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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS - CCA Prof. Heder Braun EXERCÍCIOS DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 1) Utilizando os dados amostrais fornecidos abaixo, verifique se a temperatura tem influência significativa sobre o comprimento de uma barra de aço. Utilize o modelo 10 ˆˆˆ Y e o nível de 5% de significância. Temperatura ºC 10 15 20 25 30 Comprimento mm 1003 1005 1010 1011 1014 2) Para verificar se há relação linear ( 10 ˆˆˆ Y ) entre Umidade Relativa (UR, %) do ar da secagem de sementes e a germinação das mesmas, um pesquisador realizou um teste com quatro diferentes valores para a UR do ar que atravessava as sementes armazenadas, obtendo-se os seguintes valores amostrais: UR (%) 20 30 40 50 Germinação (%) 94 96 95 97 Ao nível de 5% de probabilidade, qual seria a conclusão do pesquisador? Qual é a equação estimada? 3. O modelo linear ( 10 ˆˆˆ Y ) abaixo foi proposto para explicar a relação entre a quantidade de ração fornecida e a produção de leite por cabras: Níveis de ração (g) 50 75 100 125 150 Produção de leite (l dia-1) 1,2 1,7 2,0 2,1 2,5 Pede-se por meio dos dados fornecidos, verificar se a ração influencia significativamente a produção de leite (α = 5%). 4. Para se avaliar o efeito de doses de um micronutriente no desenvolvimento de duas espécies vegetais, foi realizado em experimento fatorial 4x2 no D.B.C. com 5 repetições. Após a coleta e tabulação dos dados (em produção de massa de matéria verde por determinada unidade de área) foi montado o seguinte quadro de totais de tratamentos: 2 Dose 1 Dose 2 Dose 3 Dose 4 Total Espécie 1 60 52 60 90 Espécie 2 56 50 40 40 Total A análise de variância dos dados forneceu o seguinte quadro (incompleto) da ANOVA: FV GL SQ QM Fator A 1 Fator B 3 58,20 A x B 49,20 (Trat) Bloco Resíduo 10,00 Total Com base nos dados apresentados acima, pede-se: (α = 5%): a) Obtenha a soma de quadrados para o fator A. Apresente os cálculos. b) Os fatores em estudo atuam independentemente na variável em análise? JUSTIFIQUE. c) Qual espécie deveria ser usada para obter a maior produção de massa de matéria verde, quando for usada a dose 3 do micronutriente? JUSTIFIQUE. d) Como deveríamos continuar a análise caso fosse de nosso interesse determinar a melhor dose do micronutriente? Descreva a estratégia de análise de maneira resumida, apresentando a sequência dos procedimentos a serem realizados juntamente com algumas discussões, mas sem precisar fazer nenhum tipo de cálculo. 5. Suponha que um biólogo realizou um experimento no DIC com 3 repetições, para comparar o efeito de 5 doses de uma droga farmacêutica desenvolvida para aumentar o tempo de sono. A análise dos dados oriundos deste experimento produziu as seguintes informações: Xi 1 2 3 4 5 Yi 3 4 8 5 9 13 8 10 12 9 13 17 12 11 16 Modelo adotado: 10 ˆˆˆ Y a) Proceda ao teste para a falta de ajustamento e conclua se o modelo de regressão linear de é apropriado para descrever o tempo de sono em função da dosagem de sonífero. b) O valor estimado para 1̂ é estatisticamente diferente de zero? Justifique a sua resposta. c) De acordo com a equação de regressão estimada, qual seria o tempo de sono dos ratos se uma dosagem de 17 mg fosse usada? 3 6. Suponha que tenha sido realizada uma pesquisa a respeito da influência do tempo de estudo na nota da prova da disciplina de estatística. Os dados obtidos com respeito a cinco alunos aleatoriamente entrevistados são dados abaixo: Xi = tempo de estudo (h) 2 3 4 5 6 Yi = nota obtida 3,0 5,0 6,0 8,0 9,0 Pede-se: a) Ajuste um modelo de regressão linear simples para tentar explicar a variação na nota do aluno em função do tempo de estudo. b) Poderíamos dizer que o tempo de estudo influencia significativamente a nota obtida? (Use α = 5%). c) Interprete o significado do coeficiente de regressão 1̂ . d) Obtenha o coeficiente de determinação e interprete-o. e) Teste a H0: 0̂ = 0 vs Ha: 0̂ ≠0. f) Teste a H0: 1̂ = 0 vs Ha: 1̂ ≠0. 7. Interprete os resultados abaixo, respondendo: a) A relação entre X e Y é significativa? Esta relação é linear? Explique. b) Qual é a equação de reta que representa a relação entre X e Y? c) Qual a % da variação total de Y que é explicada pela variável independente X? d) Qual a % de aumento no teor de N na quarta folha em relação ao aumento de 1 kg ha-1 de N? e) Qual o valor estimado para Y quando X é igual a 300 e 400 kg ha-1 de N, respectivamente? Doses de N (kg ha-1) 0 50 100 200 300 T eo d e N ( d ag k g -1 ) 0,0 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 B 2 ˆ 3,9421 0,00491655** 0,94 Y N r 4 Respostas exercícios de regressão 1) 0̂ = 997,4, 1̂ = 0,56. Fcal= 84,3. A variável independente influencia significativamente a variável dependente. 2) 0̂ =92,7, 1̂ = 0,08. Fcal = 3,55. A variável independente não influencia significativamente a variável dependente. 3) 0̂ = 0,7, 1̂ = 0,012. F cal = 67,52. A variável independente influencia significativamente a variável dependente. 4) a) 144,4 b) Não. F cal interação foi significativo. c) Espécie 1. d) Fazer uma análise por meio de regressão. Escolhendo o modelo mais adequado. 5) a) Falta de Ajuste: Fcalc = 0,4. Ftab 5%(3,10) = 3,71. Não rejeita-se Ho. O modelo linear de 1o grau é apropriado para descrever o tempo de sono em função da dosagem de sonífero. b) Regressão: Fcalc=12. Ftab 5%(1,10)=4,96. Rejeita-se Ho. O coeficiente 1̂ é estatisticamente diferente de zero. c) Não é recomendável fazer tal estimativa, pois a dose de 17 mg não está no intervalo de dosagem testada. 6) a) 0̂ = 0,20, 1̂ = 1,50. b) Sim. F cal=225*. F significativo da regressão. d) r2=0,9868 e) t calc=0,471405. t tab5%(3)=3,18. Não rejeita-se Ho. f) t calc=15. t tab5%(3)=3,18. Rejeita-se Ho. 5 Exercícios de correlação linear simples 1) Dois métodos de mensurar a densidade média da madeira (g/cm3) em Eucalyptus grandis foram aplicados a uma amostra de n = 13 árvores. O primeiro método (X) foi utilizado um paquímetro e uma sonda Pressler de 0,5 cm na região da árvore determinada no diâmetro à altura do peito (DAP). A segunda variável (Y) também foi mensurada no DAP utilizando cortes transversais no tronco. Árvores X Y 1 0,602 0,619 2 0,636 0,620 3 0,604 0,620 4 0,548 0,538 5 0,590 0,616 6 0,592 0,601 7 0,625 0,664 8 0,641 0,652 9 0,606 0,579 10 0,502 0,501 11 0,588 0,590 12 0,594 0,622 13 0,626 0,606 Pede-se: a) Estimar a correlação entre os dois métodos e interpretá-la. b) Proceder ao teste de hipótese para o coeficiente de correlação. 2) Um pesquisador interessado em testar o efeito de um medicamento em reduzir o suor aplicou o produto em um dos braços, escolhido o efeito ao acaso, em uma amostra de nove indivíduos. O outro braço serviu de controle. O suor durante uma atividade física foi mensurado em mL nos dois braços. O pesquisador estava interessado, entre outras inferências, em saber se existe correlação entre as medidas de suor do braço não tratado (X) e do braço tratado (Y). Obter o coeficiente de correlação entre X e Y e testar a hipótese de que não existe correlação entre os dois tipos de mensuração. Indivíduos X Y 1 6,625 0,113 2 5,508 0,142 3 4,279 0,067 4 2,104 0,083 5 1,117 0,055 6 1,308 0,121 7 5,881 0,207 8 7,796 0,076 9 2,688 0,101 3) Procurando quantificar os efeitos da escassez de sono sobre a capacidade de resolução de problemas simples, um agente tomou ao acaso 10 sujeitos e os submeteu a experimentação. Deixou-os sem dormir 6 por diferentes números de horas, após o que solicitou que os mesmos resolvessem os itens "contas de adicionar" de um teste. Obteve, assim, os seguintes dados: No de erros - Y Horas sem dormir - X 8 8 8 6 12 6 1210 16 8 16 14 20 14 20 12 24 16 24 12 a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson e teste a sua significância ao nível de 1%. b) Determine a equação de regressão linear. Teste a existência da regressão, ao nível de 1 % e 5%. 4) Um pesquisador deseja verificar se um instrumento para medir a concentração de determinada substância no sangue está bem calibrado. Para isto, ele tomou 15 amostras de concentrações conhecidas (X) e determinou a respectiva concentração através do instrumento (Y), obtendo: X 2,0 2,0 2,0 4,0 4,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,0 8,0 8,0 10,0 10,0 10,0 Y 2,1 1,8 1,9 4,5 4,2 4,0 6,2 6,0 6,5 8,2 7,8 7,7 9,6 10,0 10,1 Pede-se: a) Construa o diagrama de dispersão para esses dados. b) Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y. c) Obtenha a reta de regressão da variável Y em função de X. d) Obtenha o coeficiente de determinação do modelo ajustado. Respostas correlação linear simples 1) r=0,89** 2) r=0,32NS 3) a) r=0,80** 7 b) 64,0 ;3523,16655,1ˆ 2 rXY Fcalc reg=14,37. 4) b) r=0,996 c) 99,0r ;980,0160,0 2 XY