1 Livro GD Conceitos Iniciais EGR

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Arnoldo Debatin Neto
Henrique José Souza Coutinho
Raquel Martinelli
D286g
 Debatin Neto, Arnoldo
 
 Geometria Descritiva: conceitos iniciais /
 Arnoldo Debatin Neto, Henrique José Souza
 
 Coutinho, Raquel Martinelli. – Florianópolis:
 CCE/UFSC, 2017.
 90 p. : il.
	 	 	 Inclui	bibliografia.
 1. Geometria descritiva – Estudo e ensino.
 
 I. Coutinho, Henrique José Souza.
 II. Martinelli, Raquel. III. Título.
 ISBN: 978-85-922569-0-6 CDU: 514.18:37
Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária
da
Universidade Federal de Santa Catarina
Arnoldo Debatin Neto
Henrique José Souza Coutinho
Raquel Martinelli
1ᵃ	Edição
Florianópolis
CCE/UFSC
2016
Apresentação 
Introdução 
Noções preliminares 
1.1 Notação
1.2 Organização do espaço 
Estudo do ponto
07
08
09
10
10
16
 Estudo da reta
3.1 Posições relativas entre retas 
3.2 Posições da reta em relação aos planos de projeção 
1. Reta horizontal ou de nível: 
2. Reta frontal ou de frente 
3. Reta de topo 
4. Reta vertical 
6.	Reta	de	perfil	
7. Reta qualquer
3.3 Traço de reta 
3.4 Pertinência de um ponto à uma reta
21
22
26
26
26
27
27
28
29
30
31
Estudo do plano 
4.1 O traço do plano
4.2 Posições do plano em relação aos planos de projeção 
1. Plano horizontal 
2. Plano frontal 
3. Plano de topo 
4. Plano vertical
5.	Plano	de	perfil	
6. Plano de rampa ou fronto-horizontal 
7. Plano qualquer 
4.3 Pertinência de ponto e reta ao plano
37
39
40
40
41
42
43
44
45
46
47
7
Apresentação
Este livro foi escrito a seis mãos, entre dois Arquitetos e um Enge-
nheiro Agrônomo, todos professores, empenhados em tornar cada 
vez mais acessível e aplicável o conhecimento da Geometria Des-
critiva. O material que você tem em mãos é resultado tanto de nos-
sas	experiências	profissionais,	projetando	e	atuando	em	canteiro	
de obras, quanto de nossa experiência em sala de aula, no ensino 
da Geometria dentro dos mais diversos cursos de graduação.
Dessa longa experiência docente, alguns questionamentos são fre-
quentes por parte dos estudantes: O que é a Geometria Descritiva? 
Para que serve? Para que eu vou usá-la?
Inicialmente a Geometria Descritiva (GD) é um conhecimento básico 
que atende a várias áreas de desenho, como por exemplo: Desenho 
Técnico Mecânico e Civil, Desenho Arquitetônico, Desenho Topográ-
fico	entre	outros.	Além	disso,	o	domínio	da	GD	é	indispensável	para	
o	uso	de	qualquer	software	de	modelagem	tridimensional.
Para tanto este material foi dividido em dois volumes, sendo este 
primeiro dedicado aos elementos básicos, sua representação e 
suas inter-relações. O segundo volume apresenta procedimentos e 
manipulação	dos	elementos	básicos.	E	por	fim	apresentamos	apli-
cações práticas do conhecimento respondendo às perguntas “Para 
que serve?” e “Para que eu vou usá-la?”.
8
2)	Configura-se	em	um	dos	melhores	processos	para	a	resolução	
gráfica	de	problemas	práticos	ou	teóricos	relacionados	a	figuras	
no espaço;
3)	Permite	estabelecer	um	diálogo	a	partir	da	 linguagem	gráfica	
entre projetista e executor. O primeiro consegue conceber e repre-
sentar de modo que o segundo consiga captar os conceitos rela-
cionados à forma, tamanho e posição do objeto a ser executado. 
A falta de domínio ou o desconhecimento dessas informações irão 
dificultar	ou	inviabilizar	a	execução	da	obra,	peça	ou	superfície.
Os conhecimentos adquiridos na matéria serão utilizados em ou-
tras	disciplinas	onde	o	raciocínio,	lógico	e	a	precisão	gráfica	sejam	
demandados. Além disso, o próprio processo de aprendizado dos 
conteúdos disponibilizados por esta disciplina contribuem para o 
desenvolvimento da visão espacial e do raciocínio lógico, condi-
ções	fundamentais	na	formação	de	profissionais	cujo	foco	de	tra-
balho relaciona-se à concepção, projeto e execução de objetos em 
diferentes escalas.
Para realizar as diversas operações de representação dos objetos no 
espaço,	faz-se	necessário	definir	previamente	um	sistema	de	nota-
ção, de modo a padronizar a nomenclatura empregada na denomi-
nação dos entes geométricos, tais como pontos, retas e planos.
A Geometria Descritiva (GD) pode ser considerada uma teoria onde a 
representação	do	espaço	e	objetos	possui	códigos	pré-definidos	e	sua	
decodificação	está	previamente	delimitada.
Gaspard Monge, matemático francês, em seu trabalho de 1799, Géo-
metrié Descriptive, busca a exatidão absoluta através da abstração 
matemática.	Seu	trabalho	é	profundamente	influenciado	pelo	Ilumi-
nismo e sua matriz teórica de representação do espaço é cartesiana. 
Através desse método, torna-se possível representar um objeto de 
acordo com uma sequência de procedimentos pré estabelecidos.
O sistema desenvolvido por Monge prevê a representação dos ob-
jetos a partir de duas projeções (biprojetivo), pois com uma proje-
ção não é possível determinar todas as características geométricas 
(altura largura e profundidade). Por isso é conhecido como sistema 
bi-projetivo, ou projeções mongeanas. Contudo, em algumas situ-
ações mais complexas o sistema permite uma terceira visualização 
para evitar qualquer ambiguidade.
MACHADO (1985) considera a GD como base teórica do desenho téc-
nico, ao permitir a construção de vistas auxiliares, cortes, seções, re-
batimentos, rotações, intersecções de planos e sólidos, mudança de 
planos de projeção, determinação de verdadeiras grandezas – V.G. 
– de distâncias, ângulos e superfícies. Também permite o cálculo de 
volumes com dados disponibilizados nas projeções ortogonais.
O objetivo da GD é fornecer aos estudantes os conhecimentos ne-
cessários	para	a	 formação	profissional	a	partir	do	entendimento	
das relações espaço-forma. A contribuição na formação de Enge-
nheiros ou Arquitetos se sustenta em três aspectos principais:
1) Trata-se de matéria formativa que desenvolve o raciocínio, a per-
cepção das características geométricas dos objetos e o senso de 
organização;
Introdução
9
10
Figura 01: Divisão do espaço em dois planos de projeção, π1 e π2. 
Fonte: os autores.
1. Noções preliminares
1.1 Notação
A	notação	é	a	identificação	dos	elementos	geométricos	e	de	suas	
projeções. Considerando que, em um mesmo desenho, podemos 
trabalhar com diversos elementos de ponto, reta e plano, e que 
precisamos diferenciar no mínimo duas projeções de cada elemen-
to (sem contar as projeções rotacionadas e rebatidas), entende-se 
a	importância	de	definir	a	notação	a	ser	utilizada	antes	de	iniciar	
qualquer estudo.
Infelizmente não há uma normalização para as notações em GD, e 
cada	autor	define	o	que	vai	usar,	partindo	de	um	consenso	mínimo.	
No entanto cabe ao aluno observar a nomenclatura utilizada em 
cada	bibliografia.	Neste	material,	apresentaremos	a	nomenclatura	
de cada elemento progressivamente em cada capítulo. 
1.2 Organização do espaço
Considerando	o	espaço	como	algo	infinito,	intangível,	seria	impos-
sível empreender um estudo dos objetos e de sua representação. A 
lógica	empregada	então	abstrai	uma	parte	desse	infinito	transfor-
mando-o em algo tangível. 
Gaspard Monge determinou a divisão desse espaço em um plano 
horizontal e um plano vertical de projeção, os quais se interceptam 
segundo uma reta, chamada linha de terra (LT). Para efeito de estu-
do nessa obra, conforme será apresentado nas notações, os planos 
de	projeção	serão	divididos	em	horizontal		-	π1-	e	vertical	-π2- e a LT, 
representando a intersecção entre esses dois planos, será chamada 
de	π1π2.	(conforme	a	figura	1)
11
1. Noções preliminares
Figura 02: Divisão do espaço em dois planos de projeção, π1 e π2 originando quatro diedros. 
Fonte:os autores. 
Na	figura	02	pode	ser	observado	que	a	intersecção	entre	os	planos	
horizontal e vertical criou quatro subdivisões, as quais foram cha-
madas diedros. Essa divisão é muito semelhante ao círculo trigo-
nométrico, que prevê quatro quadrantes, no entanto, no caso da 
GD tem-se quatro diedros tridimensionais.
Qualquer objeto situado no espaço, independente do diedro no 
qual se encontre, será representado bidimensionalmente sobre 
os	planos	p1	e	p2.Para	 representar	qualquer	figura	sobre	esses	
planos, é importante compreender de que maneiras uma imagem 
pode ser projetada . Podemos abstrair que os raios de luz atingem 
os objetos e chegam até os olhos, permitindo interpretar e en-
tender sua forma. Considerando o olho humano como um ponto 
de convergência dos raios de luz, temos a visualização cônica ou 
perspectivada dos objetos.
Figura 03: Raios visuais cônicos sobre um objeto gerando imagem em perspectiva. 
Fonte:Francis Ching
12
Figura 04: Projeção ortográfica gerando imagens bidimensionais de um objeto comparada a outros 
tipos de projeção gerando diferentes perspectivas (imagens tridimensionais) do mesmo objeto. 
Fonte: os autores, adaptado de CHING (Ching).
1. Noções preliminares
Existem diversas formas de projeção. Embora seja possível conside-
rar o olho humano como convergência dos raios visuais que tangen-
ciam um determinado objeto, tal procedimento gera imagens em 
perspectiva.	Esse	tema	é	muito	importante	para	os	profissionais	que	
lidam com criação e é estudado em separado. Há vários elementos 
que compõem a imagem em perspectiva e dependendo da posição 
do	objeto	a	ser	representado,	há	infinitas	possibilidades	das	formas	
desenhadas. Além disso, há perspectivas onde a profundidade dos 
objetos se dá de maneira paralela e outras onde é cônica.
Em	 se	 tratando	 de	 projeções	 ortográficas,	 o	 sistema	 biprojetivo	
consegue elucidar e representar um grande número de objetos, 
mas	existem	situações	onde	ele	é	insuficiente.	Gino	Loria,	contem-
porâneo de Monge, propôs um terceiro plano de projeção, denomi-
nado plano lateral (ou no Desenho Técnico: Vista Lateral Esquerda), 
o qual é perpendicular aos planos vertical e horizontal. Esse pla-
no forma com o diedro conhecido um triedro triprojetivo. Assim, 
quando a visualização da projeção de um objeto em dois planos 
não	for	suficiente,	pode-se	recorrer	a	esse	artifício.
 
Figura 05: Representação do terceiro plano de projeção, π3. 
Fonte: os autores.
Isométrica Perspectiva Perspectiva
13
Figura 06: Fonte luminosa próxima ao plano de projeção vertical, gerando imagem 
do objeto por raios cônicos.
Fonte: os autores.
1. Noções preliminares
Para	nosso	interesse	trataremos	da	representação	gráfica	do	obje-
to gerada a partir de raios de projeção que são paralelos entre si. 
Um bom exemplo para entender essa técnica é a metáfora da lan-
terna, ou fonte de luz. Os raios de luz partem de um único ponto 
de maneira cônica, passando por um objeto que se encontra entre 
essa fonte e um anteparo (plano) o qual registra sua sombra.
Ao mover a fonte luminosa para longe do anteparo, os raios de luz 
tendem	a	ficar	paralelos,	ou	seja,	diminuem	a	inclinação	em	rela-
ção ao plano de projeção. Então, ao considerar a fonte luminosa 
no	infinito,	todos	os	raios	serão	paralelos	entre	si	e	perpendicula-
res ao plano de projeção e será gerada a projeção ortogonal.
Figura 07: Fonte luminosa mais distante do plano de projeção vertical, ainda gerando
imagem do objeto por raios cônicos.
Fonte: os autores.
14
Figura 09: Sólido representado por meio de suas projeções horizontal e vertical.
Fonte: os autores.
1. Noções preliminares
Nesse caso em particular, o triângulo está paralelo ao plano onde 
sua sombra é projetada e possuirá as mesmas dimensões do obje-
to original. Tem-se, dessa maneira, a verdadeira grandeza (V.G.) do 
triângulo.
Uma vez demonstrada a lógica da projeção ortogonal, passa-se 
a organizar os diedros de modo a permitir a indicação correta do 
posicionamento do(s) objeto(s) no espaço. Contudo, é importan-
te primeiro entender que mesmo o sólido mais complexo pode ser 
reduzido a elementos mais simples como pontos, retas e planos. 
Sendo assim iniciaremos pelo estudo do ponto.
Figura 08: Fonte luminosa infinitamente distante do plano de projeção vertical, 
gerando imagem do objeto por raios paralelos.
Fonte: os autores.
D2 D
B2
C2
A2
A
B
C
C1D1
B1
A1
16
2. Estudo do ponto
Figura 10: Ponto A, localizado no primeiro diedro e suas respectivas projeções horizontal (A1 sobre π1) 
e vertical (A2 sobre π2).
Fonte: os autores
Dentro do campo de conhecimento do desenho e da represen-
tação	gráfica,	o	elemento	geométrico	mais	simples	é	o	ponto.	O	
ponto é um local no espaço e não possui as dimensões de altura, 
largura e profundidade. Ele não possui massa e é uma abstração 
que permite o balizamento das diversas geometrias possíveis, das 
mais simples às mais complexas. Assim, para iniciar o estudo do 
ponto deve-se compreender sua nomenclatura e as coordenadas 
que	definem	seu	posicionamento.
Quanto à nomenclatura, um ponto é sempre denominado por uma 
letra	latina	maiúscula,	seguida	de	um	índice	que	definirá	seu	po-
sicionamento	ou	o	de	suas	projeções.	A	figura	ilustra	um	ponto	A	
posicionado no primeiro diedro. Neste trabalho convencionamos 
chamar o ponto no espaço (diedro) pela letra maiúscula sem índi-
ce, sua projeção em p1 pela letra maiúscula seguida do índice 1, e 
sua projeção em p2 pela mesma letra seguida do índice 2.
Um	 raio	 projetante	 passando	 por	 A	 na	 direção	 de	 π1 gera uma 
“imagem” (ou projeção) desse ponto nesse plano. O mesmo ocor-
re	no	plano	π2.	A	“imagem”	de	A	em	π1 chama-se A1 e a imagem de 
A	em	π2 chama-se A2. Porém, há a necessidade de localizar esse 
ponto em uma posição única do espaço, de modo a impedir a am-
biguidade na leitura. 
Um	ponto,	então,	recebe	três	coordenadas	para	ser	fixado	no	es-
paço: abscissa, cota e afastamento. A ordem com que essas coor-
denadas são organizadas varia entre os autores. A separação entre 
os	valores,	para	fins	de	notação,	será	feita	com	ponto	e	vírgula	(;)	
e estarão entre parênteses. Havendo valores não inteiros, eles se-
rão separados por vírgula (,). Assim, um ponto P com abscissa 3, 
cota 2 e afastamento 1 teria a seguinte notação: 
P (3; 2; 1)
17
Figura 11: Ponto A, localizado no primeiro diedro e suas respectivas projeções horizontal (A1 sobre π1) e 
vertical (A2 sobre π2). A distância entre a projeção A1 e o plano π2 é denominada afastamento, enquanto 
que a distância entre a projeção A2 e o plano π1 é denominada cota.
Fonte: os autores
2. Estudo do ponto
Abscissa: é um valor dado pela posição de um ponto em relação à 
π1π2	(linha	de	terra).	O	valor	zero	(0)	é	arbitrado.	À	direita	do	zero	
têm-se valores positivos e à esquerda, negativos;
Cota: é um valor obtido pelo posicionamento do ponto em relação 
ao plano horizontal. Também se pode dizer que é a altura do pon-
to.	O	valor	zero	(0)	significa	que	o	ponto	se	encontra	sobre	o	plano	
horizontal (p1). Os valores positivos encontram-se acima do pla-
no horizontal (1º e 2º diedros) e os valores negativos encontram-se 
abaixo (3º e 4º diedros).
Afastamento: é um valor obtido pelo posicionamento do ponto em 
relação	ao	plano	vertical.	O	valor	zero	(0)	significa	que	o	ponto	não	
se desloca em relação a esse plano, ou seja, está sobre o próprio 
plano vertical (p2). Os valores positivos encontram-se à frente do 
plano vertical (1º e 4º diedros) e os valores negativos encontram-se 
atrás (2º e 3º diedros).
 
A	figura	11	mostra	as	coordenadas	associadas	ao	ponto.	
Pode-se	ainda	dar	nomes	específicos	às	porções	dos	planos	verti-
cal e horizontal seccionados pela linha de terra. O plano horizontal 
será chamado de anterior (PHA) e posterior (PHP) conforme sua 
porção estiver antes ou depois do plano vertical. O plano vertical 
será chamado superior (PVS) ou inferior (PVI) conforme sua porção 
estiver acima ou abaixo do plano horizontal. 
18
Figura 12: Rebatimento dos planos de projeção (π1 sobre π2) e a formação da épura, incluindo a repre-
sentação da cota e afastamento do ponto A. 
Fonte: os autores
2. Estudo do ponto
Para a representação bi projetiva do ponto A, conforme proposta 
pelo sistema de Monge, faz-se a coincidência do plano horizontal 
posterior (PHP) com o plano vertical superior (PVS) e do plano hori-
zontal anterior (PHA) com o plano vertical inferior (PVI). A sequência 
ilustra o processo de construçãoda épura. Assim todo objeto tridi-
mensional passa a ser representadado em Épura por duas projeções.
 
Na épura não aparece mais o ponto A e sim sua dupla projeção, 
com uma imagem no plano vertical e outra no plano horizontal. 
Relembrando os sinais das coordenadas e o movimento de giro 
dos diedros, percebe-se que o ponto A possui cota positiva e 
afastamento positivo, sendo, portanto, um ponto localizado no 
primeiro diedro.
A2
A1
R1
P2
R2
P1
Figura 13: Projeções horizontal e vertical (afastamento e cota) de pontos situados em diferentes diedros
Fonte: os autores
19
Exercício
1) Dar a épura dos pontos e dizer a qual diedro 
ou semiplano pertence.
(A) [-1;-2;-1]
(B) [0;1,5;-2]
(C) [1,5;1; 1,5]
(D) [3;0;2]
(E) [-4; -4; -4]
(F) [-3;0;0]
2. Estudo do ponto
F2≡G2
B2≡C2
E2≡H2
A2≡D2
A1≡E1
C1≡G1
D1≡H1
B1≡F1
(B) (C)
(A) (D)
(G)(F)
(E) (H)
Figura 14: projeções horizontal e vertical de pontos definindo os vértices de um sólido.
Fonte: os autores
21
3. Estudo da reta
 Figura 16: Projeção de um segmento de reta (r) em um plano (α).
Fonte: os autores.
Uma reta será nomeada por dois de seus pontos ou por uma letra 
latina minúscula. Por exemplo, reta AB com suas projeções A1 B1 e 
A2 B2 ou reta r com suas projeções r1 e r2.
A	 reta	 é	 uma	 entidade	 unidimensional	 infinita,	 cuja	 definição	
geométrica	pode	ser	o	arco	de	uma	circunferência	de	raio	infinito.	
Obviamente, para possibilitar o estudo de suas características, 
considera-se uma parte desse ente geométrico. Os postulados 
que	se	fizerem	verdadeiros	para	um	seguimento	da	reta,	o	serão	
também para o todo.
 
A forma mais simples de construção de uma reta é dada pelo 
conhecimento da posição de dois de seus pontos. Conhecendo-se 
a posição dos dois pontos pode-se traçar uma e somente uma reta. 
A representação da projeção de uma reta sobre um plano poderá ba-
sear-se em três posições: paralela, oblíqua e perpendicular.
 
De acordo com a posição das retas no espaço teremos uma repre-
sentação no plano de projeção.
No caso onde é observado o paralelismo da reta r em relação ao 
plano α há a representação exata de r em α (r´), ou seja, o com-
primento da reta é projetado em α sem alteração. Diz-se que r´é a 
verdadeira grandeza (V.G.) de r em α.
No caso onde é observada a obliquidade de r em relação a α, r e 
r´são diferentes. No caso do perpendicularismo deve-se observar 
que a reta r projetada em α (r´) se reduz a um ponto.
Figura 15: Projeção horizontal de um segmento de reta (A)(B) e sua continuidade para ambos os lados.
Fonte: os autores
22
Figura 17: Retas reversas ou não coplanares. 
Fonte: os autores.
3.1 Posições relativas entre retas
Duas retas no espaço podem ser: coplanares ou não coplanares. 
Dizemos que quando um plano não pode conter duas retas no 
plano, as retas são não coplanares ou reversas, e portanto não 
podem	definir	um	plano	no	espaço
Quando	duas	retas	definem	um	plano,	são	denominadas	coplanares	
e podem ser paralelas ou concorrentes.
b
r
b
aA
B
C
D
Figura 18: Retas paralelas e concorrentes. 
Fonte: os autores.
22 23
3.1 Posições relativas entre retas
As retas concorrentes se interceptam e podem se posicionar no 
espaço de três formas:
a) O ponto de intersecção das retas apresenta-se alinhado com 
as	 projeções	 horizontal	 e	 vertical.	 Observe	 na	 figura	 19	 que	 as	
projeções verticais A2B2 e C2D2 encontram-se na projeção M2 e as 
projeções horizontais A1B1 e C1D1 encontram-se em M1. Note que, 
sendo M um ponto, suas projeções M1 e M2 devem estar na mesma 
abscissa.
 
b) Duas projeções das retas apresentam-se coincidentes, e as ou-
tras	se	interceptam.	Observe	na	figura	20	que,	estando	as	duas	re-
tas em um plano perpendicular ao plano de projeção (α), as proje-
ções A1B1 e C1D1 apresentam-se coincidentes. Do mesmo modo, se 
o ponto de intersecção entre essas retas for M, as projeções M1 e M2 
devem estar na mesma abscissa.
Figura 19: Os segmentos de reta (A)(B) e (C)(D) interceptam-se no ponto (M).
Fonte: os autores.
B
A
D
M
M1 A1
D1
C
C1
B1
A1
D1
C1
B1
M2
M1
B2
C2
D2
A2
B
A
D
M
M�
A�
D�
C
C�
B�
A�
D�
C�
B�
M�
M�
B�
C�
D�
A�
Figura 20: Os segmentos de reta (A)(B) e (C)(D) interceptam-se no ponto (M).
Fonte: os autores.
24
3.1 Posições relativas entre retas
c) Umas das projeções das retas é um ponto localizado sobre a 
projeção	da	outra	reta.	Observe	na	figura	21	que,	sendo	uma	das	
retas – (A)(B) – perpendicular ao plano de projeção (α), sua proje-
ção se reduz a um ponto.
As retas paralelas podem se posicionar no espaço de três formas:
a) quando suas projeções se apresentam paralelas na projeção 
horizontal	e	vertical.	Observe	na	figura	22	que	as	retas	p	e	q	sendo	
paralelas no espaço geram projeções horizontais paralelas entre 
si (p1 e q1) e projeções verticais também paralelas entre si (p2 e q2).
Figura 21: Os segmentos de reta (A)(B) e (C)(D) interceptam-se no ponto (M) com a projeção da reta (A)(B) se 
reduzindo a um ponto congruente com a projeção M1 
Fonte: os autores.
B
A
D
M
M�≡A�≡B�
D�
C
C�
D�
C�
M�
B�
C�
D�
A�
M�≡A�≡B�
p
q
qq
p�
q�
q�p�
q�
p�
Figura 22: Os segmentos de reta (p) e (q) paralelos no espaço geram projeções horizontais paralelas entre si 
e verticais paralelas entre si.
Fonte: os autores.
24 25
3.1 Posições relativas entre retas
b) quando duas de suas projeções coincidem e as outras se apre-
sentam	paralelas.	Observe	na	figura	23	que,	estando	as	duas	retas	
paralelas em um plano perpendicular ao plano de projeção (α), as 
projeções das retas nesse plano coincidem.
c) quando numa de suas projeções as retas estão reduzidas a um 
ponto e na outra são retas paralelas. 
 
Figura 23: Os segmentos de reta (p) e (q) paralelos no espaço geram projeções horizontais coincidentes e 
verticais paralelas entre si.
Fonte: os autores.
p
q
p�
q�
p�≡q�
q�≡p�
p
q
p�q�
p�
q�
p�
q�
Figura 24: Os segmentos de reta (p) e (q), paralelos no espaço, estão situados em um plano perpendicular ao 
plano de projeção (α) e portanto suas projeções horizontais (p1 e q1) são pontuais.
Fonte: os autores.
26
Figura 26: À esquerda, vista tridimensional da reta (r) no primeiro diedro, oblíqua ao plano π₁ e paralela 
ao plano π2. À direita a épura a ser completada com as projeções r1 e r₂.
Fonte: os autores
3.2 Posições da reta em relação 
 aos planos de projeção
Figura 25 : À esquerda, vista tridimensional da reta (r) no primeiro diedro, paralela ao plano π1 e oblíqua ao 
plano π2. À direita a épura a ser completada com as projeções r1 e r2.
Fonte: os autores
Conforme a posição que uma reta assume em relação aos planos 
de	projeção	π1	e	π2, ela assumirá características diferentes e, por-
tanto,	nomes	específicos.	Considerando	haver	dois	planos	de	pro-
jeção	e	3	posições	específicas	da	reta	(paralelismo,	perpendicula-
ridade e obliquidade), pode-se enumerar 7 tipos de reta.
1. Reta Horizontal ou De Nível:	é	paralela	ao	plano	horizontal	(π1) 
e	oblíqua	ao	plano	vertical	(π2).	Na	figura	abaixo,	à	esquerda,	po-
de-se observar a reta (r), posicionada espacialmente paralela ao 
plano	π1	e	oblíqua	ao	plano	π2, gerando projeção r1 oblíqua à L.T. e 
em V.G. e projeção r2 fora de V.G e paralela à L.T.
2. Reta Frontal ou De Frente:	é	oblíqua	ao	plano	horizontal	(π1) e 
paralela	ao	plano	vertical	(π2).
Perspectiva no primeiro diedro Épura
Perspectiva no primeiro diedro Épura
26 27
Figura 27: À esquerda, vista tridimensional da reta (r) no primeiro diedro, paralela ao plano π1 e perpendi-
cular ao plano π2. À direita a épura a ser completada com as projeções r1 e r2. 
Fonte: os autores
3.2 Posições da reta em relação 
 aos planos de projeção
3. Reta De Topo:	é	paralela	ao	plano	horizontal	(π1) e perpendicular 
ao	plano	vertical	(π2).
4. Reta Vertical:	é	perpendicular	ao	plano	horizontal	(π1) e paralela 
ao	plano	vertical	(π2).
Figura 28: À esquerda, vista tridimensional da reta (r) no primeiro diedro, perpendicular ao plano π1 e pa-
ralela ao plano π2. À direita a épura aser completada com as projeções r1 e r2.
Fonte: os autores
Perspectiva no primeiro diedro Épura
Perspectiva no primeiro diedro Épura
28
Figura 29 : À esquerda, vista tridimensional da reta (r) no primeiro diedro, paralela ao plano π1 e paralela 
ao plano π2. À direita a épura a ser completada com as projeções r1 e r2.
Fonte: os autores
3.2 Posições da reta em relação 
 aos planos de projeção
5. Reta Fronto-Horizontal:	é	paralela	ao	plano	horizontal	(π1) e ao 
vertical	(π2).
6. Reta de Perfil:	é	oblíqua	ao	plano	horizontal	(π1) e ao plano ver-
tical	(π2).	Porém	ela	é	ortogonal	à	linha	de	terra	(π1π2), resultando 
em projeções vertical e horizontal perpendiculares a linha de terra.
Figura 30: À esquerda, vista tridimensional da reta (r) no primeiro diedro, oblíqua ao plano π1 e oblíqua ao 
plano π2 . À direita a épura a ser completada com as projeções r1 e r2.
Fonte: os autores
Perspectiva no primeiro diedro Épura
Perspectiva no primeiro diedro Épura
28 29
Figura 31: À esquerda, vista tridimensional da reta (r) no primeiro diedro, oblíqua ao plano π1 e oblíqua ao 
plano π2. À direita a épura a ser completada com as projeções r1 e r2.
Fonte: os autores
3.2 Posições da reta em relação 
 aos planos de projeção
7. Reta Qualquer:	é	oblíqua	ao	plano	horizontal	(π1), ao plano ver-
tical	(π2)	e	à	linha	de	terra	(π1π2) resultando em projeções horizon-
tal e vertical também oblíquas à linha de terra.
Pode-se observar pelos desenhos apresentados nos diedros ante-
riores que, prolongando as retas nas direções do plano horizontal 
e/ou vertical (exceto a reta fronto-horizontal) haverá um ou dois 
pontos (um no plano horizontal e outro no vertical, ou em apenas 
um dos dois) em que a reta atravessará esse plano (ou esses pla-
nos). Esse ponto é denominado traço da reta. 
Perspectiva no primeiro diedro
Épura
30
Figura 32 : Vista tridimensional da reta (r) no primeiro diedro, oblíqua aos dois planos de proje-
ção e apresentando traço H, de projeções H1 e H2 e também apresentando traço V, de projeções 
V1 e V2.
Fonte: os autores
3.3 Traço de reta
O ponto onde a reta fura ou atravessa um plano de projeção cha-
ma-se Traço da Reta. No caso de furar o plano vertical, diz-se que 
a reta possui traço vertical e representa-se pela letra V. O traço 
vertical é um ponto de afastamento nulo (a projeção V1 sempre 
estará sobre a L.T).
No caso de furar o plano horizontal, diz-se que a reta possui traço 
horizontal e representa-se pela letra H. O traço horizontal é um 
ponto de cota nula (a projeção H2 sempre estará sobre a L.T). Se 
uma reta é paralela a ambos os planos de projeção (reta frontori-
zontal) ela não possui traço. Se a reta é oblíqua ou perpendicular 
ao	plano	π2 (retas horizontal e de topo) ela irá perfurá-lo no ponto 
chamado	de	(V).	Se	a	reta	é	oblíqua	ou	perpendicular	ao	plano	π1 
(retas frontal e vertical) ela irá perfurá-lo no ponto chamado (H). 
Se a reta for oblíqua a ambos os planos de projeção (retas qual-
quer	e	de	perfil)	ela	irá	perfurá-los	em	dois	pontos,	o	plano	π1	em	
(H)	e	o	plano	π2	em	(V),	conforme	a	figura	32.
Conforme pode ser observado, a reta r (uma reta qualquer) atra-
vessa o plano vertical em V e o plano horizontal em H. A projeção 
de	V	em	π2	e	de	H	em	π1, coincidem com os próprios pontos, já 
que o primeiro possui afastamento nulo e o segundo possui a cota 
nula.	Para	fins	de	notação,	representam-se,	nesse	livro,	apenas	as	
projeções (V2 e H1).	A	projeção	de	H	sobre	π2	e	de	V	sobre	π1	esta-
rão	sempre	na	linha	de	terra.	Simplificando:	V1 e H2 estarão sem-
pre	sobre	π1π2.
A partir da determinação do(s) traço(s) da reta, poderá se determi-
nar a posição exata de sua mudança de Diedro. No exemplo mos-
trado, trata-se de uma reta de 1º Diedro. O traço vertical indica a 
passagem da reta do primeiro para o segundo e o traço horizontal 
indica a passagem do primeiro para o quarto.
30 31
Figura 33: À esquerda, vista tridimensional do ponto (A) pertencente à reta (r), no primeiro diedro. A proje-
ção A2 está sobre r2 e a projeção A1 está sobre r1. À direita a épura a ser completada com as projeções r1 e r2.
Fonte: os autores
3.4 Pertinência de um 
 ponto à uma reta
Um ponto pertence a uma reta quando as projeções desse pon-
to estiverem sobre as projeções de mesmo sub-ìndice da reta. Há 
uma	exceção:	a	reta	de	perfil.	No	caso	da	reta	de	perfil	há	que	se	
realizar	um	rebatimento	da	reta	de	modo	a	verificar	se	o	ponto	
efetivamente pertence à reta.
Perspectiva no primeiro diedro
A reta qualquer ilustrada apresenta o ponto A sobre as suas projeções vertical horizontal. Logo: A∈r
Épura
32
Figura 34: À esquerda, vista tridimensional dos pontos (A) e (B), pertencentes à reta (r), no primeiro diedro. 
À direita, execução tridimensional do rebatimento que possibilitará a verificação da pertinência.
Fonte: os autores
3.4 Pertinência de um 
 ponto à uma reta
Perspectiva no primeiro diedro
A	reta	de	perfil	 ilustrada	apresenta	o	ponto	A	e	o	ponto	B	sobre	
as suas projeções vertical e horizontal. Contudo, observando-se 
a	perspectiva,	fica	claro	que	o	ponto	B	não	pertence	à	reta.	Para	
esclarecer se o ponto pertence ou não à reta, deve-se proceder ao 
seu rebatimento. Esse rebatimento será feito sobre o plano verti-
cal ou horizontal. Aqui é ilustrado sobre o plano vertical.
Rebatimento
O	rebatimento	da	reta	r	sobre	π2 ilustrado abaixo permite visuali-
zar o giro descrito pela reta até o plano vertical. A cota permanece 
a mesma. Assim, pode-se ter certeza de que o ponto A pertence a 
r e o ponto B não. Embora as projeções horizontal e vertical de B 
estejam sobre as projeções horizontal e vertical da reta, ao olhar-
mos a reta rebatida (r0) vê-se que B0 não pertence a r0.
32 33
Figura 35: Rebatimento executado em épura. Verificou-se que as projeções A2 e B2 estão sobre 
r2 e as projeções A1 e B1 estão sobre r1.
Fonte: os autores
3.4 Pertinência de um 
 ponto à uma reta
A
2
B
2
r
2
A
0
B
0
r
0
A
1
B
1
r
1
�
2
�
1
�
1
�
2
34
Exercícios
1) Determine os traços H e V nas projeções do 
 seguimento AB nas épuras abaixo.
2)	Demostre	graficamente	se	o	ponto	A	
 pertence ao seguimento BC e responda.
A�
B�
B�
A�
B�
B�
A�
A�
A�
C�
B�
A�
B�
C�
B�
B�
A�
A�
C�
C�
A�
B�
B�
A�
B�
B�
A�
A�
A�
C�
B�
A�
B�
C�
B�
B�
A�
A�
C�
C�
34 35
Exercícios
3) Dada a reta (A) [0; -2; -1] (B) [4; 2; 2,5] pede-se:
a) Sua épura;
b) Seus traços (em épura);
c) Os diedros que ela atravessa;
d) O desenho em três dimensões mostrando 
a situação da reta no espaço;
37
Figura 36: À esquerda plano definido pelos pontos A, B e C. À direita plano definido pela reta r 
e pelo ponto A, for dela.
Fonte: os autores
Um	plano	é	um	ente	geométrico	infinito,	caracterizado	por	duas	
dimensões. Em comparação com a reta, que pode ser determina-
da por dois pontos, em Geometria Descritiva um plano pode ser 
determinado de diversas maneiras:
4. Estudo do Plano
Figura 37: À esquerda plano definido pelos pontos A, B e C. À direita plano definido pela reta r 
e pelo ponto A, for dela.
Fonte: os autores
38
Figura 38: Plano definido pelos seus traços vertical απ2 e horizontal απ1.
Fonte: os autores
4. Estudo do Plano
Por sua reta de maior declive
A reta de declive de um plano, faz com o plano horizontal o maior 
angulo possível e forma com o traço horizontal deste plano um an-
gulo	reto.	Esta	reta	por	si	só	define	um	plano.a
α
Figura 39: Plano definido pela sua reta de maior declive, cuja projeção 
horizontal é perpendicular ao traço horizontal do plano.
Fonte: os autores
39
Figura 40: À esquerda, triângulo ABC pertencente a plano α, paralelo ao plano de projeção β, geran-
do projeção em V.G. No centro, triângulo ABC pertencente ao plano α, oblíquo ao plano de projeção 
β, gerando projeção fora de V.G. À direita, triângulo ABC pertencente a plano α, perpendicular ao 
plano de projeção β, gerando projeção fora de V.G.
Fonte: os autores
O plano será estudado a partir de seus traços. Um plano pode as-
sumirtrês posições em relação a outro plano:
Paralelo
Sendo α e β paralelos entre si, o triângulo de α aparece projetado 
em verdadeira grandeza no plano β.
Oblíquo
Sendo α e β oblíquos entre si, o triângulo de α não aparece proje-
tado em verdadeira grandeza no plano β.
Perpendicular
Sendo α e β perpendiculares entre si, o triângulo de α aparece pro-
jetado no plano β como uma reta.
Da mesma maneira que a reta, um plano pode apresentar diferen-
tes posições em relação aos planos de projeção. A combinação 
dessas posições em relação aos planos horizontal e vertical irá de-
finir	planos	específicos	caracterizados	em	épura	pelo	seus	traços.	
O traço de um plano é a linha resultante da intersecção do plano 
em	questão	com	os	planos	de	projeção	π1	e	π2.
4.1 O traço do plano
40
Figura 41: À esquerda, vista tridimensional do triângulo ABC pertencente ao plano α, perpendicular ao plano 
π2 e paralelo ao plano π1, gerando projeção A1B1C1 em V.G. À direita a épura a ser completada com as projeções 
horizontal e vertical da figura.
Fonte: os autores
Existem sete tipos de planos:
1. Plano Horizontal:	é	paralelo	ao	plano	horizontal	(π1) e perpendi-
cular	ao	plano	vertical	(π2). Este posicionamento faz com que o pla-
no	horizontal	intercepte	somente	o	plano	π2, gerando, em épura, o 
traço vertical paralelo a linha de terra. Observe o triângulo ABC. Ele 
pertence ao plano α. Considerando os lados do triângulo, podem-
-se completar as retas que pertencem ao plano horizontal.
Retas que pertencem ao plano horizontal
Nome da reta: Horizontal, Topo e Fronto-horizontal
Indicação no desenho
4.2 Posições do plano em relação 
 aos planos de projeção
Perspectiva no primeiro diedro
Épura
41
4.2 Posições do plano em relação 
 aos planos de projeção
2. Plano Frontal:	é	perpendicular	ao	plano	horizontal	(π1) e parale-
lo	ao	plano	vertical	(π2). Este posicionamento faz com que o plano 
frontal	intercepte	somente	o	plano	π1, gerando, em épura, o traço 
horizontal paralelo a linha de terra. Observe o triângulo ABC. Ele 
pertence ao plano α. Considerando os lados do triângulo, podem-
-se completar as retas que pertencem ao plano frontal.
Retas que pertencem ao plano horizontal
Nome da reta: Frontal, Vertical, Fronto-horizontal
Indicação no desenho
Figura 42: À esquerda, vista tridimensional do triângulo ABC pertencente ao plano α, perpendicular ao plano 
π1 e paralelo ao plano π2, gerando projeção A2B2C2 em V.G. À direita a épura a ser completada com as proje-
ções horizontal e vertical da figura.
Fonte: os autores
Perspectiva no primeiro diedro
Épura
42
Figura 43: À esquerda, vista tridimensional do triângulo ABC pertencente ao plano α, oblíquo ao plano π1 e 
perpendicular ao plano π2, gerando ambas as projeções fora de V.G. À direita a épura a ser completada com as 
projeções horizontal e vertical da figura.
Fonte: os autores
4.2 Posições do plano em relação 
 aos planos de projeção
3. Plano de Topo: é	oblíquo	ao	plano	horizontal	(π1) e perpendicu-
lar	ao	plano	vertical	(π2). Este posicionamento faz com que o plano 
de	topo	intercepte	os	dois	planos	π1	e	π2, gerando, em épura, o tra-
ço vertical obliquo à linha de terra e traço horizontal perpendicular 
à linha de terra. Observe o triângulo ABC. Ele pertence ao plano α.
Considerando os lados do triângulo, podem-se completar as retas 
que pertencem ao plano de topo.
Retas que pertencem ao plano horizontal
Nome da reta: De Topo, Frontal e Qualquer
Indicação no desenho
Perspectiva no primeiro diedro
Épura
43
4. Plano Vertical:	é	oblíquo	ao	plano	vertical	(π2) e perpendicular 
ao	plano	horizontal	(π1). Este posicionamento faz com que o pla-
no	vertical	 intercepte	os	dois	planos	π1	e	π2, gerando, em épura, 
o traço vertical perpendicular à linha de terra e traço horizontal 
obliquo à linha de terra. Observe o triângulo ABC. Ele pertence ao 
plano α. Considerando os lados do triângulo, podem-se completar 
as retas que pertencem ao plano vertical.
Retas que pertencem ao plano horizontal
Nome da reta: Vertical, Horizontal e Qualquer
Indicação no desenho
4.2 Posições do plano em relação 
 aos planos de projeção
Figura 44: À esquerda, vista tridimensional do triângulo ABC pertencente ao plano α, oblíquo ao plano π2 e 
perpendicular ao plano π1, gerando ambas as projeções fora de V.G. À direita a épura a ser completada com 
as projeções horizontal e vertical da figura. 
Fonte: os autores
Perspectiva no primeiro diedro
Épura
44
Figura 45: À esquerda, vista tridimensional do triângulo ABC pertencente a plano α, perpendicular ao plano 
π1 e ao plano π2, gerando ambas as projeções fora de V.G. e perpendiculares à linha de terra. À direita a épura 
a ser completada com as projeções horizontal e vertical da figura.
Fonte:os autores
4.2 Posições do plano em relação 
 aos planos de projeção
5. Plano De Perfil:	é	perpendicular	ao	plano	vertical	(π2) e perpen-
dicular	ao	plano	horizontal	(π1). Este posicionamento faz com que 
o	plano	de	perfil	intercepte	os	dois	planos	π1	e	π2, gerando, em épu-
ra, o traço vertical perpendicular à linha de terra e traço horizontal 
perpendicular à linha de terra. Observe o triângulo ABC. Ele per-
tence ao plano α. Considerando os lados do triângulo, podem-se 
completar	as	retas	que	pertencem	ao	plano	de	perfil.
Perspectiva no primeiro diedro
Épura
45
Figura 46: À esquerda, vista tridimensional do triângulo ABC pertencente a plano α, oblíquo aos planos π1 e 
π2, gerando ambas as projeções fora de V.G. À direita a épura a ser completada com as projeções horizontal 
e vertical da figura.
Fonte: os autores
4.2 Posições do plano em relação 
 aos planos de projeção
6. Plano De Rampa ou Fronto-Horizontal: é oblíquo ao plano ver-
tical	(π2)	e	oblíquo	ao	plano	horizontal	(π1). Ambos os traços são 
paralelos	à	linha	de	terra	(π1π2). Observe o triângulo ABC. Ele per-
tence ao plano α. Considerando os lados do triângulo, podem-se 
completar as retas que pertencem ao plano de rampa.
Perspectiva no primeiro diedro
Épura
46
Figura 47: À esquerda, vista tridimensional do triângulo ABC pertencente a plano α, oblíquo aos planos π1 e 
π2, gerando ambas as projeções fora de V.G. À direita a épura a ser completada com as projeções horizontal e 
vertical da figura.
Fonte: os autores
4.2 Posições do plano em relação 
 aos planos de projeção
7. Plano Qualquer:	 é	oblíquo	ao	plano	vertical	 (π2) e oblíquo ao 
plano	horizontal	 (π1). Os traços também são oblíquos à linha de 
terra	(π1π2). Dos planos estudados, o plano qualquer é o único que 
admite quatro retas. Observe o quadrilátero ABCD. Ele pertence ao 
plano α. Considerando os lados do quadrilátero, podem-se com-
pletar as retas que pertencem ao plano qualquer.
Perspectiva no primeiro diedro
Épura
47
Figura 48: À esquerda, vista tridimensional da reta r, pertencente a plano α, com traços V sobre απ2 e H sobre 
απ1 e um ponto A pertencente a r e, consequentemente, pertencente a α. À direita a épura a ser completada 
com as projeções horizontal e vertical da figura.
Fonte: os autores
Conforme foi observado, cada tipo de plano contém determina-
dos tipos de retas. Considerando que a reta é uma sequência de 
pontos, pode-se dizer que se o plano contém a reta, também con-
tém os pontos que a ela pertencem.
Também já foi estudado que uma reta, ao interceptar ou atraves-
sar os planos de projeção apresenta seus traços (H e V ou pontos 
onde	ela	muda	de	diedro).	Um	plano,	quando	identificado	pelo(s)	
traço(s) também mostra sua passagem de um diedro para outro.
Portanto, uma reta pertencerá a um plano quando o(s) seu(s) tra-
ço(s) estiver(em) sobre o(s) traço(s) de mesmo índice(s) do plano, 
ou seja, o traço da reta será um ponto do traço do plano. Logo, um 
ponto pertencerá a um plano quando pertencer à uma reta que 
pertença àquele plano.
Perspectiva no primeiro diedro
O plano α (plano qualquer), dado pelos traços, contém a reta r 
(uma reta qualquer), uma vez que os traços vertical e horizontal 
da reta encontram-se sobre os traços horizontal e vertical do pla-
no.	O	pontoA	está	sobre	a	 reta,	como	pode	ser	confirmado	nas	
projeções horizontal e vertical do ponto, as quais coincidem com 
as projeções horizontal e vertical da reta r. Logo, A ∈ r, r ∈ α e A ∈ α.
Épura
O plano α contém o ponto A. Conhecendo sua projeção vertical, 
encontre a projeção horizontal.
4.3 Pertinência de ponto 
 e reta ao plano
Perspectiva no primeiro diedro
Épura
48
Figura 49: Reta do tipo horizontal (q) pertencendo ao plano do tipo qualquer (β). Além do traço vertical (V) 
estar sobre βπ2, a projeção q1 está paralela a βπ1.
Fonte: os autores
4.3 Pertinência de ponto 
 e reta ao plano
A condição de pertinência de ‘o traço da reta estar contido sobre o 
traço	do	plano’	é	uma	condição	necessária	porém	não	é	suficiente	
em alguns casos. Por exemplo a reta do tipo horizontal relativa a 
um plano qualquer: embora a reta não apresente traço horizontal, 
para que ela esteja contida no plano qualquer a sua projeção ho-
rizontal deve estar paralela ao traço horizontal do plano além do 
traço vertical (V) da reta estar sobre o traço vertical do plano.
Reta do tipo frontal relativa a plano qualquer: embora a reta frontal 
não apresente traço vertical, para que ela esteja contida no plano 
qualquer a sua projeção vertical deve estar paralela ao traço verti-
cal do plano além do traço horizontal (H) da reta estar sobre o traço 
horizontal do plano.
Reta do tipo fronto-horizontal relativa ao plano de rampa 
A reta fronto-horizontal não apresenta nenhum dos traços, além 
disso suas projeções já são paralelas aos traços do plano. Nesse 
caso, para estabelecer a relação de pertinência temos dois méto-
dos:	rebate-se	a	V.G	do	plano	para	verificar	a	pertinência	da	reta	ou	
se	faz	essa	verificação	através	da	intersecção	de	uma	reta	qualquer.
Figura 50: Reta do tipo frontal (r) pertencendo ao plano do tipo qualquer (α). Além do traço horizontal (H) 
estar sobre απ1, a projeção r2 está paralela a απ2.
Fonte: os autores
β�
2
�
1
�
2
q�
β�
1
V≡V
2
V�
q�
r�
α�2
�1�2 r�
α�1
H2
H1≡H2
49
4.3 Pertinência de ponto 
 e reta ao plano
Método 1: por rebatimento 
Projeta-se	a	V.G.	do	plano	de	rampa	num	plano	de	perfil	auxiliar	
(chamado rebatido -R-), juntamente com a projeção da reta fron-
to-horizontal. Nessa projeção consegue-se perceber se a reta está 
realmente sobre o plano. No primeiro exemplo, observa-se no re-
batimento do plano que a reta (r) está exatamente sobre o traço 
do plano, enquanto que no segundo exemplo a projeção auxiliar 
da reta (s) caiu fora do traço do plano.
Figura 51: Reta do tipo fronto-horizontal (r) pertencendo ao plano do tipo rampa (α). A reta não possui tra-
ços, mas pode-se observar que, no rebatimento, a projeção da reta fica exatamente sobre a projeção do pla-
no, confirmando a pertinência.
Fonte: os autores
Figura 52: Reta do tipo fronto-horizontal (s) não pertencendo ao plano do tipo rampa (β). A reta não possui 
traços, mas pode-se observar que, no rebatimento, a projeção da reta fica fora da projeção do plano.
Fonte: os autores
r� rR
α�
2
β�
2
α
R
�
1
�
2
α�
1
β�
1
r�
S1
S2
SR
α�
2
β�
2
α
R
�
1
�
2
α�
1
β�
1
50
1. Representar o plano de topo que contém 
o	ponto	P	e	as	retas	específicas	do	plano	que	
passam por P.
2. Determinar a projeção vertical da reta fronto-
-horizontal que pertence ao plano de rampa α.
Exercícios
51
Exercícios
3. Representar em épura os seguintes planos 
e um ponto sobre eles:
a) Horizontal, de cota 2 cm.
b)	Topo,	formando	30º	com	π1.
c)	Vertical,	formando	45º	com	π2.
d) Rampa, cota 3 cm e afastamento 4 cm.
4. Determinar a projeção vertical do triângulo 
ABC pertencente ao plano α.
A (0; ?; 3) B (2; ?; 1) C (3; ?; 2)
52
Exercícios
5. Sendo dada somente uma das projeções das 
retas abaixo, mas sabendo-se que elas perten-
cem aos planos, complete a projeção faltante.
53
Exercícios
6. Determine os traços das retas abaixo e o tra-
ço do plano de mesmo nome das retas.
54
Exercícios
7. Determinar as projeções faltantes dos qua-
driláteros abaixo, sabendo que eles pertencem 
aos respectivos planos. 
55
Figura 53: Exemplo 1 - Plano qualquer x plano qualquer
Fonte: os autores
Quando duas retas se interceptam, resulta um ponto. Quando dois planos 
se interceptam, resulta uma reta, a qual deverá pertencer aos dois planos ao 
mesmo tempo.
Portanto, é muito importante ter clareza nas retas que pertencem aos diver-
sos planos já estudados. Para um melhor entendimento desse tema, têm-se 
diversos exemplos. 
Observando a intersecção entre os planos α e β, constata-se que o traço verti-
cal da reta resultante (r) é o resultado da intersecção dos traços verticais dos 
planos. Ou seja, o ponto V (traço vertical de r) pertence, simultaneamente, a 
απ2 e a βπ2. O ponto H (traço horizontal de r) pertence, simultaneamente, a απ1 
e a βπ1. A reta r pertence aos dois planos ao mesmo tempo.
Pode-se ainda considerar separadamente os dois planos. Analisando o plano 
alfa, tem-se que H e V da reta r estão sobre os traços horizontal e vertical do 
plano. Analisando o plano beta, tem-se também H e V da reta r sobre os traços 
horizontal e vertical do plano. Logo, r é uma reta comum aos dois planos.
Construindo-se a épura, tem-se que a reta r é uma reta que pertence ao plano 
qualquer, portanto, possível de ser obtida nesse tipo de intersecção. 
Intersecção de planos 
Dados pelos traços
Plano qualquer x plano qualquer
Épura: A reta é:
56
Figura 54 : Exemplo 2 - Plano qualquer x plano qualquer
Fonte: os autores
Intersecção de planos 
Observando a intersecção entre os planos α e β, constata-se que o traço verti-
cal da reta resultante (r) é o resultado da intersecção dos traços verticais dos 
planos. Ou seja, o ponto V (traço vertical de r) pertence a απ2 e a βπ2. O ponto H 
(traço horizontal de r) pertence a απ1 e a βπ1. A reta r pertence aos dois planos 
ao mesmo tempo.
Construindo-se a épura, tem-se que a reta r é uma reta que pertence ao plano 
qualquer, portanto, possível de ser obtida nesse tipo de intersecção.
Plano qualquer x plano qualquer
Épura: A reta é:
57
Figura 55 : Exemplo 3 - Plano qualquer x plano qualquer
Fonte: os autores
Intersecção de planos 
Observando a intersecção entre os planos α e β, constata-se que o traço verti-
cal da reta resultante (r) é o resultado da intersecção dos traços verticais dos 
planos. Ou seja, o ponto V (traço vertical de r) pertence a απ2 e a βπ2. Contudo, 
nesse caso os traços απ1 e βπ1 são paralelos, ou seja, não terão intersecção. As-
sim a reta r não terá traço horizontal. Deve-se buscar nas retas que pertencem 
ao plano qualquer uma que atenda às características apresentadas: paralela 
ao plano horizontal e oblíqua ao vertical. Construindo-se a épura, tem-se que 
a reta r é uma reta que pertence ao plano qualquer, portanto, possível de ser 
obtida nesse tipo de intersecção.
Plano qualquer x plano qualquer
Épura: A reta é:
58
Figura 56: Exemplo 3 - Plano qualquer x plano qualquer
Fonte: os autores 
Intersecção de planos 
Observando a intersecção entre os planos α e β, constata-se que o traço hori-
zontal da reta resultante (r) é o resultado da intersecção dos traços horizontais 
dos planos. Ou seja, o ponto H (traço horizontal de r) pertence a απ1 e a βπ1. 
Contudo, nesse caso os traços απ2 e βπ2 são paralelos, ou seja, não terão in-
tersecção. Assim a reta r não terá traço vertical. Deve-se buscar nas retas que 
pertencem ao plano qualquer uma que atenda às características apresenta-
das: paralela ao plano vertical e oblíqua ao horizontal. Construindo-se a épu-
ra, tem-se que a reta r é uma reta que pertence ao plano qualquer, portanto, 
possível de ser obtida nesse tipo de intersecção.
Pode-se ainda obter retas de intersecção que estejam fora do primeiro diedro.
Plano qualquer x plano qualquer
Épura: A reta é:
59
Figura 57: Exemplo 4 - Plano qualquer x plano qualquer
Fonte: os autores
Intersecção de planos 
Conforme pode ser observado, a reta r (uma reta qualquer) atravessa o plano 
vertical em V e o plano horizontal em H. Contudo,nesse caso em particular, 
pode-se observar que a reta r está no 3º Diedro. 
A posição dos traços da reta de intersecção nos diversos diedros é conse-
quência das características da posição espacial dos planos que estão se in-
terceptando.
Na sequência, tem-se a intersecção entre dois planos de rampa. Foi visto que 
a	intersecção	entre	dois	planos	do	tipo	qualquer	permite	a	configuração	dos	
quatro tipos de reta que pertencem a esse plano.
Plano qualquer x plano qualquer
Épura: A reta é:
60
Figura 58: Exemplo 1 - Plano de rampa x plano de rampa
Fonte: os autores
Intersecção de planos 
O plano de rampa varia a cota do traço vertical e o afastamento do traço ho-
rizontal, mas a sua posição espacial é sempre semelhante: os traços são pa-
ralelos	à	linha	de	terra	(π1π2). Assim, a reta possível na intersecção entre dois 
planos de rampa é uma reta fronto-horizontal. Essa reta poderá estar localiza-
da em qualquer diedro.
A	figura	ilustra	a	intersecção	entre	dois	planos	de	rampa	α e β. Em perspecti-
va é fácil observar a posição da reta no primeiro diedro, mas em épura, como 
seria possível determinar a cota e o afastamento da reta? Olhando a partir da 
esquerda no desenho em perspectiva notam-se os limites dos planos α e β 
e que eles se encontram em um ponto de r. Pode-se supor que esses limites 
também são o resultado de uma intersecção entre planos, por exemplo, entre 
um	plano	de	perfil	e	um	plano	de	rampa.	
No	caso	da	figura,	ao	ser	inserido	um	plano	de	perfil,	haveria	como	resultado	
duas	retas	de	perfil,	as	quais	se	cruzam	em	um	ponto,	que	pertencerá	à	reta	
de intersecção entre os planos de rampa e fornecerá a cota e o afastamento 
dessa reta.
Plano de rampa x plano de rampa
Épura: 
61
Figura 59: Exemplo 2 - Plano de rampa x plano de rampa
Fonte: os autores
Intersecção de planos 
O	plano	de	perfil	γ gera duas retas de intersecção: a reta s (resultado da inter-
secção de γ com α) e a reta t (resultado da intersecção de γ com β). As retas s e 
t interceptam-se segundo o ponto A, o qual é um ponto da reta r (intersecção 
entre α e β).
Sendo r uma reta fronto-horizontal e determinando-se um ponto dessa reta, 
podem-se determinar as projeções horizontal e vertical da reta, pois ela pos-
sui afastamento e cota constantes. Em épura, deve-se rebater s e t, de modo a 
encontrar o ponto A e determinar sua cota e seu afastamento.
Além	de	um	plano	de	perfil,	é	possível	também	encontrar	um	ponto	da	reta	de	
intersecção entre os planos de rampa, a partir de um plano qualquer.
Plano de rampa x plano de rampa
Épura: 
62
Figura 60: Exemplo 3 - Plano de rampa x plano de rampa
Fonte: os autores
Intersecção de planos 
O plano qualquer γ gera duas retas de intersecção: a reta s (resultado da inter-
secção de γ com α) e a reta t (resultado da intersecção de γ com β). As retas s e 
t interceptam-se segundo o ponto A, o qual é um ponto da reta r (intersecção 
entre α e β).
Poderá haver situações onde a intersecção entre os planos de rampa ocorra 
fora do primeiro diedro.
Plano de rampa x plano de rampa
Épura: 
63
Figura 61: Exemplo 4 - Plano de rampa x plano de rampa
Fonte: os autores
Intersecção de planos 
A	figura	mostra	a	intersecção	entre	dois	planos	de	rampa	α e β. Diferentemen-
te dos exemplos mostrados anteriormente, nesse caso a reta de intersecção r 
está localizada no segundo diedro. O procedimento de resolução para encon-
trar um ponto sobre r segue o mesmo raciocínio já abordado. A épura ilustra 
um plano auxiliar qualquer γ traçado como apoio para encontrar um ponto 
da reta de intersecção r.
Plano de rampa x plano de rampa
Épura: 
64
Figura 62 : Exemplo 1 - Plano frontal x plano horizontal
Fonte:os autores
A	intersecção	apresentada	na	figura	diz	respeito	a	um	plano	frontal	
α e um plano horizontal β. Conforme pode ser observado, a reta r 
de intersecção é uma reta fronto-horizontal. Outra particularidade, 
nesse caso, é que a projeção vertical da reta r está sobre o traço 
vertical de β e a projeção horizontal sobre o traço horizontal de α.
A partir dessas observações, é possível empreender diversas possi-
bilidades de intersecções entre os planos estudados. Destaque-se 
que no caso dos planos quaisquer, a intersecção dos traços vertical 
e horizontal possibilitava a determinação dos traços vertical e hori-
zontal da reta de intersecção. Contudo, isso nem sempre é possível, 
conforme foi observado no plano de rampa, onde se utilizou um 
terceiro plano como apoio para determinar a reta de intersecção. 
E deve-se também atentar para situações conforme apresentadas 
na intersecção entre um plano horizontal e um plano frontal, cujas 
projeções vertical e horizontal da reta, coincidem com os traços 
vertical (do plano horizontal) e horizontal (do plano frontal).
Intersecção de planos 
Plano de frontal x plano de horizontal
 
Épura: 
65
Figura 63 : Plano de rampa e plano que passa pela linha de terra, sob o ponto de vista dos diedros e da épura.
Fonte: os autores
Plano de rampa: casos especiais
O plano de rampa pode apresentar-se em duas situações bastante 
específicas,	discriminadas	aqui	por	exigirem	alguns	 recursos	es-
peciais para a resolução de problemas.
Plano que passa pela linha de terra
Este plano de rampa corta, simultaneamente, os planos p1 e p2 exa-
tamente na linha de terra (única intersecção entre os dois planos).
A	grande	dificuldade	em	compreender	este	plano,	assim	como	os	
demais elementos que a ele pertencem, reside no fato de que, em 
épura, seus dois traços se sobrepõem exatamente sobre a linha de 
terra, impossibilitando a visibilidade da inclinação do plano assim 
como de qualquer operação de pertinência executada até então.
Podemos	observar	na	figura	63	a	comparação	entre	um	plano	de	
rampa genérico e o plano que passa pela linha de terra. O plano 
azul, designado por (f) é paralelo a (α), sendo ambos planos parale-
los à linha de terra (plano de rampa). Note que (f) passa exatamen-
te pela linha de terra, mas (α) não. A consequência desse posiciona-
mento é que (α) apresenta traço vertical e horizontal, enquanto os 
traços	de	(f)	se	confundem	com	a	linha	de	terra	(figura	63).	Épura: 
66
Figura 65: No caso de um plano de rampa que passa pela linha de terra, esse procedimento não será mais pos-
sível, pois não temos como visualizar a V.G. do plano. 
Fonte:os autores
Plano de rampa: casos especiais
Em se tratando de avaliar a pertinência de um ponto a um plano de 
rampa, obtém-se facilmente pelo rebatimento desse plano em p3, 
conforme	mostra	a	figura	64.	Em	compensação,	quando	tratamos	
de um ponto pertencendo a plano que passa pela linha de terra, 
não	há	como	fazer	rebatimento	e	a	afirmação	se	inverte:	Se	(A)	per-
tence	a	(f),	então	sabemos	sua	inclinação	em	V.G.	(figura	65)
Figura 64: No caso de um plano de rampa convencional, para sabermos se o ponto (A) pertence ao plano, basta 
realizarmos um rebatimento da imagem em plano auxiliar p3.
Fonte: os autores
67
Figura 66 : Partindo-se da premissa de que o ponto (A) pertence a (f) e que (f) passa pela linha de terra, exe-
cuta-se o rebatimento de (A) em p3 e descobre-se a inclinação de (f).
Fonte: os autores
Plano de rampa: casos especiais
Para a situação de pertinência de reta a plano, temos no exemplo 
abaixo o plano (f) e duas retas: (A)(B) e (A)(C). Note que o ponto (A) 
encontra-se na linha de terra, como resultado do prolongamento 
tanto de (A)(B) quanto de (A)(C), ou seja, o ponto (A) também é 
traço (vertical e horizontal simultaneamente) de ambas as retas.
Analisando essas condições, temos que tanto (A)(B) quanto (A)(C) 
têm seus traços sobre os traços do plano e, no entanto, apenas (A)
(B) pertence ao plano. Essa informação a épura não nos dispõe.
Figura 67: Pertinência de reta a plano
Fonte:os autores
68
Plano bissetor
Um plano bissetor também é um plano que passa pela linha de ter-
ra, mas mantém igual inclinação em relação a p1 e a p2. Essa con-
dição faz com que todos os pontos desse plano tenham o mesmo 
valor de cota e afastamento, somente trocandoo sinal conforme o 
diedro em que se encontra.
Os planos bissetores são apenas dois:
Plano bissetor ímpar: atravessa o 1º e o 3º diedros
Plano bissetor par: atravessa o 2º e o 4º diedros
Exemplos de pontos pertencentes aos bissetores:
Bissetor ímpar 1º diedro: (A) [0; 2; 2]
Bissetor ímpar 3º diedro: (B) [2; -3; -3]
Bissetor par 2º diedro: (C) [4; -5; 5]
Bissetor par 4º diedro: (D) [3; 8; -8]
69
1. Determinar a intersecção entre os planos 
 ao lado.
Exercícios
70
2. Determinar a intersecção entre os planos 
 ao lado.
3. Determinar a intersecção de um plano de 
rampa que contém a reta AB com um plano 
de topo que contém a reta CD e forma 45º 
com o π2.
A (0; 3; 1) B (3; 1; 4) C (7; 2; 1) D (7; 2; 
3)
4. Determinar a intersecção de um plano 
vertical com um plano de topo.
5. Determinar a intersecção de um plano ho-
rizontal com cota igual a 2cm com um plano 
de	perfil.
6. Determinar a intersecção de um plano de 
rampa com cota 3cm e afastamento igual ao 
dobro da cota com um plano horizontal de 
cota 2cm.
7. Determinar a intersecção de um plano ho-
rizontal de cota 3cm cmo um plano frontal 
de afastamento 2cm.
Exercícios
72
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Este capitulo apresenta como objetivo a integração da Geometria 
Descritiva com Álgebra Linear e Geometria Analítica sob o foco do 
tópico de interseção de planos. Nossa expectativa é que o aluno in-
gressante em uma universidade tenha a possibilidade de dominar 
e	manipular	os	conhecimentos	técnicos	e	específicos	de	sua	área	
de interesse. Assim apresentamos uma possibilidade de ampliar a 
integração nas primeiras disciplinas de um curso de engenharia 
buscando desenvolver as capacidades dos acadêmicos com dife-
rentes abordagens de ensino.
O problema prático – Como resolver um sistemas de 
equações utilizando a interseção entre planos da geome-
tria descritiva.
Para encaminhar uma solução, utilizaremos um sistema de dimen-
são 3 como exemplo e sua resolução passo a passo apresentando 
paralelamente a resolução na Geometria Descritiva. 
No caso de um problema de três planos que se cruzam , se existe 
solução, esta é um ponto I (intersecção solução) no espaço. É impor-
tante lembrar que nem sempre temos uma solução para este proble-
ma, pois por exemplo , dois planos podem ser paralelos entre si, ou 
se os 3 planos se cruzam sobre a mesma reta de intersecção. 
Este	ponto		I	é	determinado	através	da	identificação	do	cruzamen-
to das retas de interseção dos planos dois a dois (retas r, s, t). O 
diagrama	de	conjuntos	abaixo	(figura	1)	representa	esta	situação	
simplificada.
Figura 01 : Representação da interseção entre três planos utilizando Diagrama de Van.
As situações onde o problema não possui solução não serão apresentadas exemplo.
Fonte: os autores
73
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Fundamentação Matemática - Álgebra Linear e 
Geometria Analítica.
Um sistema linear possuindo m equações e n incógnitas (ou vari-
áveis) é escrito usualmente na forma ao lado, onde aij são os coe-
ficientes	do	sistema	(1	≤	i	≤	m	linhas,	1	≤	j	≤	n	e	colunas),	xj são as 
variáveis	(ou	incógnitas)	(1	≤	j	≤	n)	e	bi	são	as	constantes	do	vetor	
de	termos	independentes	(1	≤	i	≤	m).	
O mesmo sistema linear também pode ser apresentado sob a no-
tação matricial: Ax = b. A resolução deste sistema linear consiste 
em calcular os valores de xj ( j = 1, ..., n), caso eles existam, que sa-
tisfaçam as m equações simultaneamente. 
Sobre os tipos de soluções de um sistema de equações, o sistema 
pode ser impossível (ou incompatível) se não possui solução, pos-
sível (ou compatível) se possui solução. Caso o sistema seja pos-
sível então ele pode ser determinado se apresentar solução única 
ou	indeterminado	se	possuir	infinitas	soluções,	(LEON,	1998	)	nos	
capítulos 2 e 3. 
Existem alguns métodos de solução para os sistemas lineares, de-
pendendo da dimensão do sistema, e condição da matriz inicial 
se esparsa ou não e/ou outros atributos. Os métodos: Eliminação 
de Gauss, método de Gauss-Jordan, inversão de matriz, fatoração 
LU e fatoração de Cholesky, e os métodos matemáticos iterativos 
de Jacobi e Gauss-Seidel, buscam em geral facilidades, precisão e 
eficiência	“computacional”	para	cada	caso	de	matriz	inicial.
74
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Estudo de caso prático – O sistema com solução única.
Apresentamos inicialmente o método formal conhecido como eli-
minação de Gauss para resolver um sistema com três variáveis e 
três equações, e um método não convencional na geometria ana-
lítica,	onde	fica	bem	muito	evidente	a	interação	entre	as	discipli-
nas, para a solução do mesmo problema na geometria descritiva. 
É importante desde já, destacar que apesar do método ser não 
convencional, este é apresentado e sua característica marcante 
encontra-se na descrição de retas no espaço de dimensão 3, e não 
no espaço de dimensão 2 como veremos. Ao lado apresentamos o 
exemplo numérico.
Dado o sistema:
Resolução por eliminação de Gauss:
Escrevendo a matriz aumentada do sistema, e escalonando:
Reescrevendo o sistema escalonado:
75
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Resolvendo por retrosubstituição:
Solução: ( 2, 3, 5).
76
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Figura 2 : Planos apresentados pelas equações do sistema proposto.
Fonte: os autores
O	método	de	resolução	por	eliminação	de	Gauss	é	eficiente	e	co-
nhecido, porém importante questionar qual a sua relação com o 
conhecimento adquirido na Geometria descritiva? Como podemos 
demonstrar a interdisciplinaridade? Para atender estas questões 
foi desenvolvida uma resolução que percorre o mesmo caminho 
da Geometria Descritiva, isto é, a solução é encontrada após a de-
terminação do cruzamento das retas de interseção entre os planos 
dois a dois, como será apresentado.
Do sistema 
pode-se denominar três planos, cujo desenho se apresenta na 
figura	2.	
77
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Figura 3: Primeiro Diedro e eixos de referência X, Y, e Z apontados para o lado positivo.
Fonte:os autores
Todas	 as	figuras	deste	 foram	desenhadas	utilizando	o	 software	
AutoCAD mantendo a correta posição espacial dos planos. Para a 
obtenção dos planos de projeção horizontal e vertical de projeção 
utilizamos o comando “retângulo”, e posteriormente o comando 
“região” para a sua visualização no ambiente de modelagem 3D. 
Os planos α, β e λ foram representados pela interceptação dos 
eixos	X,	Y	e	Z	segundo	o	referencial	apresentado	na	figura	3,	uti-
lizando para a sua visualização o mesmo comando “região” do 
AutoCAD na barra de ferramentas “desenho”. 
Uma observação importante é que a porção positiva do eixo X é a 
esquerda do zero na linha de terra e não a direita como apresen-
tado em Principe Jr. (1980) (1970), somente desta forma o modelo 
3D gerado pelo AutoCAD é encaixado no conceito de coordenadas 
do livro anteriormente citado.
78
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Figura 4: Os três planos (α, β e λ) no sistema de referência, com a representação das retas de interseção entre 
os plano dois a dois. O ponto de interseção das retas é a solução do sistema. 
Fonte: os autores
Para representar cada um dos planos em seu exato posicionamento 
espacial, necessitamos de três pontos. Cada uma dos três pontos de 
cada plano foi obtido igualando-se a zero as outras variáveis. Assim 
o cruzamento do plano α pelo eixo X (linha de terra ou abscissa) se 
encontra nas coordenadas (12, 0,0) para o plano α (igualando-se y 
e z a zero na equação que representa o plano α. As coordenadas 
para o cruzamento do plano α no eixo Y (afastamento) é (0,6,0) igua-
lando-se x e z a zero na equaçãoque representa o plano α. E as 
coordenadas do cruzamento do plano α ,pelo eixo Z (cota) são res-
pectivamente (0,0,15) igualando-se x e y a zero. Assim conseguimos 
representar cada plano em sua exata posição espacial.
Desta forma o cruzamento dos planos pela linha de terra (eixo X / 
abscissa), (18,0,0) para o plano β, e (4,0,0) para o plano λ. As coor-
denadas para o cruzamento dos planos no eixo Y (afastamento) β 
e λ são respectivamente (0,9,0) e (0,0,0). E as coordenadas do cru-
zamento dos planos β e λ pelo eixo Z (cota) são respectivamente 
(0,0,18)e (0,0,10).
Assim apresentação do sistema, no espaço de referência, é como 
apresentado	na	figura	4.	E	sua	solução	pode	ser	interpretada	como	
a interseção de três planos. Geometricamente a solução do siste-
ma é o ponto de interseção entre os três planos. Como apresenta-
do	na	figura	4.
79
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Figura 5: Representação da interseção dos planos α e β e sua reta de interseção, observe que a reta de inter-
seção é uma reta o tipo horizontal portanto, tendo sua cota constante.
Fonte: os autores
Pela Geometria Descritiva a interseção dos planos dois a dois de-
termina três retas no espaço. O cruzamento dessas três retas é o 
ponto de interseção entre os planos, e solução do sistema. Aqui se 
apresenta uma observação importante: Estamos “acostumados” 
a ver a equação da reta, y = ax + b, em um espaço bidimensional. 
Como as retas de interseção entre os planos se cruzam no espaço 
tridimensional, suas equações são representadas na forma redu-
zida como apresentado a seguir.
Interseção dos planos dois a dois:
Sejam α: 5x+10y+4z=60 , β: x+2y+2z=18 , λ: 10x+4z=40 três pla-
nos	conforme	figura	4.
Denominamos por r, s e t as retas de intersecção α∩β, β∩λ, α∩λ 
respectivamente.
Determinação	da	reta	r,	ver	figura	5:
80
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Figura 6 : Representação da interseção dos planos β e λ sua reta s de interseção, observe que a reta de interse-
ção é uma reta o tipo qualquer
Fonte:os autores
Isolando x na segunda equação: 
x = 18 - 2y - 2z
 
Substituindo (1) na primeira equação: 
5[18 – 2y – 2z] + 10y + 4z = 60 → 90 -10y – 10z +10y +4z = 60
z = 5
 
Substituindo (2) em (1):
x = 18 - 2y - 2(5) → x = 8 - 2y
 
Assim, a reta r na forma reduzida é representada por: 
 
Note que z constante determina a reta do tipo horizontal.
Determinação de s,	ver	figura	6:
81
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Figura 7 : Representação da interseção dos planos β e λ e sua reta t de interseção, observe que a reta de in-
terseção é uma reta o tipo qualquer.
Fonte: os autores
Da primeira equação x = 18 - 2y - 2z 
Substituindo (1) na segunda equação: 
 
 Assim, a reta s na forma reduzida é representada por:
 
Determinação	da	reta	t	,	ver	figura	7:
Substituindo (3) em (1):
82
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Isolando x na primeira equação:
 
Substituindo (4) na primeira equação: 
 
 
Substituindo (5) em (4): 
 
Logo, a reta t na forma reduzida é representada por:
Ponto de interseção ( 2, 3, 5 )
Interseção das retas 
duas a duas:
r ∩ s: Igualando x de r a x de s: 
Ponto de interseção ( 2, 3, 5 )
r ∩ t: Substituindo z=5 de r em z de t: 
Ponto de interseção ( 2, 3, 5 )
s ∩ t: Igualando x das retas s e t: 
Substituindo em z e x da reta t, respectivamente:
83
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Figura 8: Ponto de interseção representado pelo cruzamento das retas r, s e t.
Fonte: os autores
 
As interseções das retas duas a duas comprovam a solução do sis-
tema pelo método de eliminação de Gauss. Evidentemente sua 
eficiência	não	é	discutida	aqui	e	sim	uma	forma	de	apresentar	a	
interdisciplinaridade que o método de eliminação de Gauss não 
evidencia.	Na	figura	8,	são	apresentadas	somente	as	retas	de	in-
terseção e a localização do ponto (representado por uma esfera) 
e	a	solução	identificada	pelo	software	AutoCAD,	pelo	comando	de	
propriedade	dos	objetos.	As	retas	de	interseção	na	figura	8	e	foram	
definidas	utilizando	a	captura	de	pontos	entre	os	elementos	que	
definem	os	planos	α, β e λ.	A	esfera	teve	seu	centro	definido	tam-
bém através da captura de pontos.
A	figura	9	destaca	a	solução	do	sistema	proposto	através	a	utiliza-
ção da paleta de propriedades dos objetos no AutoCAD, neste caso 
o a solução é a coordenada x, y , z do centro da esfera.
Figura 9: Solução identificada pelo AutoCAD. 
Fonte: os autores
Solução do sistema 
proposto
84
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Figura 10 : A épura do problema do sistema a ser resolvido.
Fonte: os autores
Devemos observar que as retas de interseção entre os planos não 
estão no espaço bidimensional, por isso devem ser representadas 
na forma reduzida. Como este método das interseções duas a duas 
não	é	comumente	apresentado	nas	salas	de	aula	dada	a	sua	inefi-
ciencia, a ligação entre a geometria analítica a geometria descriti-
va e a álgebra linear encontra-se esquecida. O problema e sua so-
lução utilizando o método biprojetivo de Monge será apresentada 
na	figura	10	e	11.
85
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Figura 11 : Épura da solução do exemplo numérico.
Fonte: os autores 
Na	figura	11	é	apresentada	a	solução	do	exemplo	proposto	pelo	
método Mongeano. As retas r, s e t de interseção entre os planos 
são determinadas por suas projeções. No cruzamento das proje-
ções das retas r, s e t encontra-se o ponto de interseção dos pla-
nos, solução do exemplo numérico proposto. Para apresentar a 
precisão do método foi colocada sobre a épura uma grade (qua-
driculado de uma unidade) facilitando a conferência da solução. 
Assim	podemos	verificar:	abscissa	2	unidades	a	partir	do	zero	para	
esquerda, cota 5 unidades para cima e afastamento 3 para baixo 
definindo	as	projeções	horizontal	 e	 vertical,	 I1	e	 I2	do	ponto	de	
intercessão dos planos.
Observação: Os traços das retas r s e t não estão representados na 
épura. 
Lembramos que não foram apresentados os sistemas Indetermi-
nado	ou	com	infinitas	soluções	e	o	sistema	Impossível	ou	sem	so-
lução.	Esses	casos	são	semelhantes	ao	caso	apresentado	ficando	
como exercício de interação entre disciplinas para os leitores.
86
Interdisciplinaridade entre 
Geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica
Algumas Conclusões
A	eficiência	comparada	dos	métodos	de	solução	de	sistemas	é	in-
discutível entre as três disciplinas, evidentemente a álgebra linear 
pelo método de eliminação de Gauss tem vantagens sobre as ou-
tras	disciplinas.	Porém	em	detrimento	da	eficiência	a	vantagem	da	
integração entre as disciplinas acaba sendo perdida no dia a dia 
do acadêmico. A resolução do sistema pelo método de eliminação 
de Gauss, não evidencia as retas de interseção dos planos em um 
espaço de três dimensões deixando uma grande lacuna para inte-
ração entre as disciplinas.
Considere que a relevância da disciplina de Geometria Descritiva 
é ampliada pois a mesma solução do sistema é obtida na épura. 
Desta forma pode-se ressaltar que Geometria Descritiva não é so-
mente uma base para o Desenho Técnico como é percebida pela 
maioria	dos	alunos,	mais	também	um	método	gráfico	de	resolução	
de sistemas lineares em três dimensões.
Referências.
LEON, S. J. Álgebra Linear com Aplicações. 4. ed. Rio de Janeiro: 
LTC	–	Livros	técnicos	e	Científicos	S.A.,	1998.
PRINCIPE Jr., A. R. Noções de Geometria Descritiva. Volume 1. ed. 
36 São Paulo: Nobel, 1985.
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Interdisciplinaridade entre geometria descritiva e álgebra linear 
e geometria analítica