Matemática Aplicada - Guia de Estudos da Unidade 3

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Matemática Aplicada
UNIDADE 3
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DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA
UNIDADE 3 
FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES
 Para início de conversa
Olá Caro(a) aluno(a), vamos dar início ao estudo da unidade 3. 
Após ter feito um minucioso estudo sobre as equações na unidade passada, vamos agora nos deter ao 
estudo das funções.
É importante que, ao término desta unidade, você possa ter compreendido do que se trata uma função 
e como é feita sua notação; o que vem a ser o domínio e a imagem de uma função; ter compreendido a 
diferença que existe entre as funções ditas crescentes e decrescentes; reconhecer se uma função é de 
primeiro grau, segundo grau, polinomial ou exponencial; saber plotar e identificar gráficos dos tipos de 
funções que serão estudadas (primeiro grau, segundo grau, polinomial e exponencial); e obter as raízes 
das funções polinomiais nos gráficos obtidos.
 Palavras do Professor
Para começar, é importante que você entenda que uma função nada mais é do que uma relação entre dois 
conjuntos, e é um segmento da matemática muito utilizada, principalmente, em diversas situações cotid-
ianas, seja para calcular o rendimento financeiro da sua empresa, seja para fazer análises mais simples, 
como: qual será o valor da conta de energia da sua residência nesse mês, entre muitas outras.
Este será o objeto de estudo dessa unidade. Todos os assuntos abordados serão apresentados e relacio-
nados com situações que estão presentes no nosso cotidiano. 
Preparado? Vamos lá, mãos à obra!
 Orientações da disciplina
Antes de iniciar o estudo das funções e suas propriedades, sugiro uma rápida leitura do livro texto das 
páginas 56 a 70, para que você perceba os tópicos que iremos abordar nessa parte inicial.
Neste momento, o que você precisa entender é que o estudo das funções permite a você obter a lingua-
gem algébrica, linguagem muito útil para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-prob-
lemas, a partir de situações cotidianas.
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Uma função é definida como a relação entre dois conjuntos, onde TODO elemento do conjunto de partida 
se corresponde com um ÚNICO elemento do conjunto de chegada. Tomemos então dois conjuntos A e B, o 
conjunto A sendo o conjunto de partida denominado DOMÍNIO da função e o conjunto B sendo o conjunto 
de chegada, denominado IMAGEM da função, que contém os valores produzidos por essa relação.
Vamos analisar a situação abaixo:
Conjunto A formado pelos elementos X1, X2 e X3 e o conjunto B formado pelos elementos Y1, Y2 e Y3. O 
conjunto A é conhecido como conjunto domínio da função e o conjunto B como conjunto imagem. Entre 
eles haverá uma função que irá relacionar os elementos do domínio com os da imagem.
Fonte: Próprio autor
Caro(a) aluno(a), como definido anteriormente, o caso acima representa uma função, pois TODO elemento 
do conjunto de partida se corresponde com um ÚNICO elemento do conjunto de chegada. Observemos 
agora as seguintes situações:
Fonte: Próprio autor
Esses dois casos, apresentados acima, representam o conceito de função aprendido anteriormente.
Tanto na relação entre os conjuntos A1 e B1, como na relação entre os conjuntos A2 e B2 não está caracter-
izada a relação de função. Observe que, no primeiro caso, temos que um dos elementos pertencente ao 
conjunto domínio A1 não se corresponde a nenhum elemento do conjunto imagem B1, não representando, 
assim, a relação de função. Já no segundo caso, temos que o elemento X2 do conjunto domínio A2 se 
relaciona com dois elementos do conjunto imagem B2, não representando também a relação de função.
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Entendido o conceito inicial de função? Vamos agora ver como é feita a notação de função e aprender 
como podemos representá-la graficamente?
Para indicar que os elementos Y vem de uma função de X, será utilizada a notação de Euler,
dada por y = f(x). Onde X é conhecida como a variável independente e y = f(x) como a variável dependente.
Você sabe o que quer dizer essa notação y = f(x)? Significa que Y está associado a X por meio da função f.
 
 Praticando
Vamos ver o seguinte exemplo onde iremos ver se existe ou não a relação de função entre dois conjun-
tos dados.
Exemplo: Dados os conjuntos A ={1,2,3} e B = {x∊N|1≤y<10} , verificar se a relação dada por f(x)=x2 
representa ou não uma função.
Inicialmente, vamos determinar quais são os elementos do conjunto B. Relembrando a nossa unidade 1, 
temos que os elementos de B são números pertencentes ao conjunto dos números naturais, maiores ou 
igual a 1 e menores do que 10. Então os elementos do conjunto B são:
B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Usando a relação dada, os valores obtidos para cada elemento do conjunto A são:
•	 Para x=1⟶y= f(1)⟶y= (1)2⟶y=1
•	 Para x=2⟶y= f(2)⟶y= (2)2⟶y=4
•	 Para x=3⟶y= f(3)⟶y= (3)2⟶y=9
Montemos agora o diagrama representativo da situação:
 
Fonte: Próprio autor
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Podemos concluir, então, que a relação apresentada representa uma função, pois, para cada valor de x ∊ 
A, existe um único y ∊ B.
A partir desse exemplo podemos, então, definir:
• y é a variável dependente da função, ou seja, se você observar, ela depende exclusivamente do valor 
de x atribuído e da função relacionada;
• x é a variável independente;
•	 Domínio da função: D(f) = {1,2,3} ; 
•	 Contradomínio da função:CD(f) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ;
•	 Imagem da função:lm = {1,4,9} ;
•	 Lei de formação- lei que define como os elementos do domínio de relacionam com os elementos 
do contradomínio: y = f(x) = x2.y
Caro(a) estudante, como você pode observar, existe uma grande diferença entre o contradomínio e a 
imagem de uma função. O contradomínio compreende todos os elementos do conjunto B, e o conjunto 
imagem compreende apenas os elementos do contradomínio que se relacionam com os elementos do 
domínio.
Outra forma de observar as equações é graficamente. Num caso geral, teremos uma lei de Formação y= 
f(x) que definirá uma função. Os pares ordenados (x,y) , obtidos por meio da lei de formação, que possuem 
x pertencentes ao domínio da função e y= f(x) podem ser representados num sistema de coordenadas 
cartesianas. Os valores do domínio podem ser visualizados no eixo horizontal x , e os valores da imagem 
sobre o eixo vertical y. 
O que deve ser feito é, inicialmente, relacionar os pares ordenados obtidos; e a curva gerada com a 
ligação desses pares é a representação geométrica da função, denominada de gráfico da função f.
 
 Praticando
Vamos ver como podemos fazer isso:
Exemplo: Seja dada uma função definida pela seguinte lei de formação:y = f(x) = 2x. Plote o gráfico da 
função f, sabendo que A = {1,2,3}.
O primeiro passo é calcular as imagens geradas pelos valores da variável :
•	 Para x=1⟶y=f(1)⟶y= 2.(1)⟶y=2 dando origem ao par ordenado (1,2);
•	 Para x=2⟶y=f(2)⟶y= 2.(2)⟶y=4 dando origem ao par ordenado (2,4);
•	 Para x=3⟶y=f(3)⟶y= 2.(3)⟶y=6 dando origem ao par ordenado (3,6).
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Ao representar os pares ordenados em um sistema de coordenadas cartesianas, obtemos:
Fonte: Próprio autor
Esse é gráfico da função y = f(x) = 2x, para o domínio informado.
 
 Você sabia?
Você sabia que a partir de um dado gráfico, podemos perceber se uma dada relação é uma função ou não? 
Pois é, isso é feito da seguinte forma: se, ao plotarmos o gráfico referente à função x e nenhuma linha na 
vertical (nem que seja imaginária) cruzar o gráfico em mais de um ponto, então y é definida como função 
de x. Esse é o teste da reta vertical, pois, conforme a definição de função, para cada x domínio deve existir, 
em correspondência, um único y no contradomínio.
Fonte: Próprio autor
???
6
 Guarde essa ideia!
Vale lembrar que o domínio de uma função é constituído por todos os elementos da variável independen-
te, para os quais o valor da função pode ser determinado. Com isso, vamos ver algumas situações na qual 
o domínio não é fornecido explicitamente, mas pode ser definido com base nas informações cedidas.
Situação 1 - Quando o domínio não é explicitado, pode supor que é constituído pelo conjunto dos númer-os reais. O domínio é então constituído pelos valores de para os quais é um número real.
• f(x) = x2+1, D(f) = R 
Situação 2 - Estabelecido um intervalo da variável independente, esse intervalo será o domínio da função.
• f(x) = 2x+1, com D(f) = {x ∊ R\0 ≤ x ≤3} , D(f) = {x ∊ R\0 ≤x ≤ 3}
Situação 3 - Caso apareça a variável independente no denominador de uma fração, o valor dessa variável 
deve ser restringido de tal modo que a parcela do denominador não se anule.
• f(x) = , D(f)= {x∊R|x≠1} 
Situação 4 - Caso a variável independente estiver sobre um radical de índice par, deve-se impor a 
condição de o radicando ser maior ou igual a zero.
• f(x) = , D(f) = {x∊ R| x≥2}
 
Situação 5 - Função composta de operações matemáticas combinadas: deve-se considerar como domínio 
todos os valores da variável independente que tornam possíveis as operações matemáticas.
• f(x) = 	
   , Df(x) = {x∊R|x≥ -1}
Caro(a) estudante, entendido como descobrir o domínio de uma função, vamos agora falar um pouco so-
bre uma das principais propriedades das funções, sua continuidade. Você tem ideia do que significa uma 
função ser contínua? 
Vamos lá, isso significa que o gráfico obtido a partir dessa função não apresenta quebras, falhas, pulos. 
Podemos então dizer que, para plotar o gráfico de uma função contínua, não precisamos levantar o lápis 
do papel.
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 Exemplo
Exemplos de funções contínuas:
Exemplos de funções descontínuas:
 
 Guarde essa ideia!
Outro conceito de função que você deve entender é a propriedade de ser crescente, ser decrescente ou 
ser constante sobre um intervalo definido. Esse conceito pode ser visualizado sem nenhuma dificuldade 
graficamente, como veremos adiante. Antes de partirmos para a análise gráfica, vamos entender como 
classificamos uma função que pode ser considerada crescente, decrescente ou constante.
Uma função f é dita crescente sobre um intervalo definido se, tomando dois valores de x quaisquer 
pertencentes ao intervalo, uma variação positiva em x reflete em uma variação positiva de f(x), como 
mostrado a seguir:
x1 < x2 ⟶ f(x1) < f(x2)
Isto implica dizer que a função f é estritamente crescente para o intervalo definido.
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Caro(a) aluno(a), por outro lado, uma função f é dita decrescente sobre um intervalo definido se, tomando 
dois valores de x quaisquer e pertencentes ao intervalo, uma variação positiva em x reflete em uma 
variação negativa de f(x), como mostrado a seguir:
 
x1	<	x2 —› f(x1) < f(x2)
Isto implica dizer que a função f é estritamente decrescente para o intervalo definido.
Uma função f é dita constante sobre um intervalo definido se, tomando dois valores de x quaisquer e per-
tencentes ao intervalo, uma variação positiva em x reflete em uma variação nula de f(x), como mostrado 
a seguir:
 x1 < x2 —› f(x1) < f(x2)
Isto implica dizer que a função f é constante para o intervalo definido.
Como essa característica pode ser analisada graficamente? Ao plotarmos o gráfico de uma função, po-
demos reconhecer as regiões nas quais ela tem um comportamento crescente, decrescente ou constante, 
como veremos a seguir:
 
De acordo com esses gráficos, você pode perceber o seguinte:
Gráfico 1- Representa uma função crescente;
Gráfico 2- Representa uma função decrescente;
Gráfico 3- Representa uma função constante;
Gráfico 4- Representa uma função decrescente no intervalo ]-∞,-2] ;
Representa uma função constante no intervalo [-2,2] ; 
Representa uma função crescente no intervalo [2,+∞[ ;
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 Guarde essa ideia!
Fique	atento,	pois	quando	há	a	mudança	no	comportamento	de	um	gráfico	de	regiões	crescentes	para	
decrescentes,	percebemos	a	formação	de	altos	e	baixos.	Podemos	ter,	então,	valores	extremos	da função 
caracterizados como máximo local ou mínimo local. Algo que é importante observar nessa análise é que 
um ponto de máximo local não tem que ser, necessariamente, o valor máximo que uma função pode ter; 
ele pode ser apenas um valor máximo da função pertencente a algum intervalo de tempo. O mesmo pode 
ser observado ao analisar pontos de mínimo local.
Outra característica importante das funções é o fato de elas serem consideradas limitadas ou não. Uma 
função, caso seja considerada limitada, pode ser inferiormente, superiormente ou simplesmente limitada, 
caso seja limitada tanto superiormente quanto inferiormente.
*Para a situação de termos uma função limitada inferiormente, existe algum número a (por exemplo) que 
é menor ou igual a todo número pertencente à imagem da função. Qualquer que seja esse número a, ele 
é conhecido como limite inferior da função.
*Para a situação de termos uma função limitada superiormente, existe algum número A (por exemplo) que 
é maior ou igual a todo número pertencente à imagem da função. Qualquer que seja esse número A, ele 
é conhecido como limite superior da função.
Ufa! Muita informação não é? Mas lembre-se qualquer dúvida, procure o seu tutor ele pode lhe auxiliar 
em muitas coisas.
FUNÇÕES DO PRIMEIRO E SEGUNDO GRAUS 
 Acesse o Ambiente Virtual
Caro(a) estudante, antes de iniciar o estudo das funções do primeiro e segundo graus, sugiro uma rápida 
leitura do livro texto das páginas 70 a 78, para que você perceba os tópicos que iremos abordar nessa 
parte inicial.
O estudo das funções de primeiro e segundo graus é de extrema importância, pois sua utilização é muito 
colocada em prática no cotidiano.
 Exemplo
Observe o seguinte exemplo:
- Você precisa abastecer o seu carro com gasolina, que está a um preço de 2,79 o litro. Para saber quanto 
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você pagará para abastecer seu carro, podemos estabelecer uma relação entre o valor a ser pago e a 
quantidade de litros que será abastecido. Essa relação será obtida a partir de uma lei de formação dada 
da seguinte forma:f(x)= 2,79 * x, onde x é a quantidade em litros de gasolina que será abastecido e f(x) 
o valor a ser pago. 
Essa relação obtida entre a quantidade em litros abastecida e o valor a ser pago é feita a partir de uma 
função de primeiro grau.
 Palavras do Professor
Entendido o exemplo anterior, você consegue imaginar outras situações cotidianas onde você poderia 
aplicar uma função de primeiro ou segundo graus?
Como você deve ter percebido, muitas são as situações em que essas funções são aplicadas. Com isso, 
agora aprofundemos nosso entendimento nesse assunto.
Vamos lá, inicialmente vamos nos deter ao estudo das funções polinomiais. Em unidades anteriores você 
estudou o que são polinômios, agora vamos ver do que se trata uma função polinomial.
Uma função polinomial de grau é apresentada na seguinte forma:
 
Onde é um inteiro não negativo, a0,a1,a2,...an-1,an são números reais (também conhecidos como coefici-
entes do polinômio)e an≠0 (conhecido como coeficiente principal).
Funções polinomiais são definidas e contínuas sobre todos os números reais. Na tabela a seguir temos 
exemplos de funções polinomiais.
NOME FORMA GRAU
Função Zero f(x) = 0 Indefinido
Função Constante f(X) = a (a≠0) 0
Função do 1º Grau f(x) = ax + b(a+c) 1
Função do 2º Grau f(x) = ax2 + bx - c 2
Fonte: Adaptação do Professor
Uma função de primeiro grau nada mais é do que uma função polinomial de grau 1 (como você pode ob-
servar na tabela acima). Ela possui a seguinte forma: f(x) = ax+b onde a e b são constantes reais e a≠0 .
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 Exemplo
Tomemos o exemplo abaixo:
Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$300,00 mais um custo variável de R$2,20 por 
peça produzida. Qual o custo de produção de 10.000 peças?
A função que representa a relação entre quantidade de peças produzidas e o custo de
produção é dada da seguinte forma:y=300+2,2x, onde x é a quantidade de peças e y é o custo total de 
produção. Nesse problema, observe que temos um custo fixo que independe da quantidade de peças 
produzidas e um custo variável que dependerá da quantidade de peças a serem produzidas. Para o caso 
de produzir 10.000 peças, o custo total será obtido da seguinte forma:
Y = 300 + 2,2 X 10.000
Y= 300 + 22.000
Y = 22.300
Com isso podemos concluir que o custo para a produção de 10.000 peças é de R$22.300,00.
O gráfico de uma função de primeiro grau é dado por uma reta, cuja equação é representada
da seguinte forma: y= mx+b onde m é o coeficiente angular de uma reta não vertical que passa pelos 
pontos (x1, y1) e (x2,y2). O valor do coeficiente angular pode ser obtido através da seguinte forma: 
Observe abaixo como é o gráfico da seguinte função: y= -x+1.
 
 Dica
Cuidado! Pois uma reta no plano cartesiano só é o gráfico de uma função do primeiro grau se, e somente 
se, ela é uma reta inclinada ou horizontal. Lembre-se que retas verticais falham no teste da linha vertical 
(que vimos no tópico anterior).
	
  
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Uma função de segundo grau (também conhecida como função quadrática) nada mais é do que uma 
função polinomial de grau 2 (como você pode observar na tabela que foi mostrada acima). Ela possui a 
seguinte forma:f(x) = ax2 + bx+ c, onde a,b e c são constantes reais e a≠0.
Os gráficos de funções do segundo grau são dados por parábolas que podem ter a concavidade voltada 
para cima ou voltada para baixo. Funções que possuem o coeficiente a > 0 têm como gráfico uma parábo-
la com concavidade voltada para cima. Funções que possuem o coeficiente a < 0 têm como gráfico uma 
parábola com concavidade voltada para baixo.
Meu caro(a), independente do sinal que o coeficiente venha a ter é interessante saber que o eixo vertical 
do sistema de coordenadas será sempre o eixo de simetria para o gráfico da função . O ponto correspon-
dente ao cruzamento da parábola com o eixo de simetria é chamado de vértice da parábola. E o vértice é 
considerado como sendo o ponto mais baixo da parábola (caso a concavidade da parábola seja para cima) 
ou o ponto mais alto da parábola (caso a concavidade da parábola seja para baixo). O vértice da função 
escrita na forma é sempre a origem do sistema de coordenadas.
FUNÇÕES POLINOMIAIS 
 
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Antes de iniciar o estudo das funções polinomiais e seus gráficos, sugiro uma rápida leitura do livro texto 
das páginas 78 a 87, para que você perceba os tópicos que iremos abordar nessa parte inicial.
Como já visto anteriormente, uma função polinomial de grau zero é uma função constante e seu gráfico é 
dado por uma reta horizontal paralela ao eixo x.
Fonte: Próprio autor
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Funções polinomiais de grau 1 são funções de primeiro grau, cujo gráfico é dado por uma reta inclinada.
Fonte: Próprio autor
 
 Guarde essa ideia!
Fique atento, pois podemos observar duas situações de gráficos de funções do primeiro grau. O que difere 
esses dois gráficos é o fato de no primeiro o coeficiente ser negativo e no segundo o coeficiente ser 
positivo.
Como acabamos de ver, uma função polinomial de grau 2 nada mais é do que uma função do 2° grau ou 
função quadrática. Seu gráfico é caracterizado por uma parábola que, como vimos, pode ter concavidade 
voltada para baixo ou para cima, a depender do coeficiente da função.
Funções polinomiais de graus superiores existem como, por exemplo, funções polinomiais de grau 3 (ou, 
simplesmente, funções cúbicas), funções polinomiais de grau 4 (ou funções quadráticas), e tantas outras 
mais.
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 Palavras do Professor
Acima temos exemplos de funções cúbicas (lado esquerdo) e função quártica (lado direito). Como podem-
os observar e concluir as funções cúbicas possuem no máximo 3 raízes, sendo, no máximo, 2 extremos 
locais; e as funções quárticas têm, no máximo, 4 raízes, sendo, no máximo, 3 extremos locais.
Generalizando, podemos observar que uma função polinomial de grau n tem, no máximo, n-1 extremos 
locais e, no máximo, n raízes.
Para encontrarmos as raízes de uma função polinomial, temos que encontrar, exatamente, os pontos (ou 
valores de x) nos quais o gráfico da função (y= f(x) passa no eixo horizontal x. Esses pontos são exat-
amente as raízes da função polinomial f(x)=0. Se o grau do polinômio é muito alto, a ideia é realizar a 
fatoração do polinômio, como já aprendido em unidade anterior.
Se uma função polinomial é representada na forma fatorada, cada fator (x - k) corresponde a uma raiz 
x= k. Quando o fator é repetido como, por exemplo, f(x) = (x-1)4 (x-2)2, a função polinomial tem raízes 
repetidas. Nesse caso, no geral, essa função tem 6 raízes, com duas raízes repetidas. O fator ocorre 4 
vezes, então 1 é uma raiz de multiplicidade 4. De maneira análoga, o fator x - 2 ocorre 2 vezes, então 2 é 
uma raiz de multiplicidade 2.
De forma geral, se uma função polinomial tem como fator (x-a)b, então é raiz da função com multiplicidade 
b.
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
 
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Antes de iniciar o estudo das funções exponenciais e seus gráficos, sugiro uma rápida leitura do livro texto 
das páginas 88 a 101, para que você perceba os tópicos que iremos abordar nessa parte inicial.
Vamos lá, continuando nosso raciocínio, o nosso estudo de funções exponenciais, é importante sabermos 
que essas funções são amplamente aplicadas em situações em que a taxa de variação é considerada 
grande. Essa aplicação pode ser encontrada em rendimentos financeiros capitalizados por juros compos-
tos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, crescimento populacional, por exemplo, entre 
muitas outras situações.
As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando as regras de potenciação, já aprendida em uni-
dade anterior.
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Nas funções exponenciais, temos como base uma constante e como expoente uma variável.
Por exemplo, f(x) = 3x, onde 3 é a base e é uma constante e x é o expoente é uma variável. Caracterizando 
assim uma função exponencial.
De forma geral, uma função exponencial é representada da forma:f(x) = a.bx, onde a é um número difer-
ente de zero, b é conhecida como a base e é uma constante positiva e diferente de 1 e x é conhecida como 
expoente e é variável. Funções exponenciais estão definidas e são contínuas para todos os números reais.
Para qualquer função exponencial f(x) = a.bx e qualquer número real x, f(x+1) = a.bx+1 . Se a >0 e b >1, 
então a função exponencial é crescente e é uma função de crescimento exponencial. A base b é o seu 
fator de crescimento. Se a > 0 e b < 1, então a função exponencial é decrescente e é uma função de 
decaimento exponencial. A base b é o seu fator de decaimento. A base de uma função exponencial nos 
diz se a função é crescente ou decrescente.
A base natural da função dada pelo número é a base natural da função exponencial, que é chamada de 
função exponencial natural. A letra é a inicial do último nome de Leonhard Euler , que foi quem introduziu 
a notação. Essa função é uma função de crescimento exponencial, então e >1. Qualquer função exponen-
cial pode ser escrita na base e.
Qualquer função exponencial f(x) = a.bx pode ser reescrita como f(x) = a.e kx para uma constante k 
sendo um número real apropriadamente escolhido. Se a > 0 e k > 0, temos uma função de crescimento 
exponencial, se a > 0 e k < 0, temos uma função de decaimento exponencial.
 Dica
Fique atento pois os Modelos de crescimento e decaimento exponencial são utilizados para populações 
de animais, bactérias, átomos radioativos, entre muitos outros. Essas são aplicações nas quais o cresci-
mento ou decaimento são proporcionais ao tamanho atual da quantidade de interesse.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler)
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As funções exponenciais possuem uma função inversa. Essa função inversa é a função logarítmica. Você 
já ouviu falar? A inversa da função exponencial f(x)=bx é a função logarítmica de base b, denotada 
por logbx.
Se f(x) = bx com b >0 e b ≠1, então f-1(x)=logbx.
Uma função logarítmica está vinculada à uma potência, ou seja, é um expoente da potência. Podemos 
então associar e transformar de uma função exponencial em logarítmica da seguinte forma:
Se x > 0 e 0 < b ≠1, então y= logbx se, e somente se, b
y=x 
Para x > 0, b > 0 e b ≠1 e y um número real qualquer, então podemos observar as seguintes consequências 
da definição relacionadas aos logaritmos:
• logb1= 0 porque b
0 =1;
• logbb =1 porque b
1 =b; (note que essa propriedade está apresentada incorretamente na página 101 do 
livro texto);
§	logb b
y = y porque by = by ;
• blogbx =x porque logbx = logbx.
 
 Praticando
Agora vamos ver algumas propriedades que estão relacionadas aos logaritmos:
§	 Logaritmo do produto
Se 0 <a≠1, b >0 e c > 0, então loga(b.c) = logab + logac
§	 Logaritmo do quociente
Se 
§	 Logaritmo da potência
Se 0 < a≠1, b > 0, então loga(b
n) = n logab 
Veja o seguinte exemplo:
Se log9 = x então log6 é?
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Observe que, quando a base não está explícita no logaritmo, como nesse exemplo, temos um logaritmo 
cuja base correspondente é a base 10. Vamos aplicar as propriedades vistas acima para resolver esse 
problema.
§	Inicialmente, você sabe que 9 pode ser escrito desta forma: 32. Então,log9 = log32.
§	Aplicando a propriedade do logaritmo da potência, chegamos à conclusão de que log9 = 2 log3 = x.
§	Agora, vamos reescrever 6 desta forma: 2.3. Então, log6 = log(2.3).
§	Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, chegamos à conclusão de que log6 = log2+ log3.
§	Da análise anterior temos que 2log3=x, então log3 = 
§	Substituindo, temos o resultado para log6 = log2 + 
Nesse exemplo, você observou algumas das propriedades envolvidas com logaritmos na base.
Essas	propriedades	são muito importantes na análise das funções logarítmicas.
Os gráficos de funções logarítmicas podem ser crescentes ou decrescentes, como podemos observar na 
figura abaixo:
Como você pode ver, se a base for a >1, temos o gráfico de uma função logarítmica crescente. Se a base 
for 0 < a < 1, temos o gráfico de uma função logarítmica decrescente. Abaixo você pode ver dois gráficos 
relacionando as funções exponenciais e logarítmicas para as duas situações ilustradas acima, situações 
de funções crescentes e decrescentes.
x
2x
2
18
 Palavras do Professor
Prezado(a) aluno(a), com isso, chegamos ao fim da nossa 3° unidade. É importante que, ao finalizar essa 
unidade, você tenha adquirido os conhecimentos básicos relacionados ao estudo e às aplicações de 
funções aqui apresentados, pois eles serão bastante utilizados, não só nas unidades seguintes e em 
outras áreas do conhecimento, mas, como mostrado, em muitas situações presentes no cotidiano e na 
sua carreira acadêmica. 
Agora é interessante, para fixar o exposto, que você leia o livro texto, na íntegra; que olhe todo o conteúdo 
e os exemplos e exercícios que lá estão presentes. Em seguida, só precisa realizar as atividades presentes 
no ambiente virtual para concluir a 3° unidade. Bons estudos e até a próxima unidade.