Educação Matemática - resumo

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Educação Matemática - resumo
 Semana 1
Texto base: CENÁRIOS DE INVESTIGAÇÃO
Ole Skovsmose
Resumo
Conforme observações efetivadas em diversos lugares, a educação matemática tradicional se enquadra no paradigma do exercício. Esse paradigma se diferencia do cenário para investigação, no qual os alunos são convidados a se envolverem em processos de exploração e argumentação justificada. A distinção entre o paradigma do exercício e o cenário para investigação é combinada com a diferença entre três tipos diferentes de referência: referência à matemática, referência à semi-realidade e referência à situação da vida real. Os seis possíveis ambientes de aprendizagem resultantes dessa combinação serão ilustrados através de exemplos. Mover-se do paradigma do exercício em direção ao cenário para investigação pode contribuir para o enfraquecimento da autoridade da sala de aula tradicional de matemática e engajar os alunos ativamente em seus processos de aprendizagem. Mover-se da referência à matemática pura para a referência a vida real pode resultar em reflexões sobre a matemática e suas aplicações. Minha expectativa é que caminhar entre os diferentes ambientes de aprendizagem pode ser uma forma de engajar os alunos em ação e reflexão e, dessa maneira, dar à educação matemática uma dimensão crítica.
A educação matemática tradicional se enquadra no paradigma do exercício. Geralmente, o livro didático representa as condições tradicionais da prática de sala de aula. Os exercícios são formulados por uma autoridade externa à sala de aula. Isso significa que a justificativa da relevância dos exercícios não é parte da aula de matemática em si mesma. Além disso, a premissa central do paradigma do exercício é que existe uma, e somente uma, resposta correta.
As práticas de sala de aula baseadas num cenário para investigação diferem fortemente aquelas baseadas em exercício. A distinção entre elas pode ser combinada com uma distinção diferente, a que tem a ver com as “referências” que visam levar os estudantes a produzirem significados para os conceitos e atividades matemáticas.
Qual é melhor ambiente de aprendizagem, na opinião do autor?
Ele defende que o professor deve se mover entre os ambientes, explorar diversos tipos de atividades e não um único.
Etnomatemática (ambiente em que o sujeito está inserido)
Historicamente, a palavra Etnomatemática surgiu na década de 70, com base em críticas sociais acerca do ensino tradicional da Matemática, como a análise das práticas matemáticas em seus diferentes contextos culturais. Tendo Ubiratan D’Ambrósio como precursor e idealizador aqui no Brasil. A palavra foi cunhada da junção dos termos techné, mátema e etno. E acrescenta-se que:
Tem seu comportamento alimentado pela aquisição de conhecimento, de fazer (es) e de saber(es) que lhes permitam sobreviver e transcender, através de maneiras, de modos, de técnicas, de artes (techné ou 'ticas') de explicar, de conhecer, de entender, de lidar com, de conviver com (mátema) a realidade natural e sociocultural (etno) na qual ele, homem, está inserido. (D’AMBROSIO, 2005, p. 99-120).
Nessa linha de pensamento, percebemos que a Etnomatemática não se trata de um método de ensino nem de uma nova ciência, mas de uma proposta educacional que estimula o desenvolvimento da criatividade, conduzindo a novas formas de relações interculturais. Isso se confirma neste argumento: “é um programa que visa explicar os processos de geração, organização e transmissão de conhecimentos em diversos sistemas culturais e as forças interativas que agem nos e entre os três processos”. (D’AMBRÓSIO, 2001).
Compreendemos que a Matemática vivenciada, por exemplo, pelos vendedores em situação de rua; pelo artesão; donas de casa; pelo pescador; pelo pedreiro e costureira; a geometria na cultura indígena e em outras classes sociais é completamente distinta entre si em função do contexto cultural e social na qual estão inseridas. Mas, para ampliar a compreensão da realidade e de mundo dessas pessoas é fundamental interagir todas as práticas do cotidiano. Caso não seja possível, então, a Matemática se apresenta apenas como uma forma de resolver questões de ordem prática e sem sentido para algumas classes sociais.
Nessa perspectiva, acreditamos que um dos caminhos para fundamentar essa vertente são as ações pedagógicas construídas dentro do contexto sociocultural daqueles que se pretende educar, pois os objetivos e, consequentemente, os conteúdos devem variar de acordo com a cultura, a realidade social, as necessidades, as aspirações pessoais. A razão é que a Matemática está presente na realidade de cada um, e como tal, ela deve, sobretudo:
Basear-se em propostas que valorizem o contexto sociocultural do educando, partindo de sua realidade, de indagações sobre ela, para a partir daí definir o conteúdo a ser trabalhado, bem como o procedimento que deverá considerar a matemática como uma das formas de leitura de mundo. (MONTEIRO e POMPEU JR., 2003, p. 38).
Diante do exposto, compreendemos que o estudo de atividades fora da sala de aula, proporciona uma construção por parte do educando, do conhecimento prático e não perde o caráter acadêmico ou escolar no ensino da Matemática. Isso. Leva-nos a acreditar que o ensino da Matemática numa perspectiva Etnomatemática pode estabelecer uma relação mais consistente e construtiva entre teoria e prática por contemplar experiências cotidianas a serem refletidas e analisadas, podendo até evitar o excesso de teorias estudadas na superficialidade e insucesso dos alunos porque o ensino passa a estabelecer uma relação com cotidiano.
Recorremos à consideração feita por URTON (1997) para justificar a aplicabilidade da Etnomatemática, quando diz:
Que se trata de uma vertente que busca identificar manifestações matemáticas nas culturas periféricas e tem como referências categorias próprias de cada cultura, reconhecendo que é própria da espécie humana a satisfação de pulsões de sobrevivência e transcendência, absolutamente integradas, como numa relação simbiótica. (URTON, 1997).
Pois, na atual conjuntura sócio-política da sociedade, torna-se fundamental buscar novas propostas curriculares que venham acompanhar os avanços tecnológicos, bem como reafirmar a escola como o lugar do conhecimento, do convívio e da sensibilidade, condições imprescindíveis para a constituição da cidadania. Em outras palavras, queremos dizer que a adoção de novos instrumentos culturais leva a novos caminhos pedagógicos.
Por fim, acreditamos que a Matemática nasce sob determinadas condições econômicas, sociais e culturais, por isso cada cultura, ou mesmo subcultura, deve produzir sua própria Matemática específica, que resulta das necessidades específicas do grupo social.
 Ambientes de aprendizagem nas aulas de matemática
 Três grupos de desafios
· Matemática que represente a racionalidade, refere-se a qualquer tipo de matemática;
·  Educação matemática como contexto socioeconômico, inclusive as disciplinas;
·  Educação matemática para a justiça social.
Mandela e Freire: a educação pode fazer a diferença
 A modelagem matemática pode formar a base para ações mais poderosas, para uma só matemática crítica.
 Nas compras à matemática avançada:
· Produtos codificados;
·  Códigos mecanicamente legíveis;
·  Códigos conectados à banco de dados contendo os preços de todos os produtos;
·  Preços somados;
·  O cartão de crédito é lido;
·  A quantidade é subtraída da conta bancária associada ao número de uma conta;
·  Pede-se uma senha de segurança para garantir que o dono da conta é a pessoa que está passando os itens.
 O tempo todo está ocorrendo codificação e decodificação matemática.
 A noção de alfabetização Matemática é uma noção para a formulação divisões ela faz parte daquilo a que pode se referir como imaginação pedagógica. estar envolvido em uma educação matemática crítica também significa estar pronto para formular visões. Assim, vejo conexões entre as noções de crítica e imaginação.
 Semana 2
 Porque etnomatemática?
 Páginas de 13 a 25
 Ubiratã D’Ambrósio
Todoindivíduo vivo desenvolve conhecimento e tem um comportamento que reflete o conhecimento que vai se modificando. 
 No compartilhar do conhecimento e compatibilizar comportamento estão sintetizadas as características de uma cultura seja da família, tribo, comunidade, agremiação, profissão ou nação.
O cotidiano está impregnado de saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comprando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo, de algum modo, avaliando, usando instrumentos materiais e intelectuais que são próprios a sua cultura.
 análise entre preços, contas, fazer orçamentos, proporcionam excelente material pedagógico. Marilyn Frankenstein é pioneiro em propor uma matemática crítica nas escolas. 
 Na Itália Cinzia Bonotto desenvolveu um trabalho semelhante em supermercados. Grupos profissionais praticam sua própria etnomatemática.
 Crianças da Periferia se organizam para construir um campo de futebol, obedecendo, em escala, as dimensões oficiais.
 na África usa-se o ritmo de instrumentos de percussão para auxiliar na compreensão das razões.
A etnomatemática é parte do cotidiano, que é um Universo no qual se situam as expectativas e as angústias das crianças e dos adultos.
 Vídeo base:  contar: conversa com professores
 Paulus Gerdes
 Campo de estudo etnomatemática
 Ensino da matemática através da estrutura das línguas nativas.
 Estudo feito na África mostra a educação matemática para aumentar a confiança dos alunos e facilitar aprendizagem para o campo de avaliação por exemplo utiliza-se 10,3 para ensinar 13 assim as crianças fazem melhor associação ao número apreendido utilizando os conhecimentos que já possuem.
 No Brasil não há facilidade de aprender matemática. Não há simplificação ou qualquer   uso de comparação para ensinar matemática.
 Semana 3
 O lúdico nas aulas de matemática
 Texto-base:  jogo; avanço com resto
Cálculos mentais
 Texto-base:  concepções quanto ao uso de jogos no ensino da matemática
 Regina Célia Grando
 Experiências do mundo exterior para o espírito humano através dos jogos. Paulo Freire
 Pode ser jogo ou não jogo dependendo do significado atribuído a ele, nas diferentes culturas
O jogo é muito mais do que um simples material manipulável, corresponde atividades lúdicas. O jogo como atividade lúdica é anterior a cultura e este surge a partir do jogo.
 aprender fazendo
 Cada momento apresenta um objetivo:
1.  Familiarização com o material do jogo: dados, peões e tabuleiros;
2.  Reconhecimento de Regras 2 pontos explicar as regras existentes, criar novas regras, modificar de acordo com a turma;
3.  Jogo pelo jogo: jogar para garantir regras, simples, espontânea;
4.  Intervenção pedagógica verbal: caracteriza-se pelos questionamentos e observações realizados pelo orientador da ação a fim de provocar os alunos para realização das análises de suas jogadas;
5.  Registro do jogo: registro de pontos, de cálculos, de trajetórias percorridas, orientação de jogadas, analisar estratégias, corrigir diferentes aspectos, construção de pensamento lógico;
6.  Intervenção escrita: problematização de situações de jogo, resolver situações-problema de jogo, limites e possibilidades dos jogos.com registro também está presente;
7.  Jogar com competência: retorno a situação real do jogo, o aluno deve voltar ao jogo e retomar ação de jogo para executar muitas estratégias definidas e analisadas durante a resolução dos problemas.
 O ensino tecnicista reduza matemática um conjunto de técnicas, regras e algoritmos. Aprendizagem matemática se dá a partir do desenvolvimento de habilidades e atitudes. 
 A ideia construtivista de Fiorentini (1995) é a que possibilita a compreensão da matemática como uma construção humana com interação dinâmica. O erro da criança passa a ser visto como um processo de aprendizagem e diagnóstico para o professor.
 Dienes também está relacionado ao construtivismo: blocos lógicos.
 As contribuições no campo da Psicologia surgem de teórico, tais como: Piaget, Vygotsky e Froebel.
 Freire defende que o desenvolvimento do trabalho interdisciplinar deve ocorrer de corpo inteiro, pois as práticas sociais do conhecimento não se apresentam fragmentados.
 Semana 4
 A importância dos materiais concretos no ensino da matemática
Texto-base: eu trabalho primeiro no concreto
Adair Mendes
O material concreto e o manipulável nas aulas de matemática
 Alguns professores defendem a utilização dos materiais concretos para ensinar e depois utilizam os materiais manipuláveis.
 cuidado com o uso errado dos materiais manipuláveis é De grande valia Verificar como se deve trabalhar adequadamente. como considerar apenas uma tendência como correta, temos a disponibilidade de fazer um pouco de cada.
· Projetos interdisciplinares;
· Tarefas exploratório-investigativas;
· Resolução de problemas;
· Modelagem matemática ponto-e-vírgula
· Tecnologias de informação com que,
· Uso de jogos;
· História
 O papel do formador de professores deve trazer essas questões para reflexão, problematizando o uso de materiais didáticos nas aulas de matemática e discutindo alguns significados do que seja "trabalhar no concreto”  com alunos da Educação Básica, em qualquer um de seus níveis.
O trabalho em sala de aula com a utilização do material concreto influencia na aprendizagem dos alunos desde a educação infantil até os anos iniciais do Ensino Fundamental, favorecendo:
· O raciocínio lógico;
· Coordenação motora;
· Rapidez de pensamento dedutivo;
· Socialização;
· Organização do pensamento;
· Concentração.
 Proporciona de forma concreta o conhecimento e dessa forma muda a concepção de que a matemática é uma matéria ruim é difícil de aprender. 
É preciso que esse trabalho seja executado de forma dirigida para que a criança possa realmente alcançar o conhecimento.
Para Kamii (1990, p.48), “ dizer que a criança deve construir seu próprio conhecimento não implica que o professor fique sentado, Ô Mita se e deixe a criança inteiramente só.”  Isso significa que ele deve ser um mediador, um incentivador, organizador do processo de aprendizagem do aluno.
 o aluno não se sente motivado para resolver continhas de adição, por exemplo, para ele não tem significado, complicando assim o processo para chegar ao resultado final. O importante seria antes de explicar a teoria, usar atividades práticas, E para isso pode contar com o uso de materiais concretos.
 Piaget estabeleceu quatro estágios de desenvolvimento o que ele no meu de Estágios cognitivos pontos são eles:
· Estágio sensório-motor;
· Pré-operacional (pré-operatório);
· Operatório concreto;
· Operatório formal.
 A criança desenvolve melhor o seu aprendizado quando este é iniciado do concreto para só depois partir para o abstrato, ou seja, da ação prática para a teórica. O trabalho através da manipulação de objetos possibilita o desenvolvimento da Criança em habilidades como discriminação e memória visual.
 Semana 5
 Ensino de matemática com resolução de problemas
 Vídeo aula: resolução de problemas e o ensino de matemática
 O exercício é uma atividade cujo resolvedor já tem habilidades ou conhecimentos
suficientes para resolvê-la. 
O problema é o ponto de partida para a construção de novos conceitos e conteúdos de modo que os alunos serão construtores de seus próprios conhecimentos e os professores os responsáveis por mediar esse processo.
· Problemas bem definidos;
· Problemas de matemática;
· O extremo seria um exercício.
· Problemas mal definidos;
· Problemas das Ciências Sociais;
· O extremo seria um problema sem solução ou mais de uma solução.
Na década de 40, George Polya instaurou a resolução de problemas em 4 etapas não necessariamente nesta ordem:
	Compreensão do problema
	· Compreensão;
· Interesse.
	Estabelecimento de um plano
	· Conhecimentos prévios;
· Plano individual do aluno.
	Execução do plano
	· Concentração;
· Raciocínio.
	Retrospecto
	· Consolidação.
	Heurística
	Descrição Informal
	Analogia
	· Você pode achar um problema análogo para o seu problema eassim resolve-lo?
	Generalização
	· Você pode um problema geral para o seu problema?
	Decomposição e recombinação
	· Você pode decompor o problema e reconstruir seus elementos de uma nova maneira?
	Variação do problema
	· Você pode variar ou mudar seu problema para criar um novo problema (ou conjunto de problemas) cujas soluções podem te ajudar a resolver seu problema original?
	Problema auxiliar
	· Você pode achar um subproblema cuja solução poderá ajuda-lo a resolver seu problema?
Ensino para resolução de problemas
 
 Aplicação das competências 
 adquiridas em novos problemas 
 
 Treinar diferentes estratégias
 
 Prática de “problemas de palavras”
 
Ensino de aprendizagem 
(conceitos e procedimentos)
A resolução de problemas como um modo de instrução através da aplicação de tarefas matemáticas que proporcionem o desafio intelectual. Ela não é tratada como um tópico, mas sim, como um processo que atravessa todo o planejamento e fornece o contexto em que os conceitos devem ser aprendidos,
Formulação de problemas
Desenvolvimento da criatividade e da originalidade no pensamento matemático dos alunos.
Texto base: Matemática e resolução de problemas
Pg. 8 a 15
Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz
Não se concebe aprender matemática se não for pra resolver problemas; por outro lado, resolver problemas necessariamente inclui alguma forma matemática.
PCN e fazer matemática na sala de aula
· O ponto de partida não deve ser a definição, mas o problema, ou seja, o aluno precisa desenvolver algum tipo de estratégia para resolve-las;
· Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;
· Ao propor outros problemas, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da matemática;
· O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas. Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações;
· A resolução de problemas não é uma atividade para desenvolvida em paralelo ou como uma aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
Aqui se evidencia a ruptura com a concepção da resolução de problemas como aplicação do conhecimento matemático ou como conjunto de estratégias para se ensinar a resolver problemas, o que nos permite inferir que a resolução de problemas de acordo com os PCNS de 1997 para o ensino fundamental é uma competência que se espera desenvolver em todos os alunos e que está entrelaçada à aprendizagem de matemática.
Outra concepção de resolução de problemas
Perspectiva metodológica da Resolução de problemas
Problema é toda situação que não possui solução evidente e que exige que o resolvedor combine seus conhecimentos e se decida pela forma de usá-los em busca de solução.
Romper com a visão limitada de problemas:
1. A perspectiva metodológica da resolução de problemas é considerar como problema toda situação que permite alguma problematização, ou seja, jogos busca de seleção de informações construções geométricas resolução de problemas não convencionais ou até mesmo convencionais, desde que permitam o processo investigativo;
2. Na Perspectiva metodológica de resolução de problemas inserimos a problematização e mais duas ações: questionar as respostas obtidas e questionar a própria situação inicial.
Assim, resolver uma situação-problema não significa apenas compreensão do que é exigido, aplicar as técnicas ou fórmulas adequadas e obter a resposta correta, mas investigar a questão resolvida, questionando-se: Essa é a única resposta possível para o problema? Só há uma forma para resolver essa questão? se há duas ou mais formas de resolução. Quais as semelhanças ou diferenças entre elas? O que acontece se alterarmos um mais dos dados da questão? Todos os dados são essenciais para a resolução? É possível obter outras informações dessa situação e dos dados apresentados?
 
Nem todas essas questões cabem em qualquer situação problema, mas é assim que se inicia com os alunos o processo de investigação. nesse processo, passam a ter valor atitudes naturais do aluno que não encontram espaço dentro do modelo tradicional, o que levam a questionar as soluções e as situações problema em si, ou exige muitas vezes que o resolvedor volte a atividade realizada. É como se cada nova perguntas de se pensar novamente sobre toda a situação e até mesmo sobre o que o próprio aluno fez.
Na prática, requer diversificar as formas e organizações dos alunos em sala e a preciso construir estratégias e recursos de ensino os novos, para quê com os alunos estabeleçam o ambiente de produção e de reprodução do Saber. 
Problemas convencionais
O modelo tradicional de ensino teve como prática apenas os problemas que denominaremos convencionais e que se caracterizam por:
· Texto do problema ser composto por frases, diagramas ou parágrafos curtos;
·   o problema ser proposto após apresentação de determinado conteúdo;
·  todos os dados de que o resolvedor necessita aparecem explicitamente no texto;
· a resolução seguir os seguintes passos: transformar as informações do problema em linguagem matemática, identificar que operações são apropriadas e mostrar a solução;
·  ser essencial encontrar a resposta correta, que existe e é quase sempre única.
 Há outros tipos de problemas convencionais nos livros didáticos e são apresentados sempre relacionados a um conteúdo específico.
Outro aspecto importante gerado pelo trabalho apenas com os problemas convencionais são as mais concepções que os alunos desenvolvem em relação a resolver problemas:
· Não vale a pena gastar muito tempo para resolver um problema, Se a solução não pode ser encontrada rapidamente é porque eu não sei resolvê-lo.
· Eu cometi um erro devo desistir e começar tudo de novo, não adianta tentar entender o porquê do erro.
· Há sempre uma maneira certa de resolver um problema, mesmo quando há várias soluções uma delas que é a correta.
· Aprender a resolver problemas é uma questão de esforço e pratica, eu aprendo tomando notas, memorizando todos os passos de uma sequência correta e praticando.
· Um bom professor não deve me deixar confuso. É responsabilidade do professor orientar o que devo fazer, pois isso é ensinar.
Problemas não convencionais
Os problemas não convencionais são aqueles que rompem com as características de um problema convencional, Como foram descritos anteriormente ponto problemas não necessariamente relacionados a um conteúdo específico, problemas com várias soluções, problemas com excesso de informações e aqueles apresentados com diferentes tipos de textos permitem ao aluno desenvolver sua capacidade de leitura e análise crítica, pois, para resolver a situação problema proposta, é necessário voltar muitas vezes ao texto para lidar com os dados e analisá-los, selecionando os que são relevantes e descartar os supérfluos.
Por isso é importante que o professor conheça diferentes tipos de problemas que podem ser propostos aos alunos e quais são as características de cada tipo para propô-los de forma mais adequada.O Recurso Problemateca
Pg. 17-28
Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz
Uma coletânea de problemas não convencionais é o que denominamos problemateca. A problemateca pode ser utilizada de duas formas.
A primeira delas é a seleção pelo professor de um ou dois problemas para serem resolvidos por todos os alunos em uma aula. Individualmente ou em duplas, os alunos têm um tempo para pensar e resolver os problemas e, em seguida, há uma aula coletiva em que todos podem apresentar e debater as resoluções.
A segunda forma de utilização é nos momentos de trabalho diversificado. Nesse caso, os problemas são organizados em uma caixa ou fichário com fichas numeradas contendo um problema em cada uma e a resposta no verso, para utilização direta dos alunos que terminaram suas tarefas coletivas, cada um em seu ritmo. Nessa segunda versão, os alunos podem procurar problemas para resolver ou utilizar aqueles indicados pelo professor, anotando no caderno o número da ficha, os dados do enunciado e a resolução. A resposta no verso da ficha facilita a autocorreção e favorece o trabalho independente.
Os problemas mais complexos, que exigem mais tempo, podem ser trabalhados na terceira versão da problemateca, que é na forma de um “problema da semana”. Ou seja, esse problema é proposto aos alunos e eles têm o tempo de uma semana para resolvê-lo. As resoluções são discutidas somente após esse tempo e, antes dessa aula, as produções dos alunos podem ser afixadas em um mural da sala, para que um possa ver a resolução do outro, ou entregues ao professor que analisa aquelas que merecem discussão mais aprofundada, sempre no sentido de gerar aprendizagem para todos.
Pela importância que esta proposta tem na Comunicação em sala de aula, as fichas da problemateca podem ser resolvidas em duplas, em grupos ou individualmente, o objetivo é a promoção de sua autonomia; assim eles tentarão resolver os problemas sozinhos ou com seu grupo antes de buscar no professor ajuda para as possíveis dúvidas encontradas.
De tempos em tempos, a coleção de problemas deve ser avaliada, excluindo-se problemas muito difíceis ou fáceis demais e aqueles que não motivaram os alunos; também é possível a inclusão de novos problemas, alguns deles coletados ou elaborados pelos próprios alunos. A problemateca pode ter também uma versão virtual. Um banco de problemas no computador torna a escolha e a troca de problemas muito mais rápidas, o que permite constante atualização do acervo.
Os problemas são todos não convencionais, ou seja, não têm solução evidente, nem sempre se resolvem com uma conta ou algoritmo; podem ter mais de uma resposta correta ou não terem resposta possível. A resolução pode ser feita com esquemas, desenhos, cálculos escritos ou mentais, dependendo dos procedimentos utilizados pelo aluno em busca da resolução. Por isso, quando um aluno resolve determinado problema, é importante que ele explique como pensou; assim, o professor saberá se seus objetivos foram alcançados.
Com base na exploração desses problemas o professor pode usar a problematização para que os alunos confrontem opiniões, reflitam sobre a finalidade, adequação e utilização dos dados apresentados, interpretando e analisando com mais atenção cada problema.
Diferentes tipos de problemas
· Problemas sem solução: esse tipo de problema evita que se estabeleça nos alunos a concepção de que os dados que estão no problema devem ser usados na resolução e de que todo problema tem solução. Além disso, ajuda a desenvolver no aluno a habilidade de aprender a duvidar, que faz parte do pensamento crítico. Exemplo: Para fazer um tratamento dentário, Carla irá ao dentista duas vezes por semana e, em cada consulta, ficará uma hora. Quanto irá durar o tratamento?
Nesse caso, o problema não tem solução porque falta a infor- mação de quantas semanas vai durar o tratamento de Carla.
· Problemas com mais de uma solução: os problemas com duas ou mais soluções fazem com que o aluno perceba que resolver problemas é um processo de investigação, do qual ele participa e em que pode produzir soluções diferentes daquelas encontradas por seus colegas. Um exemplo: Pedro e seu irmão ganharam 6 brinquedos. Quantos brinquedos Pedro ganhou? (1,2,3,4,5 ou 6).
Nessa categoria de problemas encontram-se aqueles mais adequados aos anos iniciais, incluindo-se a Educação Infantil, que são simulações da realidade. Esses problemas apresentam ao aluno uma situação que pode ser real, próxima à vivência da criança, e que per- mite várias soluções, umas mais adequadas que outras, mas sempre mais do que uma delas.
Um exemplo é o seguinte: Heleninha tem uma cachorrinha chamada Lilica que fica muito triste toda vez que Helena vai para a escola. Se você fosse Helena, o que faria?
· Problemas com excesso de dados: esse tipo de problema impede que os alunos desenvolvam a crença de que um problema não pode permitir dúvidas e de que todos os dados do texto são necessários para sua resolução. Além disso, evidencia ao aluno a importância de ler, fazendo com que ele aprenda a selecionar dados relevantes para a resolução de um problema. Vejamos um exemplo: ontem de manhã, tia Lúcia saiu de casa com 45 reais na carteira para receber sua aposentadoria. Chegou ao banco às 9 h 30 min e ficou na calçada esperando o banco abrir. Às 10 h, entrou e recebeu seu dinheiro. Antes de ir para casa, passou no supermercado e gastou 64 reais. No açougue, comprou carne e frango com 25 reais. Quando chegou em casa tinha 605 reais. Quanto tia Lúcia recebeu de aposentadoria? 
Problemas propostos a partir de dados em tabelas, gráficos, artigos de jornais ou revistas e anúncios de vendas também são problemas com excesso de informações.
· Problemas de lógica: esses são problemas que exigem o raciocínio lógico-dedutivo em sua resolução. Muitas vezes não contêm números em seus dados, mas pistas na forma de afirmações que, combinadas, devem levar à resposta do problema. Um exemplo pode ajudar a compreender melhor: três pessoas têm profissões diferentes. Eles têm preferência por alimentos e bebidas diferentes. Siga as pistas e depois responda às perguntas. Paulo bebe leite e não é advogado. O amigo de quem é motorista prefere refrigerante. André não come pizza nem batatas fritas. Sérgio é músico. Quem come pizza bebe café. Quem prefere pizza? Quem bebe refrigerante? Quem é motorista?
Como exemplo disso, no problema acima, é possível concluir, com base na informação de que Paulo bebe leite e quem come pizza bebe café, que Paulo não prefere pizza. Mas André também não come pizza; assim, resta Sérgio na preferência desse tipo de alimento. A res- posta final ao problema é: Sérgio prefere pizza, André bebe refrigeran- te e Paulo é o motorista.
Problemas como esse permitem o desenvolvimento de operações de pensamento, como: previsão e checagem, levantamento de hipóteses, busca de suposições, análise e classificação. Além de envolver estraté- gias não convencionais para sua resolução, esses problemas, pelo curio- so das histórias e pela sua estrutura, estimulam mais a análise dos dados, favorecem a leitura e interpretação do texto e, por serem motivadores, atenuam a pressão para se obter a resposta correta imediatamente.
· Problemas de estratégia: esse é um problema que, por si só, solicita uma estratégia para sua resolução e não um algoritmo. A solução desse tipo de problema depende de combinar as informações do texto de forma adequada e escolher alguma estratégia não convencional para sua resolução. Exemplo: Um elevador inicia sua descida no 16º andar, 2 das pessoas descem no 9º andar e sobem outras 3 pessoas; no 6º andar descem 4 pessoas e no 5º andar sobem 3 pessoas. Finalmente, em sua última parada antes do térreo, no 2º andar, desce 1 pessoa e sobem 3. No térreo descem as 7 pessoas que estavam no elevador. Quantas pessoas estavamno elevador no 16º andar, quando ele começou essa descida?
É preciso pensar de trás para frente, começando com as informações do final do texto. Um esquema ou desenho pode ajudar na resolução e chegar à resposta, que é: 6 pessoas estavam no elevador no 16º andar.
Sugerimos a resolução desses problemas ao longo de todo o curso de forma diversificada e pertinente. Um modo de fazer isso é planejar que os alunos resolvam um ou dois problemas não convencionais a cada semana, alternando os tipos de problemas. É importante que, antes da discussão coletiva, os alunos tenham tempo para pensar sobre o problema e tentar resolvê-lo por si mesmos.
Um ponto essencial é a discussão e análise das resoluções no coletivo da classe, pois é nesse momento que os alunos revelam suas aprendizagens, partilham seus registros e formas de pensar e, assim, ampliam seu repertório em termos de estratégias e formas de organizar a resolução de problemas.
Semana 6
Ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos no Ensino Fundamental
Material base: (vídeo) relações entre os diferentes campos da matemática
As unidades temáticas na BNCC
Números
Álgebra
Geometria
Grandezas e medidas
Probabilidade e estatística
Aritmética e os demais campos
· Noção de quantidade e relação com a reta numérica (ideia do que é número e reta numérica, tamanhos e medidas);
· Operações e geometria (ideias aritméticas);
· Geoplano (representação de multiplicação – algeplan e geogebra)
· Relações com a álgebra 
· Padrões e regularidades (dá pra generalizar algumas situações, álgebra é uma generalização da matemática);
· Relações com combinatória (propriedade comutativa com combinatórias; probabilidades e estatísticas).
Vídeo aula 3: Dificuldades de aprendizagem de Álgebra
Prof. Dr. Zaqueu Vieira Oliveira
· Necessidade de resposta numérica e não compreensão da resposta algébrica;
· Necessidade de resposta com um único termo (número)
Outras dificuldades:
· Significado dos símbolos
· Diferentes representações da multiplicação. Exemplo: 3 X x; 3.x; 3x;
· Letras e seu referencial;
· Letras como “rótulos” na aritmética;
· Noção de variável;
· Ordem dos cálculos.
Dificuldades em relação ao conceito de função
· Compreensão dos conceitos e termos;
· Incógnita e variável;
· Passagem de um tipo de linguagem/representação para outra;
· Dificuldades com tipos específicos de funções.
Texto base: Pensamento Algébrico: uma relação entre álgebra, aritmética e geometria
Silvania Cordeiro de Oliveira e João Bosco Laudares
Lorenzato (2006) e Lins&Gimenes (1997, p. 159) defendem que o ensino de matemática no Ensino Básico de forma integradora, devemos buscar a coexistência da educação algébrica com a aritmética, de modo que uma esteja implicada na outra.
As abordagens, tradicionalmente difundidas em torno da Álgebra têm colocado em foco principalmente a memorização e mecanização de fórmulas, como metodologia para assimilação dos conceitos algébricos. Esse tipo de abordagem reflete diretamente na compreensão das operações elementares e na aprendizagem significativa da Álgebra, acarretando dificuldades associadas à resolução de problemas dentro de um contexto do cotidiano e em outros níveis de ensino. Nesse sentido, a escola em vez de ser uma aliada do estudante para facilitar suas atividades do dia a dia, torna-se um fator que dificulta, quando a abordagem em torno do assunto difunde muito da realidade do mesmo.
Os livros didáticos, muitas vezes utilizados como “livros de receitas”, não trazem metodologias que, por si só, são capazes de construir o conhecimento, e o professor quando não conhece alternativas de abordagem acaba adotando-o como a única fonte de pesquisa e recurso didático para se utilizar em sala de aula. A simples repetição de regras e fórmulas, não possibilita ao aluno fazer conexões e pensar de forma autônoma e nem facilita a compreensão dos conceitos e procedimentos estabelecidos pela Álgebra. Mas este é ainda uma ferramenta poderosa à qual os professores se orientam para planejar e executar suas aulas. Em contrapartida, um livro muito bem elaborado, aliado a uma boa formação do professor é uma excelente fonte para a construção do conhecimento matemático, até mesmo porque a Álgebra tem ocupado lugar privilegiado nos livros didáticos.
A construção do conhecimento é o principal ponto de partida, onde o estudante, orientado pelo professor, será capaz de investigar questões e chegar às suas próprias conclusões, sem esperar do professor a “resposta certa”, mas criticar e questionar as suas próprias descobertas, gerar discussões em torno de uma situação problema e assim construir o seu próprio conhecimento, com fundamento e significado.
RELAÇÃO ENTRE A ÁLGEBRA E A ARITMÉTICA
Um dos momentos mais chocantes para os estudante do Ensino Fundamental, dentro da Matemática, é o momento em que começam a surgir “ letras com valor de números”, é essa a concepção que a grande maioria dos estudantes têm da Álgebra, que a letra é sempre uma incógnita, serve apenas pra indicar um valor desconhecido.
PCN ressalta que:
é importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes como intuição, analogia, indução e dedução e não atividades voltadas para a memorização desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma formalização precoce de conceitos (BRASIL, 1998, p.63).
Quando se faz uma ruptura entre a abordagem da Aritmética e a Álgebra o estudante não consegue perceber essa relação e encara como se fosse uma nova Matemática, a Matemática das letras como novas regras, fórmulas e aplicações; e isso impede que ele consiga fazer a associação entre as duas, trazer os conceitos já absorvidos na Aritmética e aplica-los na Álgebra de forma mais natural.
Um dos principais problemas da aprendizagem da Álgebra, como assinala o PCN (1998), é a noção de variável. Os estudantes, na sua maioria, não conhecem os significados das letras que aparecem nas operações algébricas, os “x”, “y”, “a”, “b” misturados aos números. Muitas vezes são identificados apenas como valores desconhecidos.
Quando o estudante entende que as variáveis podem se comportar como incógnitas quando representam valores fixos, determináveis pelas condições fornecidas pela equação ou variáveis que é uma quantidade indeterminada, cujo valor varia de acordo com outra quantidade que também é variável, mas dependendo do contexto matemático, pode ser que fique mais claro essa ideia. Porém, nem sempre o estudante consegue perceber essa diferença entre variável e incógnita, o que dificulta ou praticamente impede que este desenvolva o pensamento algébrico.
Grande parte da confusão, talvez esteja na falta de conhecimento que o permita construir o conceito de variável e esse conceito não se aprende em livros didáticos, nem resolvendo uma lista enorme de atividades repetitivas, cabe ao professor utilizar de metodologias diversificadas para que o estudante produza significados que o assegure a formação do conceito.
O PENSAMENTO ALGÉBRICO
o pensamento algébrico está associado à capacidade de estabelecer generalizações e relações, interpretar situações e resolver problemas. Mason (1996) acentua que a generalização é o coração da Matemática. O trabalho voltado para a exploração de padrões, é uma das vias para se desenvolver a capacidade de generalização com o reconhecimento das relações existentes entre as variáveis envolvidas. Este também possibilita a construção de uma regra geral.
A investigação é uma metodologia de ensino que pode ser utilizada desde as séries iniciais, desde que o professor trabalhe no estudante tal habilidade e conduza o processo de investigação. Através do trabalho investigativo com padrões o estudante é capaz de perceber as conexões que a Álgebra faz com a Aritmética e Geometria.
RELAÇÃO ENTRE A ÁLGEBRA, A ARITMÉTICA E A GEOMETRIA
O uso da Geometria, para contextualizar o ensino da Álgebra no ensino fundamental pode tornarseu ensino mais interessante e motivador. As representações geométricas auxiliam na organização do pensamento lógico, que é fundamental na resolução de problemas. As construções geométricas, além de representar a figura ajuda na capacidade de expressar algebricamente um pensamento, estabelecer relações e fazer generalizações. E o cálculo de área é importante para que o aluno consiga traduzir com significado a linguagem algébrica e generalizar situações.
O retardamento na introdução tanto da Álgebra quanto da Geometria, no ensino fundamental é a causa das maiores resistência apresentadas pelos estudantes quando do primeiro contato, que por sua vez já acontece de forma tardia, tendo em vista que “a Aritmética e a Álgebra constituem, junto com a Geometria, a base da matemática escolar” (LINS e GIMENEZ, 1997, p. 13), não se justifica retardar tanto a introdução destas, uma vez que ambas, ao serem desenvolvidas juntamente com a Aritmética propicia ao estudante uma base matemática mais sólida, capaz de diminuir os impactos gerados pelo contato desconecto desses três campos da Matemática.
“Dentro de pouco tempo quase tudo aquilo que lhes foi aparentemente ensinado terá sido esquecido. Não por burrice. Mas por inteligência. O corpo não suporta carregar o peso de um conhecimento morto que ele não consegue integrar com a vida”. Assim, um conhecimento que não tem nenhuma utilidade na vida não pode ser chamado de conhecimento e necessariamente precisa ser evadido para que se aprenda coisas úteis.
A falta de motivação para a aprendizagem Matemática se dá pela falta de aplicabilidade dos cálculos matemáticos na vida. O conhecimento quando construído, ao invés de transmitido pelo professor faz muito mais sentido para estudante, por isso é mais facilmente absorvido.
A iniciação do conhecimento algébrico o quanto antes na vida escolar da criança é um dos caminhos almejados para a concretização de um conhecimento matemático mais integrador e provocante, possibilitando aos alunos desenvolverem suas capacidades matemáticas com compreensão. 
Nesse sentido, o papel do professor enquanto mediador do processo ensino/aprendizagem é extremamente relevante. Atividades adequadas sem uma abordagem pontual não geram significados, principalmente quando estas são de cunho investigativo. A atuação do professor é o diferencial na construção do conhecimento. O aluno ao ser instigado à discussão, ao confronto de ideias combinando teoria e prática está sendo submerso a uma metodologia altamente motivadora, capaz de gerar aprendizagem.
Semana 7
Comunicação e interação nas aulas de Matemática
Texto base: O diálogo nos ambientes de aprendizagem nas aulas de matemática
Raquel Milani, Paula Andrea Grawieski Civiero, Daniela Alves Soares e Aldinete Silvino de Lima
O livro Pedagogia do Oprimido, autoria de Paulo Freire, publicado no início da década de 1970, traz à tona o conceito de diálogo/dialogicidade e as suas condições e funções no ato de educar. Observamos, nessa obra freiriana, a importância da dialogicidade como prática educativa libertadora em contraposição à teoria da ação antidialógica que se utiliza da relação com o outro para manter a opressão. Discutindo sobre a diferença entre os interesses do opressor e do oprimido, Paulo Freire apresenta a não neutralidade do processo educacional, partindo da premissa de que “os opressores pretendem transformar a mentalidade dos oprimidos e não a situação que os oprime” (FREIRE, 1987, p.34).
A Educação Matemática Crítica (EMC) é um campo de estudo que revela preocupações com a matemática e seu ensino. No âmbito da matemática, enquanto pura e aplicada, esse campo se preocupa com os fins sociais para os quais tal ciência se destina – matemática em ação (SKOVSMOSE, 2005). Nesse sentido, é foco desse campo de estudo investigar as práticas sócio-políticas em que a matemática opera, seja em contextos tecnológicos, profissionais, políticos ou de pesquisa, com o intuito de analisá-las criticamente.
Todo espaço escolar em que há interação entre professor e aluno constitui um ambiente de aprendizagem (CIVIERO, 2009). Na maioria das escolas, este espaço é limitado pela sala de aula e as práticas que ali acontecem distinguem-se entre dois paradigmas, denominados, por Skovsmose (2000), de paradigma do exercício e cenários para investigação.
O paradigma do exercício enquadra-se no que se entende por educação matemática tradicional que utiliza o exercício de forma decisiva para a aprendizagem. Por outro lado, os cenários para investigação constituem ambientes de aprendizagem construídos na sala de aula para dar suporte a um trabalho investigativo, no qual os estudantes são convidados a realizar descobertas, em um processo repleto de perguntas, explicitação de perspectivas e reflexão. Segundo Skovsmose (2000), um cenário para investigação é constituído a partir do momento em que os alunos aceitam (e se assumem como participantes ativos) o processo de exploração e de explicação.
Para analisar as distintas possibilidades de ambientes de aprendizagem, Skovsmose (2000) apresenta uma matriz combinando três tipos de referências6 e a distinção entre os dois paradigmas de práticas de sala de aula.
	
	Exercícios
	Cenários para investigação
	Referências à matemática pura
	1
	2
	Referências à semirrealidade
	3
	4
	Referências à realidade
	5
	6
Segundo a matriz apresentada, o professor, ao considerar o paradigma do exercício ou os cenários para investigação, como estratégia pedagógica, o faz a partir de três referências. A primeira referência caracteriza-se pela preocupação com a matemática pura em si ou com os conteúdos curriculares. A segunda, caracterizada pela semirrealidade, identifica-se com situações de aprendizagem relacionadas com ambientes contextualizados, mas de forma artificial, geralmente desenvolvidas a partir de ideias extraídas do livro didático. Na terceira referência, alunos e professores trabalham com situações do mundo real, que interagem com outras áreas do conhecimento.
O ambiente de aprendizagem tipo (1), vinculado à matemática pura, desenvolve habilidades de sistematização, estimulando a prática de seguir regras e de organização, concluindo etapa por etapa. São os exercícios do tipo siga o modelo, encontrados facilmente e em abundância nos livros didáticos. Uma lista enorme desses fazem com que o aluno “decore” as etapas da resolução do exercício. Esse ambiente é importante para a fixação de regras, técnicas e algoritmos relativos a conteúdos matemáticos.
Já o ambiente tipo (2), também desenvolvido com base na matemática pura, vai além da sistematização de regras e fórmulas pré-estabelecidas. Além de se questionar os porquês dessas fórmulas e regras, professor e alunos estão engajados em realizar descobertas sobre conceitos matemáticos que representam novidades aos alunos. Perguntas hipotéticas do tipo “e se...?” abrem caminhos para que os alunos considerem outros aspectos dos conceitos matemáticos, além daqueles costumeiramente tratados nos livros didáticos.
No ambiente do tipo (3), os exercícios tratam de situações referentes a uma suposta realidade. No entanto, na maioria das vezes, o contexto apresentado no exercício é distante da realidade dos alunos, sendo relevante somente os dados numéricos estabelecidos. Ao iniciar a resolução, já se parte do pressuposto de que há somente uma resposta correta a ser perseguida, e há um algoritmo ou técnica pré-estabelecida a ser utilizada. Assim, basta retirar os dados do enunciado e resolver os cálculos. Além disso, os questionamentos a respeito dos dados e do contexto, bem como a respeito do resultado obtido, não fazem parte do trabalho nesse ambiente de aprendizagem. O objetivo é usar uma técnica ou algoritmo em determinado contexto não matemático.
O ambiente tipo (4) também contém referências a situações contextualizadas, mas que não são efetivamente reais. Nesse ambiente, não há respostas pré-determinadas pelo professor ou autor do livro didático. A situação é aberta a argumentações, os alunos apresentam suas perspectivas, trabalham emgrupo, e chegam a conclusões. É possível observar como a matemática opera em situações contextualizadas. Procura-se fazer um convite para que os alunos explorem e busquem explicações sobre a situação. A atividade toda está localizada em um cenário para investigação, em que o processo é rico em questionamentos do tipo “o que acontece se...?”. Muitas descobertas podem ser exploradas ao longo do caminho quando a situação apresentada é analisada para além dos dados fornecidos.
O ambiente tipo (5) pode levar o aluno a agir em seus processos de aprendizagem, reconhecendo a matemática como parte de sua realidade. Segundo essa abordagem, os dados utilizados vêm da vida real, oferecendo uma condição diferente para a comunicação entre professor e os alunos. Muitas vezes, professor e alunos tratam de dados reportados em jornais.
As atividades em que estão envolvidos são exercícios com resposta única e técnica de resolução pré-determinada. Não há reflexão ou levantamento de questões a respeito do que tratam as situações apresentadas.
Tal reflexão é oportunizada no ambiente tipo (6), em que a s referências também são à realidade, tornando possível aos alunos produzir diferentes significados para as atividades. O pressuposto de que há uma, e somente uma resposta certa, não faz parte dessa proposta, sendo eliminadas as autoridades que exercem seu poder no paradigma do exercício. Nesse ambiente, o professor é orientador, e novas discussões baseadas na investigação sempre surgem.
“Referências à vida real parecem ser necessárias para estabelecer uma reflexão detalhada sobre a maneira como a matemática pode operar em nossa sociedade” (SKOVSMOSE, 2008, p.38). Assim, a reflexão crítica sobre os resultados dos cálculos torna-se fundamental, sendo possível perceber a conexão da matemática com a realidade e a intervenção da mesma nos modelos sociais.
Em cada um dos seis ambientes, apresentados por Skovsmose, parece existir diferenças nas formas de comunicação entre professor e alunos, e entre alunos. Discutir sobre tais diferenças é um propósito deste artigo. Antes, porém, abordaremos uma forma bastante especial de comunicação que, segundo Alrø e Skovsmose (2004), está intimamente, relacionada aos cenários para investigação. Trata-se do diálogo.
Diálogo é uma forma de interação entre professor e alunos, engajados em uma atividade de aprendizagem, em que a fala e a escuta ativa são compartilhadas, ideias são discutidas e a compreensão do que o outro diz é fundamental. Essa perspectiva de diálogo em educação matemática tem como base uma postura política que acredita que não pode haver a fala dominada por apenas uma das partes, mas, sim, compartilhada entre as partes (MILANI, 2015, p.202, grifo do autor).
Desafiar significa tentar levar os raciocínios envolvidos em um trabalho para uma nova direção. O desafio, porém, não pode ser feito de qualquer modo. Deve se adequar às concepções atuais do aluno; não pode ser demais nem de menos. Ao longo da atividade de investigação e, especificamente, no final desse processo, é importante que professor e alunos possam avaliar o trabalho realizado como um todo e também os raciocínios e os procedimentos específicos.
Quando o aluno assume a posição central no processo de aprendizagem, sua participação, inclusive verbal, torna-se mais ativa. As atividades investigativas, relativas aos cenários para investigação, proporcionam esse modo de participação, em que o aluno fala muito mais de suas perspectivas do que escuta o que deve ser feito. Quando o professor procura realizar uma escuta ativa, ele inicia o movimento do diálogo que busca a compreensão do que o aluno diz. Esse movimento não é simples e imediato, pois trata-se de uma mudança de postura, no sentido epistemológico, metodológico e político.
Nos ambientes associados ao paradigma do exercício, a intencionalidade do professor
ao propor atividades se restringe quase que exclusivamente à aprendizagem de um conteúdo matemático, independentemente de as atividades fazerem referência à matemática pura (1), à semirrealidade (3) ou à realidade (5). Nestes ambientes a memorização do conteúdo por meio da repetição é comumente priorizada por professores e alunos. Já, nos cenários para investigação, nos ambientes (2), (4) e (6), nas respectivas referências, a prioridade é a reflexão sobre os conteúdos matemáticos e a sua imbricação com a realidade; de modo a avançar num movimento para além da técnica matemática.
Todavia, o movimento do paradigma do exercício para o cenário para investigação não é simples nem imediato e, por isso, requer um tempo próprio para se efetivar. Segundo Penteado (2001), esse movimento é oneroso para o professor que é instigado a sair da sua zona de conforto. Nessa zona ele não corre riscos porque possui uma vasta experiência com o planejamento que reproduz, por vezes, anos após anos, conhece bem o funcionamento da classe e dos alunos, sabe bem as perguntas que podem surgir quando ensina um determinado conteúdo. Além disto, ele é instado a investir mais tempo de pesquisa para construir os cenários. Assim, aderir ao movimento significa caminhar para um lugar desconhecido, onde prevalecem as incertezas e os imprevistos. É preciso considerar, também, neste debate, que ensinar por meio dos cenários para investigação não depende somente do professor. Há diversos fatores que interferem fortemente desde a constituição até a implementação. Dentre eles estão as condições de trabalho e de preparação das aulas; reconhecimento da profissionalização docente; o apoio dos pares, dos alunos, dos pais e demais membros da comunidade escolar. Estas são razões que podem estar na origem da opção que muitos professores fazem pelo paradigma do exercício.
É possível que em uma mesma aula o professor trabalhe atividades associadas aos dois paradigmas, começando, por exemplo, com um cenário para investigação para depois apresentar uma lista de exercícios do livro didático. O que pensamos ser problemático é permanecer sempre em um mesmo ambiente de aprendizagem, privando os alunos de outros tipos de aprendizagem e comunicação. Skovsmose (2014b) ressalta sua preocupação quando as atividades matemáticas são propostas unicamente no paradigma do exercício, sobretudo, aquelas que fazem referência à matemática pura e à semirrealidade que, em geral, se distanciam da vida real.
Em síntese, sabe-se que nos três ambientes de aprendizagem na perspectiva do cenário para investigação é possível acontecer o diálogo, ou seja, existem atos dialógicos apontados nos estudos de Alrø e Skovsmose (2004) que se assemelham à dialogicidade proposta por Paulo Freire, mesmo quando se trata unicamente do conteúdo matemático. Para além disso, acreditamos que, nos ambientes de aprendizagem enraizados no paradigma do exercício, é possível mover-se em direção ao diálogo, colocando em ação alguns atos dialógicos, de modo que o professor possibilite que a fala seja compartilhada com alunos nas aulas de matemática.
Texto base: Comunicação na sala de aula de matemática
Pg. 21 à 49
Helle Alro e Ole Skovsmose
O propósito de se ensinar Matemática é apontar erros e corrigi-los. Esse parece ser o entendimento comum sobre o que é Educação Matemática para muitos alunos. Chegamos a presen- ciar crianças na pré-escola manifestarem esse mesmo ponto de vista em pecinhas teatrais sobre o ensino de Matemática. Uma criança desempenhava o papel de professor, e as demais eram “alunos”. Um “aluno” que deveria resolver um exercício no qua- dro escreveu uma fileira cheia de símbolos aparentemente sérios. Em seguida, o “professor” apagou alguns símbolos e escreveu outros no lugar, apontando os erros do “aluno”. Assim, antes mesmo de ter experimentado aulas de matemática por si próprias, as crianças já demonstram uma compreensão de que errar e corrigir são parte integrante da Educação Matemática.
Absolutismo burocrático
Assim como a “verdade” é um termo-chave na filosofia da Matemática, os “erros” são uma chave para se entender a filosofia que tacitamente prevalece no ensinode Matemática. A filosofia da Matemática de sala de aula revela-se através dessa brecha que é a correção de erros.
O absolutismo filosófico sustenta que algumas verdades abso- lutas podem ser obtidas pelo indivíduo. O absolutismo da sala de aula vem à tona quando os erros (dos alunos) são tratados como absolutos: “Isso está errado!”, “Corrija essas contas!”. Dessa forma, o absolutismo de sala de aula parece querer sustentar que os erros são absolutos e podem ser eliminados pelo professor. Não queremos dizer, contudo, que seja proibido apontar os erros em sala de aula. Não queremos pregar o relativismo absoluto. Mas temos a impressão de que o absolutismo na filosofia da Matemática foi transferido auto- maticamente para o absolutismo pedagógico, que fundamenta cer- tas maneiras de interação em sala da aula.
(1) Professor: Isso está errado, faça de novo.
(2) Professor: Tem um errinho nas duas.
(3) Professor: Apague esses números... eles não vão servir pra nada
No primeiro exemplo o professor rejeita o resultado do aluno e não diz onde o aluno errou. No segundo, o professor também faz uma correção direta, mas tenta incentivar o aluno a continuar, mas também não diz onde o aluno errou. Tampouco há qualquer indício de orientação sobre o que o aluno deveria fazer. No terceiro o professor não diz que está errado, fica implícito e também não dá nenhuma orientação como o aluno deve agir.
(4) Professor:	Elen, o que foi isso, quanto é 3/4 mais 3/4?
Elen:	6/8. [4 seg.]
Professor:	Você não lembra, eu juntei isso aqui [pe- ças de um jogo de frações] essa de ¾ com essa de 3/4, que é igual a 6, e que ainda são...? [5 seg.]
Elen:	Humm... 3/4.
Nesse exemplo, a correção é feita implicitamente através de uma tentativa de questionamento que o professor usa para que Elen adivinhe a resposta.
As correções que mostramos nos exemplos acima ilustram como se dá o absolutismo em sala de aula. O professor, o livro-texto, o livro de respostas fazem parte de uma autoridade única, que esconde a natureza das razões das correções.
Um aluno que se defronta com as autoridades da sala de aula deve ter uma experiência similar à de um cliente diante de um burocrata. Por exemplo, o burocrata pode ter diferentes ra- zões para refutar uma solicitação: o cliente pode não fazer jus ao benefício; a solicitação pode ter sido feita fora do prazo, pode haver informação faltando; o pagamento não foi integral, etc. As razões para refutar a solicitação podem ser as mais diversas. Mas, quando o cliente encara o burocrata, a recusa da solicitação acaba sendo apreendida da mesma maneira, qualquer que seja a justificativa burocrática: a solicitação foi indeferida. 
Os alunos passam pelo mesmo fenômeno em certas aulas de Matemática. Por essa razão, nós qualificamos o absolutismo de sala de aula como um absolutismo burocrático, que estabelece em termos absolutos o que é certo e o que é errado sem explicitar os critérios que orientam tais decisões. Em muitas situações, os professores se sentem fortemente obrigados a preparar os alunos para testes e exames que são baseados no absolutismo burocrático.
Nem sempre o absolutismo burocrático está presente nas aulas de matemática tradicionais, pelo que observamos. Existem outros padrões de comunicação. Mas, seja como for, a questão essencial sobre a qual queremos chamar a atenção é a impossibilidade de mudança na comunicação, mesmo quando o professor se sente impelido a isso por algum moti- vo pedagógico. Dar esse passo pressupõe que haja mudan- ças na situação educacional e mudanças de perspectiva. A ideia de perspectiva é chave para muitas outras ideias que vamos apresentar e, por isso, queremos esclarecer a noção que temos de “perspectiva”.
Um primeiro passo que professor e alunos podem dar para tentar superar o absolutismo burocrático é identificar e avaliar suas perspectivas. Isso é simples de falar mas difícil de fazer, pois a “lógica escolar”, que implicitamente define o discurso de sala de aula, atrapalha. Um grande obstáculo na superação do absolutismo burocrático é, como já foi dito, a aceitação incons- ciente da filosofia da Matemática escolar por parte dos alunos, fazendo-os crer que a tarefa principal do professor numa aula é corrigir erros. É um grande desafio para o professor, conseguir criar uma condição para que essa perspectiva seja questionada. Para que o absolutismo burocrático seja superado, não basta que o professor passe por uma mudança de atitude, uma vez que as raízes dessa perspectiva não estão na atitude, mas em toda a lógica escolar.
Aprendizagem como ação
Podemos interpretar as atividades realizadas pelos estu- dantes em “quanto se consegue preencher com papel?” em ter- mos de aproximação11. Segue-se uma descrição geral da ideia. Os alunos entram em sala. Eles têm expectativas sobre o que vai acontecer na aula. Eles costumam ter alguma curiosidade a res- peito. O professor passa algumas tarefas e atividades, mas, mesmo que os conceitos matemáticos e as tarefas sejam suficien- temente contextualizados, não foram estabelecidas vistas privi- legiadas que possam ajudá-los a dar sentido às atividades su- geridas. Os alunos ficam perdidos e confusos. As atividades parecem interessantes, mas os alunos querem saber com mais clareza o que se passa. Eles fazem perguntas. O professor dá explicações, mas os alunos não “chegam lá”. Eles tentam, em contrapartida, acomodar suas apreensões. Eles fazem uma aproximação que pode ser vista como uma ação coletiva realizada pelos alunos.
Imaginemos que professor e alunos Aprendizagem como ação
Podemos interpretar as atividades realizadas pelos estudantes em “quanto se consegue preencher com papel?” em ter- mos de aproximação11. Segue-se uma descrição geral da ideia. Os alunos entram em sala. Eles têm expectativas sobre o que vai acontecer na aula. Eles costumam ter alguma curiosidade a res- peito. O professor passa algumas tarefas e atividades, mas, mesmo que os conceitos matemáticos e as tarefas sejam suficientemente contextualizados, não foram estabelecidas vistas privilegiadas que possam ajudá-los a dar sentido às atividades sugeridas. Os alunos ficam perdidos e confusos. As atividades parecem interessantes, mas os alunos querem saber com mais clareza o que se passa. Eles fazem perguntas. O professor dá explicações, mas os alunos não “chegam lá”. Eles tentam, em contrapartida, acomodar suas apreensões. Eles fazem uma aproximação que pode ser vista como uma ação coletiva realizada pelos alunos.
Imaginemos que professor e alunos compreendem a perspectiva proposta pelo professor. Pode-se dizer que o professor também compreendeu a perspectiva dos alunos. Uma aproximação constitui-se na busca de uma perspectiva satisfatória. Uma aproximação mal-sucedida também pode acontecer. Foi exatamente uma aproximação mal-sucedida, mas persistente, que nos chamou a atenção para o fenômeno da aproximação propriamente dito. Entendemos que a aproximação é um fenômeno muito interessante, que revela as estruturas da prática de sala de aula real. Ela propicia, ainda, elementos para uma discussão sobre a natureza das atividades de aprendizagem.
Aproximação não é um fenômeno corriqueiro. Há dois fatores que podem inibir aproximações. Primeiro, a aula pode ser organizada de tal forma que todas as tarefas ficam claramente estabelecidas. O segundo fator ocorre quando os alunos não estão interessados naquilo que estão fazendo ou já incorporaram um comportamento instrumentalizado.12 Esses dois fatores podem estar associados nas aulas de Matemática tradicionais: o professor explica um assunto novo, aponta quais exercícios resolver em seguida, os alunos fazem os exercícios e o professor confere os resultados. Em aulas como essas, não há necessidade de aproximação.
Concluímos que atividades de aproximação indicam um aspecto fundamental da aprendizagem. A aproximação dosalunos indica que (pelo menos alguma) aprendizagem pode ser entendida como ação. Essa ideia é fundamental para nossa interpretação de aprendizagem e, concomitantemente, para nossa visão de ensino. Naturalmente, não vamos afirmar que todos os tipos de aprendizagem podem ser vistos como ação. Algumas formas são melhor caracterizadas como atividades compulsórias, por exemplo, os exercícios que os soldados fazem quando aprendem a marchar. Outras formas de aprendi- zagem podem ser melhor descritas como assimilação ou enculturação, como quando as crianças aprendem a língua falada pela mãe. Um hábito pode ser assimilado, mesmo quando o aprendiz não tem uma intenção clara de adotar aquele hábito. Achamos, contudo, que a aprendizagem como ação pode ser associada a certas qualidades.
O ensino tem sido descrito como uma ação complexa, às vezes em termos administrativos, em que os alvos do processo – os alunos – têm sido descritos como objetos do planejamento educacional. Em nossa terminologia, educação é caracterizada pelo encontro de dois “agentes”. Um dos problemas passa a ser coordenar dois tipos de ação, isto é, aprender e ensinar. Por essa razão, é de especial interesse verificar os pontos de convergência entre professor e alunos com respeito ao conteúdo pedagógico. Um ponto de convergência são os padrões de comunicação de jogo-de-perguntas e adivinhação. De fato, pretendemos qualificar a comunicação aluno-professor em termos de cooperação e isso traz novas qualidades ao processo de aprendizagem.
Vídeo base: Erros na pesquisa e na aprendizagem de matemática
professor dr. Zaqueu Vieira Oliveira
“Como é possível o erro em matemática? Uma mente sadia não deveria cometer uma falácia lógica e, contudo, há muitas mentes excelentes que [...] são incapazes de seguir ou repetir sem erro as demonstrações matemáticas que são mais extensas, mas que, no fim das contas, são somente uma acumulação de raciocínios curtos, análogos áqueles que fazem tão facilmente. É necessário acrescentar que os próprios matemáticos não são infalíveis?
Henri Poincaré 
O erro faz parte do processo de aprendizagem. Ao fazer uma longa demonstração, há erros até chegar ao acerto principal, faz parte do processo. 
Jacques Hadamard
Ideias matemáticas sempre são apresentadas como produto final. Os erps do próprio professor não são aproveitados como forma de compreender os erros dos alunos.
Os professores enfatizam cada parte do exercício sem deixar clara a síntese do conteúdo ou ideia que está sendo colocada.
Importante enfatizar o produto final do exercício.
Gaston Bachelard
“[...] É no âmago do próprio ato de conhecer que [os obstáculos] aparecem, por uma espécie de imperativo funcional, lentidões e conflitos. É aí que mostraremos causas de estagnação e até de regressão, detectaremos causas de inércia às quais daremos o nome de obstáculos epistemológicos. [...] No fundo o ato de conhecer dá-se contra um conhecimento anterior, destruindo conhecimentos mal estabelecidos”.
Guy Brousseau
“O erro não é somente o efeito da ignorância, da incerteza, do acaso, como se acredita nas teorias empiristas ou behavioristas da aprendizagem, mas o efeito de um conhecimento anterior, que tinha seu interesse, seu sucesso, mas que agora se revela falso, ou simplesmente inadequado. Os erros desse tipo não são instáveis e imprevisíveis, eles são construídos em obstáculos.”
Os erros na aprendizagem de matemática
Obstáculos didáticos:
Conhecimentos bem sucedidos em uma determinada situação podem gerar erros. Os erros não desaparecem mesmo que o aluno já tenha se dado conta deles.