ApendiceA

Prévia do material em texto

Bertolo  Apêndice A  1 
E m Física chamam­se grandezas àquelas propriedades de um sistema físico que podem ser medidas. Elas variam durante um fenômeno que ocorre com o sistema, e se relacionam formando as leis físicas. Podemos dizer que a 
Física lida com as grandezas físicas. 
Agora medir significa comparar grandezas da mesma espécie. Por exemplo, o 
comprimento de uma mesa com o comprimento da mão (palmo). O resultado de uma 
medida  sempre  apresenta duas partes: o valor e uma unidade  (padrão de  compara­ 
ção). 
Algumas grandezas físicas exigem, para a sua perfeita caracterização, apenas um 
valor numérico acompanhado de uma unidade (u). Essas grandezas são denominadas 
grandezas  escalares. Assim,  grandezas  físicas  como massa,  comprimento,  tempo, 
temperatura, densidade e muitas outras, são classificadas como grandezas escalares. 
Por outro lado, existem grandezas físicas que, para a sua perfeita caracterização, 
exigem,  além  do  valor  numérico  acompanhado  da  unidade,  uma  direção  e  um 
sentido. Tais grandezas recebem o nome de grandezas vetor iais. Como exemplo de 
grandezas  vetoriais  podemos  citar:  força,  impulso,  quantidade  de  movimento, 
velocidade, aceleração e muitas outras. 
A.1.1 Números e sua representação 
Um  número  é  uma  idéia  que  expressa  a  noção  de  quantidade.  Para 
comunicarmos  a  idéia  usamos  uma  representação  simbólica  chamada  numerais. 
Podemos citar aqui os numerais: 
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9..........Hindu­arábicos 
I   II  III   IV   V         X       L     C     D      M     etc....   Romanos. 
Cadê o símbolo para o número zero em algarismos romanos? 
A.1.2  Vetores e sua representação 
As grandezas vetoriais  são  representadas por um ente matemático denominado 
vetor .  Um  vetor  reúne,  em  si,  o  módulo,  representando  o  valor  numérico  ou 
intensidade  da  grandeza,  e  a  direção  e  sentido,  representando  a  orientação  da 
grandeza. 
É importante salientarmos as diferenças entre direção e sentido: um conjunto de 
retas paralelas têm as mesmas direções 
Retas horizontais 
e à cada direção, podemos associar uma orientação ou sentido 
A.1 ­ Grandezas escalares e vetoriais 
Vetores 
A 
reta hor izontal para a direita 
reta hor izontal para a esquerda
Bertolo  Apêndice A  2 
A figura abaixo representa uma grandeza vetorial qualquer: um segmento de reta 
orientado (direção e sentido) com uma determinada medida (módulo). 
módulo:  representado pelo comprimento do segmento AB 
vetor a  direção:  reta determinada pelos pontos A e B 
sentido:  de A para B (orientação da reta AB). 
Para indicar um vetor, podemos usar qualquer uma das formas indicadas abaixo 
a  ou  AB 
Para indicarmos o módulo de um vetor, podemos usar qualquer uma das seguin­ 
tes notações:  a  ou  a . 
Assim, a   indica o vetor e  a  indica apenas o módulo do vetor. 
A.2 ­ Vetores Iguais e Vetores Opostos 
Dois vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o 
mesmo sentido: 
a = b       (módulos iguais) 
a   =  b         a   e    b   são paralelos (mesma direção) 
a   e  b      possuem o mesmo sentido 
Dois vetores são opostos quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e 
sentidos contrários: 
a = b            (módulos iguais) 
a   =  ­ b       a   e    b      são paralelos (mesma direção) 
a   e  b            possuem sentidos contrários 
A.3 ­ Representação de Grandezas Vetoriais 
Na prática, a representação de grandezas vetoriais é feita por meio de vetores 
desenhados em escala, Assim, para representarmos vetorialmente a velocidade de 
uma partícula que se desloca horizontalmente para a direita a 80 km/h, utilizamos um 
segmento de reta por exemplo, com 4 cm de comprimento, onde cada centímetro 
corresponde a 20 km/h. 
a 
A                                             B 
a 
A                                              B 
origem  extremidade 
a                       b 
a 
b 
v 
escala 1,0 cm: 20 km/h 
Os vetores a e b 
possuem o mesmo 
módulo, porém são 
opostos no sentido.
Bertolo  Apêndice A  3 
Em alguns casos fica muito difícil se caracterizar a direção e o sentido do 
vetor, então usamos os quadrantes do sistema cartesiano xy. 
Assim, para caracterizarmos a velocidade abaixo, fazemos: 
1.  Dê três exemplos de grandezas escalares. 
2.  Dê três exemplos de grandezas vetoriais. 
3.  Caracterize os vetores abaixo: 
1. Uma pedra cai verticalmente de modo que num dado instante a sua velocidade é 
25 m/s. Dê as características da velocidade da pedra neste instante. 
2.  Qual a diferença entre direção e sentido? 
Para a adição de vetores, vamos, inicialmente, definir vetor resultante: 
Para a determinar o vetor resultante, ou seja, para efetuarmos a adição 
vetorial de dois ou mais vetores, podemos utilizar três métodos, denominados: 
a)regra do polígono 
b) regra do paralelogramo 
c)regra da decomposição vetorial 
A.4 – Adição de Vetores 
“O vetor resultante ou vetor soma, de dois ou mais vetores, é o vetor único que 
produz o mesmo efeito que os vetores somados”. 
EXERCÍCIOS 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
4. Caracterize os vetores abaixo:
Bertolo  Apêndice A  4 
A.4.1 ­ Regra do Polígono 
Para efetuarmos a adição de vetores pela regra do polígono, escolhemos, 
arbitrariamente, um dos vetores como ponto de partida e traçamos os vetores 
seguintes, colocando a origem do 2º vetor coincidindo com a extremidade do 1º e 
assim sucessivamente, até traçarmos todos os vetores. O vetor soma (S) ou resultante 
(R) é determinado pela origem do 1º vetor e pela extremidade do último vetor 
traçado As figuras abaixo representam a adição dos vetores a, b, c dados 
O vetor resultante é 
Na determinação do vetor resultante R acima, iniciamos a adição vetorial pe­ 
lo vetor a, em seguida traçamos o vetor  b, e finalmente, o vetor  c.  O vetor  R  foi 
determinado pela origem do vetor a e pela extremidade do vetor c. 
As figuras a seguir nos mostram que, qualquer que seja a ordem  adotada: a + 
b + c; b + c + a ou a + c + b; o vetor resultante será o mesmo. 
Para as figuras acima, temos: 
R = a + b + c 
Dados três vetores a, b e c, sendo: 
a = 40 u, horizontal para a direita 
b = 30 u, vertical para baixo e, 
c = 80 u, horizontal para a esquerda. 
Determine o vetor resultante. 
Resolução 
Traçamos os vetores a, b e c pela regra do polígono 
Para determinarmos o módulo do vetor R e o ângulo θ, aplicamos: 
R 2 = 40 2 + 30 2 
R = 50 u 
Portanto, o vetor resultante possui módulo de 50 u e se encontra no 3º quadrante a 
37º com a horizontal. 
EXEMPLO 
a 
b 
c 
θ 
a 
R  b 
c 
θ 
R                                                           b               R 
B  a 
c 
c 
a 
Propriedade associativa da 
adição 
a 
θ 
R  b 
θ  c 
tg θ = (30/40) ⇒ θ = arc tg (3/4) = 37º
Bertolo  Apêndice A  5 
1.  Dados dois vetores d1 e d2, tais que: 
Obtenha graficamente o vetor soma e 
calcule o seu módulo. 
2.  Dados os vetores abaixo, obtenha o módulo 
do vetor soma. 
1.  A figura abaixo representa os 
deslocamentos sucessivos de uma 
pessoa. Calcule o módulo do vetor 
que liga os pontos A e B. 
2.  Um vetor A possui módulo 10u, 
encontra­se no quadrante III e 
forma um ângulo de 30º com o 
eixo x. Faça um esquema 
representando o vetor descrito. 
3.  Um navio se desloca 30 km para o 
leste e, em seguida, 40 km para o 
sul. Determine o módulo do 
deslocamento vetorial do navio. 
4.  Um automóvel se desloca 50 km 
para o leste, 40 km para norte e 20 
km para oeste. Determine a menor 
distância que ele deve percorrer 
para voltar ao ponto de partida. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
EXERCÍCIOS 
3. No quadriculado abaixo, 
temos a representação de alguns 
vetores. Obtenha o módulo do 
vetor soma 
4. Um automóvel se desloca 40 
km para o sul, a seguir 40 km 
para oeste e 10 km para o 
norte.Determine a menor 
distância que ele deve percorrer 
para voltar ao ponto de partida. 
5.  Na figura a seguir estão 
representados os vetores X e Y, que 
representam deslocamentos 
sucessivos de um corpo. A escala,na figura é de 1:1. Qual o módulo 
do vetor X+Y. 
6.  O esquema abaixo representa os 
deslocamentos sucessivos de uma 
pessoa. Obtenha a intensidade do 
vetor deslocamento sofrido por essa 
pessoa para ir de A até B.
Bertolo  Apêndice A  6 
1.  Calcule o módulo do vetor soma, 
dos vetores a e b, módulos 6u e 
8u, respectivamete, nos seguintes 
casos: 
a. θ = 0º  b. θ = 90º     c. θ = 180º 
2.  Com relação ao exercício anterior, 
calcule o módulo do vetor soma, 
quando o ângulo entre os vetores 
a e b for 60º (cos 60º = 0,5). 
3.  Sabendo­se que x = 10 e y = 12, 
obtenha os possíveis valores do 
módulo do vetor soma. 
4.  Dois vetores formam um ângulo 
entre si de 60º de forma que o 
módulo do vetor soma vale 14. Se 
o módulo de um dos vetores vale 
6, calcule o módulo do outro 
vetor. 
A.4.2 ­ Regra do Paralelogramo 
Esta regra é utilizada para a adição de dois vetores. Assim, dados dois vetores 
a e b, em módulo, direção e sentido, conforme a figura abaixo: 
a determinação do vetor soma ou resultante é obtida do seguinte modo: 
• traçamos os vetores a e b com as origens coincidindo no mesmo ponto; 
• pela extremidade do vetor a, traçamos no segmento pontilhado paralelo ao vetor b 
pela extremidade do vetor b, um segmento pontilhado paralelo ao vetor a; 
•  vetor resultante tem origem coincidente com as origens dos vetores a e b e 
extremidade no ponto de cruzamento dos segmentos pontilhados. 
Casos Par ticulares 
1º)  Os vetores a e b possuem mesma direção e sentido (θ = 0º) 
2º ) Os vetores a e b possuem mesma direção e sentidos contrários (θ = 180º) 
a β 
α  b 
a 
θ  R 
b 
Omódulo do vetor R é dado por: 
sendo θ o ângulo entre os vetores a e b 
a  b 
R 
a 
b 
R 
EXERCÍCIOS 
A.4.3 – Subtração de Vetores 
Dados dois vetores a e b, podemos calcular a diferença usando a mesma 
regra algébrica da adição de números. Assim: d = a – b = a + (­b) 
O vetor diferença é dado pela soma do vetor a com o vetor oposto a b, ou seja (­b). 
a.b.cos  θ . 2 b a R  2 2 + + =
Bertolo  Apêndice A  7 
5.  Qual é a relação entre os vetores M, 
N, P, R representados  na figura? 
O esquema abaixo se refer aos 
exercícios 6 a 9 . Dados os vetores A, 
B, C e D, obtenha 
6.  O módulo da soma S1 = A + B. 
7.  O módulo da diferença S2 = C – D 
8.  O módulo do vetor S3 = A +B + D 
9.  O módulo do vetor 
S4 = A – 2B + C ­ D 
1.  Dados os vetores abaixo, obtenha 
graficamente o vetor diferença (a – 
b) e (b – a). 
2.  Obtenha, na figura abaixo, o vetor 
diferença x – y e o seu módulo, 
sabendo que x = 3u e y = 4u 
3.  Determine o vetor A em função dos 
vetores B e C. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1.  Determine o módulo do vetor soma 
de dois vetores que formam entre si 
um ângulo de 30º e cujos módulos 
medem 4m e 1 m. Dado cos 30º ≅ 0,8 
2.  Dois homens puxam um caixote, 
exercendo sobre ele as forças F1 e 
F2, cujas intensidades, direções e 
sentidos estão indicados na figura 
abaixo. Determine a resultante 
3.  Dois homens puxam 
horizontalmente um poste por meio 
de cordas, sendo o ângulo entre elas 
igual a 45º. Sabendo que um dos 
homens exerce uma força de 75 kgf 
e o outro, uma força de 50 kgf, 
determine a intensidade da força 
resultante. 
4.  Dada a figura, escreva z em função 
de x e y.
Bertolo  Apêndice A  8 
cos θ = ax/a ⇒ ax = a cos θ 
sen θ = ay/a ⇒  ay = a sen θ 
a 2 = ax 2 + ay 2 
A.4.4 ­ Regra da Decomposição Vetorial 
Inicialmente, analisemos as componentes retangulares de um vetor: 
Dado  um  vetor  a  e  duas  direções  de  referência  OX  e  OY,  determinamos  as 
componentes  retangulares  do  vetor  a  através  das  projeções  perpendiculares  da 
origem O e da extremidade do vetor nas direções dadas, conforme figura a seguir: 
O vetor a pode ser representado pelas suas componentes retangulares ax e ay sendo 
válida a relação: 
a = ax + ay 
Para determinarmos os módulos das componentes  ax e ay  devemos usar as relações 
trigonométricas no triângulo retângulo. 
Consideremos os vetores dados abaixo 
Inicialmente, determinamos as componentes retangulares dos quatro vetores dados: 
y 
ay  a 
O  ax  x 
Componente  de 
a  na direção y 
C omponente de a na 
d ireção x 
ay  a 
θ  ax 
EXEMPLO 
y 
b                   a 
c  37º  x 
53º 
d 
a = 20 u  b = 42 u  c = 38 u 
d = 30 u 
sen 37º =  cos 53º = 0,60 
cos 37º = sen 53º = 0,80 
ay 
c       d x  ax 
d y 
ax = a . cos 37º = 20 . 0,80 = 16 u 
ay = a . sen 37º = 20 . 0,60 = 12 u 
dx = d . cos 53º = 30 . 0,60 = 18 u 
dy = d . sen 53º = 30 . 0,80 = 24 u 
“Todo vetor a, em um plano, pode ser representado por dois outros vetores, 
chamados componentes retangulares”.
Bertolo  Apêndice A  9 
As resultantes Rx e Ry valem: 
Rx= c + dx ­ ax = 38 + 18 ­ 1 ⇒ Rx =  40 u  hor. P/ esquerda 
Ry = b + ay – dy = 42 + 12 –24 ⇒ Ry =  30 u  vert. P/ cima 
O vetor resultante é dado por: 
R y 
R 
R x θ 
O vetor resultante vale 50 u e está 
inclinado a 37º com a horizontal, no 
3º quadrante 
EXERCÍCIOS 
1.  Num plano xy, encontra­se um 
vetor a de módulo 20u, formando 
um ângulo α com o eixo x. Calcule 
os módulos das componentes do 
vetor a. 
Dados: cos α = 0,6   e  sen α = 0,8 
2.  Dados 3 vetores abaixo, 
localizados no plano xy, obtenha 
as componentes x e y de todos os 
vetores 
3.  Com relação ao exercício anterior, 
obtenha os vetores soma nos eixos 
x e y (Sx e Sy). 
4.  Com relação ao exercício anterior, 
obtenha o módulo, a direção e o 
sentido do vetor soma. 
5.  O vetor representativo de uma certa 
grandeza física possui a intensidade 
de 2u. As componentes ortogonais 
desse vetor medem (3) 1/2 u e 1u. 
Qual o ângulo que o vetor forma 
com a sua componente de maior 
intensidade? 
6.  Com relação ao exercício 9 da 
página 7, obtenha as componentes x 
e y, como também o ângulo que o 
vetor soma S4 faz com o eixo x.