Apol 2 - analise matematica

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Questão 1/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos n
primeiros números ímpares é n2, n≥1
.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)
, 
se tivermos dois ímpares n=2 a soma será S=1+3=4=22 e se tivermos
5 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52
 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2
	. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1).
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 2/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→R
, definida num intervalo compacto, é derivável num ponto a∈[c,d] isto significam, no caso de a∈(c,d), que possui as duas derivadas laterais no ponto a e elas são iguais. No caso de a ser um dos extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto a, aquela derivada lateral que faz sentido.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 257.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As derivadas laterais f′+(x0)
 e f′−(x0) devem ter valores diferentes para exista a derivada no ponto x0
	.
	
	B
	Toda função derivável em um ponto x0
 é contínua no ponto x0
	.
Você acertou!
Teorema de derivadas que tem utilidade no estudo da continuidade das funções (livro-base p.115 e 116)}
	
	C
	Toda função contínua em um ponto x0
 é derivável no ponto x0
	.
	
	D
	Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no cálculo de limites para qualquer tipo de expressão indeterminada.
	
	E
	Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções f
 e g
	 é igual ao produto das derivadas.
Questão 3/10 - Análise Matemática
Atente para o seguinte excerto de texto:
“A exclusão do ponto x=a
na definição de limite é natural, pois o limite L nada tem a ver com o valor f(a)[...]. O conceito de limite é introduzido para caracterizar o comportamento da função f(x) nas proximidades do valor a, porém mantendo-se sempre diferente de a. Assim, podemos mudar o valor da função no ponto como quisermos, sem que isso mude o valor do limite, e é assim mesmo que deve ser. Agora, se a função já está definida em a
, e seu valor aí coincide com seu limite, então ocorrerá a continuidade do ponto”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para licenciatura. 3 ed. ver. e ampl. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.  p. 143.
 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite e continuidade, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Se f é uma função contínua em um ponto x=a do seu domínio, então, f é limitada numa vizinhança de a.
II. Toda função que é limitada superiormente e inferiormente é contínua.
III. Se existe o limite de uma função f(x) quando x se aproxima de um ponto a, então, f é contínua no ponto a.
IV. Se uma função possui limites laterais iguais em um ponto x=a, então existe o limite bilateral de f(x) quando x=a.
São corretas as alternativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II apenas
	
	B
	I, III e IV apenas
	
	C
	I e IV apenas
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois se f
é contínua em a, então existe limx→af(x). Logo f é limitada numa vizinhança de a. (livro-base, p. 92). A afirmativa II é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)={1,x≤00,x>0. A função f é limitada, pois |f(x)|≤1 para todo x∈R, mas f não é contínua em x=0. A afirmativa III é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)=⎧⎨⎩x2−1x−1,x≠10x=1
. Temos que .
A afirmativa I é verdadeira, pois se f
é contínua em a, então existe limx→af(x). Logo f é limitada numa vizinhança de a. (livro-base, p. 92). A afirmativa II é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)={1,x≤00,x>0. A função f é limitada, pois |f(x)|≤1 para todo x∈R, mas f não é contínua em x=0. A afirmativa III é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)=⎧⎨⎩x2−1x−1,x≠10x=1. Temos que limx→1−f(x)=limx→1−x2−1x−1=limx→1−x+1=2≠f(1)
. A afirmativa IV é verdadeira, pois se
 limx→a+f(x)=L=limx→a−f(x)
, então limx→af(x)=L
	  . (livro-base, p. 96).
	
	D
	II e IV apenas
	
	E
	II e III apenas
Questão 4/10 - Análise Matemática
"Uma função f
é contínua em um número a se limx→af(x)=f(a)
1. f(a) está definida (isto é, a está no domínio de f)
2. limx→af(x) existe
3. limx→af(x)=f(a) ".
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 109.
Observe o gráfico da função f(x) definida no intervalo [−1,4]:
De acordo com a figura e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Limite e Continuidade, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O limite lateral de f(x)
quando x tende a -1 pela direita é -2
	
	B
	O limite lateral de f(x)
quando x tende a 2 pela esquerda é 1
	.
	
	C
	O  limite de f(x)
quando x tende a 2
	existe e vale zero.
	
	D
	A função f(x)
é contínua em x=2
	.
	
	E
	O limite lateral de f(x)
quando x tende a (−1) pela esquerda é 0
.
Você acertou!
Pelo gráfico podemos ver que quando x
se aproxima de −1 pela esquerda o y
	se aproxima de zero (livro-base, p. 96).
Questão 5/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“A soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais. Deste modo, quando escrevemos ∑∞n=1an=s
, queremos dizer que, somando um número suficientes de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número s. Observe que ∑∞n=1an=limn→∞∑ni=1ai”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning , v. 2. 2011. p. 653.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à séries numéricas, assinale a alternativa que contém apenas séries convergentes.
Nota: 10.0
	
	A
	∑∞n=11n
, ∑∞n=11n2, ∑∞n=1n
	
	
	B
	
∑∞n=11n2
, ∑∞n=12n+1, ∑∞n=11n
	
	
	C
	∑∞n=11n2
, ∑∞n=112n+1, ∑∞n=1(−1)nn
Você acertou!
A série ∑∞n=11n2
 é uma p-série com p=2>1, logo, é convergente. A série ∑∞n=112n+1 é uma série geométrica com |p|=12<1, logo, converge. A série ∑∞n=1(−1)nn
	converge pelo teste de Leibniz. (livro-base, capítulo 2).
	
	D
	∑∞n=11n
, ∑∞n=11n2, ∑∞n=11n3
	
	
	E
	∑∞n=1n3
, ∑∞n=1n2, ∑∞n=1n
	
Questão 6/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto:
 
“A função exponencial natural tem a propriedade de ser a sua própria derivada”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: STEWART, James. Cálculo.7. ed. São Paulo: Cengage, 2013. v. I. p. 164.
 
De acordo com a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a função exponencial natural, pode-se dizer que a integral é ∫10exdx
 é equivalente a:
Nota: 10.0
	
	A
	∫10exdx=0
	
	
	B
	∫10exdx=1−e2
	
	
	C
	∫10exdx=1−2e
	
	
	D
	
∫10exdx=e−1
Você acertou!
A primitiva da função exponencial natural é a própria função. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, tem-se:
∫10exdx=ex|10=(e1−e0)=e−1
	
(livro p.155)
	
	E
	∫10exdx=1+e
	
Questão 7/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo R
 como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<b’ por ‘a está à esquerda de b’, dados x,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y| como ‘distância do ponto x ao ponto y’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos a e b
.”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.   ( ) O ponto x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2].
II.  ( ) O conjunto X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}.
IV.  ( ) O ponto x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}.
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V
	
	C
	V-F-F-V
	
	D
	V-F-V-F
	
	E
	F-V-V-V
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1
 não está contido no conjunto X. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈R, com x∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de x que não contém pontos de X e para os pontos x∈X, existem vizinhanças de x que contém apenas o ponto x. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto X. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n) que é formada por pontos de X
	. (livro-base, Capítulo 3).
Questão 8/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico da função f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x+1,x<10,x=13−x,x>1
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite a continuidade, analise as afirmações a seguir e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas.
I. ( ) limx→1+f(x)=2
II. ( ) limx→1f(x)=f(1)
III. ( ) ∄limx→1f(x)
IV. ( ) limx→1f(x)=2
V. ( ) f(1)=0
Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – V – F – V
	
	B
	F – V – V – V – F
	
	C
	V – F – F – F – V
	
	D
	V – F – F – V – V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra d. A afirmativa I é verdadeira porque limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2
. A afirmativa II é falsa porque limx→1+f(x)=2≠0=f(1). A afirmativa III é falsa porque limx→1f(x)=2. A afirmativa IV é verdadeira porque os limites laterais de f quando x
	tende a 1 são iguais a 2. A afirmativa V é verdadeira pela definição da função. (livro-base, p. 90-97).
	
	E
	V – V – F – F – F
Questão 9/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação:
 
“Ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o limite considerado não existe ou que ele não pode ser calculado, mas que um estudo mais minucioso é necessário”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=88&Itemid=298>. Acesso em: 20  jun. 2017.
Dado o seguinte limite: limx→12x−2x2−1
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limites, assinale a alternativa que fornece o valor do limite dado:
Nota: 0.0
	
	A
	−2
	
	
	B
	2
	
	C
	∞
	
	
	D
	0
	
	E
	1
Temos uma indeterminação do tipo 00
, então podemos usar a Regra de L’Hôpital: limx→12x−2x2−1=limx→122x=1. Outra forma de calcular esse limite seria isolando no numerador a expressão (x−1) e fatorando o denominador como (x+1)(x−1)
	.
(livro-base, p. 128).
Questão 10/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)x
 representado na figura a seguir.
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)x
  e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞
II. limx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞
III. limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞
IV. limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞
V. limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=e
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	III e V
Você acertou!
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=e
 e limx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1
	. A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3).
	
	B
	I e III
	
	C
	I e IV
	
	D
	II e V
	
	E
	II, III e V