão Considere o triângulo ABC definido pelos segmentos AB, BC e CA. Se A = (0,0), B = (-5,5) e C = (4,7), qual o perímetro aproximado do triângulo ABC? 20,05 24,35 28,85 22,50 32,54 Respondido em 04/05/2020 14:26:40 Explicação: AB = B - A = (-5,5) - (0,0) = (-5,5). Módulo de AB = 5√252 BC = C - B = (4,7) - (-5,5) = (9,2). Módulo de BC = √8585 CA = (0,0) - (4,7) = (-4,-7). Módulo de CA = √6565 Perímetro: 5√2+√85+√6552+85+65 Ou seja, aproximadamente 24,35 7a Questão Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua extremidade o ponto B = (0, 4,2). A=(-2, 1, 3) A=(4, 1, 3) A=(4, 1, -3) A=(2, 1, 3) A=(-2, -1, 3) Respondido em 04/05/2020 14:27:01 Explicação: u = AB = B - A -> A = B - u 8a Questão O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (3,-2) até o ponto B (-3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 8 u. c 10 u.c 6 u. c 1 u. c 7 u. c Respondido em 04/05/2020 14:26:50 Explicação: O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (3,-2) até o ponto B (-3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. √(−3−3)2+(−2−(−2))2=√(−6)2+02=6u.c(−3−3)2+(−2−(−2))2=(−6)2+02=6u.c 1a Questão São grandezas escalares todas as quantidades a seguir, EXCETO: Temperatura de 35∘C35°C Terreno de 220m2220m2 Volume de 2L2L Peso de 60kg60kg Velocidade de 80km/h80km/h Respondido em 04/05/2020 14:27:30 Explicação: As grandezas que não são completamente definidas apenas por seu módulo são denominadas de grandezas vetoriais. Assim a velocidade é uma grandeza vetorial. 2a Questão Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 30° 45° 0° 60° 90° Respondido em 04/05/2020 14:27:20 Explicação: u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 !!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 !!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 3a Questão Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem. 15 u.c 2 u.c 5 u.c 200 u.c 4 u.c Respondido em 04/05/2020 14:27:37 Explicação: O modulo do vetor T(-12,9) a origem será √(−12−0)2+(9−0)2=15u.c(−12−0)2+(9−0)2=15u.c 4a Questão Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua extremidade o ponto B = (0, 4,2). A=(-2, 1, 3) A=(-2, -1, 3) A=(2, 1, 3) A=(4, 1, -3) A=(4, 1, 3) Respondido em 04/05/2020 14:27:59 Explicação: u = AB = B - A -> A = B - u 5a Questão Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante. 72 30 87 90 97 Respondido em 04/05/2020 14:28:22 Explicação: c2=a2+b2 c2=a2+b2 c2=722+652 c2=722+652 c2=5184+4225 c2=5184+4225 c=9409 √c=9409 c = 97 km O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 6a Questão O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 7 u.c 10 u.c 6 u.c √58u.c58u.c 1 u.c Respondido em 04/05/2020 14:28:30 Explicação: O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. Vetor AB = B - A = (3,-2) - (0,5) = (3-0, -2 -5) = (3,-7) Modulo de AB que irá representar a distância = √(3−0)2+(−2−5)2(3−0)2+(−2−5)2= √32+(−7)2=√58u.c32+(−7)2=58u.c 7a Questão Marque a alternativa correta Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares. Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido. Respondido em 04/05/2020 14:28:39 Explicação: Definições no conteúdo online 8a Questão Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) Respondido em 04/05/2020 14:28:30 Explicação: Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P(0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: √(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 z = - 4 e z = 0 Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 1a Questão São grandezas escalares todas as quantidades a seguir, EXCETO: Peso de 60kg60kg Volume de 2L2L Velocidade de 80km/h80km/h Terreno de 220m2220m2 Temperatura de 35∘C35°C Respondido em 04/05/2020 14:28:55 Explicação: As grandezas que não são completamente definidas apenas por seu módulo são denominadas de grandezas vetoriais. Assim a velocidade é uma grandeza vetorial. 2a Questão Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 30° 0° 90° 45° 60° Respondido em 04/05/2020 14:29:16 Explicação: u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 !!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 !!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 3a Questão Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem. 5 u.c 4 u.c 15 u.c 2 u.c 200 u.c Respondido em 04/05/2020 14:29:18 Explicação: O modulo do vetor T(-12,9) a origem será √(−12−0)2+(9−0)2=15u.c(−12−0)2+(9−0)2=15u.c 4a Questão Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua extremidade o ponto B = (0, 4,2). A=(4, 1, -3) A=(-2, -1, 3) A=(2, 1, 3) A=(-2, 1, 3) A=(4, 1, 3) Respondido em 04/05/2020 14:29:10 Explicação: u = AB = B - A -> A = B - u 5a Questão Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante. 90 87 97 72 30 Respondido em 04/05/2020 14:29:20 Explicação: c2=a2+b2 c2=a2+b2 c2=722+652 c2=722+652 c2=5184+4225 c2=5184+4225 c=9409 √c=9409 c = 97 km O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 6a Questão O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. √58u.c58u.c 1 u.c 10 u.c 6 u.c 7 u.c Respondido em 04/05/2020 14:29:24 Explicação: O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. Vetor AB = B - A = (3,-2) - (0,5) = (3-0, -2 -5) = (3,-7) Modulo de AB que irá representar a distância = √(3−0)2+(−2−5)2(3−0)2+(−2−5)2= √32+(−7)2=√58u.c32+(−7)2=58u.c 7a Questão Marque a alternativa correta Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares. Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. Respondido em 04/05/2020 14:29:32 Explicação: Definições no conteúdo online 8a Questão Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) Respondido em 04/05/2020 14:29:34 Explicação: Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: √(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 z = - 4 e z = 0 Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 1a Questão Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante. 30 97 87 90 72 Respondido em 04/05/2020 14:30:04 Explicação: c2=a2+b2 c2=a2+b2 c2=722+652 c2=722+652 c2=5184+4225 c2=5184+4225 c=9409 √c=9409 c = 97 km O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 2a Questão O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. 10 u.c √58u.c58u.c 1 u.c 7 u.c 6 u.c Respondido em 04/05/2020 14:29:54 Explicação: O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro. Vetor AB = B - A = (3,-2) - (0,5) = (3-0, -2 -5) = (3,-7) Modulo de AB que irá representar a distância = √(3−0)2+(−2−5)2(3−0)2+(−2−5)2= √32+(−7)2=√58u.c32+(−7)2=58u.c 3a Questão Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem. 15 u.c 2 u.c 4 u.c 5 u.c 200 u.c Respondido em 04/05/2020 14:30:17 Explicação: O modulo do vetor T(-12,9) a origem será √(−12−0)2+(9−0)2=15u.c(−12−0)2+(9−0)2=15u.c 4a Questão São grandezas escalares todas as quantidades a seguir, EXCETO: Terreno de 220m2220m2 Temperatura de 35∘C35°C Peso de 60kg60kg Volume de 2L2L Velocidade de 80km/h80km/h Respondido em 04/05/2020 14:30:27 Explicação: As grandezas que não são completamente definidas apenas por seu módulo são denominadas de grandezas vetoriais. Assim a velocidade é uma grandeza vetorial. 5a Questão Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) Respondido em 04/05/2020 14:30:22 Explicação: Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: √(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 z = - 4 e z = 0 Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 6a Questão Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua extremidade o ponto B = (0, 4,2). A=(2, 1, 3) A=(-2, 1, 3) A=(4, 1, -3) A=(4, 1, 3) A=(-2, -1, 3) Respondido em 04/05/2020 14:30:29 Explicação:u = AB = B - A -> A = B - u 7a Questão Marque a alternativa correta Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção. As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares. Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. Respondido em 04/05/2020 14:30:52 Explicação: Definições no conteúdo online 8a Questão Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 90° 0° 60° 30° 45° Respondido em 04/05/2020 14:30:56 Explicação: u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 !!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 !!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 1a Questão Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2). α=45°α=45° α=47°α=47° α=48°α=48° α=46°α=46° α=44°α=44° Respondido em 04/05/2020 14:32:12 Explicação: I)|v|=√22+22=√8=2√2|u|=√02+22=√4=2II)|u|.|v|=2.2√2=4√2I)|v|=22+22=8=22|u|=02+22=4=2II)|u|.|v|=2.22=42 III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=44√2cosα=1√2cosα=√22α=45°III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=442cosα=12cosα=22α=45° 2a Questão Dados os pontos A(3, m-1, -4) e B(8, 2m - 1, m), determine "m" de modo que |AB| = √3535. -1 e -3 3 e -1 -2 e -3 0 e -3 1 e 3 Respondido em 04/05/2020 14:32:24 Explicação: Sendo A(3, m - 1, -4) e B(8, 2m - 1, m), temos que AB = (5, m, m + 4). Logo |AB| = √52+m2+(m+4)2=√2m2+8m+4152+m2+(m+4)2=2m2+8m+41 Sendo |AB| = √3535 ⇒ √35=√2m2+8m+4135=2m2+8m+41 ⇒ (√35)2=(√2m2+8m+41)2(35)2=(2m2+8m+41)2 Entaõ, 35 = 2m2 + 8m + 41 ⇒ 2m2 + 8m + 6 = 0 ⇒ m' = -3 e m'' = -1 3a Questão Determine o valor de "a" para que o vetor u = (a, -2a, 2a) seja um vetor unitário. a=19a=19 a=±3a=±3 a=±√13a=±13 a=±13a=±13 a=±9a=±9 Respondido em 04/05/2020 14:33:31 Explicação: Para que u seja unitário, ele deverá ter módulo igual a 1, logo: |u| = √a2+(−2a)2+(2a)2=1a2+(−2a)2+(2a)2=1 ⇒ a = a=±13a=±13 4a Questão O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a? a = 0 a = 2 a = - 2 a = 4 a = - 4 Respondido em 04/05/2020 14:34:15 Explicação: AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) (3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 5a Questão Os ângulos (em graus) diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z respectivamente são: 90 ; 121 ; 31 90 ; 90 ; 0 31 ; 90 ; 121 121 ; 31 ; 90 90 ; 31 ; 121 Respondido em 04/05/2020 14:34:11 Explicação: Os ângulos diretores são dados por: cos x = x|v|x|v| ⇒ cos x = 0√34034 ⇒ x = 90º cos y = y|v|y|v| ⇒ cos y = −3√34−334 ⇒ y = 120,96° cos z = z|v|z|v| ⇒ cos z = 5√34534 ⇒ z = 30,96º 6a Questão Dados os pontos A(3 , m - 1, - 4) e B(8 , 2m - 1, m), determinar "m" de modo que |AB| = √3535. m = {-3, -2} m = {4, -1} m = {-3, -1} m = {-5, -3} m = {3, -1} Respondido em 04/05/2020 14:34:59 Explicação: A(3 , m - 1, - 4) e B(8 , 2m - 1, m), logo AB = (8 - 3, (2m - 1) - (m - 1), m - (-4)) = (5, m, m + 4). |AB| = √52+m2+(m+4)252+m2+(m+4)2 35 = 2m2 + 8m + 41 m1 = -3 e m2 = -1 7a Questão Determine o valor de "a" para que o vetor u = (a, -2a, 2a) seja um versor (vetor unitário): a=±9a=±9 a=±3a=±3 a=±13a=±13 a=±15a=±15 a=±19a=±19 Respondido em 04/05/2020 14:35:06 Explicação: u = (a, -2a, 2a), logo para ser um versor, temos: |u| = 1, √a2+(−2a)2+(2a)2=1a2+(−2a)2+(2a)2=1 a2 = 1919 ⇒ a = ±13±13 8a Questão Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e v=(1,-1,0) encontramos: 9V17 2V23 6V22 5V21 7V19 Respondido em 04/05/2020 14:35:15 Explicação: Chamando de A a área do paralelogramo, temos que: A= !!(2u)x(-3v)!! 2u=(-4,0,6) -3v=(-3,3,0) i j k (2u)x(-3v) = -4 0 6 = -18i -18j - 12k = (-18 , -18 , -12) -3 3 0 Daí: A = !!(-18 , -18 , -12)!! = V324+324+144 = V792 = 6V22 1a Questão Dados os vetores −−→AB=(3,8)AB→=(3,8), o vetor 4−−→AB4AB→ será : 4−−→AB=(0,0)4AB→=(0,0) 4−−→AB=(12,32)4AB→=(12,32) 4−−→AB=(7,12)4AB→=(7,12) n.d.a 4−−→AB=(−1,4)4AB→=(−1,4) Respondido em 04/05/2020 14:35:56 Explicação: 4−−→AB=4.(3,8)=(4.3,4.8)=(12,32)4AB→=4.(3,8)=(4.3,4.8)=(12,32) 2a Questão Dados os vetores →u=(3,5)u→=(3,5) e →v=(−1,2)v→=(−1,2), a soma →s=→u+→vs→=u→+v→ será: →s=(4,7)s→=(4,7) →s=(3,5)s→=(3,5) →s=(2,7)s→=(2,7) →s=(2,3)s→=(2,3) →s=(0,0)s→=(0,0) Respondido em 04/05/2020 14:36:17 Explicação: →s=→u+→v=(3,5)+(−1,2)=(2,7)s→=u→+v→=(3,5)+(−1,2)=(2,7) 3a Questão Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente: -14, 2 e -20 -2, 14 e 20 20, 14 e 2 -20, 2 e -14 2, -14 e -20 Respondido em 04/05/2020 14:36:24 Explicação: 3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8) (0,-9,-12) - (-2,5,8) (2,-14,-20) 4a Questão Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles 45° 49° 46° 48° 47° Respondido em 04/05/2020 14:36:59 Explicação: cosx=(2,2).(0,2)2√8=42√8cosx=(2,2).(0,2)28=428 cosx=2√8cosx=28 x=π4=45°x=π4=45° 5a Questão Qual o valor da soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 12 e 5 unidade? s=11us=11u s=13us=13u s=12us=12u s=9us=9u s=10us=10u Respondido em 04/05/2020 14:37:24 Explicação: 122+52=|s|2122+52=|s|2 s=√164s=164 s=13us=13u 6a Questão A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o valor de a? a=0a=0 a=12a=12 a=−3a=−3 a=3a=3 a=32a=32 Respondido em 04/05/2020 14:38:16 Explicação: y=mx+qy=mx+q r:x=−y.:y=−xr:x=−y.:y=−x s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3 −1=−a3−3=−aa=3−1=−a3−3=−aa=3 7a Questão A velocidade de uma partícula que se move no plano xy é dada em metros por segundo e é representada pelo vetor v = 6i + 8j. Determine a intensidade da velocidade. v=±14v=±14 v=±10v=±10 v=9v=9 v=±100v=±100 v=5v=5 Respondido em 04/05/2020 14:39:22 Explicação: v=±√62+82=±√100=±10v=±62+82=±100=±10 8a Questão Determine o valor de x para que os vetores sejam paralelos u(x,2) e v(9,6) x=1x=1 x=3x=3 x=5x=5 x=7x=7 x=8x=8 Respondido em 04/05/2020 14:39:24 Explicação: x9=26x9=26 6x=186x=18 x=186x=186 x=3 1a Questão Dados os vetores −−→AB=(3,8)AB→=(3,8), o vetor 4−−→AB4AB→ será : 4−−→AB=(−1,4)4AB→=(−1,4) 4−−→AB=(0,0)4AB→=(0,0) 4−−→AB=(7,12)4AB→=(7,12) 4−−→AB=(12,32)4AB→=(12,32) n.d.a Respondido em 04/05/2020 14:41:15 Explicação: 4−−→AB=4.(3,8)=(4.3,4.8)=(12,32)4AB→=4.(3,8)=(4.3,4.8)=(12,32) 2a Questão Dados os vetores →u=(3,5)u→=(3,5) e →v=(−1,2)v→=(−1,2), a soma →s=→u+→vs→=u→+v→ será: →s=(0,0)s→=(0,0) →s=(3,5)s→=(3,5)→s=(4,7)s→=(4,7) →s=(2,7)s→=(2,7) →s=(2,3)s→=(2,3) Respondido em 04/05/2020 14:41:21 Explicação: →s=→u+→v=(3,5)+(−1,2)=(2,7)s→=u→+v→=(3,5)+(−1,2)=(2,7) 3a Questão Determine o valor de x para que os vetores sejam paralelos u(x,2) e v(9,6) x=3x=3 x=7x=7 x=8x=8 x=1x=1 x=5x=5 Respondido em 04/05/2020 14:41:44 Explicação: x9=26x9=26 6x=186x=18 x=186x=186 x=3x=3 4a Questão Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente: -20, 2 e -14 -14, 2 e -20 20, 14 e 2 2, -14 e -20 -2, 14 e 20 Respondido em 04/05/2020 14:41:40 Explicação: 3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8) (0,-9,-12) - (-2,5,8) (2,-14,-20) 5a Questão Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles 45° 49° 46° 48° 47° Respondido em 04/05/2020 14:41:46 Explicação: cosx=(2,2).(0,2)2√8=42√8cosx=(2,2).(0,2)28=428 cosx=2√8cosx=28 x=π4=45°x=π4=45° 6a Questão Qual o valor da soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 12 e 5 unidade? s=11us=11u s=13us=13u s=10us=10u s=12us=12u s=9us=9u Respondido em 04/05/2020 14:41:52 Explicação: 122+52=|s|2122+52=|s|2 s=√164s=164 s=13us=13u 7a Questão A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o valor de a? a=12a=12 a=3a=3 a=−3a=−3 a=32a=32 a=0a=0 Respondido em 04/05/2020 14:42:12 Explicação: y=mx+qy=mx+q r:x=−y.:y=−xr:x=−y.:y=−x s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3 −1=−a3−3=−aa=3−1=−a3−3=−aa=3 8a Questão A velocidade de uma partícula que se move no plano xy é dada em metros por segundo e é representada pelo vetor v = 6i + 8j. Determine a intensidade da velocidade. v=5v=5 v=±10v=±10 v=9v=9 v=±14v=±14 v=±100v=±100 Respondido em 04/05/2020 14:42:24 Explicação: v=±√62+82=±√100=±10v=±62+82=±100=±10 1a Questão Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as equações paraétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v. r:{x = 2 - t; y = 3 + 2t e z = 4 - 2t r:{x = 2 + 2t; y = 3 - 3t e z = -4 + 3t r:{ x = 1 + 2t; y = 3 - 4t e z = -2 + 3t r:{ x = 1 + t; y = 2 - 2t e z = -4 + 3t r:{x = 2 + t; y = 3 - 2t e z = -4 + 3t Respondido em 04/05/2020 14:49:03 Explicação: Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos: r (x, y, z) = A(2, 3, -4) + t(1, -2, 3), daí obtemos a equação de forma direta. 2a Questão Dados A=(3,2,1) e →v=(2,1,−1)v→=(2,1,−1), a equação do plano ππ que passa por A e é ortogonal a →vv→, será: 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 3x+y−z+9=03x+y−z+9=0 3x+2y−z+9=03x+2y−z+9=0 2x+y−z+9=02x+y−z+9=0 x−y−z+9=0x−y−z+9=0 Respondido em 04/05/2020 14:48:57 Explicação: π:2x+y−z+d=0π:2x+y−z+d=0 Como A pertence a ππentão 2.(3)+1.(2)-1.(-1)+d=0 6+2+1+d=0 9+d=0 d=-9 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 3a Questão Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: x =3h + t y = 2h + t z = -2 + 6h + 8t x = 3h + t y = 2h - 2t z = 6h + 8t x = -2 + 3h y = 2h z = -2 + 6h + 8t x = 2 + 3h + t y = - 2h - 2t z = -2 + h + 8t x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t Respondido em 04/05/2020 14:49:07 Explicação: Determinamos os vetores diretores do plano: AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) Logo, as equações paramétricas serão: x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t 4a Questão Deterninar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1, -2) e é perpendicular à reta r: {x = -4 + 3t; y = 1 + 2t e z = t. 3x + 3y - z + 6 = 0 2x + 3y + z - 6 = 0 3x + 2y + z - 6 = 0 2x + 2y + z - 2 = 0 -3x - 2y + z - 3 = 0 Respondido em 04/05/2020 14:49:10 Explicação: O vetor diretor desta reta é normal a este plano (3, 2, 1). Então, a equação do plano, de acordo com a fórmula: a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0, temos: 3(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z + 2) = 0, resultando na equação: 3x + 2y + z - 6 = 0 . 5a Questão Calcule a distância entre as retas: r: X = (1, 0, 2) + h(1, 1, 1); h∈Rh∈R e s: x - 1 = y + 2 = z - 3. √423423 √403403 √423423 9 403403 Respondido em 04/05/2020 14:49:33 Explicação: Como os coeficientes das retas r e s são iguais, (1, 1, 1), estas são paralelas. Cosiderando R(1, 0, 2) e S(1, -2, 3) pontos de r e s, respectivamente, então: d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)]d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)] = √423423 6a Questão A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = (-2,3,4) é corretamente representada por: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 2x - 4y - 3z - 9 = 0 - 2x - 3y - 4z - 9 = 0 x + y + z = 0 3x - 4y + 5z - 11 = 0 Respondido em 04/05/2020 14:49:42 Explicação: A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 1a Questão A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = (-2,3,4) é corretamente representada por: 2x - 4y - 3z - 9 = 0 x + y + z = 0 3x - 4y + 5z - 11 = 0 2x - 3y - 4z + 9 = 0 - 2x - 3y - 4z - 9 = 0 Respondido em 04/05/2020 14:49:57 Explicação: A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 2a Questão Dados A=(3,2,1) e →v=(2,1,−1)v→=(2,1,−1), a equação do plano ππ que passa por A e é ortogonal a →vv→, será: 3x+y−z+9=03x+y−z+9=0 x−y−z+9=0x−y−z+9=0 3x+2y−z+9=03x+2y−z+9=0 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 2x+y−z+9=02x+y−z+9=0 Respondido em 04/05/2020 14:50:06 Explicação: π:2x+y−z+d=0π:2x+y−z+d=0 Como A pertence a ππentão 2.(3)+1.(2)-1.(-1)+d=0 6+2+1+d=0 9+d=0 d=-9 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 3a Questão Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: x = 2 + 3h + t y = - 2h - 2t z = -2 + h + 8t x =3h + t y = 2h + t z = -2 + 6h + 8t x = -2 + 3h y = 2h z = -2 + 6h + 8t x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t x = 3h + t y = 2h - 2t z = 6h + 8t Respondido em 04/05/2020 14:49:57 Explicação: Determinamos os vetores diretores do plano: AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) Logo, as equações paramétricas serão: x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t 4a Questão Deterninar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1, -2) e é perpendicular à reta r: {x = -4 + 3t; y = 1 + 2t e z = t. 3x + 2y + z - 6 = 0 -3x - 2y + z - 3 = 0 3x + 3y - z + 6 = 0 2x + 3y + z - 6 = 0 2x + 2y + z - 2 = 0 Respondido em 04/05/2020 14:50:23 Explicação: O vetor diretor desta reta é normal a este plano (3, 2, 1). Então, a equação do plano, de acordo com a fórmula: a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0, temos: 3(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z + 2) = 0, resultando na equação: 3x + 2y + z - 6 = 0 .5a Questão Calcule a distância entre as retas: r: X = (1, 0, 2) + h(1, 1, 1); h∈Rh∈R e s: x - 1 = y + 2 = z - 3. 403403 √423423 √423423 9 √403403 Respondido em 04/05/2020 14:50:12 Explicação: Como os coeficientes das retas r e s são iguais, (1, 1, 1), estas são paralelas. Cosiderando R(1, 0, 2) e S(1, -2, 3) pontos de r e s, respectivamente, então: d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)]d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)] = √423423 6a Questão Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as equações paraétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v. r:{x = 2 + t; y = 3 - 2t e z = -4 + 3t r:{x = 2 - t; y = 3 + 2t e z = 4 - 2t r:{x = 2 + 2t; y = 3 - 3t e z = -4 + 3t r:{ x = 1 + t; y = 2 - 2t e z = -4 + 3t r:{ x = 1 + 2t; y = 3 - 4t e z = -2 + 3t Respondido em 04/05/2020 14:50:20 Explicação: Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos: r (x, y, z) = A(2, 3, -4) + t(1, -2, 3), daí obtemos a equação de forma direta. 1a Questão A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = (-2,3,4) é corretamente representada por: 3x - 4y + 5z - 11 = 0 2x - 3y - 4z + 9 = 0 - 2x - 3y - 4z - 9 = 0 2x - 4y - 3z - 9 = 0 x + y + z = 0 Respondido em 04/05/2020 14:50:50 Explicação: A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 2a Questão Dados A=(3,2,1) e →v=(2,1,−1)v→=(2,1,−1), a equação do plano ππ que passa por A e é ortogonal a →vv→, será: 3x+2y−z+9=03x+2y−z+9=0 x−y−z+9=0x−y−z+9=0 3x+y−z+9=03x+y−z+9=0 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 2x+y−z+9=02x+y−z+9=0 Respondido em 04/05/2020 14:50:44 Explicação: π:2x+y−z+d=0π:2x+y−z+d=0 Como A pertence a ππentão 2.(3)+1.(2)-1.(-1)+d=0 6+2+1+d=0 9+d=0 d=-9 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 3a Questão Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: x = 3h + t y = 2h - 2t z = 6h + 8t x = 2 + 3h + t y = - 2h - 2t z = -2 + h + 8t x = -2 + 3h y = 2h z = -2 + 6h + 8t x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t x =3h + t y = 2h + t z = -2 + 6h + 8t Respondido em 04/05/2020 14:51:02 Explicação: Determinamos os vetores diretores do plano: AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) Logo, as equações paramétricas serão: x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t 4a Questão Deterninar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1, -2) e é perpendicular à reta r: {x = -4 + 3t; y = 1 + 2t e z = t. 2x + 3y + z - 6 = 0 3x + 2y + z - 6 = 0 -3x - 2y + z - 3 = 0 2x + 2y + z - 2 = 0 3x + 3y - z + 6 = 0 Respondido em 04/05/2020 14:51:11 Explicação: O vetor diretor desta reta é normal a este plano (3, 2, 1). Então, a equação do plano, de acordo com a fórmula: a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0, temos: 3(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z + 2) = 0, resultando na equação: 3x + 2y + z - 6 = 0 . 5a Questão Calcule a distância entre as retas: r: X = (1, 0, 2) + h(1, 1, 1); h∈Rh∈R e s: x - 1 = y + 2 = z - 3. √423423 9 403403 √403403 √423423 Respondido em 04/05/2020 14:51:19 Explicação: Como os coeficientes das retas r e s são iguais, (1, 1, 1), estas são paralelas. Cosiderando R(1, 0, 2) e S(1, -2, 3) pontos de r e s, respectivamente, então: d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)]d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)] = √423423 6a Questão Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as equações paraétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v. r:{x = 2 + 2t; y = 3 - 3t e z = -4 + 3t r:{ x = 1 + 2t; y = 3 - 4t e z = -2 + 3t r:{x = 2 - t; y = 3 + 2t e z = 4 - 2t r:{ x = 1 + t; y = 2 - 2t e z = -4 + 3t r:{x = 2 + t; y = 3 - 2t e z = -4 + 3t Respondido em 04/05/2020 14:51:26 Explicação: Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos: r (x, y, z) = A(2, 3, -4) + t(1, -2, 3), daí obtemos a equação de forma direta. 1a Questão Dados A=(3,2,1) e →v=(2,1,−1)v→=(2,1,−1), a equação do plano ππ que passa por A e é ortogonal a →vv→, será: 3x+y−z+9=03x+y−z+9=0 3x+2y−z+9=03x+2y−z+9=0 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 2x+y−z+9=02x+y−z+9=0 x−y−z+9=0x−y−z+9=0 Respondido em 04/05/2020 14:51:39 Explicação: π:2x+y−z+d=0π:2x+y−z+d=0 Como A pertence a ππentão 2.(3)+1.(2)-1.(-1)+d=0 6+2+1+d=0 9+d=0 d=-9 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 2a Questão Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as equações paraétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v. r:{ x = 1 + t; y = 2 - 2t e z = -4 + 3t r:{x = 2 + 2t; y = 3 - 3t e z = -4 + 3t r:{x = 2 - t; y = 3 + 2t e z = 4 - 2t r:{x = 2 + t; y = 3 - 2t e z = -4 + 3t r:{ x = 1 + 2t; y = 3 - 4t e z = -2 + 3t Respondido em 04/05/2020 14:51:31 Explicação: Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos: r (x, y, z) = A(2, 3, -4) + t(1, -2, 3), daí obtemos a equação de forma direta. 3a Questão A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = (-2,3,4) é corretamente representada por: - 2x - 3y - 4z - 9 = 0 3x - 4y + 5z - 11 = 0 x + y + z = 0 2x - 4y - 3z - 9 = 0 2x - 3y - 4z + 9 = 0 Respondido em 04/05/2020 14:51:50 Explicação: A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 4a Questão Deterninar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1, -2) e é perpendicular à reta r: {x = -4 + 3t; y = 1 + 2t e z = t. 3x + 2y + z - 6 = 0 -3x - 2y + z - 3 = 0 3x + 3y - z + 6 = 0 2x + 3y + z - 6 = 0 2x + 2y + z - 2 = 0 Respondido em 04/05/2020 14:51:58 Explicação: O vetor diretor desta reta é normal a este plano (3, 2, 1). Então, a equação do plano, de acordo com a fórmula: a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0, temos: 3(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z + 2) = 0, resultando na equação: 3x + 2y + z - 6 = 0 . 5a Questão Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: x = 3h + t y = 2h - 2t z = 6h + 8t x = 2 + 3h + t y = - 2h - 2t z = -2 + h + 8t x = -2 + 3h y = 2h z = -2 + 6h + 8t x =3h + t y = 2h + t z = -2 + 6h + 8t x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t Respondido em 04/05/2020 14:51:51 Explicação: Determinamos os vetores diretores do plano: AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) Logo, as equações paramétricas serão: x = -2 + 3h + t y = 2h - 2t z = -2 + 6h + 8t 6a Questão Calcule a distância entre as retas: r: X = (1, 0, 2) + h(1, 1, 1); h∈Rh∈R e s: x - 1 = y + 2 = z - 3. 403403 √423423 9 √423423 √403403 Respondido em 04/05/2020 14:52:12 Explicação: Como os coeficientes das retas r e s são iguais, (1, 1, 1), estas são paralelas. Cosiderando R(1, 0, 2) e S(1, -2, 3) pontos de r e s, respectivamente, então: d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)]d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)] = √423423 1a Questão São elemetosde uma parábola, exceto: Ordenada Foco Diretriz Vértice Eixo Respondido em 04/05/2020 14:54:16 Explicação: Ordenada é o eixo vertical do plano cartesiano 2a Questão Determine a equação reduzida de uma circunferência com centro O(-3,1) e de raio 3. (x+1)2+(y−3)2=8 (x+1)2+(y−2)2=8 (x+3)2+(y−1)2=9 (x+2)2+(y−2)2=8 (x+2)2+(y−3)2=8 Respondido em 04/05/2020 14:54:24 Explicação: (x+a)2 + (y-b)2 = r2 (x+3)2 + (y-1)2 = 32 (x+3)2 + (y-1)2 = 9 (equação na forma reduzida) 3a Questão O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2 ¿ 1 é: 6 12 2 5 1 Respondido em 04/05/2020 14:54:26 Explicação: Para encontrar os pontos de intersecção entre duas figuras, é necessário igualar suas equações. Como as equações das duas parábolas já estão em função de x, podemos fazer: Substituindo esses valores nas funções, teremos: Assim, os pontos tanto na primeira função quanto na segunda são: Logo, são apenas dois pontos. Letra C. 4a Questão Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(2,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do vértice é: 2 -2 0 -1 1 Respondido em 04/05/2020 14:54:39 Explicação: y = ax2+bx+c a(0) + b(0) + c = 5 ⇒ c = 5 a(2)^2 + b(2) + 5 = - 3 ⇒ 2a + b = - 4 a(3)^2 + b(3) + 5 = - 4 ⇒ 3a + b = - 3 Resolvendo o sistema: a = 1 e b = -6 Logo: y=x2−6x+5 V(−b2a ,−Δ4a ) −b2a = −(−6)2 = 3 −Δ4a = 4∗(1)∗(5)−(−6)24 = - 4 Logo: somatório das coordenadas do vértice será -1 5a Questão Determine a equação da circunferência com o centro em Q(0,−2) e raio 4 . (x+2)2+y2=16 (x+1)2+(y+2)2=15 x2+y2=16 x2+(y+2)2=14 x2+(y+2)2=16 Respondido em 04/05/2020 14:55:05 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y+2)2=42 x2+(y+2)2=16 6a Questão Determine a equação da circunferência com o centro em D(0,0) e raio 5. x2=25 x2+y2=26 y2=26 x2−y2=25 x2+y2=25 Respondido em 04/05/2020 14:54:58 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y−0)2=52 x2+y2=25 7a Questão A hipérbole x2−y2=1 apresenta os focos F1 e F2, respectivamente, iguais a: F1(−√2 ,0) e F2(0,0) F1(-1,0) e F2(1,0) F1(0,0) e F2(√2 ,0) F1(−√2,√2 ) e F2(1,1) F1(−√2,0 ) e F2(√2,0 ) Respondido em 04/05/2020 14:55:06 Explicação: Pela equação da hipérbole, o centro é C(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x: a2=1 e b2=1 c 2=a2+b2 ⇒ c = ±√2 Logo, os focos serão: F1(−√2,0 ) e F2(√2,0 ) 8a Questão Determine a equação reduzida da circunferência com centro no ponto A(1,-2) e que passa pelo ponto P(2,3). (x−2)2+(y+2)2=23 (x+2)2+(y−1)2=22 (x−2)2+(y+1)2=24 (x−1)2+(y+2)2=26 (x−1)2+(y+2)2=25 Respondido em 04/05/2020 14:55:11 Explicação: Primeiro ache o raio pela fórmula: r = d(P,A) = √(x−a)2+(y+b)2 / r2 = (x-a)2 + (y-b)2 r = √(x−1)2+(y+2)2 r = √(2−1)2+(3+2)2=√12+52 r = √1+25 r = √26 Agora siga pela fórmula da equação: (x-a)2 + (y-b)2 = r2 (x−1)2+(y+2)2=(√26)2 (x−1)2+(y+2)2=26 1a Questão Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2,m,0), v = (1,-1,2) e w = (-1,3,-1) sejam coplanares? - 9 - 14 - 13 - 11 - 10 Respondido em 04/05/2020 14:55:37 Explicação: Para que os vetores sejam coplanares, deve-se ter (u,v,w) = 0, ou seja. 2 m 0 1 -1 2 = 0 -1 3 -1 Logo 2 - 2m - 12 + m = 0 e, portanto, m = -10 2a Questão Dada a hipérbole de equação x2−4y2+16=0 , os vértices serão os pontos: A(0,-2) e A'(0,2) A(0,-2) e A'(0,0) A(0,-4) e A'(0,4) A(0,0) e A'(0,2) A(-2,0) e A'(2,0) Respondido em 04/05/2020 14:55:47 Explicação: x2−4y2+16=0 ⇒ x216 - y24+ 1 = 0 ⇒ −x216 + y24 = 1 A equação reduzida representa uma hipérbole de centro C(0,0) e eixo real sobre o eixo dos y. Logo: a2=4 ⇒ a=±2 b2=16 ⇒ b=±4 Os vértices serão os pontos: A(0,-2) e A'(0,2). 3a Questão Determine a equação da circunferência com o centro em Q(0,−2) e raio 4 . x2+y2=16 x2+(y+2)2=16 x2+(y+2)2=14 (x+1)2+(y+2)2=15 (x+2)2+y2=16 Respondido em 04/05/2020 14:55:55 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y+2)2=42 x2+(y+2)2=16 4a Questão Determine a equação da circunferência com o centro em D(0,0) e raio 5. y2=26 x2+y2=26 x2+y2=25 x2=25 x2−y2=25 Respondido em 04/05/2020 14:56:00 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y−0)2=52 x2+y2=25 5a Questão A hipérbole x2−y2=1 apresenta os focos F1 e F2, respectivamente, iguais a: F1(−√2,0 ) e F2(√2,0 ) F1(0,0) e F2(√2 ,0) F1(−√2,√2 ) e F2(1,1) F1(-1,0) e F2(1,0) F1(−√2 ,0) e F2(0,0) Respondido em 04/05/2020 14:56:07 Explicação: Pela equação da hipérbole, o centro é C(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x: a2=1 e b2=1 c 2=a2+b2 ⇒ c = ±√2 Logo, os focos serão: F1(−√2,0 ) e F2(√2,0 ) 6a Questão Determine a equação reduzida da circunferência com centro no ponto A(1,-2) e que passa pelo ponto P(2,3). (x−1)2+(y+2)2=26 (x−1)2+(y+2)2=25 (x−2)2+(y+2)2=23 (x+2)2+(y−1)2=22 (x−2)2+(y+1)2=24 Respondido em 04/05/2020 14:56:29 Explicação: Primeiro ache o raio pela fórmula: r = d(P,A) = √(x−a)2+(y+b)2 / r2 = (x-a)2 + (y-b)2 r = √(x−1)2+(y+2)2 r = √(2−1)2+(3+2)2=√12+52 r = √1+25 r = √26 Agora siga pela fórmula da equação: (x-a)2 + (y-b)2 = r2 (x−1)2+(y+2)2=(√26)2 (x−1)2+(y+2)2=26 7a Questão Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(2,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do vértice é: 0 -1 1 -2 2 Respondido em 04/05/2020 14:56:35 Explicação: y = ax2+bx+c a(0) + b(0) + c = 5 ⇒ c = 5 a(2)^2 + b(2) + 5 = - 3 ⇒ 2a + b = - 4 a(3)^2 + b(3) + 5 = - 4 ⇒ 3a + b = - 3 Resolvendo o sistema: a = 1 e b = -6 Logo: y=x2−6x+5 V(−b2a ,−Δ4a ) −b2a = −(−6)2 = 3 −Δ4a = 4∗(1)∗(5)−(−6)24 = - 4 Logo: somatório das coordenadas do vértice será -1 8a Questão Determine a equação reduzida de uma circunferência com centro O(-3,1) e de raio 3. (x+2)2+(y−2)2=8 (x+2)2+(y−3)2=8 (x+3)2+(y−1)2=9 (x+1)2+(y−2)2=8 (x+1)2+(y−3)2=8 Respondido em 04/05/2020 14:56:24 Explicação: (x+a)2 + (y-b)2 = r2 (x+3)2 + (y-1)2 = 32 (x+3)2 + (y-1)2 = 9 (equação na forma reduzida) 1a Questão O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2 ¿ 1 é: 1 6 2 12 5 Respondido em 04/05/2020 14:56:38 Explicação: Para encontrar os pontos de intersecção entre duas figuras, é necessário igualar suas equações. Como as equações das duas parábolas já estão em função de x, podemos fazer: Substituindo esses valores nas funções, teremos: Assim, os pontos tanto na primeira função quanto na segunda são: Logo, são apenas dois pontos. Letra C. 2a Questão São elemetos de uma parábola, exceto: Ordenada Vértice Diretriz Eixo Foco Respondido em 04/05/2020 15:14:38 Explicação: Ordenada é o eixo vertical do plano cartesiano 3a QuestãoDetermine a equação reduzida da circunferência com centro no ponto A(1,-2) e que passa pelo ponto P(2,3). (x−1)2+(y+2)2=26 (x−1)2+(y+2)2=25 (x−2)2+(y+1)2=24 (x−2)2+(y+2)2=23 (x+2)2+(y−1)2=22 Respondido em 04/05/2020 14:56:58 Explicação: Primeiro ache o raio pela fórmula: r = d(P,A) = √(x−a)2+(y+b)2 / r2 = (x-a)2 + (y-b)2 r = √(x−1)2+(y+2)2 r = √(2−1)2+(3+2)2=√12+52 r = √1+25 r = √26 Agora siga pela fórmula da equação: (x-a)2 + (y-b)2 = r2 (x−1)2+(y+2)2=(√26)2 (x−1)2+(y+2)2=26 4a Questão A hipérbole x2−y2=1 apresenta os focos F1 e F2, respectivamente, iguais a: F1(-1,0) e F2(1,0) F1(0,0) e F2(√2 ,0) F1(−√2 ,0) e F2(0,0) F1(−√2,√2 ) e F2(1,1) F1(−√2,0 ) e F2(√2,0 ) Respondido em 04/05/2020 14:57:01 Explicação: Pela equação da hipérbole, o centro é C(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x: a2=1 e b2=1 c 2=a2+b2 ⇒ c = ±√2 Logo, os focos serão: F1(−√2,0 ) e F2(√2,0 ) 5a Questão Determine a equação da circunferência com o centro em D(0,0) e raio 5. x2+y2=26 x2+y2=25 x2=25 x2−y2=25 y2=26 Respondido em 04/05/2020 14:57:11 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y−0)2=52 x2+y2=25 6a Questão Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(2,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do vértice é: -1 1 2 -2 0 Respondido em 04/05/2020 15:14:47 Explicação: y = ax2+bx+c a(0) + b(0) + c = 5 ⇒ c = 5 a(2)^2 + b(2) + 5 = - 3 ⇒ 2a + b = - 4 a(3)^2 + b(3) + 5 = - 4 ⇒ 3a + b = - 3 Resolvendo o sistema: a = 1 e b = -6 Logo: y=x2−6x+5 V(−b2a ,−Δ4a ) −b2a = −(−6)2 = 3 −Δ4a = 4∗(1)∗(5)−(−6)24 = - 4 Logo: somatório das coordenadas do vértice será -1 7a Questão Determine a equação reduzida de uma circunferência com centro O(-3,1) e de raio 3. (x+1)2+(y−3)2=8 (x+3)2+(y−1)2=9 (x+1)2+(y−2)2=8 (x+2)2+(y−3)2=8 (x+2)2+(y−2)2=8 Respondido em 04/05/2020 15:14:57 Explicação: (x+a)2 + (y-b)2 = r2 (x+3)2 + (y-1)2 = 32 (x+3)2 + (y-1)2 = 9 (equação na forma reduzida) 8a Questão Determine a equação da circunferência com o centro em Q(0,−2) e raio 4 . x2+(y+2)2=16 (x+2)2+y2=16 (x+1)2+(y+2)2=15 x2+y2=16 x2+(y+2)2=14 Respondido em 04/05/2020 15:15:40 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y+2)2=42 x2+(y+2)2=16 1a Questão Dada a hipérbole de equação x2−4y2+16=0 , os vértices serão os pontos: A(0,-2) e A'(0,0) A(0,-4) e A'(0,4) A(0,0) e A'(0,2) A(0,-2) e A'(0,2) A(-2,0) e A'(2,0) Respondido em 04/05/2020 15:16:10 Explicação: x2−4y2+16=0 ⇒ x216 - y24+ 1 = 0 ⇒ −x216 + y24 = 1 A equação reduzida representa uma hipérbole de centro C(0,0) e eixo real sobre o eixo dos y. Logo: a2=4 ⇒ a=±2 b2=16 ⇒ b=±4 Os vértices serão os pontos: A(0,-2) e A'(0,2). 2a Questão Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2,m,0), v = (1,-1,2) e w = (-1,3,-1) sejam coplanares? - 10 - 11 - 9 - 14 - 13 Respondido em 04/05/2020 15:16:23 Explicação: Para que os vetores sejam coplanares, deve-se ter (u,v,w) = 0, ou seja. 2 m 0 1 -1 2 = 0 -1 3 -1 Logo 2 - 2m - 12 + m = 0 e, portanto, m = -10 3a Questão Determine a equação da circunferência com o centro em Q(0,−2) e raio 4 . x2+(y+2)2=14 x2+(y+2)2=16 x2+y2=16 (x+1)2+(y+2)2=15 (x+2)2+y2=16 Respondido em 04/05/2020 15:16:20 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y+2)2=42 x2+(y+2)2=16 4a Questão Determine a equação da circunferência com o centro em D(0,0) e raio 5. x2+y2=26 x2−y2=25 x2=25 y2=26 x2+y2=25 Respondido em 04/05/2020 15:16:38 Explicação: Usando a fórmula da equação reduzida temos: (x−a)2+(y−b)2=r2 (x−0)2+(y−0)2=52 x2+y2=25 5a Questão A hipérbole x2−y2=1 apresenta os focos F1 e F2, respectivamente, iguais a: F1(0,0) e F2(√2 ,0) F1(-1,0) e F2(1,0) F1(−√2,√2 ) e F2(1,1) F1(−√2 ,0) e F2(0,0) F1(−√2,0 ) e F2(√2,0 ) Respondido em 04/05/2020 15:16:48 Explicação: Pela equação da hipérbole, o centro é C(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x: a2=1 e b2=1 c 2=a2+b2 ⇒ c = ±√2 Logo, os focos serão: F1(−√2,0 ) e F2(√2,0 ) 6a Questão Determine a equação reduzida da circunferência com centro no ponto A(1,-2) e que passa pelo ponto P(2,3). (x−1)2+(y+2)2=25 (x−2)2+(y+2)2=23 (x−2)2+(y+1)2=24 (x−1)2+(y+2)2=26 (x+2)2+(y−1)2=22 Respondido em 04/05/2020 15:16:52 Explicação: Primeiro ache o raio pela fórmula: r = d(P,A) = √(x−a)2+(y+b)2 / r2 = (x-a)2 + (y-b)2 r = √(x−1)2+(y+2)2 r = √(2−1)2+(3+2)2=√12+52 r = √1+25 r = √26 Agora siga pela fórmula da equação: (x-a)2 + (y-b)2 = r2 (x−1)2+(y+2)2=(√26)2 (x−1)2+(y+2)2=26 7a Questão Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(2,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do vértice é: -1 2 0 1 -2 Respondido em 04/05/2020 15:17:16 Explicação: y = ax2+bx+c a(0) + b(0) + c = 5 ⇒ c = 5 a(2)^2 + b(2) + 5 = - 3 ⇒ 2a + b = - 4 a(3)^2 + b(3) + 5 = - 4 ⇒ 3a + b = - 3 Resolvendo o sistema: a = 1 e b = -6 Logo: y=x2−6x+5 V(−b2a ,−Δ4a ) −b2a = −(−6)2 = 3 −Δ4a = 4∗(1)∗(5)−(−6)24 = - 4 Logo: somatório das coordenadas do vértice será -1 8a Questão Determine a equação reduzida de uma circunferência com centro O(-3,1) e de raio 3. (x+3)2+(y−1)2=9 (x+1)2+(y−3)2=8 (x+2)2+(y−3)2=8 (x+2)2+(y−2)2=8 (x+1)2+(y−2)2=8 Respondido em 04/05/2020 15:17:24 Explicação: (x+a)2 + (y-b)2 = r2 (x+3)2 + (y-1)2 = 32 (x+3)2 + (y-1)2 = 9 (equação na forma reduzida) 1a Questão Uma elipse tem os focos em F1(0,3) e F2(0,-3). Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse. 10x2=10 10x2+y2=10 10x2+y2=1 x2+y2=1 x2+y2=10 Respondido em 04/05/2020 15:17:42 Explicação: Pelos dados do problema, temos que V(0,0), c = 3, 2b = 2 ⇒ b = 1. a2=b2+c2 ⇒ a2=1+9=10 Como os focos estão localizados no eixo y e o vértice é V(0,0), temos: x2b2+y2a2=1 ⇒ x21+y210=1 10x2+y2=10 2a Questão Uma hipérbole tem equação 9x2 - 16y2 = 144. As coordenadas dos focos, as coordenadas dos vértices e a excentricidade dessa hiprébole são, respectivamente: F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54 F1(-5,0) e F2(5,0), A1(-4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54 F1(0,-5) e F2(0,5), A1(0,-4) e A2(0,4) e a excentricidade e=54 F1(5,0) e F2(5,0), A1(4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54 F1(-5,0) e F2(-5,0), A1(-4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54 Respondido em 04/05/2020 15:17:56 Explicação: 9x2−16y2=144 ⇒ 9x2144−16y2144=144144 ⇒ x216−y29=1 A equação indica que os focos estão sobre o eixo Ox com centro (0,0), daí: a2=16 ⇒ a=4 b2=9 ⇒ b=3 c2=a2+b2=16+9=25 ⇒ c=5 e=ca=54 Logo, F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54 3a Questão Qual a distância entre os focos da hipérbole x²/9 - y²/4 = 1 ? 7V13 4V13 2V13 V13 5V13 Respondido em 04/05/202015:18:26 Explicação: Temos que: x²/a² - y²/b² = 1 -> x²/9 - y²/4 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=4 -> b=2 Mas: c² = a² + b² -> c² = 9 + 4 -> c² = 13 - c= V13 Daí: F1F2 = 2c = 2V13 que é a distância entre os focos da hipérbole (distância focal) 4a Questão Determine o foco e a diretriz da parábola de equação y2 = 5x. Foco F(54,0) e a diretriz é x=54 Foco F(−54,0) e a diretriz é x=54 Foco F(45,0) e a diretriz é x=−45 Foco F(54,0) e a diretriz é x=−54 Foco F(−54,0) e a diretriz é x=−54 Respondido em 04/05/2020 15:18:21 Explicação: Podemos escrever y2 = 5x comoy2=4.54x ou (y−0)2=4.54(x−0) . A distância do vértice (0,0) ao foco é c=54 . Logo, F(54,0) e a diretriz é x=−54 5a Questão Determine a equação da elipse de focos F1(3,0) e F2(-3,0) e vértices, que são as extremidades do eixo maior, A1(5,0) e A2(-5,0). x225+y215=1 x225+y216=1 x225+y214=1 x225+y212=1 x225+y213=1 Respondido em 04/05/2020 15:18:47 Explicação: Pelos dados do problema, os focos estão no eixo Ox e temos a = 5 e c = 3. a2=b2+c2 25=b2+9 b2=16 Neste caso, a esquação reduzida é: x2a2+y2b2=1 x225+y216=1 6a Questão Identifique a equação canônica da equação -16x2 + 9y2 - 160x - 54y - 895 = 0, (y−3)242−(x+5)232=1 (y−2)282−(x+3)262=1 (y+3)282−(x−5)262=1 (y−3)282−(x+5)262=1 (y−3)262+(x+5)282=1 Respondido em 04/05/2020 15:18:39 Explicação: Agrupado a equação dada, temos: -16(x2 + 10x) + 9(y2 - 6y) - 895 = 0; completando os quadrados: -16[(x + 5)2 - 25] + 9[(y - 3)2 - 9] - 895 = 0; reescrevendo: - 16(x + 5)2 + 400 + 9(y - 3)2 - 91 - 895 = 0 ⇒ -16(x + 5)2 + 9(y- 3)2 - 576 = 0 no formato canônico temos: (y−3)282−(x+5)262=1 7a Questão Qual a distância entre os focos da hipérbole: x² / 9 - y² / 4 = 1 ? V13 7V13 2V13 4V13 5V13 Respondido em 04/05/2020 15:18:57 Explicação: Temos: x²/a² - y²/b² = 1 => x²/9 - y²/4 = 1 => a²=9 => a =3 b²=4 => b =2 Mas: c² = a² + b² => c² = 9 + 4 => c² = 13 => c=V13 Daí, a distância focal é: F1F2 = 2c = 2V13 8a Questão Determine a equação e uma das assíntotas da hipérbole x²/9 - y²/36 = 1. y=x y=-3x y=3x-2 y=3x y=2x Respondido em 04/05/2020 15:19:09 Explicação: Temos: x²/9 - y²/36 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=36->b=6 i j k Daí: 3 6 1 = 0 -> 6x - 3y -18 +18 -3y + 6x = 0 -> 12x - 6y =0 -> 6y = 12x -> y = 2x -3 -6 1 1a Questão Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0. (-1,3) e 5 (3,-1) e 5 (3,4) e 6 (3,-2) e 4 (2,-3) e 4 Respondido em 04/05/2020 15:20:56 Explicação: Temos que: -2a=-4 -> a=2 -2b=6 -> b=-3 => o centro é O(2,-3) a²+b²-r² = -3 -> 2²+(-3)²-r²=-3 -> r=4 2a Questão Determine os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 4x2+25y2=100 Os focos são os pontos F1(√−21 ,0) e F2(√21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0). Os focos são os pontos F1(√21 ,0) e F2(√−21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0). Os focos são os pontos F1(√−21 ,0) e F2(√21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(5,0). Os focos são os pontos F1(0,√21 ) e F2(0,√−21 ) e as extremidades do eixo maior são A1(0,5) e A2(5,0). Os focos são os pontos F1(√−21 ,0) e F2(√21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(0,5) e A2(5,0). Respondido em 04/05/2020 15:21:05 Explicação: 4x2+25y2=100 ⇒ 4x2100+25y2100=100100 ⇒ x225+y24=1 Como 25 > 4, o eixo maior está no eixo Ox. Então: a2 = 25 ⇒ a = 5 b2 = 4 ⇒ b = 2 a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 4 + c2 ⇒ c2 = 21 ⇒ c=√21 Logo, os focos são os pontos F1(√21 ,0) e F2(√−21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0). 3a Questão Determine os valores de p para que o ponto P(3,p) pertença a circunferência de equação x²+y²=18. +/-9 -1 e 9 +/-3 +/-1 2 e -3 Respondido em 04/05/2020 15:20:58 Explicação: Temos: 3²+p²=18 -> p²=9 -> p=+/-3 Logo: P(3,3) ou P(3,-3) 4a Questão Determine a equação de uma das assíntotas à hipérbole x²/9 - y²/36 = 1. y=2x y=-3x y=3x y=3x-2 y=x Respondido em 04/05/2020 15:21:19 Explicação: Temos: x²/9 - y²/36 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=36 -> b=6 x y 1 Daí: 3 6 1 = 0 -> 6x-3y-18+18 --3y + 6x = 0 -> 12x - 6y = 0 -> 6y = 12x -> y =2x -3 -6 1 5a Questão Determine a equação da hipérbole de focos F1(5,0) e F2(-5,0) e de vértices A1(3,0) e A2(-3,0). 9x2−y2=144 9x2−16y2=144 16x2−y2=144 9x2+y2=144 16x2−9y2=144 Respondido em 04/05/2020 15:21:27 Explicação: Pelos dados do problema, temos: c = 5 a = 3 c2 = a2 + b2 ⇒ 25 = 9 + b2 ⇒ b2 = 16 Como os focos estão sobre o eixo Ox, teremos: x2a2−y2b2=1 ⇒ x29−y216=1 ⇒ 16x2−9y2=144 6a Questão Identifique a equação canônica da cônica de equação 25x2 - 36y2 - 100x - 72y - 836 = 0. (x−2)262−(y+1)252=1 (x−1)262−(y+2)252=1 (x−2)252−(y+1)262=1 (x−2)262+(y+2)252=1 (x−2)262+(y+1)252=1 Respondido em 04/05/2020 15:21:22 Explicação: 25(x2 - 4x) - 36(y2 - 2y) - 836 = 0, obendo o quadrado: 25[(x - 2)2 - 4] - 36[(y + 1)2 - 1] - 836 = 0, reescrevendo: 25(x - 2)2 - 100 - 36(y + 1)2 + 36 - 836 = 0, logo 25(x - 2)2 - 36(y + 1)2 - 900 = 0, colocando na forma canônica: (x−2)262−(y+1)252=1 7a Questão Qual a distância entre os focos da hipérbole: x² / 9 - y² / 4 = 1 ? 4V13 7V13 V13 2V13 5V13 Respondido em 04/05/2020 15:21:45 Explicação: Temos: x²/a² - y²/b² = 1 => x²/9 - y²/4 = 1 => a²=9 => a =3 b²=4 => b =2 Mas: c² = a² + b² => c² = 9 + 4 => c² = 13 => c=V13 Daí, a distância focal é: F1F2 = 2c = 2V13 8a Questão Determine a equação e uma das assíntotas da hipérbole x²/9 - y²/36 = 1. y=-3x y=x y=3x y=2x y=3x-2 Respondido em 04/05/2020 15:21:55 Explicação: Temos: x²/9 - y²/36 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=36->b=6 i j k Daí: 3 6 1 = 0 -> 6x - 3y -18 +18 -3y + 6x = 0 -> 12x - 6y =0 -> 6y = 12x -> y = 2x -3 -6 1 1a Questão Uma elipse tem os focos em F1(0,3) e F2(0,-3). Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse. 10x2=10 x2+y2=10 x2+y2=1 10x2+y2=10 10x2+y2=1 Respondido em 04/05/2020 15:23:25 Explicação: Pelos dados do problema, temos que V(0,0), c = 3, 2b = 2 ⇒ b = 1. a2=b2+c2 ⇒ a2=1+9=10 Como os focos estão localizados no eixo y e o vértice é V(0,0), temos: x2b2+y2a2=1 ⇒ x21+y210=1 10x2+y2=10 2a Questão Uma hipérbole tem equação 9x2 - 16y2 = 144. As coordenadas dos focos, as coordenadas dos vértices e a excentricidade dessa hiprébole são, respectivamente: F1(0,-5) e F2(0,5), A1(0,-4) e A2(0,4)e a excentricidade e=54 F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54 F1(-5,0) e F2(-5,0), A1(-4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54 F1(-5,0) e F2(5,0), A1(-4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54 F1(5,0) e F2(5,0), A1(4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54 Respondido em 04/05/2020 15:24:08 Explicação: 9x2−16y2=144 ⇒ 9x2144−16y2144=144144 ⇒ x216−y29=1 A equação indica que os focos estão sobre o eixo Ox com centro (0,0), daí: a2=16 ⇒ a=4 b2=9 ⇒ b=3 c2=a2+b2=16+9=25 ⇒ c=5 e=ca=54 Logo, F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54 3a Questão Qual a distância entre os focos da hipérbole x²/9 - y²/4 = 1 ? 7V13 5V13 4V13 2V13 V13 Respondido em 04/05/2020 15:24:14 Explicação: Temos que: x²/a² - y²/b² = 1 -> x²/9 - y²/4 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=4 -> b=2 Mas: c² = a² + b² -> c² = 9 + 4 -> c² = 13 - c= V13 Daí: F1F2 = 2c = 2V13 que é a distância entre os focos da hipérbole (distância focal) 4a Questão Determine o foco e a diretriz da parábola de equação y2 = 5x. Foco F(54,0) e a diretriz é x=−54 Foco F(−54,0) e a diretriz é x=54 Foco F(−54,0) e a diretriz é x=−54 Foco F(54,0) e a diretriz é x=54 Foco F(45,0) e a diretriz é x=−45 Respondido em 04/05/2020 15:25:34 Explicação: Podemos escrever y2 = 5x comoy2=4.54x ou (y−0)2=4.54(x−0) . A distância do vértice (0,0) ao foco é c=54 . Logo, F(54,0) e a diretriz é x=−54 5a Questão Determine a equação da elipse de focos F1(3,0) e F2(-3,0) e vértices, que são as extremidades do eixo maior, A1(5,0) e A2(-5,0). x225+y216=1 x225+y214=1 x225+y215=1 x225+y213=1 x225+y212=1 Respondido em 04/05/2020 15:25:56 Explicação: Pelos dados do problema, os focos estão no eixo Ox e temos a = 5 e c = 3. a2=b2+c2 25=b2+9 b2=16 Neste caso, a esquação reduzida é: x2a2+y2b2=1 x225+y216=1 6a Questão Identifique a equação canônica da equação -16x2 + 9y2 - 160x - 54y - 895 = 0, (y+3)282−(x−5)262=1 (y−3)242−(x+5)232=1 (y−3)282−(x+5)262=1 (y−2)282−(x+3)262=1 (y−3)262+(x+5)282=1 Respondido em 04/05/2020 15:26:02 Explicação: Agrupado a equação dada, temos: -16(x2 + 10x) + 9(y2 - 6y) - 895 = 0; completando os quadrados: -16[(x + 5)2 - 25] + 9[(y - 3)2 - 9] - 895 = 0; reescrevendo: - 16(x + 5)2 + 400 + 9(y - 3)2 - 91 - 895 = 0 ⇒ -16(x + 5)2 + 9(y- 3)2 - 576 = 0 no formato canônico temos: (y−3)282−(x+5)262=1 7a Questão Qual a distância entre os focos da hipérbole: x² / 9 - y² / 4 = 1 ? V13 4V13 2V13 5V13 7V13 Respondido em 04/05/2020 15:26:08 Explicação: Temos: x²/a² - y²/b² = 1 => x²/9 - y²/4 = 1 => a²=9 => a =3 b²=4 => b =2 Mas: c² = a² + b² => c² = 9 + 4 => c² = 13 => c=V13 Daí, a distância focal é: F1F2 = 2c = 2V13 8a Questão Determine a equação e uma das assíntotas da hipérbole x²/9 - y²/36 = 1. y=-3x y=x y=3x y=3x-2 y=2x Respondido em 04/05/2020 15:26:02 Explicação: Temos: x²/9 - y²/36 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=36->b=6 i j k Daí: 3 6 1 = 0 -> 6x - 3y -18 +18 -3y + 6x = 0 -> 12x - 6y =0 -> 6y = 12x -> y = 2x -3 -6 1 1a Questão Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0. (-1,3) e 5 (3,4) e 6 (3,-1) e 5 (3,-2) e 4 (2,-3) e 4 Respondido em 04/05/2020 15:26:32 Explicação: Temos que: -2a=-4 -> a=2 -2b=6 -> b=-3 => o centro é O(2,-3) a²+b²-r² = -3 -> 2²+(-3)²-r²=-3 -> r=4 2a Questão Determine os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 4x2+25y2=100 Os focos são os pontos F1(√21 ,0) e F2(√−21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0). Os focos são os pontos F1(√−21 ,0) e F2(√21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(0,5) e A2(5,0). Os focos são os pontos F1(0,√21 ) e F2(0,√−21 ) e as extremidades do eixo maior são A1(0,5) e A2(5,0). Os focos são os pontos F1(√−21 ,0) e F2(√21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(5,0). Os focos são os pontos F1(√−21 ,0) e F2(√21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0). Respondido em 04/05/2020 15:26:38 Explicação: 4x2+25y2=100 ⇒ 4x2100+25y2100=100100 ⇒ x225+y24=1 Como 25 > 4, o eixo maior está no eixo Ox. Então: a2 = 25 ⇒ a = 5 b2 = 4 ⇒ b = 2 a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 4 + c2 ⇒ c2 = 21 ⇒ c=√21 Logo, os focos são os pontos F1(√21 ,0) e F2(√−21 ,0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0). 3a Questão Determine os valores de p para que o ponto P(3,p) pertença a circunferência de equação x²+y²=18. +/-9 +/-3 2 e -3 +/-1 -1 e 9 Respondido em 04/05/2020 15:26:50 Explicação: Temos: 3²+p²=18 -> p²=9 -> p=+/-3 Logo: P(3,3) ou P(3,-3) 4a Questão Determine a equação de uma das assíntotas à hipérbole x²/9 - y²/36 = 1. y=2x y=x y=-3x y=3x y=3x-2 Respondido em 04/05/2020 15:26:43 Explicação: Temos: x²/9 - y²/36 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=36 -> b=6 x y 1 Daí: 3 6 1 = 0 -> 6x-3y-18+18 --3y + 6x = 0 -> 12x - 6y = 0 -> 6y = 12x -> y =2x -3 -6 1 5a Questão Determine a equação da hipérbole de focos F1(5,0) e F2(-5,0) e de vértices A1(3,0) e A2(-3,0). 9x2+y2=144 16x2−y2=144 16x2−9y2=144 9x2−16y2=144 9x2−y2=144 Respondido em 04/05/2020 15:27:02 Explicação: Pelos dados do problema, temos: c = 5 a = 3 c2 = a2 + b2 ⇒ 25 = 9 + b2 ⇒ b2 = 16 Como os focos estão sobre o eixo Ox, teremos: x2a2−y2b2=1 ⇒ x29−y216=1 ⇒ 16x2−9y2=144 6a Questão Identifique a equação canônica da cônica de equação 25x2 - 36y2 - 100x - 72y - 836 = 0. (x−2)262+(y+1)252=1 (x−2)262+(y+2)252=1 (x−2)262−(y+1)252=1 (x−2)252−(y+1)262=1 (x−1)262−(y+2)252=1 Respondido em 04/05/2020 15:26:53 Explicação: 25(x2 - 4x) - 36(y2 - 2y) - 836 = 0, obendo o quadrado: 25[(x - 2)2 - 4] - 36[(y + 1)2 - 1] - 836 = 0, reescrevendo: 25(x - 2)2 - 100 - 36(y + 1)2 + 36 - 836 = 0, logo 25(x - 2)2 - 36(y + 1)2 - 900 = 0, colocando na forma canônica: (x−2)262−(y+1)252=1 7a Questão Qual a distância entre os focos da hipérbole: x² / 9 - y² / 4 = 1 ? 2V13 4V13 V13 5V13 7V13 Respondido em 04/05/2020 15:27:10 Explicação: Temos: x²/a² - y²/b² = 1 => x²/9 - y²/4 = 1 => a²=9 => a =3 b²=4 => b =2 Mas: c² = a² + b² => c² = 9 + 4 => c² = 13 => c=V13 Daí, a distância focal é: F1F2 = 2c = 2V13 8a Questão Determine a equação e uma das assíntotas da hipérbole x²/9 - y²/36 = 1. y=x y=-3x y=3x y=3x-2 y=2x Respondido em 04/05/2020 15:27:14 Explicação: Temos: x²/9 - y²/36 = 1 -> a²=9 -> a=3 b²=36->b=6 i j k Daí: 3 6 1 = 0 -> 6x - 3y -18 +18 -3y + 6x= 0 -> 12x - 6y =0 -> 6y = 12x -> y = 2x -3 -6 1 1a Questão Resolva o sistema linear abaixo obtendo os valores de x e y. 7x + 3y = 23 15x -2y = 24 x = 4 e y = -2 x = 1 e y = 5 x = 3 e y = 1 x = -1 e y = 10 x = 2 e y = 3 Respondido em 04/05/2020 15:30:35 Explicação: Multiplique a 1a. equação por 2 e a 2a.equação por 3. Some ambas equações e obterá o valor de x = 2, substitua este valor em qualquer das equações e obterá y = 3. 2a Questão Resolva o sistema dado abaixo: 3x + 2y + z = 10 x + 2y + 2z = 11 x + y + z = 6 x = -1, y = 3 e z = -2 x = 2; ; y = 2 e z = -2 x = 1; y = 2 e z = 3 x = -1; y = -2 e z = -3 x = -1; y = 3 e z = -2 Respondido em 04/05/2020 15:29:44 Explicação: Inverta a 1a. equação com a 3a. equação, obtendo um novo sistema. Multiplique a 1a. equação por (-1) e some-a com a 2a. equação, ambas do novos sistema. Multiplique a nova 2a. equação por (-3) e some-a com a 3a. equação. Como agora você tem z = 3, substitua no sistema e obtenha x = 1 e y = 2. 3a Questão A dimensão da matriz B=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1234−140207352833⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ é B4,4 B3,3 B4,2 B2,4 B2,2 Respondido em 04/05/2020 15:30:09 Explicação: B4,4 4a Questão Represente a matriz A = (aij)3x2 definida por : aij = 0 se i igual a j (-1)i+j se i diferente de j 0 -1 A = -1 0 1 -1 2 -1 A = -3 1 1 -1 0 1 A = 3 -4 -2 -1 0 1 A = 3 -2 1 -1 0 -1 A = 1 0 -1 -1 Respondido em 04/05/2020 15:30:02 Explicação: Temos que a matriz A é do tipo: a11 a12 A = a21 a22 a31 a32 Daí: a11 = 0 a21 = (-1)2+1=(-1)3=-1 a31 = (-1)3+1=(-1)3 = -1 a12 = (-1)1+2 = (-1)3 = -1 a22 = 0 a32 = (-1)3+2 = (-1)5 = -1 Então a matriz será: 0 -1 A = -1 0 1 -1 5a Questão A dimensão da matriz A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝234−1020352−33⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ é: A3,4 A4,4 A3,3 A4,3 N.D.A Respondido em 04/05/2020 15:30:32 Explicação: Matriz retangular de 4 linhas por 3 colunas 6a Questão Dadas as matrizes A=⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠ , B=⎛⎜⎝−403⎞⎟⎠ e C=⎛⎜⎝−28−6⎞⎟⎠ , determine a soma dos elementos da matriz X tal que A - 2B + 3C - X = 0. 0 1 5 -2 -6 Respondido em 04/05/2020 15:30:41 Explicação: A - 2B + 3C - X = 0 X =⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠ - ⎛⎜⎝−806⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝−624−18⎞⎟⎠ X = ⎛⎜⎝319−22⎞⎟⎠ Daí, a soma dos elementos da matriz é: 3 + 19 - 22 = 0 1a Questão Resolva o sistema linear abaixo obtendo os valores de x e y. 7x + 3y = 23 15x -2y = 24 x = -1 e y = 10 x = 3 e y = 1 x = 2 e y = 3 x = 1 e y = 5 x = 4 e y = -2 Respondido em 04/05/2020 15:30:51 Explicação: Multiplique a 1a. equação por 2 e a 2a.equação por 3. Some ambas equações e obterá o valor de x = 2, substitua este valor em qualquer das equações e obterá y = 3. 2a Questão Resolva o sistema dado abaixo: 3x + 2y + z = 10 x + 2y + 2z = 11 x + y + z = 6 x = -1; y = -2 e z = -3 x = -1; y = 3 e z = -2 x = -1, y = 3 e z = -2 x = 2; ; y = 2 e z = -2 x = 1; y = 2 e z = 3 Respondido em 04/05/2020 15:31:15 Explicação: Inverta a 1a. equação com a 3a. equação, obtendo um novo sistema. Multiplique a 1a. equação por (-1) e some-a com a 2a. equação, ambas do novos sistema. Multiplique a nova 2a. equação por (-3) e some-a com a 3a. equação. Como agora você tem z = 3, substitua no sistema e obtenha x = 1 e y = 2. 3a Questão A dimensão da matriz B=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝1234−140207352833⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ é B2,2 B3,3 B4,2 B4,4 B2,4 Respondido em 04/05/2020 15:31:28 Explicação: B4,4 4a Questão Represente a matriz A = (aij)3x2 definida por : aij = 0 se i igual a j (-1)i+j se i diferente de j 0 1 A = 3 -4 -2 -1 0 -1 A = -1 0 1 -1 0 -1 A = 1 0 -1 -1 2 -1 A = -3 1 1 -1 0 1 A = 3 -2 1 -1 Respondido em 04/05/2020 15:31:39 Explicação: Temos que a matriz A é do tipo: a11 a12 A = a21 a22 a31 a32 Daí: a11 = 0 a21 = (-1)2+1=(-1)3=-1 a31 = (-1)3+1=(-1)3 = -1 a12 = (-1)1+2 = (-1)3 = -1 a22 = 0 a32 = (-1)3+2 = (-1)5 = -1 Então a matriz será: 0 -1 A = -1 0 1 -1 5a Questão A dimensão da matriz A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝234−1020352−33⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ é: A4,4 A4,3 N.D.A A3,4 A3,3 Respondido em 04/05/2020 15:31:34 Explicação: Matriz retangular de 4 linhas por 3 colunas 6a Questão Dadas as matrizes A=⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠ , B=⎛⎜⎝−403⎞⎟⎠ e C=⎛⎜⎝−28−6⎞⎟⎠ , determine a soma dos elementos da matriz X tal que A - 2B + 3C - X = 0. 5 -2 -6 0 1 Respondido em 04/05/2020 15:32:01 Explicação: A - 2B + 3C - X = 0 X =⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠ - ⎛⎜⎝−806⎞⎟⎠ + ⎛⎜⎝−624−18⎞⎟⎠ X = ⎛⎜⎝319−22⎞⎟⎠ Daí, a soma dos elementos da matriz é: 3 + 19 - 22 = 0 1a Questão Resolva o sistema linear abaixo obtendo os valores de x e y. 7x + 3y = 23 15x -2y = 24 x = 1 e y = 5 x = -1 e y = 10 x = 3 e y = 1 x = 2 e y = 3 x = 4 e y = -2 Respondido em 04/05/2020 15:32:18 Explicação: Multiplique a 1a. equação por 2 e a 2a.equação por 3. Some ambas equações e obterá o valor de x = 2, substitua este valor em qualquer das equações e obterá y = 3. 2a Questão Resolva o sistema dado abaixo: 3x + 2y + z = 10 x + 2y + 2z = 11 x + y + z = 6 x = -1, y = 3 e z = -2 x = -1; y = 3 e z = -2 x = -1; y = -2 e z = -3 x = 2; ; y = 2 e z = -2 x = 1; y = 2 e z = 3 Respondido em 04/05/2020 15:32:27 Explicação: Inverta a 1a. equação com a 3a. equação, obtendo um novo sistema. Multiplique a 1a. equação por (-1) e some-a com a 2a. equação, ambas do novos sistema. Multiplique a nova 2a. equação por (-3) e some-a com a 3a. equação. Como agora você tem z = 3, substitua no sistema e obtenha x = 1 e y = 2. 3a Questão A dimensão da matriz A=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝234−1020352−33⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ é: A3,4 N.D.A A4,3 A3,3 A4,4 Respondido em 04/05/2020 15:32:21 Explicação: Matriz retangular de 4 linhas por 3 colunas 4a Questão Represente a matriz A = (aij)3x2 definida por : aij = 0 se i igual a j (-1)i+j se i diferente de j 0 1 A = 3 -4 -2 -1 2 -1 A = -3 1 1 -1 0 1 A = 3 -2 1 -1
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