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Universidade Federal de Ciências da Saúde de Porto Alegre
Cálculo I: Informática Biomédica - 2019/2
Profa. Viviane Botelho
Introdução as Funções
Aula 2: Operações Algébricas. 
Conjuntos numéricos e equações 
lineares
Radiciação
Exemplos: Radicais para potência e vice-versa
1) 𝑥 + 𝑦 3
Potenciação com expoente não inteiro, isto é: 𝑛 𝑢= 𝑢1/𝑛
Propriedade:𝑢𝑚/𝑛 =
𝑛
𝑢𝑚= 
𝑚
𝑢𝑛 Por que??
Demais propriedades são similares as da potenciação:
2) 3𝑥
5
𝑥2 3) 𝑦1/3𝑥2/3 4) 𝑢−3/2 5) 𝑥𝑦
4
𝑥2𝑦3
1) 𝑛 𝑢. 𝑣= 𝑛 𝑢. 𝑛 𝑣
2) 
𝑛 𝑢
𝑣
= 
𝑛 𝑢
𝑛 𝑣
3) 
𝑚 𝑛 𝑢 = 𝑛.𝑚 𝑢
4) 
𝑛
𝑢𝑛 = 𝑢
𝑛 𝑢 + 𝑣 ≠ 𝑛 𝑢 + 𝑛 𝑣
𝑛 𝑢 − 𝑣 ≠ 𝑛 𝑢 − 𝑛 𝑣
Racionalização: Remover radicais de denominadores 
1)
1
2
2)
𝑦
3 𝑥
Exemplos: 3)
5 𝑥2
𝑦3
𝑣
𝑚
𝑢𝑛
Multiplicar numerador e denominador por 
𝑚
𝑢𝑚−𝑛
No Cálculo estamos 
interessados no conjunto dos 
números reais!
Conjuntos numéricos: Agrupamento de números com características 
semelhantes.
A Retal Real: Representação gráfica do conjunto de números reais de forma 
crescente da esquerda para a direita.
- O valor zero é denominado origem.
- Números positivos estão á direita e negativos á esquerda da origem.
Intervalos: O conjunto dos números reais é ordenado, por isso, podemos 
representa-los na forma de intervalo.
Tipo de Intervalo Notação de 
desigualdade
Notação de 
intervalo
Representação 
gráfica
Intervalo fechado 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 [a,b]
Intervalo aberto 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 (a,b)
Intervalo semi-aberto 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 (a,b]
Intervalo ilimitado 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 𝑎 (−∞, 𝑎]
a b
a b
a b
a
Exemplos: Converter para a notação de intervalo e representar graficamente
1) 𝑥 ∈ ℝ ∶ 2 ≤ 𝑥 < 5
2) 𝑥 ∈ ℝ
3) 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 > 3
4) 𝑥 ∈ ℝ ∶ −3 ≤ 𝑥 ≤ −1
5) 𝑥 ∈ ℝ ∶
1
2
≤ 𝑥 ≤
5
3
6) 𝑥 ∈ ℝ ∶ −3 ≤ 𝑥 e 𝑥 ≥ 2
7) 𝑥 ∈ ℝ ∶
1
5
≤ 𝑥 e 2 ≤ 𝑥 ≤ 5
Resolvendo equações lineares de uma variável.
- Resolver uma equação significa encontrar valores para as variáveis para 
o qual a igualdade é verdadeira.
- Equação linear: 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 onde 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑎 ≠ 0 e 𝑥 é 
a variável 
- Uma equação linear tem uma solução apenas.
Graficamente: Dada uma função da forma 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 a solução da equação 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
é o valor onde a reta cruza o eixo 𝒙 (isto é, quando 𝑦 = 0) 
y=x+1
1 2 3-1 𝒙
𝒚
Resolvendo equações lineares de uma variável.
Para resolver:
- Remover frações e expandir as expressões.
- Aplicar a mesma operações de multiplicação e divisão em ambos 
os lados da igualdade (vulgo “passar para o outro”).
- Variáveis de um lado, constantes do outro da igualdade
Exemplos:
1) 2𝑥 − 9 = 6 − 𝑥
2) 2(2𝑥 − 3) + 3(𝑥 + 1) = 5𝑥 + 2
(𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 = 5)
(𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 = 2,5)
3)
5𝑦 − 2
8
= 2 +
𝑦
4
(𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑦 = 6)
4)
2𝑥
4
−
6
8
+ 5 = 3𝑥 + 3 (𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 = 0,5)
Equações Modulares.
𝑥 = 𝑎 𝑎 = ቊ
𝑥, 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑥 ≤ 0
Onde 𝑎 é um número Real. Neste caso, poderá existir mais de um valor de 𝑥
que satisfazem a equação!
Por exemplo: 𝑥 = 3 e 𝑥 = −3 são soluções da equação 2𝑥 = 6
Representação gráfica de uma função y= 𝑥 − 𝑎
y= 𝑥 − 2
𝒙
𝒚
Equações Modulares.
𝑥 = 𝑎 𝑎 = ቊ
𝑥, 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑥 ≤ 0
Como resolver? 
- Isolar o termos do módulo
- Escrever as duas equações possíveis e resolvê-las separadamente.
2𝑥 = 6
3𝑥 + 1 − 2 = 0
3𝑥 + 2 + 𝑥 = 6
Exemplos:
(𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 = −3 𝑒 𝑥 = 3)
(𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 = −4 𝑒 𝑥 = 1)
(𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 =
1
3
𝑒 𝑥 = −1)
Inequações lineares (sem variáveis no denominador)
- Resolver uma inequação significa encontrar intervalos para as variáveis para 
o qual a desigualdade é verdadeira.
- Inequação linear: 𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝟎 ou 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎 ou 𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝟎 ou 𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝟎
onde 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑎 ≠ 0 e 𝑥 é a variável. 
Propriedades:
Não esquecer: Multiplicou por -1, inverte o sinal da desigualdade!
Inequações lineares (sem variáveis no denominador)
Exemplos: Resolver as inequações. Representar a solução na forma de 
intervalos e também graficamente na reta real.
𝑥
3
+
1
2
>
𝑥
4
+
1
3
(𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 > −2)
2𝑥 − 1 ≤ 4𝑥 + 3 (𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 ≥ −4)
4 1 − 𝑥 + 5 1 + 𝑥 > 3𝑥 − 1 (𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑥 < −5)
−3 <
2x+5
3
≤ 5 (𝑅𝑒𝑠𝑝:−7 < 𝑥 ≤ 5)
3 ≥
2y−5
3
> -1 (𝑅𝑒𝑠𝑝:
3
2
< 𝑥 ≤
11
2
)
Uma função f(x) é um mecanismo que, a um valor x, chamado entrada (ou variável 
independente), associa um único número real construído a partir de x e chamado 
saída (ou variável dependente).
Funções são um importante mecanismo para descrever a relação entre 
quantidades de variáveis:
Entrada (x) Função
f(x)
Saída (y)
𝑦 = 𝑓(𝑥)Notação:
var. 
independente
(entrada)
var. 
dependente
(saída)
Exemplo: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5
Conceito de funções
DEMANA, Franklin; WAITS, Bert; FOLEY, Gregory, KENNEDY, Daniel - Pré-
Cálculo. São Paulo: Person, 2013
SAFIER, F. Pré-Cálculo: Coleção Schaum. 2ª Edição. São Paulo: Bookman, 2011
Referências