2ª avaliação parcial

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Acadêmico: Jorge Rosario de Carvalho (2664990)
Disciplina: Estruturas Algébricas (MAD17)
Avaliação: Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:512353) ( peso.:1,50)
Prova: 20155804
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações binárias definidas
sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, analise as sentenças a seguir e assinale a
alternativa que corresponde a P(x) + Q(x), onde:
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção I está correta.
2. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica pode ser escrita em função de suas
raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 1, 3, e 4 e o coeficiente dominante é igual a 1,
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) x³ - 8x² + 19x - 12 = 0
( ) x³ - 7x² + 16x - 12 = 0
( ) x³ - 5x² + 2 = 0
( ) x³ - 2x² + 3x - 12 = 0
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - F - V.
 b) V - F - F - F.
 c) F - F - V - V.
 d) F - V - F - V.
3. Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma das formas
de resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³
- 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto ao valor do
polinômio D(x), analise as opções a seguir:
I) 2x² - 3x + 2
II) x² - 3x + 2
III) x² - x + 1
IV) 3x² - 4x + 1
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção IV está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
4. Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos
duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências
de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes). Desta forma, assim como com os números reais,
podemos dividir dois polinômios quaisquer, encontrando um quociente Q(x) e um resto R(x), nulo ou não. Neste
contexto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resto da divisão de:
P(x) = x³ - 6x² - 5x + 7
por
D(x) = x + 2
 a) R(x) = 14.
 b) R(x) = - 15.
 c) R(x) = 15.
 d) R(x) = - 14.
5. No estudo das estruturas algébricas, para verificar se um dado subconjunto de um grupo é um subgrupo,
precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do grupo e provar as três condições da definição de grupo.
Quanto às possíveis definições para SUBGRUPO, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa
CORRETA:
 a) Somente a sentença III está correta.
 b) Somente a sentença IV está correta.
 c) Somente a sentença II está correta.
 d) Somente a sentença I está correta.
6. Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As primeiras
contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões sobre a
resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação algébrica nem
sempre se encontra totalmente dentro do conjunto dos números reais. Sendo assim, o conjunto solução da
equação algébrica x³ + x = 0 é:
 a) S = {-i, i, 1}.
 b) S = {0, 1, i}.
 c) S = {0, -i, i}.
 d) S = {1, -1, i}.
7. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um produto de
polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. O polinômio P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24,
possui -2i, 2i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como:
 a) 2·(x² + 4)·(x + 3).
 b) 2·(x² + 4)·(x - 3).
 c) 2·(x² - 4)·(x + 3).
 d) 2·(x² - 4)·(x - 3).
8. A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de um
processo de divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. Considerando o
Teorema do Resto, quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) por D(x), analise as sentenças a seguir e
assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença II está correta.
 b) Somente a sentença III está correta.
 c) Somente a sentença I está correta.
 d) Somente a sentença IV está correta.
9. Podemos encontrar as raízes de uma determinada equação através da sua fatoração em equações de graus
menores do que o grau da equação original. Aplicando este conceito na equação x³ - 4x² + 3x = 0, concluímos que
o conjunto de suas raízes é:
 a) S = {-3, 0, 1}.
 b) S = {-1, 0, 1}.
 c) S = {-3, -1, 0}.
 d) S = {0, 1, 3}.
10. A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema importante, o qual tem sido
estudado nos últimos quatro séculos. Além disso, podemos recair no uso de aritmética complexa, pois mesmo um
polinômio com coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 , pode ter apenas raízes complexas. Assinale a alternativa
CORRETA que apresenta uma das raízes do polinômio complexo P(x) = - i·x³ + 2·x² - 2 + i ?
 a) O número inteiro 1.
 b) O número complexo i.
 c) O número inteiro -1.
 d) O número complexo 2·i.
Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas.