aula2

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Disciplina: Eletromagnetismo
Aula 02: Lei de Coulomb e campo elétrico
Introdução
Após a definição dos principais conceitos relacionados à análise vetorial, chegou a hora de iniciarmos o estudo da teoria
eletromagnética. A ideia é conhecer toda a essência da Engenharia Elétrica por meio das noções do eletromagnetismo.
Para facilitar a compreensão, dividiremos esse momento em duas partes: cargas estáticas e dinâmicas.
Nesta aula, trabalharemos, primeiro, com a lei experimental de Coulomb. Nosso foco será a análise das forças de interação entre
as cargas estáticas e sua contribuição para o surgimento do campo elétrico, que influencia toda a área da Engenharia Elétrica –
desde a fabricação de dispositivos eletrônicos até a transmissão de energia elétrica.
Além disso, diferenciaremos a distribuição de cargas discreta e contínua, identificando a relevância do aprendizado das cargas
distribuídas ao longo do condutor, seja em uma linha – como um fio em uma linha de transmissão –, seja em uma superfície
plana – como as placas paralelas de um capacitor.
Esse estudo da interação das forças entre as cargas e do surgimento do campo elétrico será muito importante para a análise
futura dos campos variantes no tempo e para a interpretação da teoria de Maxwell.
Uma dica importante: a qualquer momento, se sentir que está perdido, fique à vontade para retornar à aula anterior de análise
vetorial. Só prossiga quando estiver familiarizado com as representações vetoriais em diferentes tipos de coordenadas.
Objetivos
Determinar a lei experimental de Coulomb e do campo elétrico estático;
Analisar o campo elétrico com base na distribuição discreta de cargas pontuais;
Descrever as formas de obtenção do campo elétrico a partir da distribuição contínua de carga ao longo de uma linha e de
uma superfície plana, e da distribuição volumétrica de cargas.
Lei experimental de Coulomb
O primeiro cientista a trabalhar experimentalmente com o fenômeno da eletricidade estática foi o médico inglês William
Gilbert (1544-1603).
Em 1600, ele estabeleceu que o vidro, o enxofre, o âmbar e outros materiais não atraíam para si somente pedaços
pequenos de objetos leves, mas também todos os metais, além de (HAYT; BUCK, 2017):
Madeira;
Pedra;
Folhas;
Água;
Porções de terra;
Óleo.
Pouco tempo mais tarde, o coronel das Forças Armadas Francesas, Charles Coulomb (1736-1806), elaborou uma série de
experimentos, usando uma delicada balança de torção para determinar, quantitativamente, a força exercida entre dois
objetos com certa carga elétrica estática.
Coulomb constatou, então, que a força entre dois objetos pequenos, separados pelo vácuo ou pelo espaço livre a uma
distância grande – comparada com seus tamanhos –, é diretamente proporcional à carga de cada um e inversamente
proporcional ao quadrado da distância entre eles.
A equação 1 demonstra essa relação:
F = k
Q1 ·Q2
R2
Equação 1
Onde:
F = força entre as cargas (N);
k = constante de proporcionalidade, que depende do meio e do sistema de unidades;
Q = valor das cargas com sinal positivo e negativo (C);
R = distância entre as cargas (m).
Nesse caso:
k =
1
4π · ∈0
Onde: ε = permissividade do vácuo = 8,854 x 10 C /Nm ou F/m.
Na forma escalar, a Lei de Coulomb define-se da seguinte maneira:
F =
Q1 · Q2
4π · ∈0 ·R
2
Para nossa análise inicial, considere duas cargas pontuais de 1,0 C (6,25 x 1018 elétrons, com 1,6 x 10-19 C cada),
afastadas entre si por 1,0 m de distância no vácuo, que produz uma força de 9,0 x 109 N (1 milhão de toneladas).
O elétron possui:
o
-12 2 2
Massa de repouso = 9,10956 x 10-31 kg;
Raio = 3,8 x 10-15 m.

Comentário
O fato de o elétron possuir um raio não implica uma forma esférica, mas serve para descrever o tamanho da região
em que este, movendo-se lentamente, tem maior probabilidade de ser identificado.
Logo, todas as outras partículas carregadas que conhecemos – incluindo o próton – contêm maiores massas e maior
raio, e ocupam um volume probabilístico maior do que o elétron (HAYT; BUCK, 2017).
Agora, vamos considerar uma carga Q em relação a uma carga teste Q (que também pode ser classificada como Q )
na esquematização a seguir, separada por uma distância R:
Se as duas cargas forem maiores ou menores do que 0 (zero), teremos uma força repulsiva entre elas, mas, se tiverem
sinais opostos, teremos uma força atrativa.
Para trabalhar na forma vetorial, precisamos dos vetores posição r e r e do vetor que une as cargas Q a Q a partir da
origem (representado por R = r - r ), como mostra a figura a seguir:
1 0 2
1 2 1 2
12 2 1
A força que age na carga Q é, portanto, F .
Na forma vetorial, a Lei de Coulomb define-se de acordo com a equação 2:
→
F2 =
Q1 · Q2
4π · ∈0 · R
 2
12
→
 a12 Equação 2
Onde: a = vetor unitário ou versor na direção R .
Algumas vezes, esse vetor é denominado r̂, ou seja:
→
a12 = r̂
→
R12
→
R12
=
→
r2 -
→
r1
r2 - r1
Vamos ver se você entendeu bem os princípios dessa lei?
Atividade
1. Considere duas cargas pontuais (+1,0 μC e -3,0 μC), separadas por uma distância de 100 mm. Onde podemos
localizar uma terceira carga, de modo que a força eletrostática líquida sobre ela seja nula?
Campo elétrico
Agora que você já se familiarizou com o conceito de força eletrostática, podemos definir campo elétrico.
Para isso, considere que, em vez da interação entre apenas duas cargas separadas por uma distância R, tenhamos uma
infinidade de cargas situadas à certa distância da carga teste, como mostra o esquema a seguir:
2 2
12 12
| | | |
A força resultante sobre essa carga é:
→
FR =
→
F1 +
→
F2 +
→
F3 +
→
F4. . . +
→
Fn
Substituindo os valores pela Lei de Coulomb, temos:
→
FR =
kQ1 · Q2
R21
 r̂1 +
kQ2 · Q0
R22
 r̂2 +
kQ3 · Q0
R23
 r̂3 +
kQ4 · Q0
R24
 r̂4 . . . +
kQn · Q0
R2n
 r̂n
→
FR = ∑
n
i = 1 
kQi · Q0
R2i
 r̂i
→
FR = ∑
n
i = 1 
kQi
R2i
 r̂i · Q0
→
E Campo elétrico
Devido ao campo elétrico gerado pelas cargas, a força resultante é expressa pela equação 3:
→
FR =
→
E · Q0 Equação 3
Em termos físicos, o que essa equação nos informa?
A resposta é simples: à medida que movemos lentamente várias cargas em torno de Q , notamos em toda parte a
existência de uma força agindo sobre elas. Em outros termos, essas cargas evidenciam a presença de um campo de
força, um campo vetorial de intensidade, chamado de campo elétrico.
Portanto, a força sobre uma carga de prova q (positiva), suficientemente pequena para não perturbar, de forma
significativa, o campo criado por Q , é dada por:
→
Fp =
Q1 · qp
4πεR1p
2 
→a1p 
Devido a Q , a intensidade do campo elétrico E, definida como a força (F) por unidade de carga (C) no local em que
está q , é determinada pela equação 4:
( ) ( )
0
p
1
1
p
→
E =
→
Fp
qp
=
Q1
4πε0 · R1p
2 
→a1p Equação 4

Comentário
Essa equação vale para cargas puntiformes , cargas esféricas e outras formas semelhantes, desde que estejam
situadas a uma distância grande, comparada com as dimensões do sólido possuidor da carga.
No lado direito da equação, a intensidade do campo elétrico E no ponto analisado não depende do valor da carga ali
colocada, e sim apenas da carga que criou o campo Q e da distância com relação a ela. Assim, temos:
Dispensando o uso de índices, chegamos à seguinte equação:
→
E =
Q
4πε0R
2 
→ar 
Onde:
R = vetor que une a carga geradora do campo ao ponto considerado;
a = vetor unitário nesse sentido.
 
Linhas de força
Em determinado ponto, o sentido do campo elétrico coincide com o sentido da força sobre uma carga de prova positiva.
Realizando vários ensaios com essa carga de prova no interior do campo elétrico, descobrimos o sentido deste e
podemos traçar as linhas orientadas que o caracterizam, denominadas linhas de força.
Se a carga criadora for positiva, haverá linhas de força radiais divergentes para fora, mas, se a carga for negativa, as
linhas radiais apontarão para dentro.
1
1
R
file:///C:/inetpub/wwwroot/graduacao/2018.2/eletromagnetismo__GON991/aula2.html
Quanto mais próximasestão as linhas umas das outras, mais forte é o campo.
A figura 1 demonstra esse raciocínio:
Como você observou, há uma falha na apresentação da simetria em ϕ (a). Por isso, tentamos uma localização simétrica
dos segmentos de reta (b).
As linhas devem ser esboçadas na região de maior densidade, o que nos dificulta se usamos segmentos de mesmo
tamanho, mas de largura proporcional a E (c).
De início, nós nos contentamos em mostrar somente a direção do campo E, esboçando linhas contínuas a partir da carga
tangente em qualquer ponto com relação a ele (d). A distribuição simétrica de linhas (uma a cada 45°) indica, então, a
simetria azimutal .
Vamos considerar, agora, em nossa análise o sistema de coordenadas esféricas.
Se a carga criadora for colocada na origem, R passará a ser r, e a será ar, como mostra a relação a seguir:
→
E =
Q
4πε0R
2 
→ar 
Nesse caso, temos apenas a componente radial não nula, ou seja:
Er =
Q
4πε0r
2 ; Eθ = 0; Eφ = 0.
Com a carga criadora nesta posição original e trabalhando com coordenadas cartesianas, o vetor posição R é estabelecido
com base nestas relações:
→
R = →r = xax + yay + zaz , 
→a R =
→a r = xax + yay + zaz /√x2 + y2 + z2
Assim, definimos a equação para o campo elétrico no ponto P da seguinte forma:
E =
Q
4πε x2 + y2 + z2
x
√x2 + y2 + z2
ax +
y
√x2 + y2 + z2
ay +
z
√x2 + y2 + z2
az
Essa relação nos mostra, portanto, que a seleção do sistema de coordenadas pode simplificar ou complicar a resolução
de um problema no estudo do campo elétrico. Por isso, fique atento à escolha mais adequada!

Dica
2
R
( )
( )
file:///C:/inetpub/wwwroot/graduacao/2018.2/eletromagnetismo__GON991/aula2.html
Se a carga produtora de campo não está na origem, e sim em um ponto em que o vetor posição é r = x .a +
y .a + z .a , você deve atentar para o uso do sistema de coordenadas cartesianas. Afinal, as simetrias esférica e
cilíndrica ficam perdidas. Isso acaba levando a sistemas complexos de cálculos que o deixarão confuso.
Enfim, chegamos à conclusão de que, em um ponto P, definido pelo vetor posição r = x.a + y.a + z.a , tomando
como base R = r - r , o campo elétrico é determinado da seguinte forma:
E ( r ) =
Q
4πε0 r - ro
2
 
r - ro
r - ro
=
Q r - ro
4πε0 r - ro
3
 
 
E ( r ) =
Q x - x0 ax + y - y0 ay + z - z0 az
4πε0 x - x0
2 + y - y0
2 + z - z0
2
3
2
A seguir, vamos praticar?
o o x
o y o z
x y z
o
| | | |
( )
| |
| ( ) ( ) ( ) |
[ ( ) ( ) ( ) ]
Atividade
2. Um pêndulo de fio isolante é colocado entre duas placas paralelas de cobre, com distribuições superficiais de
carga, separadas a uma distância D de 220 mm, como mostra a figura a seguir:
Sabendo que θ é o ângulo de 45° que o fio faz com a vertical, e que o pêndulo possui uma esfera de 50 g com
carga (q) de 3,0 μC, o campo pode ser obtido pela seguinte relação:
I. (tgθ.q)/P, que resulta em 1,6 x 10 N/C.
II. (tgθ.P)/q, que resulta em 2,5 x 10 N/C.
III. (tgθ.q)/P, que resulta em 2,5 x 10 N/C.
IV. (tgθ.P)/q, que resulta em 1,6 x 10 N/C.
Entre os itens anteriores, está(ão) correto(s):
 a) Apenas I
 b) Apenas IV
 c) I, II e IV
 d) I, III e IV
 e) II, III e IV
A Lei de Coulomb é linear.
Assim, a intensidade de campo elétrico em um ponto P, devido a duas ou mais cargas pontuais (Q , Q e Q ) que atuam
simultaneamente, é a soma dos campos criados por elas quando agem sozinhas.
O esquema a seguir demonstra esse raciocínio:
5
5
5
5
1 2 n
Aqui, o ponto P é definido pelo vetor posição r, e as posições das cargas, por r , r e r . Logo, os vetores que ligam as
cargas ao ponto P e seus respectivos versores são:
r - r → a
r - r → a
r - r → a
Enfim, chegamos à seguinte equação para o campo elétrico resultante no ponto P:
→
E ( r ) =
Q1 
4πε0 r - r1
2
 →a 1 + 
Q2 
4πε0 r - r2
2
→a 2 + 
Qn 
4πε0 r - rn
2
→a n
Campos produzidos por distribuições contínuas de
carga
Do ponto de vista prático, as cargas estão distribuídas nos condutores, e, devido à quantidade elevada destas, perdemos
o controle na avaliação do campo elétrico.
Mas, se utilizarmos a ferramenta do cálculo vetorial, poderemos tornar essa determinação menos complexa. Primeiro,
isolamos, de forma infinitesimal, a superfície a ser analisada. Depois, nós a integramos, considerando tal distribuição em
um sistema de coordenadas adequado.
Com essa ferramenta, é possível tratar as distribuições de cargas elétricas de maneira contínua em linhas, em chapas ou
em volumes. Assim, passamos de uma análise discreta de carga para uma análise contínua, empregando o sistema de
integração.
Vejamos como isso pode ser feito pelos tipos de distribuição de cargas mencionados:
Distribuição contínua de cargas elétricas em linhas
ρL = lim ∆ L → 0 
∆ Q
∆ L = 
dQ
dL [C/m]
Desse modo, a carga existente em uma linha pode ser obtida pela equação 5:
Q = ∫LdQ = ∫LρLdL
1 2 n
1 1
2 2
n n
| | | | | |
Distribuição contínua de cargas elétricas em chapas ou superfícies
De forma semelhante, aqui, usamos a densidade superficial de carga, definida como:
ρs = lim ∆S→ 0 
∆ Q
∆ S = 
dQ
dS C/m
2
Desse modo, a carga existente em certa área pode ser obtida pela equação 6:
Q = ∫SdQ = ∫SρSdS
Distribuição contínua de cargas elétricas em volumes
Aqui, usamos a densidade volumétrica de carga, definida como:
ρV = lim ∆ V → 0 
∆ Q
∆ V = 
dQ
dV C/m
3
Desse modo, a carga dentro de um volume finito, determinado por integração, pode ser obtida pela equação 7:
Q = ∫VoldQ = ∫VolρvdV
Se houver densidades constantes, será possível determinar as cargas pelas relações a seguir para cada distribuição
correspondente:
Distribuição linear → Q = p •L
Distribuição superficial → Q = p •S
Distribuição volumétrica → Q = p •V
Nesse sentido, as integrações vão se desdobrar em integração de linha, de superfície e de volume.
Os problemas mais clássicos com que você pode se deparar envolvem a correta atribuição dos limites para cada variável
e a execução da própria integração, observando o sistema de coordenadas utilizado.
Se a carga estiver distribuída em uma linha, em uma superfície ou em um volume, e você desejar calcular o campo
elétrico gerado em certo ponto do espaço, considere a contribuição de cada parte da carga.
Para ficar mais claro, vamos analisar um exemplo.

Exemplo
Em uma distribuição espacial, a contribuição ao campo elétrico no ponto P, com vetor posição r, dada pela carga
incremental ΔQ, com vetor posição r', é obtida da seguinte maneira:
∆
→
E(→r ) =
∆ Q1
4πε →r -
→
r '
2
 
→r -
→
r '
→r -
→
r '
=
ρv ∆v
4πε →r -
→
r '
2
→r -
→
r '
→r -
→
r '
De forma contínua, fazemos ΔV tender a zero e levamos o número de cargas ao infinito. Assim, temos a relação
com o sistema de integração em coordenada esférica, conforme a equação 8:
[ ]
[ ]
L
s
v
| | | |
→
E →r = ∫vol 
ρv
→r ' dV
4πε →r -
→
r '
2
 
→r -
→
r '
→r -
→
r '
 Equação 8
Essa equação possui uma difícil integração tripla, onde as variáveis de integração em coordenadas cartesianas são
x', y' e z'.
Mais adiante, descobriremos casos clássicos, em que as integrações de linha e de superfície são mais simples de resolver
manualmente.
Quando estudarmos a Lei de Gauss na próxima aula, veremos que é mais fácil resolver esse problema de determinação
do campo em coordenadas esféricas devido a sua simetria.
Antes disso, vamos fazer outro exercício.
Atividade
3. Considere um corpo esférico oco que possui:
Raio interno → r = 10 mm;
Raio externo → r = 20 mm;
Além disso, esse corpo tem distribuição volumétrica de carga igual a:
ρV =
4x103
r3
C/m3
Determine a carga nele distribuída.
Campo de uma linha infinita de cargas
 Para nossa análise, vamos considerar uma carga distribuída com densidade linear uniforme ρL (C/m) ao longo de uma
linha reta infinita.

Exemplo
Imagine um filamento de tipo bem fino, como o feixe agudo de um tubo de raios catódicos ou um condutor
carregado de raio bem pequeno.
No caso do feixe de elétrons, as cargas estão em movimento – e não tratamos isso como umproblema eletrostático.
Entretanto, se a movimentação dos elétrons é constante e uniforme, e se ignoramos por um momento o campo
magnético produzido, o feixe de elétrons pode ser composto de elétrons estacionários. Afinal, uma foto instantânea
tomada em qualquer tempo mostra a mesma distribuição de carga (HAYT; BUCK, 2017).
Então, nosso estudo se baseará em uma linha reta de cargas que se estende ao longo do eixo z em um sistema de
coordenadas cilíndricas, desde +∞ até -∞. A ideia é determinar a intensidade de campo elétrico em qualquer ponto
resultante dessa distribuição uniforme ρL.
Para essa investigação, devemos, inicialmente, analisar os seguintes aspectos em relação à simetria:
( )
( )
| |
1
2
[ ]
Com que coordenadas o campo não varia;
Que componentes do vetor não existem.
No esquema a seguir, com p e z constantes, observe que, para qualquer ϕ, as componentes do campo ficam constantes:
Isso caracteriza uma simetria azimutal, que pode ser deduzida a partir da solução da equação de Laplace em
coordenadas esféricas.

Comentário
Tal dedução foge do foco neste instante, mas, para quem já estudou cálculo e tem conhecimentos prévios a respeito
do assunto, a equação de Laplace não é novidade.
Quando mantemos ρ e ϕ constantes, constatamos que, se movermos o ponto para os dois lados do eixo z, o campo
também se preservará constante, pois não depende de z. Há, aqui, então, uma simetria axial.
Agora, de forma semelhante, quando mantemos ϕ e z constantes e variamos ρ, notamos que o campo diminui com o
aumento de ρ. Dessa forma, concluímos que o único componente presente é a radial (E ).
Vamos considerar, portanto, o ponto P no eixo y, tendo em vista que E não varia com ϕ nem com z. A fonte de campo é
uma carga pontual infinitesimal: dQ = ρL.dz.
Logo, a distância carga-ponto é:
→
R = →r - →r ' = ρ
→
aρ - z ·
→
az
onde:
R = →r - →r ' = √ρ2 - z2
Assim, temos:
d
→
E =
ρLdz
4πε0R
2
→
ar
Entretanto:
ρ
| |
dEp = dE. senθ e dEz = dE. cosθ onde senθ = 
ρ
R
Ao considerarmos todos os valores positivos e negativos de z, a componente vertical acaba se anulando. A única que
permanece é:
dEp =
ρLdzsenθ
4πε0R
2 =
ρLdz
4πε0R
2 =
ρ
R =
ρLdzρ
4πε0R
3
Se substituirmos R²=ρ²+z² e integrarmos ao longo de todo o filamento, obteremos a seguinte relação:
Ep = ∫
+ ∞
- ∞
ρLρdz
4πε z2 + ρ2
3
2
=
ρLρ
4πε ∫
+ ∞
- ∞
dz
z2 + ρ2
3
2
=
ρLρ
4πε
z
ρ2√z2 + ρ2
+ ∞
- ∞
=
∞
∞ = in det erm
Para levantarmos a indeterminação e simplificarmos a equação, utilizaremos apenas o termo de maior grau que
estabelecer o seguinte:
Ep =
ρLρ
4περ2
limz → ∞
z
√z2 + ρ2
- limz → ∞
z
√z2 + ρ2
=
ρLρ
4περ2
limz → ∞
z
√z2
- limz → ∞
z
√z2
= Ep =
ρLρ
4περ2
limz → ∞
z
z - limz → ∞
z
- z =
ρ
4π
Observe, aqui, que o campo é inversamente proporcional à distância do fio, e não inversamente proporcional ao
quadrado, como esperávamos.
Enfim, chegamos à determinação do campo ao longo de um fio com distribuição linear, conforme a equação 9:
→
E =
ρL
2πε0ρ
→
aρ Equação 9
Onde:
ρ = densidade linear (C/m);
ε = constante de permissividade do vácuo, que vale 8,85 x 10-12 C²/(N.m²);
ρ = distância radial ao longo do fio em metro (m) para obter um campo elétrico (N/C ou V/m).
Vamos entender melhor essas equações fazendo mais um exercício?
Atividade
4. Um trecho de uma linha de transmissão deve passar por manutenção preventiva.
Para isso, o profissional percorre todo o trecho, executando uma velocidade de 100 km/h em, aproximadamente,
6,8 min. O objetivo é isolar toda a área que vai passar pela manutenção.
Entretanto, antes de aterrar os dois terminais, ele verificou que o trecho contém uma distribuição linear de cargas
de 65 nC/m.
Qual é o campo elétrico da linha afastada a 80 cm [εo= 8,85x10-12 C²/(N.m²)]?
Campo elétrico de uma superfície plana de cargas
( ) ( ) ( ) ( )
{ ( ) ( )} { ( ) ( )} { ( ) ( )}
L
o
Para dar continuidade a nossa investigação do campo elétrico, agora, vamos considerar uma distribuição superficial de
cargas com densidade correspondente ρ (C/m ) sobre um plano infinito.

Exemplo
Isso acontece nos capacitores de placas paralelas e nas linhas de transmissão do tipo fita – strip line (HAYT; BUCK,
2017).
Analise, a seguir, o esquema de uma placa em um eixo de coordenada no plano yz.
Observe que o campo não varia com y nem com z, mas apenas no eixo x. A única componente existente, portanto, é E .
Assim, tomaremos uma linha infinita de cargas localizada em y que tem largura diferencial d .
A carga que está distribuída em 100 cm de fita pode ser obtida pela seguinte relação:
∆ Q = ρL1m ou ∆ Q = psdy1m
Logo, temos:
ρL = ρsdy
A distância desse elemento de carga até o ponto P no eixo x é dada por:
ρ = R = √x2 + y2
Como a placa é infinita tanto para a esquerda quanto para a direita, quando realizamos a integração, a componente dE
se anula, o que simplifica nossa relação algébrica, sobrando apenas a componente dE .
Então, a contribuição dessa faixa de largura diferencial para E em P é resultado de:
dEx = dE cosθ =
ρsdy
2πε0√x2 + y2
x
R =
ρs
2πε0
xdy
x2 + y2
Resolvendo o cálculo, podemos integrar as contribuições de todas as faixas ao longo de toda a superfície, chegando à
equação 10:
Ex =
ρsx
2πε0
y = + ∞
∫
y = - ∞
dy
x2 + y2
Ex =
ρsx
2πε0
1
x arctan 
y
x
y = + ∞
y = - ∞
Ex =
ρsx
2πε0
1
x
π
2 - -
π
2 Ex =
ρs
2ε0
 Equação 10

Comentário
S
2
x
y
y
x
x
( )
( ) [ ] [ ( )]
Essa equação de obtenção do campo elétrico a partir da densidade superficial de carga mostra que o módulo não
diminui com o afastamento da placa. Em outras palavras, há um campo completamente uniforme em cada lado da
placa, cujo sentido se distancia da placa positiva.
Em termos vetoriais, a relação algébrica fica estabelecida de acordo com a equação 11:
→
E =
ρs
2ε0
→
an Equação 11
Se colocarmos outra placa paralela a esta, como em capacitores, mas com polaridade contrária, teremos o dobro do
campo entre elas e a anulação deste no exterior de ambas. Assim, podemos determinar o campo pela equação 12:
→
E = 2
ρs
2ε0
→
an =
ρs
ε0
→
an Equação 12
Para finalizar a aula, vamos testar seus conhecimentos?
Atividade
5. Uma partícula eletricamente carregada com carga de 1,7 nC e massa igual a 0,2 g está suspensa por um fio de
massa desprezível com 10 cm de comprimento, preso a uma parede também eletricamente carregada. O menor
ângulo formado entre o fio e a parede é de 2,3°.
Considere que o afastamento entre a partícula e a placa seja menor do que as dimensões da placa. Quanto ao
campo elétrico produzido pela parede carregada e sua densidade superficial, podemos afirmar que:
 a) A tração de 2,0 x 10-6 N gerada pelo fio possui uma componente em Ty, que é oposta ao peso de 1,96 mkg
exercido pela partícula.
 b) A tração de 1,96 x 10-3 N gerada pelo fio possui uma componente em Ty, que é oposta ao peso de 1,96 mkg
exercido pela partícula.
 c) A intensidade do campo elétrico gerado leva em conta a densidade linear de carga (ρL) de 8,319 x 10-7 C/m,
que é inversamente proporcional à distância do fio com relação à parede.
 d) A densidade superficial de carga (ρs) encontrada foi de 4,2 x 10-7 C/m², determinada com base no campo
elétrico gerado pelo produto da constante de permissividade no vácuo (ε0 = 8,85 x 10-12 C²/(N.m²).
 e) A intensidade do campo elétrico gerada foi de 4,7 x 104 N/C, determinada pela razão entre a densidade
superficial de carga (ρs) e o produto da constante de permissividade no vácuo (ε0 = 8,85 x 10-12 C²/(N.m²) por 2.
6. Duas cargas puntiformes de módulos Q = 2,0 x 10 C e Q = 8,5 x 10 C estão separadas por uma distância
de 12 cm.
Assinale a opção com o módulo do campo elétrico que cada carga cria no local onde está a outra e com a força
elétrica que atua sobre cada uma delas:
 a) E = 1,25 x 10 N/C; E = 5,3 x 10 N/C; F = 0,11 N.
 b) E1 = 1,25 x 105 N/C; E2 = 5,3 x 104 N/C; F12 = 0,011 N.
 c) E = 1,25 x 10 N/C; E = 5,3 x 10 N/C; F = 0,011 N.
 d) E = 1,52 x 10 N/C; E = 5,3 x 10 N/C; F = 0,011 N.
 e) E = 5,3 x 10N/C; E = 1,25 x 10 N/C; F = 0,011 N.
7. Considere uma barra fina, não condutora, exposta de forma horizontal, de comprimento finito de 150 cm, com
uma carga q = +1,5 μC uniformemente distribuída, como mostra a figura a seguir:
Assinale a opção que apresenta o módulo do campo elétrico (E ⃑) no ponto a sobre a mediatriz da barra carregada
positivamente (ε_0=8,85x[10]^(-12) C²/N.m²):
 a) 1,28 x 102 N/C
 b) 1,28 x 104 N/C
 c) 1,48 x 104 N/C
 d) 1,82 x 102 N/C
 e) 1,82 x 104 N/C
1
-7
2
-8
1
5
2
4
12
1
5
2
5
12
1
5
2
4
12
1
4
2
5
12
8. Considere um disco de 25 cm de raio com carga q = +1,5 μC distribuída uniformemente, como mostra a figura a
seguir:
Assinale a opção que apresenta o campo elétrico (E ⃑) no ponto P sobre o centro do disco carregado em função da
densidade superficial de carga (σ):
 a) 10716 N/C
 b) 11760 N/C
 c) 16160 N/C
 d) 16170 N/C
 e) 17160 N/C
9. Uma pequena esfera de massa m = 50 g e carga q = 3,0 μC está suspensa por um fio isolante entre duas
distribuições superficiais de carga planas, paralelas, separadas por uma distância D = 22 cm, como mostra a figura
a seguir:
Sabendo que θ é o ângulo de 45° que o fio faz com a vertical, o campo elétrico na região entre as distribuições para
a formação desse ângulo e a densidade superficial de cada uma delas são, respectivamente:
 a) E = 1,2 x 105 N/C; ρsesquerda = 1,4 μC/m²; ρsdireita = -1,4 μC/m²
 b) E = 1,6 x 104 N/C; ρsesquerda = 1,4 μC/m²; ρsdireita = -1,4 μC/m²
 c) E = 1,6 x 104 N/C; ρsesquerda = 2,8 μC/m²; ρsdireita = -2,8 μC/m²
 d) E = 1,6 x 105 N/C; ρsesquerda = 1,4 μC/m²; ρsdireita = -1,4 μC/m²
 e) E = 1,6 x 105 N/C; ρsesquerda = 2,8 μC/m²; ρsdireita = -2,8 μC/m²
10. No estudo da fragmentação de um átomo X, um cientista propôs um modelo com uma carga puntiforme de
valor igual a we, onde:
• w = número inteiro diferente de 0 (zero);
• e = carga elementar, equivalente a 1,6 x 10-10 C.
Durante a pesquisa, surgiram duas hipóteses:
1. A carga puntiforme está envolvida por uma camada esférica de espessura não considerada, o que implica, então,
uma carga igual a (-4/6)we, distribuída uniformemente sobre sua superfície com um raio f.
2. Uma segunda camada esférica de espessura também desprezível possui carga igual a (-2/6)we, distribuída
uniformemente com raio R > f, concêntrica à primeira.
A figura a seguir ilustra o modelo com as hipóteses propostas:
A carga puntiforme está no centro geométrico das duas distribuições.
Assinale a opção que apresenta, respectivamente, o correto campo elétrico para 0 < r < f, f < r < R e r > R, onde
se encontra a esfera concêntrica:
 a) E = (k0,33we/r²)êr; E = (kwe/r²)êr N/C; E = 0 N/C
 b) E = (kwe/r)êr N/C; E = (k0,33we/r)êr N/C; E = 0 N/C
 c) E = (kwe/r²)êr N/C; E = (k0,33we/r²)êr N/C; E = 0 N/C
 d) E = (kwe/r²)êr N/C; E = 0 N/C; E = (k0,33we/r²)êr N/C
 e) E = 0 N/C; E = (kwe/r²)êr N/C; E = (k0,33we/r²)êr N/C
Notas
Puntiformes 
Que têm forma ou aparência de ponto. (Dicionário eletrônico Houaiss da língua portuguesa)
Azimutal 
Azimutal: Referente a azimute: ângulo medido no plano horizontal entre o meridiano do lugar do observador e o plano vertical
que contém o ponto observado. (Dicionário eletrônico Houaiss da língua portuguesa)
Referências
1
2
BARCELOS NETO, J. Teoria eletromagnética – parte clássica. 1. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2015.
BASTOS, J. P. A. Eletromagnetismo para Engenharia Estática e quase estática. 3. ed. Florianópolis: UFSC, 2012.
CARDOSO, J. R. Engenharia Eletromagnética. São Paulo: Elsevier, 2011.
HAYT, W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. 8. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2017.
SILVA, C. E. da et al. Eletromagnetismo – fundamentos e simulações. São Paulo: Pearson, 2014.
Próximos Passos
Densidade de fluxo elétrico;
Lei de Gauss e divergência;
Primeira equação de Maxwell;
Teorema da divergência.
Explore mais
Leia o texto O que é a carga elétrica? <http://www.energiaeletrica.net/carga-eletrica>
http://www.energiaeletrica.net/carga-eletrica