Problemas de Física: Movimento de Projéteis e Partículas

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Capı´tulo 1
Problemas propostos
1.1 Problemas correspondentes a Aula 6
1. Um observador no solo percebe que uma pedra foi lanc¸ada horizontalmente de uma altura
h e atingiu o solo apo´s percorrer uma distaˆncia horizontal D. A partir desses dados, e do
valor da acelerac¸a˜o da gravidade, encontre a velocidade da pedra
(a) no instante de lanc¸amento e
(b) no instante em que ela atinge o solo.
(c) Suponha, neste item, queD = h. Nesse caso, determine o aˆngulo entre a velocidade
da pedra e a horizontal no instante em que ela toca o solo.
2. Um proje´til e´ lanc¸ado da origem com a velocidade ~v0 = v0cos(θ0)ˆı+ v0sen(θ0)ˆ, onde v0
e´ uma constante positiva e 0 < θ0 < π/2. Seja t1 o instante no qual o proje´til atinge a sua
altura ma´xima e t2 o instante no qual ele volta a tocar o solo. Calcule:
(a) o vetor deslocamento entre os instantes de tempo t1 e t2;
(b) o vetor velocidade me´dia nesse intervalo;
(c) o vetor velocidade nos instantes t1 e t2;
(d) desenhe a trajeto´ria e marque com setas os vetores calculados nos itens anteriores.
1.1 Problemas correspondentes a Aula 6 2
3. Um helico´ptero voa horizontalmente com uma velocidade constante de mo´dulo 90km/h a
uma altitude de 340m em relac¸a˜o ao solo. No instante t0 = 0, o helico´ptero deixa cair um
pequeno pacote e, nesse mesmo instante, um bala˜o comec¸a a se elevar verticalmente, a
partir do solo, com uma velocidade constante de mo´dulo V . Suponha que o helico´ptero e
o bala˜o se movam num mesmo plano vertical e que o bala˜o esteja a` frente do helico´ptero
(veja figura).
34
0m
200m
V
v
Sabendo que no instante t0 o bala˜o esta´ a uma distaˆncia horizontal de 200m a` frente do
helico´ptero, determine:
(a) as equac¸o˜es de movimento do pacote e do bala˜o;
(b) o valor de V para que uma pessoa dentro do bala˜o agarre o pacote, o instante em
que isso ocorre e a que altura do solo.
4. Um proje´til e´ lanc¸ado do solo com velocidade inicial de mo´dulo v0 e aˆngulo de lanc¸amento
θ0 = 45
o. Os eixos cartesianos sa˜o escolhidos de modo que ~v0 = v0 cosθ0ıˆ + v0 senθ0ˆ.
Seja g o mo´dulo da acelerac¸a˜o da gravidade e despreze a resisteˆncia do ar. Considere um
ponto P localizado no plano OXY e de coordenadas xp = d e yP = h, d, h > 0.
(a) Utilizando argumentos qualitativos, determine os valores de h para os quais o ponto
P pode ser atingido por esse proje´til?
(b) Suponha, neste item, que o ponto P seja atingido. Calcule v0 em termos de g, d e h.
Analise o limite em que h→ d e interprete o resultado.
1.1 Problemas correspondentes a Aula 6 3
(c) Para que valores de h o proje´til passa pelo ponto P na subida e para que valores de
h ele passa por esse ponto na descida?
5. Devido a certas inomogeneidades na Terra, numa certa regia˜o a acelerac¸a˜o da gravidade
na˜o e´ bem vertical. Ale´m de uma componente vertical para baixo de mo´dulo g, ela possui
uma componente horizontal de mo´dulo a. Em relac¸a˜o a um sistema de eixos convenien-
temente escolhido, as equac¸o˜es de movimento de um proje´til lanc¸ado nessa regia˜o sa˜o
x = v0x t+
1
2
at2 e y = v0y t−
1
2
gt2 , (1.1)
onde vx0 e vy0 sa˜o constantes positivas.
(a) Determine o tempo de subida do proje´til, isto e´, o tempo gasto desde o lanc¸amento
ate´ que ele chegue ao ponto mais alto da trajeto´ria.
(b) Determine o tempo de descida do proje´til, isto e´, o tempo gasto desde o instante
em que atinge o ponto mais alto da trajeto´ria ate´ o instante em que volta ao nı´vel
do lanc¸amento (y = 0) e compare com o resultado do item anterior. Comente o
resultado.
(c) Determine o espac¸o horizontal percorrido pelo proje´til no movimento de subida.
(d) Determine o espac¸o horizontal percorrido pelo proje´til no movimento de descida e
compare com o resultado do item anterior. Comente o resultado.
6. A acelerac¸a˜o de uma partı´cula e´ dada por ~a = −axıˆ − ay ˆ, onde ax e ay sa˜o constantes
positivas. No instante t = 0, a partı´cula esta´ na origem e tem uma velocidade dada por
~v0 = v0xˆ (v0x > 0).
(a) Obtenha a posic¸a˜o e a velocidade da partı´cula para um instante de tempo t > 0.
(b) Determine o instante t1 no qual a coordenada x da posic¸a˜o da partı´cula e´ ma´xima.
Calcule a sua velocidade nesse instante.
(c) Determine o instante t2 no qual a velocidade da partı´cula e´ perpendicular a` sua
acelerac¸a˜o.
1.1 Problemas correspondentes a Aula 6 4
(d) Fac¸a um esboc¸o da trajeto´ria da partı´cula para t ≥ 0 e, nele, indique com setas as
velocidades e acelerac¸o˜es nos instantes t1 e t2.
7. Uma partı´cula se move num plano com movimento uniforme, isto e´, com velocidade
de mo´dulo constante. A figura mostra um trecho de sua trajeto´ria, formada por um se-
micı´rculo de raio r, uma semi-reta e outro semicı´rculo de raio R = 2r. O sentido do
movimento esta´ indicado na figura e, nela, esta˜o marcados os pontos A e B.
A
B
Indique, com setas, as velocidades e acelerac¸o˜es da partı´cula nos instantes em que ela se
encontra no ponto A (~vA e ~aA) e no ponto B (~vB e ~aB). Desenhe as setas de modo que
seus tamanhos sejam proporcionais aos seus mo´dulos. Marque, ainda, em seu desenho, o
vetor deslocamento ∆~r [ta, tb], onde ta e´ o instante em que ela se encontra no ponto A e
tb, o instante em que ela se encontra no ponto B.
8. Dois barcos, A e B, se movem com movimentos retilı´neos uniformes ao longo da su-
perfı´cie de um grande lago. Em relac¸a˜o ao sistema de eixos escolhido, suas respectivas
posic¸o˜es sa˜o dadas por
Barco A: xA = 10t e yA = 5t ;
Barco B: xB = 100− 4t e yB = 8t , (1.2)
onde esta´ subentendida a utilizac¸a˜o do Sistema Internacional de Unidades.
(a) Obtenha as equac¸o˜es cartesianas das trajeto´rias dos dois barcos. Determine o ponto
de intersec¸a˜o Pi entre elas.
(b) Havera´ colisa˜o entre os barcos? Caso na˜o haja, qual deles passa primeiro por Pi?
1.1 Problemas correspondentes a Aula 6 5
(c) Desnhe os eixos cartesianos OX e OY e esboce as trajeto´rias dos barcos no plano
OXY . Em seu esboc¸o, desenho os barcos no instante 5s.
(d) Qual deveria ser o mo´dulo da velocidade do barco B, vB , para que, com a mesma
posic¸a˜o inicial e uma velocidade de mesma direc¸a˜o e sentido que as utilizadas ante-
riormente, os dois barcos se chocassem no ponto Pi? Nesse caso, em que instante
isso ocorreria?
9. Uma partı´cula executa um movimento circular de raio R com uma acelerac¸a˜o de com-
ponente tangencial dada por aT = a0 cos(ω t), onde a0 e ω sa˜o constantes positivas.
Sabendo que no instante t0 = 0 a velocidade escalar e´ v0 = a0/ω, determine num ins-
tante de tempo qualquer a velocidade escalar da partı´cula, v, a componente centrı´peta (ou
normal) de sua acelerac¸a˜o e o mo´dulo de sua acelerac¸a˜o.
10. Considere duas partı´culas, A e B, que se movimentam no plano OXY e cujas func¸o˜es-
movimento esta˜o escritas abaixo:
xA = 0 ; yA = R cos(ωt) e xB = R cos(ωt) ; yB = R sen(ωt) ,
onde R e ω sa˜o constantes positivas.
(a) Descreva com palavras que tipo de trajeto´rias teˆm as partı´culas A e B.
(b) As partı´culas se encontrara˜o em algum instante? Caso isso ocorra, determine em
que instantes. Caso contra´rio, justifique porque nunca se encontrara˜o.
(c) Desenhe, numa mesma figura, as trajeto´rias das duas partı´culas. Marque, nesse
desenho, as suas respectivas posic¸o˜es nos instante t1 = π/(2ω) e t2 = π/ω.
Com o auxı´lio de setas, indique tambe´m no desenho as respectivas velocidades e
acelerac¸o˜es das duas partı´culas nesses instantes.