AULA 4 - RETA - DISTÂNCIAS E ANGULOS

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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR
Aula 4
Prof. Baggio
Reta
Distância entre dois pontos.
Dados 2 pontos, A e B, a distância entre eles, que será 
indicada por d(A,B), é a medida do segmento de 
extremidades A e B.
y
y
A(1,1)
3 xx1
1
B(3,1)
d(A,B)=3-1=2
B(1,3)
A(4,1)
1
1
3
4
[d(A,B)]2=32 + 22 ⇒ d(A,B)= 13
0 0
Distância entre dois pontos
Podemos determinar uma expressão que indica a 
d(A, B), ∀ que sejam A(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) 𝑒 B(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵). 
O ∆ABC é ⊿ em C, logo podemos usar a relação de Pitágoras:
x
A(𝑥𝐴, 𝑦𝐴)
𝑦𝐵
y
𝑦𝐴
𝑥𝐴 𝑥𝐵
B(𝑦𝐵 , 𝑦𝐵)
C(𝑥𝐵 , 𝑦𝐴)
⟶
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
B
A
d(A,B)
C
[d(A,B)]2= (𝑥𝐵−𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵−𝑦𝐴)
2
⇒ 
d(A,B) = (𝒙𝑩−𝒙𝑨)
𝟐 + (𝒚𝑩−𝒚𝑨)𝟐
0
Distância entre dois pontos
Exemplo:
Um ponto P(a,2) é equidistante dos pontos A(3,1) e B(2,4). 
Calcule a abscissa do ponto P.
d(P,A) = d(P,B) por serem equidistantes.
d(P,A) = (𝑥𝐴−𝑥𝑃)
2 + (𝑦𝐴−𝑦𝑃)
2 e d(P,B) = (𝑥𝐵−𝑥𝑃)
2 + (𝑦𝐵−𝑦𝑃)
2 ⇒ 
(3 − 𝑎)2+(1 − 2)2 = (2 − 𝑎)2+(4 − 2)2 ⇒ 
(3 − 𝑎)2+ 1 = (2 − 𝑎)2 + 4 ⇒ 9 − 6a + 𝑎2 + 1 = 4 − 4𝑎 + 𝑎2+4=0
⇒−6a + 4𝑎 = 4 + 4 − 9 − 1 = 0 ⇒
−2a = −2 ∴ a=1
Verificando:
a=1 ⇒ ቐ
d P, A = (3 − 1)2+(1 − 2)2= 5
d P, B = (2 − 1)2+(4 − 2)2= 5
Então, a abscissa do ponto P é 1
Distância de um ponto a uma reta
Devemos recordar, da Geometria plana, que a distância de 
um ponto A a uma reta r é a medida do segmento de 
extremidades em A e na sua projeção ortogonal sobre r.
A
B
r
Distância do ponto A 
à reta r:AB
.
Projeção ortogonal de A 
sobre r
d = 
𝒂𝒙𝒑+𝒃𝒚𝒑+𝒄
𝒂𝟐+𝒃𝟐
Distância de um ponto a uma reta
Exemplo:
Determine a distância do ponto A(3,5) à reta r, de equação x+2y-8=0.
y
x
A(3,5)
A’
0
5
3
.
r
s x+2y-8=0 ⇒y = −
1
2
𝑥 + 4 ∴ 𝑚 = −
1
2
Equação da reta s: 𝑚2 = −
1
𝑚1
= −
1
−
1
2
= 2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ⇒ 𝑦 − 5 = 2 𝑥 − 3
𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
Coordenadas de A’: são aquelas do ponto 
de encontro de r e s:
ቊ
𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 (.2)
ቊ
𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
4𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0
⇒ 𝑥=2 
Se 𝑥=2 ⇒ y=3
Distância de um ponto a uma reta
Portanto, A’(2,3)
Cálculo da distância entre A e A’:
d(A,A’) = (𝑥𝐵−𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵−𝑦𝐴)2
d(A,A’) = (3 − 2)2 + (5 − 3)2 = 𝟓 ,
logo a 𝐝 𝐀, 𝐫 = 𝟓
Pela fórmula da d(P,r), temos 
= 
1.3+2.5−8
12+22
= 
3+10−8
5
= 
5
5
=
5. 5
5. 5
= 𝟓d = 
𝑎𝑥𝑝+𝑏𝑦𝑝+𝑐
𝑎2+𝑏2
Ângulo de duas retas concorrentes
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos 
e que, conhecido um deles, determinamos os 
demais: 
r
s
𝛃
𝛂 𝛄
𝛅
r e s são concorrentes e 
determinam os ângulos de medidas 
𝛂, 𝛃, 𝛄 e 𝛅
𝛂+𝛃+𝛄+𝛅=360°
𝛂=𝛄 e 𝛃=𝛅 (opostos pelo vértice
𝛂+𝛃= 𝛃+𝛄= 𝛄+𝛅= 𝛅+ 𝛂 =180°
Ângulo de duas retas concorrentes
Como determinar um dos ângulos formados por duas retas 
concorrentes, r e s, a partir de suas equações.
Chamaremos esse ângulo de 𝛉.
1º caso: Uma reta, r, é paralela ao eixo x e a outra, s, é 
paralela ao eixo y; ou então, uma tem coeficiente angular 
𝒎𝟏 e a outra, 𝒎𝟐, tal que 𝒎𝟏 . 𝒎𝟐=-1
Em ambas as situações temos r e s ⊥ s. Logo, 𝛉 = 90°.
y y
x x
rsr
s
. .
.
.
00
Ângulo de duas retas concorrentes
Exemplo 1 - r: y=4
𝛉=90°
s: x=3
Exemplo 2 – r: y=2x+6
s: y-5= -
1
2
(𝑥 − 4)
𝑚1 . 𝑚2=2.(-
1
2
) = -1
r ⊥ s ⇒ 𝛉=90°
Ângulo de duas retas concorrentes
2º caso: Uma das retas,r, é // ao eixo x e a outra, s, 
tem coeficiente angular m=tg 𝛂.
y
x
r
s
. 𝛉
𝛂
Nesse caso r é // ao eixo x e s é uma 
transversal. Então:
𝛉=𝛂 ⇒ tg 𝛉 = tg 𝛂=m
Considerando 𝛉 o ângulo agudo 
formado por r e s, podemos 
escrever:
tg 𝛉= |m|
0
Ângulo de duas retas concorrentes
Exemplo- Dado:
r: y=5
r é // ao eixo x e s tem m=3 
s: y-2=3(x+4)
Logo, o ângulo agudo 𝛉 formado por r e s é tal que 
tg 𝛉 = 3
Ângulo de duas retas concorrentes
3º caso: Uma das retas, r, é // ao eixo y e a outra, s, 
tem coeficiente angular m.
y
x
r
s
.
𝛉
𝛂
0
Então:
𝛉+𝛂=90°⇒𝛉=90°-𝛂 ⇒tg 𝛉=tg(90°-𝛂)=
cotg 𝛂 = 
1
𝑡𝑔𝛂
= 
1
𝑚
Considerando 𝛉 agudo, temos:
tg 𝛉= |
𝟏
𝒎
|
Ângulo de duas retas concorrentes
Exemplo- Dado:
r: x=4 (r // y)
S: 2x+6y-1=0 ⇒y=−
1
3
𝑥 +
1
6
⇒ m=−
1
3
O ângulo agudo 𝛉, formado por r e s, é tal que:
tg 𝛉 = 
1
−
1
3
= 3
Ângulo de duas retas concorrentes
4º caso:
As retas r e s, de coeficientes angulares 𝒎𝟏 𝑒 𝒎𝟐,
não são paralelas aos eixos, são concorrentes, mas 
não são perpendiculares.
y
x
r
s
0
𝛉
𝛃 𝛂
Então:
𝛉+𝛃 =𝛂⇒𝛉= 𝛂-𝛃⇒tg𝛉=tg(𝛂- 𝛃)=
𝑡𝑔𝛂−𝑡𝑔𝛃
1+𝑡𝑔𝛂.𝑡𝑔𝛃
= 
𝒎𝟏 − 𝒎𝟐
1+𝒎𝟏 .𝒎𝟐
Para 𝛉 agudo temos:
tg 𝛉=| 
𝒎𝟏 − 𝒎𝟐
𝟏+𝒎𝟏 .𝒎𝟐
|
Ângulo de duas retas concorrentes
Exemplo:
r: y-4=3(x-5) ⇒ m1=3
s: 
𝑥
7
2
+
𝑦
7
=1 ⇒ y=-2x+7 ⇒ 𝑚2 = −2
tg 𝛉 =| 
𝑚1 − 𝑚2
1+𝑚1 .𝑚2
|=| 
3−(−2)
1+3(−2)
|=|
5
−5
| = |-1| = 1 ⇒
𝛉=45°