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Unidade 3: Tópico 3 CONSTRUINDO TABELA-VERDADE EXEMPLO 1: Construa a tabela verdade da seguinte proposição composta: p Λ (~ q). Solução: Neste caso, temos uma proposição composta que é constituída de 2 proposições simples, p e q. Portanto, a tabela-verdade terá 22 = 4 linhas. Inicialmente, devemos completar as duas primeiras colunas com todos os valores lógicos possíveis para as proposições simples p e q. p q ~q p Λ (~ q) V V V F F V F F Em seguida, devemos realizar a operação de negação da proposição q (~q). Já aprendemos que a proposição ~q será (F) quando a proposição q for (V) e será (V) quando a proposição q for (F). p q ~q p Λ (~ q) V V F V F V F V F F F V Finalmente, vamos fazer a conjunção p Λ (~ q). Conforme aprendemos no tópico anterior, quando temos um conectivo de conjunção (^) o resultado será verdadeiro (V) apenas quando ambas as proposições simples tiverem valor lógico verdadeiro (V). Clique abaixo para lembrar a tabela verdade do conectivo conjunção. Tabela Verdade da Conjunção: p q p Λ q V V V V F F F V F F F F Ou seja, em nosso exemplo, na tabela, devemos fazer a conjunção entre a primeira (p) e terceira (~q) colunas. Assim, o resultado será (V) apenas quando a primeira e a terceira colunas tiverem valor lógico (V). Chegamos então ao resultado final: P q ~q p Λ (~ q) V V F F V F V V F V F F F F V F EXEMPLO 2: Construa a tabela verdade da seguinte proposição composta: (p → q) ↔ (q ν r). Solução: Neste caso, temos uma proposição composta que é constituída de 3 proposições simples, p, q e r. Portanto, a tabela-verdade terá 23 = 8 linhas. Inicialmente, devemos completar as três primeiras colunas com todos os valores lógicos possíveis para as proposições simples p, q e r, indicados na cor amarelo. Na segunda etapa, iremos calcular os valores lógicos da condicional (p → q) completando, assim, a quarta coluna, indicada na cor roxa, que terá valor (F) apenas quando a proposição p for (V) e a proposição q for (F). Clique abaixo para lembrar a tabela verdade do conectivo condicional. Tabela Verdade da Implicação ou Condicional: p q (p → q) V V V V F F F V V F F V Podemos calcular também os valores lógicos da disjunção (q ν r) completando a quinta coluna, indicada na cor rosa, que terá valor (F) apenas quando as duas proposições q e r tiverem valor lógico (F). Clique abaixo para lembrar a tabela verdade do conectivo disjunção. Tabela Verdade da Disjunção: p q q ν r V V V V F V F V V F F F Teremos então: p q r p → q (q ν r) (p → q) ↔ (q ν r) V V V V V V V F V V V F V F V V F F F. F F V V V V F V F V V F F V V V F F F V F Finalmente, na última etapa vamos realizar a dupla implicação (p → q) ↔ (q ν r) . Ou seja, na tabela devemos fazer a bicondicional entre a quarta e a quinta colunas. O resultado será (V) apenas quando estas duas colunas tiverem o mesmo valor lógico. Clique aqui para lembrar a tabela verdade do conectivo bicondicional. Tabela Verdade da Dupla Implicação ou Bicondicional: p q p → q V V V V F F F V F F F V Assim, chegamos ao resultado final: p q r p → q q ν r (p → q) ↔ (q ν r) V V V V V V V V F V V V V F V F V F V F F F F V F V V V V V F V F V V V F F V V V V F F F V F F Proposições Equivalentes Construindo e comparando as tabelas verdade de duas proposições compostas P e Q podemos verificar se os valores lógicos das proposições componentes simples dessas proposições P e Q são iguais. Uma situação muito importante ocorre quando duas proposições P e Q são iguais para quaisquer valores lógicos de suas proposições componentes. Nesse caso, diremos que essas proposições P e Q são proposições equivalentes. Em outras palavras: duas proposições serão equivalentes quando tiverem exatamente a mesma tabela verdade. IMPORTANTE! Lembre-se sempre que você deverá usar a tabela verdade do conectivo presente na proposição composta para saber os valores lógicos das mesmas. EXEMPLO 3: Mostre que as proposições (p → q) e (~q → ~p) e são proposições equivalentes. Solução: Para mostrar que duas proposições são equivalentes, basta construir suas tabelas verdade. Se as tabelas forem iguais, então as proposições serão equivalentes. A tabela verdade da proposição (p → q) é dada por: p q (p → q) V V V V F F F V V F F V A tabela verdade da proposição (~q → ~p) é dada por: p q ~q ~p (~q → ~p) V V F F V V F V F F F V F V V F F V V V Portanto, as proposições são de fato equivalentes. Isto significa dizer que a frase “Se Flávia é filha de Fernanda, então Érica é irmã de Flávia” é logicamente equivalente à frase “Se Érica não é irmã de Flávia, então Flávia não é filha de Fernanda”. EXEMPLO 4: Mostre que as proposições ~(p Λ q) e (~p ν ~q) são proposições equivalentes. Solução: Vamos construir as tabelas verdade destas duas proposições. A tabela verdade da proposição ~(p Λ q) é dada por: p q p Λ q ~(p Λ q) V V V F V F F V F V F V F F F V A tabela verdade da proposição (~p ν ~q) é dada por: p q ~p ~q ~p ν ~q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V Portanto, as proposições são de fato equivalentes. Isso significa dizer que a forma correta de fazer a negação da frase “João é advogado e Maria é bonita” é a seguinte: “João não é advogado ou Maria não é bonita”. Essas duas equivalências lógicas estudadas nos dois últimos exemplos são muito importantes e utilizadas com bastante frequência na resolução de problemas de lógica em concursos públicos. EXEMPLO 5: Se Vera viajou, Carla não foi ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderleia viajou. Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: (a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. (b) Carla não foi ao casamento e Vera viajou. (c) Carla não foi ao casamento e Vanderleia não viajou (d) Carla não foi ao casamento ou Vanderleia viajou. (e) Vera e Vanderleia não viajaram. Solução: Vamos isolar as proposições lógicas simples que aparecem no enunciado desta questão: p: Vera viajou. q: Carla não foi ao casamento. r: Vanderleia viajou. s: O navio afundou. Observe que todas as frases do enunciado são da forma condicional, ou seja, se premissa A então premissa B. Observe também que a únicacoisa que sabemos ao certo da leitura do enunciado é que o navio não afundou. Esta é a nossa verdade absoluta nesta questão. Portanto a proposição s tem valor lógico (F). Agora vamos utilizar a equivalência lógica demonstrada no exemplo 3. • Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Mas como temos certeza de que o navio não afundou, então concluímos que Vanderleia não viajou. Portanto, a proposição r tem valor lógico (F). • Se Carla não foi ao casamento, Vanderleia viajou. Como temos certeza de que Vanderleia não viajou, então concluímos que Carla foi ao casamento. Portanto, a proposição q tem valor lógico (F). • Se Vera viajou, Carla não foi ao casamento. Como temos certeza de que Carla foi ao casamento, então concluímos que Vera não viajou. Portanto a proposição p também tem valor lógico (F). Podemos concluir que: • Vanderleia não viajou, Carla foi ao casamento, Vera não viajou e o navio não afundou. A resposta correta para a questão é a E. IMPORTANTE! Sempre desmembre as proposições compostas, isolando as proposições simples, assim o que parecia confuso se torna simples. Exemplo 6: Dizer que não é verdade que “André é artista e Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: (a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. (b) André é artista ou Bernardo é engenheiro (c) André não é artista ou Bernardo é engenheiro. (d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. (e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. Solução: Nesta questão queremos saber, na realidade, qualé a negação da afirmativa contida no enunciado. Vamos isolar as proposições lógicas simples contidas nele: p: André é artista. q: Bernardo é engenheiro. ~q: Bernardo não é engenheiro. Logo, a proposição composta expressa no enunciado é a seguinte: (p Λ ~q). Utilizando a equivalência lógica demonstrada no exemplo 4, sabemos que a negação da proposição (p Λ ~q) é logicamente equivalente a ~p ν ~(~q), que é o mesmo que ~p ν q. Portanto, a negação de “André é artista e Bernardo não é engenheiro” é a frase “André não é artista ou Bernardo é engenheiro”. A resposta correta da questão é a C. Exemplo 7: Se você simplifica o exercício, você acha a resposta. A negação desta proposição é: (a) Você simplifica o exercício e não acha a resposta. (b) Se você simplifica o exercício, você não acha a resposta. (c) Se você não simplifica o exercício, você não acha a resposta. (d) Você não simplifica o exercício e você não acha a resposta. Solução: Para resolver este problema, vamos novamente isolar as proposições lógicas simples que aparecem no enunciado da questão: p: Você simplifica o exercício. q: Você acha a resposta. Portanto, queremos encontrar uma equivalência lógica para a proposição ~(p → q), cuja tabela verdade é apresentada a seguir: P q p → q ~(p → q) V V V F V F F V F V V F F F V F Vamos expressar através de uma proposição cada uma das opções de resposta apresentadas. No item (a) temos a proposição “Você simplifica o exercício e não acha a resposta”, que é o mesmo que; (p Λ ~q). No item (b) temos a proposição “Se você simplifica o exercício, você não acha a resposta”, que é o mesmo que: (p → ~q). No item (c) temos a proposição “Se você não simplifica o exercício, você não acha a resposta”, que é o mesmo que: (~p → ~q). No item (d) temos a proposição “Você não simplifica o exercício e você não acha a resposta”, que é o mesmo que: (~p Λ ~q). Agora basta montarmos a tabela verdade destas proposições: p q ~p ~q pΛ ~q p→ ~q ~p→ ~q ~pΛ ~q V V F F F F V F V F F V V V V F F V V F F V F F F F V V F V V V Observando atentamente as duas tabelas, concluímos que as proposições ~(p → q) e (p Λ ~q) são logicamente equivalentes. Portanto, a resposta correta para esta questão é a A.
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