Geometria-Espacial

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO à GEOMETRIA ESPACIAL, PARALELISMO E 
PERPENDICULARISMO ............................................................................................. 4 
1.1 Noções Primitivas da Geometria: Pontos, retas, planos e espaço........................ 6 
1.2 História ................................................................................................................ 10 
1.3 Paralelismo ......................................................................................................... 12 
1.4 Perpendicularidade ............................................................................................. 15 
2 DISTÂNCIA E ÂNGULOS NO ESPAÇO ............................................................... 17 
2.1 Projeções Ortogonais (Projeções de um Ponto) ................................................. 17 
2.2 Distâncias entre ponto, reta e planos .................................................................. 21 
2.3 Ângulos entre retas e planos .............................................................................. 23 
3 DIEDROS .............................................................................................................. 24 
4 TRIEDROS ........................................................................................................... 26 
4.1 Ângulos poliédricos ............................................................................................. 29 
5 POLIEDRO ........................................................................................................... 31 
5.1 Classificação dos Poliedros ................................................................................ 33 
5.2 Poliedros Regulares ............................................................................................ 33 
5.3 Poliedros Não Regulares .................................................................................... 35 
6 CUBO .................................................................................................................... 35 
7 PRISMA ................................................................................................................ 39 
7.1 Composição do Prisma ....................................................................................... 39 
7.2 Classificação dos Prismas .................................................................................. 39 
7.3 Bases do Prisma ................................................................................................. 40 
7.4 Fórmulas do Prisma ............................................................................................ 41 
7.5 Princípio de Cavalieri .......................................................................................... 42 
8 PIRÂMIDES .......................................................................................................... 45 
8.1 Elementos da Pirâmide ....................................................................................... 46 
 
 
8.2 Tipos de Pirâmide ............................................................................................... 46 
8.3 Pirâmides regulares ............................................................................................ 47 
8.4 Área da Pirâmide ................................................................................................ 47 
8.5 Volume da Pirâmide ............................................................................................ 48 
8.6 Troncos de pirâmides ......................................................................................... 48 
9 CILINDRO ............................................................................................................. 50 
9.1 Componentes do Cilindro ................................................................................... 51 
9.2 Classificação dos Cilindros ................................................................................. 51 
9.3 Fórmulas do Cilindro ........................................................................................... 52 
9.4 Volume do Cilindro .............................................................................................. 53 
10 CILINDROS DE REVOLUÇÃO ............................................................................ 53 
10.1 Planificação do Cilindro Circular Reto ............................................................... 54 
10.2 Cilindro Equilátero............................................................................................. 55 
11 CONES DE REVOLUÇÃO .................................................................................... 55 
11.1 Elementos e classificação do cone ................................................................... 55 
11.2 O cone como sólido de revolução ..................................................................... 57 
11.3 Área externa do cone ........................................................................................ 58 
11.4 Volume do cone ................................................................................................ 58 
11.5 Tronco de cone ................................................................................................. 59 
12 ESFERAS ............................................................................................................ 62 
12.1 Elementos ......................................................................................................... 63 
12.2 Área da superfície esférica ............................................................................... 63 
12.3 Volume da esfera .............................................................................................. 63 
12.4 Secção em uma esfera ..................................................................................... 64 
12.5 Fuso esférico .................................................................................................... 65 
12.6 Cunha esférica .................................................................................................. 67 
13 O ENSINO DA GEOMETRIA ............................................................................... 68 
 
 
13.1 A Teoria de Van Hiele e a Teoria de Gutiérrez ................................................. 68 
13.2 Um breve histórico acerca do ensino da Geometria no Brasil .......................... 72 
13.3 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) ...................... 74 
13.4 Alguns materiais concretos existentes para o Ensino de Geometria Espacial .. 75 
14 BIBLIOGRAFIA .................................................................................................... 90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1 INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ESPACIAL, PARALELISMO E 
PERPENDICULARISMO 
Em matemática, geometria espacial é o nome usual para a geometria do 
espaço tridimensional euclidiano. A Geometria Espacial estuda as figuras geométricas 
no espaço. Entenda espaço como um lugar onde podemos encontrar todas as 
propriedades geométricas em mais de duas dimensões. 
É na primeira infância (até dois anos de idade) que a criança desenvolve a 
percepção sobre o espaço. Esse processo acontece de forma multifacetada, visto que 
a criança concebe uma coleção de espaços, que, de acordo com Piaget, são quatro: 
espaço tátil, auditivo, visual e oral. 
É somente dos dois aos sete anos de idade que a criança reconhece o espaço 
como algo comum, em que todos os espaços descritos anteriormente estão incluídos 
simultaneamente. 
Podemos representar o espaço por meio da projeção espacial das três 
dimensões, que são: altura, comprimento e largura. As coordenadas cartesianas são 
dadas pelos eixos x, y e z. Usando a localização depontos, é possível traçar retas no 
espaço que formam planos e definem formas e estruturas geométricas. 
 
 
Outro segmento da Matemática que compõe a Geometria Espacial é a 
Geometria Analítica. Nessa última, a representação de uma imagem na projeção 
 
5 
 
espacial é dada por vetores que possuem módulo (valor numérico positivo), direção 
(horizontal ou vertical) e sentido (para cima, para baixo, direita ou esquerda). O espaço 
também está presente ao estudarmos os sólidos geométricos, que são porções 
limitadas do espaço. 
 
 
Fonte de: www.amatematicasimples.blogspot.com 
Grandes estudiosos das Ciências Exatas conceberam e formalizaram os 
estudos relacionados com a Geometria Espacial. Entre eles, podemos destacar: 
Pitágoras, Platão, Euclides, Leonardo Finonacci, Joannes Kepler, entre outros. 
A Geometria Espacial está presente nas abstrações da Matemática e no nosso 
mundo cotidiano. Percebemos a sua existência todos os dias ao olharmos para 
objetos, estruturas e animais que estão ao nosso redor. Quando executamos essa 
ação, conseguimos visualizar o volume total em vez de somente a superfície, que é 
uma projeção bidimensional1. 
 
 
 
 
1 Texto extraído de: www.brasilescola.uol.com.br 
 
6 
 
1.1 Noções Primitivas da Geometria: Pontos, retas, planos e espaço 
Sólidos geométricos espaciais sobre um plano 
 
 
 
As noções primitivas da Geometria são o modo como compreendemos os 
elementos matemáticos que dão base para a construção dos conhecimentos 
geométricos. Esses elementos são ponto, reta, plano e espaço. Explicar cada um 
deles não é tarefa fácil, pois temos apenas noções primitivas sobre esses elementos, 
ou seja, não existe uma definição precisa para eles. 
Quando tentamos encontrar uma definição para elementos de uma figura ou 
sólido geométrico e, depois, a definição de elementos desses elementos e 
continuamos trilhando esse caminho, fatalmente chegaremos a uma dessas noções 
primitivas. 
O cubo, por exemplo, é um sólido geométrico chamado de prisma reto cujos 
lados são todos quadrados. O quadrado, por sua vez, é uma figura geométrica que 
possui quatro lados congruentes e ângulos de 90°. Os lados de um quadrado são 
segmentos de reta. Já a reta é uma noção primitiva que não possui definição, mas 
possui características e propriedades. 
 
 
 
 
7 
 
Exemplo da trilha de definições dadas acima: cubo, quadrado, segmento de 
reta e reta. 
 
 
 
Sabendo disso, não é necessário pensar muito em como explicar esses 
elementos (ponto, reta, plano e espaço). O importante é conhecer sua utilidade para 
a Geometria e o modo como os sólidos e figuras comportam-se diante dessas noções 
primitivas. 
 
Ponto 
O ponto é um objeto que não possui definição, dimensão e forma. Por isso, é 
impossível encontrar qualquer medida nele, como comprimento, largura, altura, área, 
volume etc. O ponto é a base de toda a Geometria, pois é a partir de conjuntos deles 
que são formadas as figuras geométricas. 
Usualmente representamos o ponto com um “pingo” ou uma bolinha, mas é 
importante saber que isso é apenas uma representação geométrica. Os pontos são 
usados para representar localizações no espaço. Como não possuem tamanho ou 
forma, uma localização em algum espaço fica bem definida quando está em algum 
ponto. 
 
Reta 
Retas são conjuntos de pontos compreendidos como linhas infinitas que não 
fazem curvas. Embora sejam formadas por pontos, também não possuem definição, 
 
8 
 
mas apenas essa característica. Obviamente, são necessários infinitos pontos para 
construir uma reta. 
Nessa construção, note que é possível medir a distância entre dois pontos 
específicos que estão sobre uma reta. Entretanto, continua não sendo possível medir 
a largura da reta, pois os pontos que a formam não possuem dimensões. Por essa 
razão, dizemos que a reta é um objeto unidimensional, ou seja, que possui uma única 
dimensão. 
Outras figuras unidimensionais são as semirretas e os segmentos de reta, que, 
respectivamente, são uma reta que possui começo, mas não possui fim, e uma parte 
da reta que possui ponto inicial e ponto final. 
 
Exemplos de reta, semirreta e segmento de reta: 
 
 
 
 
Plano 
Também não há definição para plano, entretanto, podemos estudar sua 
formação e algumas de suas características. Assim como a reta é a figura formada 
pela justaposição de pontos, o plano é o objeto formado pelo enfileiramento de retas, 
do modo exemplificado na figura a seguir: 
 
9 
 
 
Enfileiramento de retas que forma um plano 
 
Um plano, portanto, é um conjunto infinito e ilimitado de retas. Bons exemplos 
de pedaços de planos são encontrados em qualquer superfície reta, como a superfície 
de uma mesa, telas de smartphones, portas etc. 
É dentro dos planos que são definidas as figuras geométricas bidimensionais, 
pois é como se o plano fosse uma “extensão perpendicular da reta”. Sendo assim, o 
plano é o objeto no qual as figuras construídas contam com a possibilidade de ter 
largura e comprimento. 
 
Espaço 
Assim como o plano é uma justaposição de retas no “sentido perpendicular”, o 
espaço é uma justaposição de planos “no sentido perpendicular”. Os planos são 
colocados um sobre o outro, de modo que dois planos não possuam nenhum ponto 
em comum, mas que estejam tão próximos a ponto de serem confundidos. 
O espaço é o local onde toda a Geometria espacial acontece e faz sentido, 
onde todos os sólidos e figuras geométricas podem ser construídos. É todo o espaço 
que nos envolve e que segue infinita e ilimitadamente do ponto onde estamos para 
todas as direções. 
Trata-se da extensão natural do plano para a terceira dimensão e, por isso, 
sólidos geométricos construídos no espaço podem ter profundidade, além de largura 
e comprimento. 
 
10 
 
A figura a seguir mostra um plano em perspectiva e um cubo sobre ele. Note 
que a face do cubo que toca o plano – um quadrado – possui largura e comprimento, 
mas a profundidade está além das dimensões aceitas por ele2. 
 
 
 
1.2 História 
As pirâmides do Egito são tridimensionais, já na época da civilização antiga 
egípcia havia algum conhecimento de geometria espacial. Também houve estudos da 
área pelos povos da Mesopotâmia (região situada no que hoje é o Oriente Médio, no 
vale dos rios Tigre e Eufrates). 
A data aproximada indica que esses estudos ocorreram dois mil anos antes de 
Cristo. 
 
2 Texto extraído de: www.mundoeducacao.bol.uol.com.br 
 
11 
 
Fonte 
de: www.megacurioso.com.br 
Por contato com os egípcios, os gregos também estudaram geometria. A 
diferença é que eles buscaram obter um raciocínio dedutivo, lógico, para a área, 
enquanto que os egípcios eram mais voltados para o lado prático. Podemos pensar 
que os gregos viram a geometria com o olhar da Filosofia. Aliás, são eles que criaram 
o nome Geometria, que significa "medida da Terra". 
Alguns gregos, principalmente Platão e Pitágoras, davam um significado 
metafísico e religioso para alguns objetos da geometria espacial. Porém, o grande 
momento da geometria grega aconteceu com os chamados alexandrinos (aqueles de 
Alexandria): Arquimedes, que fez estudos sobre esferas e cilindros, e Euclides, que 
escreveu a obra Os Elementos, onde colocou todo o conhecimento de geometria 
acumulado até aquela época. 
Muitos estudos ocorreram ao longo da história da humanidade sobre geometria 
e ainda muitos estão acontecendo neste instante. De qualquer forma, Euclides 
continua sendo o maior personagem da área, de modo que a ele atribuem o título de 
pai da geometria3. 
Descobertas e criações de grandes geômetras: 
 
 A área sob o arco de uma parábola (Arquimedes); 
 
3 Texto extraído de: www.infoescola.com 
 
12 
 
 A aproximação do valor numérico do número pi (Arquimedes); 
 O volumede superfícies de revolução (Arquimedes); 
 Sistema de coordenadas (Descartes); 
 A união da geometria com a álgebra, o que resultou na geometria 
analítica (Descartes); 
 O diâmetro que divide o círculo em duas partes iguais (Tales de Mileto); 
 Os ângulos opostos pelo vértice são iguais (Tales de Mileto); 
 Geometria euclidiana (Euclides). 
 
Como a Geometria é uma área de estudos muito extensa, podemos dividi-la 
nas seguintes subáreas: 
 
Subáreas da Geometria: 
 Geometria analítica: relaciona a álgebra e a análise matemática com a 
geometria; 
 Geometria plana: também chamada de Geometria Euclidiana, estuda o 
plano e o espaço baseando-se nos postulados de Euclides; 
 Geometria Espacial: realiza o estudo de figuras tridimensionais. Nessa 
área de estudo, é possível calcular o volume de um sólido geométrico4. 
1.3 Paralelismo 
Paralelismo é o estudo das relações entre retas e planos paralelos e das 
consequências dessas relações na Matemática. 
 
4 Texto extraído de: www.mundoeducacao.bol.uol.com.br 
 
13 
 
 
 
Segmentos de reta paralelos nos trilhos de um trem 
Paralelismo é um estudo a respeito de posições relativas entre retas e planos 
com foco nas propriedades resultantes dessas posições e das interações entre esses 
elementos. 
 
Retas paralelas 
Dizemos que duas retas são paralelas quando estão contidas no mesmo plano 
e não há ponto em comum entre elas. Graficamente, essas retas podem ser 
representadas por duas linhas distintas com mesma direção e sentido. 
 
 
 
Representação gráfica de retas paralelas no plano 
 
14 
 
Quando duas retas são paralelas, qualquer reta contida no mesmo plano que 
corte a primeira também cortará a segunda e formará os mesmos ângulos 
correspondentes. 
 
Reta paralela ao plano 
Também existe a possibilidade de analisar o paralelismo entre uma reta e um 
plano. A ideia é idêntica à anterior: uma reta e um plano são paralelos quando não 
possuem pontos em comum. Para verificar isso, fazemos o seguinte: 
Considere uma reta r fora do plano α. Se existir uma reta pertencente a esse 
plano paralela a r, então, r será paralela ao plano α. 
 
 
Representação gráfica de uma reta paralela a um plano 
 
Sendo assim, quando uma reta é paralela a um plano, podemos dizer que ela 
seja paralela a pelo menos uma reta que pertence a esse plano. 
 
Planos paralelos 
A definição é a mesma: dois planos são paralelos quando não possuem ponto 
em comum. As propriedades variam, uma vez que há variação na natureza de uma 
das figuras: 
Quando dois planos são paralelos, qualquer reta que pertença a um deles é 
paralela ao outro. Sendo assim, sempre existirá uma reta no segundo plano paralela 
a uma reta qualquer do primeiro; 
 
15 
 
 Uma reta que é secante a um de dois ou mais planos paralelos é secante 
aos outros também; 
 Quando um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a 
um segundo plano, esses dois planos também são paralelos; 
 Quando dois planos paralelos são cortados por um terceiro plano, as 
intersecções entre os planos paralelos e o plano secante são retas 
paralelas5. 
1.4 Perpendicularidade 
Dentre as posições relativas entre planos e retas, destaca-se a 
perpendicularidade que assume algumas características que a difere das outras 
posições. Cada uma dessas relações de perpendicularidade está ilustrada abaixo: 
 
Perpendicularidade entre retas 
Duas retas distintas pertencentes ao mesmo plano ou não serão 
perpendiculares se formarem um ângulo reto no seu ponto de encontro. 
 
 
 
 
 
5 Texto extraído de: www.mundoeducacao.bol.uol.com.br 
 
16 
 
Perpendicularidade entre plano e reta 
Um plano α será perpendicular a uma reta t se todas as retas pertencentes a 
esse plano α e concorrentes a essa reta t (tiver um ponto comum) forem 
perpendiculares à reta t. 
 
Perpendicularidade entre planos 
 
 
 
Dois planos serão perpendiculares se um deles contiver uma reta que seja 
perpendicular ao outro plano. 
 
 
 
17 
 
2 DISTÂNCIA E ÂNGULOS NO ESPAÇO 
2.1 Projeções Ortogonais (Projeções de um Ponto) 
Projeções ortogonais são as figuras formadas no plano que resultam da 
projeção de todos os pontos de outra figura fora dele. 
 
 
 
Projeção de cada ponto da figura no plano 
Dada uma figura geométrica qualquer e um plano que não contém nenhum de 
seus pontos, a projeção ortogonal dessa figura sobre o plano é a imagem formada no 
plano pelo pé do segmento de reta ortogonal a esse plano que liga cada ponto dessa 
figura ao plano. Uma projeção ortogonal, portanto, pode ser imaginada como a sombra 
de uma figura geométrica em um plano sob o sol do meio-dia. 
Dessa maneira, perceba que nem sempre a projeção ortogonal manterá toda a 
forma original da figura observada. Imagine que um avião está fazendo uma manobra 
e fez um giro sobre o próprio eixo de 90º e, assim, suas asas ficaram na posição 
vertical. A sombra produzida por esse avião no solo não mostrará suas asas, embora 
saibamos que elas existem. 
 
 
18 
 
Projeção ortogonal de um ponto sobre o plano 
A projeção ortogonal do ponto A sobre o plano é exatamente o ponto de 
encontro entre esse plano e a reta ortogonal a ele que contém o ponto A. Sendo assim, 
a projeção ortogonal de um ponto sobre o plano também será um ponto. 
 
 
 
Projeção ortogonal de uma reta sobre o plano 
A projeção ortogonal entre uma reta r e um plano α pode ser um ponto ou outra 
reta. O primeiro caso ocorre quando a reta já é ortogonal ao plano, e o segundo caso 
ocorre quando a reta r não é ortogonal ao plano α. 
Assim, é necessário encontrar um segundo plano ortogonal ao primeiro que 
contenha a reta r. 
A intersecção entre esses dois planos será a projeção ortogonal da reta r sobre 
o plano α. Sabendo que a intersecção entre dois planos é uma reta, podemos afirmar 
que a projeção ortogonal entre uma reta e um plano é outra reta ou um ponto. 
 
19 
 
 
 
Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre o plano 
Essa projeção ortogonal também pode ser um ponto ou outro segmento de reta. 
Nesse caso, o que muda entre a reta e sua projeção ortogonal ou entre o segmento 
de reta e sua projeção ortogonal é o ângulo que eles formam com o plano. A projeção 
ortogonal sempre forma o ângulo 0°, e a reta ou segmento inicial forma um ângulo 
qualquer. 
Se o segmento de reta já for ortogonal ao plano, a sua projeção ortogonal será 
apenas um ponto. Se o segmento de reta não for ortogonal ao plano, sua projeção 
ortogonal será o segmento de reta cujas extremidades são as projeções de suas 
extremidades sobre o plano. Observe isso na figura a seguir: 
 
 
 
 
20 
 
Projeção ortogonal de uma figura geométrica 
Dado o plano α e a figura A, a projeção ortogonal de A sobre α será o conjunto 
de pontos formado pelas projeções ortogonais de todos os pontos de A sobre α. 
É necessário usar a imaginação para observar projeções ortogonais. No caso 
dessas figuras, é bom pensar no formato que teria sua sombra ao meio-dia em um 
solo plano. 
O exemplo seguinte demonstra o último tipo de projeção ortogonal, que é 
aquele em que é preciso imaginar a trajetória descrita por pontos e objetos para 
pensar em sua projeção. Observe: 
 
Exemplo: 
(ENEM 2013) – Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e 
estreita equilibrada e fixada em seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas 
pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, 
fazendo descer a extremidade oposta, realizando assim o movimento da gangorra. 
Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são 
equidistantes do pivô: 
 
 
 
 
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da 
gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: 
 
21 
 
 
 
Observe que a trajetória dos pontosA e B são partes de uma circunferência. 
Para quem olha de cima, o ponto B, por exemplo, move-se em linha reta para trás e, 
depois, para frente. Para quem está de frente para essa gangorra, essa trajetória seria 
como na letra C da questão. Entretanto, a projeção ortogonal é o movimento 
equivalente à trajetória vista por cima. 
Gabarito: letra B.6 
2.2 Distâncias entre ponto, reta e planos 
A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos 
são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano: 
 
6 Texto extraído de: www.brasilescola.uol.com.br 
 
22 
 
 
 
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto 
qualquer da reta e o plano: 
 
 
 
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer 
de um deles e o outro plano: 
 
 
 
23 
 
A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto 
qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:7 
 
 
2.3 Ângulos entre retas e planos 
O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com 
uma reta paralela à outra: 
 
 
 
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua 
projeção ortogonal sobre o plano: 
 
7 Texto extraído de: www.somatematica.com.br 
 
24 
 
 
 
Observações: 
 
 
 
3 DIEDROS 
Os planos secantes α e β estabelecem no espaço quatro semiespaços. O corte 
de dois desses semiespaços é chamado de diedro. 
 
 
 
25 
 
Na imagem: 
α e β representam as faces. 
A reta a representa a aresta do diedro determinado pelo corte dos semiplanos 
I e I’. 
 
Secção reta de um diedro 
Chamamos de seção reta, o angulo determinado pelo corte de um diedro com 
um plano perpendicular à sua aresta. 
 
 
Na imagem: 
A superfície perpendicular à aresta a determina a secção reta definida pelo 
ângulo 
 
São congruentes, todas as secções retas do mesmo diedro. 
A proporção de um diedro é a proporção da sua secção reta. 
Dois diedros são congruentes, sempre que suas secções são congruentes. 
Caso o plano π não seja perpendicular à aresta a, obteremos apenas uma secção 
inclinada8. 
 
8 Texto extraído de: www.colegioweb.com.br 
 
26 
 
4 TRIEDROS 
Um triedro é o ângulo poliedro formado por três semirretas ou arestas. Pode ter 
um, dois ou três ângulos retos; em cujo caso se chama ângulo triedro retângulo, 
birretângulo ou trirretângulo, respectivamente. Tem também três diedros. As caras e 
os diedros de um triedro cumprem as seguintes propriedades: 
 Cada face é menor que a soma das outras duas. 
 A soma das três faces é menor que 360º. 
 A soma dos três diedros é maior que 180º e menor que 540º. 
 
Considerando como três semirretas de mesma origem V e não 
coplanares, consideremos os semiespaços I, II, III: 
 
 I com base na superfície (bc) e contendo 
 II com base na superfície (ac) e contendo 
 III com base na superfície (ab) e contendo 
 
 
 
 
27 
 
O corte dos semiespaços I, II e III é chamado triedro determinado por . 
 
 
 
 
 
Relações entre as faces de um diedro 
I) Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas. 
 
 
 
Desta forma, sendo f1 f2 e f3 as superfícies de um diedro, teremos: 
 
 
 
28 
 
II) A soma das medidas (em graus) das superfícies de um triedro qualquer 
é inferior a 360º. 
 
 
 
Relações entre os diedros de um triedro 
I) Em todo e qualquer triedro, a medida (em graus) de um diedro 
aumentada de 180º ultrapassa a soma da extensão dos dois. 
 
 
 
Desta forma, sendo d1 d2 e d3 as medidas em graus dos diedros de um triedro: 
 
 
 
II) Está contida entre 2 retos (180º) e 6 retos (540º) a soma dos dois diedros 
de um triedro9. 
 
9 Texto extraído de: www.colegioweb.com.br 
 
29 
 
 
4.1 Ângulos poliédricos 
Superfície poliédrica 
Chama-se superfície poliédrica a junção de um número limitado n (n ∈ N*) de 
polígonos planos, assim: 
a) Jamais são coplanares, dois polígonos com um lado em comum; 
b) Cada lado do polígono está no máximo em dois polígonos. 
c) Qualquer polígono tem ao menos um lado comum com dos outros polígonos. 
 
Elementos 
Obtemos em uma superfície poliédrica, as faces que são os polígonos, as 
arestas que são as laterais dos polígonos e os vértices, que são os vértices dos 
polígonos. Assim, 
 
 
 
 A aresta que é lado de um único polígono é denominada aresta livre. 
 Já a aresta que é lado de dois polígonos é denominada aresta dupla. 
 
30 
 
 
 
Superfície poliédrica aberta 
 
Classificação 
A superfície poliédrica que tem aresta livre é denominada superfície poliédrica 
aberta. Já a que não possui a aresta livre é denominada superfície poliédrica fechada. 
 
 
 
Superfície poliédrica fechada 
 
Superfície poliédrica convexa 
 
Sempre que o plano de cada polígono deixa todos os demais polígonos num 
mesmo semiespaço este é denominado superfície poliédrica convexa. 
 
31 
 
 
 
Superfície poliédrica não convexa 
 
5 POLIEDRO 
O poliedro é ponto do espaço demarcado por uma superfície poliédrica 
fechada. O poliedro demarcado pela superfície poliédrica convexa é denominado 
poliedro convexo. 
 
 
 
Poliedro convexo 
 
 
32 
 
Relações de Euler 
I) Dada uma superfície poliédrica convexa aberta com vértices (V), arestas 
(A) e faces (F), teremos: 
 
 
II) Dada uma superfície poliédrica convexa fechada com vértices (V), 
arestas (A) e faces (F), teremos: 
 
Chamamos de poliedro Euleriano, qualquer poliedro que sacie essa relação. 
 
Observação: 
“Todo poliedro convexo é Euleriano, mas nem todo poliedro Euleriano é 
convexo”. 
Note que o poliedro abaixo não é convexo, mas segue a relação V – A + F =2. 
 
 
 
Soma dos ângulos das faces 
Em todo poliedro convexo de vértices (V), a soma dos ângulos de todas as suas 
faces é dada por: 
 
 
 
33 
 
5.1 Classificação dos Poliedros 
Os poliedros são classificados em regulares e não regulares. Dessa forma, 
os poliedros regulares surgem quando suas faces formam polígonos regulares e 
congruentes. Por sua vez, os poliedros não regulares são formados por polígonos 
regulares e irregulares. 
5.2 Poliedros Regulares 
Os poliedros regulares convexos são formados pelos cinco “Sólidos Platônicos” 
ou “Poliedros de Platão”, a saber: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, 
icosaedro. 
 
Tetraedro: sólido geométrico formado por 4 vértices, 4 faces triangulares e 6 
arestas. 
 
 
 
Hexaedro: sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 faces quadrangulares e 
12 arestas. 
 
 
 
34 
 
Octaedro: sólido geométrico formado por 6 vértices, 8 faces triangulares e 12 
arestas. 
 
 
 
Dodecaedro: sólido geométrico formado por 20 vértices, 12 faces pentagonais 
e 30 arestas. 
 
 
 
Icosaedro: sólido geométrico formado por 12 vértices, 20 faces triangulares e 
30 arestas. 
 
 
 
 
35 
 
5.3 Poliedros Não Regulares 
Os poliedros não regulares são sólidos geométricos com faces formadas por 
polígonos regulares e irregulares, os mais conhecidos são o prisma e a pirâmide. 
Ao estudar os poliedros regulares, o filósofo e matemático grego Platão, 
relacionou cada um deles com os elementos da natureza: tetraedro (fogo), hexaedro 
(terra), octaedro (ar), dodecaedro (universo) e icosaedro (água). 10 
 
6 CUBO 
O cubo é um sólido geométrico em que todas as faces são quadradas 
congruentes. Dessa maneira, ele é classificado como poliedro. Além disso, também 
pertence ao conjunto dos poliedros convexos e dos poliedros de Platão. 
A área de um poliedro e, consequentemente, do cubo é a soma das áreas dos 
polígonos que o formam. Ao somar todas essas áreas, é possível encontrar umafórmula para o cálculo da área do cubo, que é o que nos interessa. 
 
Cubo: prisma cujas faces são quadradas 
 
 
10 Texto extraído de: www.todamateria.com.br 
 
36 
 
Antes, porém, é necessário saber que a área de um poliedro é dividida em Área 
da base e Área lateral. 
 
→ Área da Base 
Todo cubo é também um prisma de base quadrada. Como os prismas possuem 
duas bases iguais, é necessário calcular apenas uma área da base do cubo: 
Ab = l2 
 
l é a medida da aresta do cubo e a medida do lado do quadrado da base. Essa 
fórmula resulta do fato de a base ser quadrada e, por isso, é igual à área do quadrado. 
Essa área também é comumente apresentada como a “tampa” de algum sólido 
geométrico de formato cúbico. 
 
 
 
A fórmula acima deve ser utilizada para calcular apenas uma dessas áreas. 
 
→ Área lateral 
É a área das faces do cubo que não são bases, isto é, do restante da figura. 
Na imagem abaixo, essa área está destacada em verde mais escuro. 
 
37 
 
 
 
Os polígonos que constituem a área lateral de um cubo são quatro quadrados. 
Portanto, a área lateral do cubo será quatro vezes a área do quadrado: 
Al = 4·l2 
 
→ Área total 
Não devemos falar no conteúdo do cubo, mas somente na superfície que o 
limita. A área total dessa superfície é obtida pela soma das áreas das duas bases com 
a área lateral. A fórmula para esse cálculo é a seguinte: 
At = 2·Ab + Al 
 
Substituindo os valores encontrados anteriormente para a área da base e área 
lateral, teremos: 
At = 2·l2 + 4·l2 
At = 6·l2 
 
Observação: o volume de um sólido geométrico é comparável àquilo que cabe 
dentro dele ou ao espaço que ele ocupa. Já a área é comparável ao material gasto 
para pintar esse sólido por fora. 
 
38 
 
Em resumo, a área de um prisma é a soma das áreas de suas faces laterais. 
Como o cubo é formado por seis quadrados congruentes, então, a área total do cubo 
é seis vezes a área de sua base. 
 
Exemplo 
Um professor de matemática apaixonado por probabilidade resolveu dar de 
aniversário à sua namorada um pingente em forma de dado folheado a ouro. Sabendo 
que o valor do ouro é de R$ 0,90 por mm2, que o pingente já vem de fábrica na cor 
vermelha e que a aresta do cubo do pingente mede 7 mm, responda: 
a) Quanto o professor gastou para deixar duas faces opostas em 
vermelho, folheando as outras faces? 
Resposta: Duas faces opostas de um cubo são suas bases; as outras são 
faces laterais. A área lateral de um cubo pode ser obtida pela seguinte fórmula: 
Al = 4·l2 
Al = 4·72 
Al = 4·49 
Al = 196 mm2 
 
Desse modo, o professor gastaria 0,9·196 = 176,4 (R$ 176,40) para folhear a 
área lateral do cubo. 
 
b) Quanto o professor gastará para folhear o cubo inteiro? 
At = 6·l2 
At = 6·72 
At = 6·49 
At = 6·49 
At = 294 mm2 
O valor gasto será 0,9·294 = 264,6 (R$ 264,60). 
 
39 
 
7 PRISMA 
O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria 
espacial. É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos 
iguais) congruentes e paralelas, além das faces planas laterais (paralelogramos). 
7.1 Composição do Prisma 
 
 
Ilustração de um prisma e seus elementos 
 
Os elementos que compõem o prisma são: base, altura, arestas, vértices e 
faces laterais. Assim, as arestas das bases do prisma são os lados das bases do 
polígono, enquanto que as arestas laterais correspondem aos lados das faces que 
não pertencem às bases. 
Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é 
calculada pela distância entre os planos das bases. 
7.2 Classificação dos Prismas 
Os primas são classificados em Retos e Oblíquos: 
 
40 
 
 Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas 
faces laterais são retângulas. 
 Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces 
laterais são paralelogramos. 
 
 
 
Prisma reto (A) e prisma oblíquo (B) 
7.3 Bases do Prisma 
De acordo com o formato das bases, os primas são classificados em: 
 Prisma Triangular: base formada por triângulo. 
 Prisma Quadrangular: base formada por quadrado. 
 Prisma Pentagonal: base formada por pentágono. 
 Prisma Hexagonal: base formada por hexágono. 
 Prisma Heptagonal: base formada por heptágono. 
 Prisma Octogonal: base formada por octógono. 
 
 
 
 
41 
 
 
 
Figuras de prisma segundo suas bases 
Importante ressaltar que os chamados “prismas regulares” são aqueles cujas 
bases são polígonos regulares e, portanto, formados por prismas retos. Note que se 
todas as faces do prisma forem quadradas, trata-se de um cubo; e, se todas as faces 
são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo. 
Para calcular a área da base (Ab) de um prisma deve-se levar em conta o 
formato que apresenta. Por exemplo, se for um prisma triangular a área da base será 
um triângulo. 
7.4 Fórmulas do Prisma 
Áreas do Prisma 
 
Área Lateral: para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das 
faces laterais. Num prisma reto, que possui todas as áreas das faces laterais 
congruentes, a fórmula da área lateral é: 
Al = n . a 
n: número de lados 
a: face lateral 
 
Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das 
faces laterais e as áreas das bases: 
At = Sl+ 2Sb 
 
42 
 
Sl: Soma das áreas das faces laterais 
Sb: soma das áreas das bases 
 
Volume do Prisma 
O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula: 
V = Ab.h 
Ab: área da base 
h: altura 
7.5 Princípio de Cavalieri 
O Princípio de Cavalieri é um postulado utilizado para determinar fórmulas de 
volumes na Geometria Espacial, especialmente em prismas. 
 
 
 
O princípio de Cavalieri é usado para demonstrar algumas fórmulas para 
volume de sólidos geométricos 
O princípio de Cavalieri hoje em dia é tido como postulado e é usado para 
determinar fórmulas para o cálculo de volume de sólidos geométricos. Por meio dele, 
é possível chegar ao volume de qualquer prisma utilizando o volume de um prisma 
conhecido, desde que o segundo possua a mesma altura que o primeiro e que ambos 
possuam áreas da base congruentes. 
 
43 
 
Cavalieri era um matemático do século XVII que teve a seguinte ideia: embora 
o formato de um sólido geométrico seja modificado, exceto por casos em que ele 
perde ou ganha massa, seu volume permanecerá inalterado. Esse é o pensamento 
que fundamenta o princípio, que ainda será definido adiante. 
Vejamos o que acontece com dois prismas distintos que possuem o mesmo 
volume quando deformamos um deles. 
Primeiramente, colocaremos os dois prismas de mesmo volume sobre um 
mesmo plano α. 
 
 
 
Dois prismas distintos que possuem área da base e altura congruentes 
 
Os dois prismas acima foram colocados sobre o plano α e possuem área da 
base e altura congruentes. Pode-se dizer que os prismas são congruentes porque 
possuem medidas iguais e também que são equivalentes porque possuem volumes 
iguais. 
Note que fizemos um corte nesses prismas por meio do plano β. As figuras 
formadas no corte, destacadas pelas linhas pontilhadas, são congruentes às bases 
de seus respectivos prismas. 
Cavalieri observou que, deformando um dos dois prismas sem modificar o 
formato de suas bases ou sua altura, eles continuam com volumes iguais. 
 
44 
 
 
 
O segundo prisma sofreu uma deformação, mas manteve a base quadrada 
congruente à do primeiro 
 
Na imagem acima, note que o segundo prisma foi deformado, como se sua 
base estivesse fixa ao plano α e seu topo tivesse sido empurrado para a direita. Isso 
não modificou o formato de sua base, que permanece quadrada e congruente à do 
outro prisma, nem sua altura. 
Note também que o corte realizado pelo plano β ainda gera um quadrado no 
prisma da direita congruente ao quadrado do prisma da esquerda. Dessa maneira, 
Cavalieri propôs que, independentemente da altura em que esse corte é feito, o 
formatoda figura obtida no segundo prisma é igual ao da primeira e elas são 
congruentes. Dessa maneira, como os dois prismas possuem a mesma altura, 
continuam equivalentes (com volumes iguais). 
Daí segue que o volume de um prisma (reto ou oblíquo) é o produto da área da 
base pela altura. Em outras palavras 
 
V = Ab·h 
V = Volume do prisma; Ab = área de sua base; e h = altura. 
 
Formalização 
Dados dois sólidos geométricos A e B de mesma altura e áreas das bases, que, 
por sua vez, estão contidas no mesmo plano α. Os sólidos A e B têm o mesmo volume 
se qualquer plano β, paralelo a α, determinar duas secções transversais com áreas 
iguais. Dessa maneira, o princípio de Cavalieri pode ser usado também para sólidos 
 
45 
 
completamente diferentes, mas que possuem mesma altura, bases com áreas iguais 
e que qualquer corte realizado nos dois por um mesmo plano resulte em figuras com 
áreas iguais. Observe o exemplo abaixo: 
 
 
 
Os prismas possuem bases diferentes, mas se a área de qualquer secção 
transversal feita no primeiro for igual à sua respectiva secção no segundo e, além 
disso, suas alturas forem iguais, então os seus volumes também serão. Esses sólidos 
não precisam ser prismas. Pode ser qualquer sólido geométrico com faces retas ou 
circulares. 
8 PIRÂMIDES 
A pirâmide é uma figura geométrica espacial, mais precisamente um poliedro. 
Ela é composta por uma base e um vértice. Sua base pode ser triangular, pentagonal, 
quadrada, retangular, paralelogramo. Já o vértice, corresponde ao ponto mais distante 
da base da pirâmide e que une todas as faces laterais triangulares. 
Em outros termos, a pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal que 
possui todos os vértices num plano (plano da base). Sua altura corresponde a 
distância entre o vértice e sua base. 
Observe que o número de lados do polígono da base corresponde o número 
de faces laterais da pirâmide. 
 
46 
 
8.1 Elementos da Pirâmide 
 
 
 Base: corresponde à região plana poligonal na qual se sustenta a pirâmide. 
 Altura: designa a distância do vértice da pirâmide ao plano da base. 
 Arestas: são classificadas em arestas da base, ou seja, todos os lados do 
polígono da base, e arestas laterais, segmentos formados pela distância do 
vértice da pirâmide até sua base. 
 Apótemas: corresponde à altura de cada face lateral; são classificadas em 
apótema da base e apótema da pirâmide. 
 Superfície Lateral: É a superfície poliédrica composta por todas as faces 
laterais da pirâmide. 
8.2 Tipos de Pirâmide 
Segundo as bases e o número arestas que formam as pirâmides, elas são 
classificadas em: 
 Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo, composta de quatro faces: três 
faces laterais e a face da base. 
 Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado, composta de cinco faces: 
quatro faces laterais e a face da base. 
 
47 
 
 Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono, composta de seis faces: 
cinco faces laterais e a face da base. 
 Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono, composta de sete faces: seis 
faces laterais e face da base. 
No tocante à inclinação da base, as pirâmides são classificadas de duas 
maneiras: 
 Pirâmides Retas, que formam um ângulo de 90º; 
 Pirâmides Oblíquas, que apresentam ângulos diferentes de 90º. 
8.3 Pirâmides regulares 
São aquelas que cumprem estas duas condições: 
 A base é um polígono regular; 
 A projeção ortogonal do vértice é o centro desse polígono. 
 
Os resultados dessa definição são: 
 Todas as arestas laterais possuem a mesma medida; 
 Todas as apótemas possuem a mesma medida; 
 Todas as faces laterais são congruentes. 
8.4 Área da Pirâmide 
Para calcular a área total da pirâmide, utiliza-se a seguinte fórmula: 
Área total: Al + Ab 
 
Onde, 
Al: Área lateral (soma das áreas de todas as faces laterais) 
Ab: Área da base 
 
 
 
48 
 
8.5 Volume da Pirâmide 
Para calcular o volume da pirâmide, tem-se a expressão: 
V=1/3 Ab.h 
 
Onde: 
Ab: Área da base 
h: altura 
8.6 Troncos de pirâmides 
O tronco da pirâmide é o sólido formado por uma secção transversal em uma 
pirâmide. A secção transversal é o corte feito por um plano paralelo à base da 
pirâmide, como mostra a figura a seguir: 
 
 
 
Feita a secção transversal, o conjunto de pontos que fica entre essa secção e 
a base é o tronco da pirâmide. 
 
 
 
49 
 
Elementos do tronco da pirâmide 
 Base maior: é a base da pirâmide, o polígono que se opõe ao vértice dela; 
 Base menor: é o polígono formado pela secção transversal; 
 Altura: é a distância entre a base maior e a base menor; 
 
Todos os elementos da pirâmide: arestas, arestas laterais, arestas da base, 
vértices, faces, faces laterais etc. 
O tronco da pirâmide é chamado de tronco regular quando é obtido de uma 
pirâmide regular. Para o tronco regular, valem as seguintes propriedades: 
a) As arestas laterais são congruentes; 
b) As bases são semelhantes e, além disso, são polígonos regulares; 
c) Todas as faces laterais são formadas por trapézios isósceles congruentes; 
d) A altura de uma face lateral qualquer é chamada de apótema. 
 
 
 
Área do tronco da pirâmide 
A área do tronco da pirâmide é determinada pela soma das áreas de todos os 
polígonos que o formam. Observe que a base menor e a base maior de um tronco 
podem ser qualquer polígono, mas as faces laterais são trapézios e, em alguns casos, 
podem ser até isósceles. 
Então, basta multiplicar o número de lados da base pela área de um dos 
trapézios isósceles para obter a área lateral do tronco da pirâmide. Depois disso, é 
necessário calcular a área das bases e, por fim, somar as três áreas. Assim, a 
expressão a seguir deve ser usada para calcular a área do tronco da pirâmide: 
A = AB + Ab + Al 
 
50 
 
 A é a área do tronco; 
 AB é a área da base maior; 
 Ab é a área da base menor; 
 Al é a área lateral da pirâmide. 
 
Volume do tronco da pirâmide 
O melhor caminho para calcular o volume do tronco de uma pirâmide é subtrair 
do volume da pirâmide o volume do outro sólido formado pela secção transversal. 
Esse sólido é uma segunda pirâmide, menor que a primeira, cuja área da base será 
aqui representada por A2. A área da base da pirâmide maior será representada por 
A1. 
Também existe uma fórmula pela qual é possível encontrar o volume do tronco, 
a saber: 
V = h (A1 + √[A1·A2] + A2) 
 
*h é a altura do tronco. 
 
9 CILINDRO 
O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e arredondado 
que possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento. 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/volume-tronco-piramide.htm
 
51 
 
Essa figura geométrica, que faz parte dos estudos de geometria espacial, 
apresenta dois círculos com raios de medidas equivalentes os quais estão situados 
em planos paralelos. 
9.1 Componentes do Cilindro 
 
 
 Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade. 
 Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases 
(superior e inferior). 
 Geratriz: corresponde à altura (h=g) do cilindro. 
 Diretriz: corresponde à curva do plano da base. 
9.2 Classificação dos Cilindros 
Dependendo da inclinação do eixo, ou seja, do ângulo formado pela geratriz, 
os cilindros são classificados em: 
 
Cilindro Reto: Nos cilindros circulares retos, a geratriz (altura) está 
perpendicular ao plano da base. 
 
 
52 
 
Cilindro Oblíquo: Nos cilindros circulares oblíquos, a geratriz (altura) está 
oblíqua ao plano da base. 
 
 
 
O chamado “cilindro equilátero” ou “cilindro de revolução” é caracterizado pela 
mesma medida do diâmetro da base e da geratriz (g=2r). Isso porque sua seção 
meridiana corresponde a um quadrado. 
9.3 Fórmulas do Cilindro 
Segue abaixo as fórmulas para calcular as áreas e o volume do cilindro: 
 
Áreas do Cilindro 
Área da Base: Para calcular a área da base docilindro, utiliza-se a seguinte 
fórmula: 
Ab= π.r2 
Onde: 
Ab: área da base 
π (Pi): 3,14 
r: raio 
 
Área Lateral: Para calcular a área lateral do cilindro, ou seja, a medida da 
superfície lateral, utiliza-se a fórmula: 
Al= 2 π.r.h 
Onde: 
Al: área lateral 
 
53 
 
π (Pi): 3,14 
r: raio 
h: altura 
 
Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da 
superfície da figura, soma-se 2 vezes a área da base à área lateral, a saber: 
At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h) 
Onde: 
At: área total 
Ab: área da base 
Al: área lateral 
π (Pi): 3,14 
r: raio 
h: altura 
9.4 Volume do Cilindro 
O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura 
(geratriz): 
V = Ab.h ou V = π.r2.h 
Onde: 
V: volume 
Ab: área da base 
π (Pi): 3,14 
r: raio 
h: altura 
 
10 CILINDROS DE REVOLUÇÃO 
É o sólido obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de um eixo 
que contém um dos seus lados. Esse cilindro é também chamado cilindro circular 
 
54 
 
reto. Há cilindros que não são de revolução, são chamados cilindros oblíquos 
(possuem eixos que não são perpendiculares aos planos das bases). 
 
 
 
Elementos do Cilindro 
Círculos de centros 0 e 0´→ Bases 
AA´ → Geratriz 
BB´CC´→ Seção meridiana 
h → Altura 
 
Superfície e Volume do Cilindro 
Os conceitos de área lateral e total de um cilindro são análogos aos dos 
prismas. 
10.1 Planificação do Cilindro Circular Reto 
 
 
 
55 
 
10.2 Cilindro Equilátero 
É o cilindro de revolução em que a altura é igual ao diâmetro da base; a seção 
meridiana, como mostra a figura, é um quadrado. 
 
 
 
11 CONES DE REVOLUÇÃO 
Cone é o conjunto de todos os segmentos que ligam os pontos de um círculo 
(base) a um ponto fora do plano em que ele está contido. 
11.1 Elementos e classificação do cone 
Elementos: 
 Vértice (V): ponto fora do plano da base e que pertence a definição de cone. 
 Eixo: é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base. 
 Altura (h): é a distância entre o vértice e o plano da base. 
 Raio (r): é o raio da base. 
 
Classificação: 
 Cone reto: eixo perpendicular ao plano da base. 
 Cone oblíquo: eixo oblíquo ao plano da base. 
 
56 
 
 
 
Geratrizes 
Geratrizes do cone são segmentos com extremidades no vértice e na 
circunferência da base. Seguindo os exemplos dos cones acima, observe algumas de 
suas geratrizes: 
 
 
 
Observação: No caso do cone reto, as geratrizes são congruentes. 
 
Considerando um cone reto de raio da base r, altura h e geratrizes medindo g. 
O desenho abaixo mostra um triângulo retângulo que podemos formar: 
 
57 
 
 
 
Então, pelo teorema de Pitágoras, temos que: 
g2=h2+r2 
11.2 O cone como sólido de revolução 
Os cones podem ser obtidos girando-se uma região triangular. Segue formação 
de um cone reto: 
 
 
 
Isso faz com que o cone também seja chamado de sólido (ou corpo) de 
revolução. 
 
58 
 
11.3 Área externa do cone 
Considerando um cone reto de raio da base r, altura h e geratrizes medindo g. 
A planificação desse cone mostra que ele é formado por: 
 
 
 Base: um círculo de raio r. 
 Lateral: um setor circular de comprimento de arco 2πr e raio g (geratriz). 
 
Importante: não confundir o raio da base com o raio do setor circular! No nosso 
exemplo, r é o raio da base e g é o raio do setor circular. 
 Área da base: πr2 é a área do círculo. 
 Área da lateral: área de setor circular de comprimento do arco 2πr e raio g: 
comprimento de arco×raio2=2π⋅r⋅g2=πrg 
 
Portanto, a área externa (ou total) do cone é: 
Aexterna=Abase+Alateral=πr2+πrg=πr(r+g) 
11.4 Volume do cone 
O volume do cone (V), assim como das pirâmides, é um terço da multiplicação 
da área da base pela altura. Dado um cone de raio da base r e altura h, a área da 
base (círculo) é πr2 e o volume do cone será 13πr2⋅h. 
 
59 
 
11.5 Tronco de cone 
Tronco de cone de bases paralelas é um sólido obtido quando se intercepta um 
cone por um plano paralelo ao plano da base e se descarta o cone menor formado. 
 
Alguns elementos do tronco de cone 
 R é o raio da base maior. 
 r é o raio da base menor. 
 h é a altura do tronco de cone. 
 g é a geratriz do tronco de cone. 
 
 
 
É possível obtermos que é válido que: 
Considerando os dados indicados no tronco de cone acima, temos também 
que: 
 
Volume do tronco de cone de bases paralelas (V): 
 
 
60 
 
Área lateral do tronco de cone ( ) de bases paralelas: 
 
 
Tais expressões são obtidas pela semelhança do cone original com o cone 
menor criado a partir do corte feito pelo plano da definição. 
 
Exemplo: 
(FUVEST) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios de 
6 cm e 3 cm. Sabendo que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das 
bases, calcule: 
a) altura do tronco de cone. 
b) volume do tronco de cone 
 
Resposta: 
a) O enunciado diz que "área lateral do tronco é igual à soma das áreas das 
bases". Sendo A1 e A2 as áreas dos círculos da base de raios 6 cm (R) e 3 cm (r), 
respetivamente. Temos: 
 
 
 
 
 
Logo: . 
Portanto: g = 5 cm 
Pede-se a altura do tronco de cone (h), para isso, utilizamos a relação 
: 
 
61 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, h = 4 cm. 
 
b) Temos que h = 4 cm, R = 6 cm e r = 3 cm. Basta usar a expressão para 
volume: 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
12 ESFERAS 
A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de 
geometria espacial. 
A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em 
torno de um eixo. É composto por uma superfície fechada na medida que todos os 
pontos estão equidistantes do centro (O). 
Alguns exemplos de esfera são o planeta, uma laranja, uma melancia, uma bola 
de futebol, dentre outros. 
 
 
 
As esferas são obtidas pelo giro de um semicírculo ao redor do diâmetro, por 
isso, são chamadas de sólido de revolução. 
 
 
 
Esfera obtida pelo giro de um semicírculo em torno do seu diâmetro 
 
63 
 
12.1 Elementos 
 C: centro da esfera. 
 CP é o raio da esfera de medida r. 
 QP é o diâmetro da esfera de medida 2r. 
12.2 Área da superfície esférica 
A fórmula da área da superfície esférica (ou “casca” da esfera) é dada pela 
seguinte constatação experimental: 
A área da superfície esférica de uma esfera de raio r é igual a área de quatro 
círculos de raio r. 
Portanto, como a área de um círculo de raio r é πr2, a área da superfície 
esférica de raio r é quatro vezes πr2: 
A superficie esferica =4πr2 
12.3 Volume da esfera 
Dada uma esfera de raio r, o seu volume (V) será: 
V=43πr3 
 
 Superfície esférica: é a parte superficial de uma esfera, justamente o conjunto 
de pontos cuja distância do centro é igual ao raio. Essa superfície pode ser 
obtida pela rotação de uma circunferência em torno do diâmetro. A área da 
superfície esférica pode ser calculada por meio da fórmula a seguir: 
A = 4πr2 
*r é o raio da esfera, e A é a medida da área. 
 
Veja um exemplo: 
Suponha que o raio de uma laranja seja de 6 cm. A área de sua superfície 
esférica (casca) será: 
A = 4πr2 
A = 4·3,14·62 
A = 12,56·36 
 
64 
 
A = 452,16 cm2 
 
 Polos: são os pontos de encontro entre a superfície esférica e o eixo de 
rotação. Sendo assim, os polos são os dois pontos extremos do diâmetro da 
esfera. 
 Paralelo: circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de 
qualquer plano perpendicular ao eixo de rotação e à superfície esférica. O 
paralelo que possui o maior comprimento é chamado de equador. 
 Meridiano: circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de 
qualquer plano que contém o eixo de rotação com a superfície esférica. 
 
 
 
Exemplo de paralelo e meridiano em uma esfera com eixo de rotação vertical 
12.4 Secção em uma esfera 
Uma secção é um “corte” realizado por um plano, ou seja, é a intersecção entre 
um plano e a figura que sofrea secção. Dessa maneira, toda secção em uma esfera 
é um círculo. 
 
65 
 
Para qualquer secção, vale a seguinte expressão: 
s2 = r2 – d2 
 
 s = raio do círculo formado pela secção; 
 d = distância entre o plano da secção e o centro da esfera; 
 r = raio da esfera. 
 
O plano que faz uma secção em uma esfera é chamado de plano secante. Se 
esse plano secante passa pelo centro da esfera, o círculo formado na secção é 
chamado de círculo máximo. 
 
Secção de uma esfera por meio de um plano secante 
12.5 Fuso esférico 
O fuso esférico é a parte da superfície de uma esfera formada pelo giro de uma 
semicircunferência em α graus em torno do diâmetro da esfera. Um fuso esférico é 
equivalente a um fuso horário. O fuso horário é a divisão de uma esfera em 24 partes 
e, assim, configura um fuso esférico formado por uma semicircunferência que girou 
apenas 15°. 
 
66 
 
 
 
Fuso esférico: rotação de uma semicircunferência em α graus 
A intersecção de um fuso esférico com o equador de uma esfera é um arco de 
circunferência e é chamado de arco equatorial. 
Para calcular a área do fuso esférico a partir do ângulo do giro da 
semicircunferência que o gerou, basta usar regra de três. Considere que o ângulo seja 
α, a área do fuso seja A e que a área total da esfera é dada por 4πr2 e que é resultado 
de uma volta de 360°, podemos escrever: 
360 = 4πr2 
α A 
 
Multiplicando cruzado, teremos: 
360A = 4πr2α 
A = 4πr2α 
360 
A = πr2α 
 90 
 
 
67 
 
12.6 Cunha esférica 
Um semicírculo que gira α graus ao redor de algum eixo forma uma cunha 
esférica. 
 
 
 
Cunha esférica: rotação de um semicírculo em α graus 
 
O volume da cunha esférica também pode ser calculado por meio de regra de 
três. Considere que o ângulo descrito pelo semicírculo que gera uma cunha esférica 
é β, que seu volume é V, que o volume da esfera é determinado pela expressão 4/3πr3 
e que, para esse volume, o semicírculo dá uma volta completa, de 360°, o volume da 
cunha esférica pode ser calculado da seguinte maneira: 
4/3πr3 = 360 
 V β 
Fazendo os cálculos, teremos: 
V = βπr3 
 270 
 
68 
 
Exemplo: 
Calcule a área do fuso esférico que possui ângulo de 90° e raio de 10 cm. Além 
disso, calcule o volume da cunha esférica correspondente. 
Solução: Basta usar as fórmulas para área do fuso esférico e volume da cunha 
esférica dadas anteriormente. 
Área: 
A = πr2α 
 90 
A = 3,14·102·90 
 90 
A = 3,14·100 
A = 314 cm2 
Volume:11 
V = βπr3 
 270 
V = 90·3,14·103 
 270 
V = 3,14·1000 
 3 
V = 3140 
 3 
V = 1046,7 cm3 
 
13 O ENSINO DA GEOMETRIA 
13.1 A Teoria de Van Hiele e a Teoria de Gutiérrez 
Estudos sobre visualização e aprendizagem levaram alguns estudiosos à 
formulação de teorias que identificam fases do aprendizado em Geometria. Dentre 
esses estudos, podemos destacar a Teoria de Van Hiele na Geometria Plana e a 
Teoria de Gutiérrez na Geometria Espacial. 
 
11 Texto extraído de: www.mundoeducacao.bol.uol.com.br 
 
69 
 
A Teoria de Van Hiele concebe diversos níveis de aprendizagem geométrica 
(ou pensamento geométrico) (KALEFF, 1994, p. 25 e 26): 
 
0. Nível Reconhecimento (Visualização): Avaliação das figuras apenas pela 
sua aparência. Reconhecimento, comparação e nomenclatura. 
1. Nível Análise: Avaliação das figuras em relação a seus componentes, 
reconhecimento de propriedades e uso das propriedades na resolução de problemas. 
2. Nível Percepção: Ordenação das propriedades e construção de definições. 
3. Nível Dedução: Domínio do processo dedutivo e das demonstrações, 
reconhecimento de condições necessárias e suficientes e demonstração de algumas 
propriedades. 
4. Nível Rigor: Capacidade de compreender demonstrações formais, 
comparação e estabelecimento de teoremas em diversos sistemas. 
 
Modelo de Van Hiele 
Ao analisar o modelo de Van Hiele, observa-se que as aulas de Geometria 
Espacial no 2º ano do Ensino Médio contemplam apenas os três primeiros níveis, e 
muitas vezes não há a construção da aprendizagem através de cada nível. O que 
ocorre é a apresentação do conteúdo de forma expositiva, o que resulta numa 
memorização dos sólidos geométricos que é posteriormente esquecida pelos alunos. 
O uso de materiais manipulativos permite a construção do conhecimento 
através dos três níveis iniciais e possibilita que o aluno alcance o quarto nível 
(dedução). Nos capítulos seguintes, mostraremos como o método das jujubas propicia 
 
70 
 
que os alunos deduzam a Relação de Euler e a fórmula da diagonal do paralelepípedo 
e do cubo. 
Crowley (1994) destacou o papel do professor em cada nível de Van Hiele, e 
observa-se que este papel difere em muito do modelo de aulas expositivas no quadro 
bidimensional que a maioria dos professores utilizam. 
 
1. Informação: Professor e aluno dialogam sobre o material de estudo, e o 
docente deve perceber quais são os conhecimentos prévios do discente sobre o 
assunto a ser estudado. 
2. Orientação Dirigida: Os alunos exploram o assunto de estudo através do 
material selecionado pelo professor (no caso deste trabalho o manipulativo), e as 
atividades deverão proporcionar respostas específicas e objetivas. 
3. Explicação: O papel do professor é o de observador do aluno, que está 
construindo um conhecimento inicial sobre o assunto. 
4. Orientação Livre: O professor propõe tarefas constituídas de várias etapas, 
possibilitando diversas respostas, a fim de que o aluno ganhe experiências e 
autonomia. 
5. Integração: O professor auxilia no processo de síntese, fornecendo 
experiências e observações globais, sem apresentar novas e discordantes ideias. 
O mais importante na teoria de Van Hiele é a descoberta de que o aluno não 
alcança um nível a frente sem passar pelos anteriores, ou seja, há uma hierarquia de 
conhecimento. Cabe ao professor adequar sua linguagem à medida que o aluno 
avança nesses níveis. 
Alguns estudos têm procurado adaptar os níveis de Van Hiele para além das 
figuras no plano, estendo-os às figuras 3D e transformações geométricas. 
Dentre estes, destacamos o de Gutiérrez (1996), para quem a visualização em 
Geometria é um tipo de raciocínio baseado no uso de elementos visuais e espaciais, 
tanto mentais quanto físicos, desenvolvidos para resolver problemas ou provar 
propriedades. A visualização integra-se a quatro elementos principais: imagens 
mentais, representações externas, processos de visualização e habilidades de 
visualização. De acordo com este autor: 
 
71 
 
 [...] uma imagem mental é qualquer tipo de representação cognitiva de um 
conceito matemático ou propriedade, por meio de elementos visuais ou 
espaciais; [...] uma representação externa pertinente à visualização é 
qualquer tipo de representação gráfica ou verbal de conceitos ou 
propriedades incluindo figuras, desenhos, diagramas, etc, que ajudam a criar 
ou transformar imagens mentais e produzir raciocínio visual; [...] um processo 
de visualização é uma ação física ou mental, onde imagens mentais estão 
envolvidas. Existem dois processos realizados na visualização: a 
“interpretação visual de informações” para criar imagens mentais. (Gutiérrez, 
1996, p. 9-10) 
Em relação às habilidades de visualização espacial, Gutiérrez (1996, p.10) 
define os diferentes segmentos: 
 Percepção de figura-base: habilidade de identificar uma figura específica, 
isolando-a de um fundo complexo. 
 Constância perceptual: habilidade de reconhecer que algumas propriedades de 
um objeto (real ou em uma imagem mental) são independentes do tamanho, 
cor, textura ou posição, e permanecer não confuso quando um objeto ou figura 
é percebido em diferentes orientações. 
 Rotação mental: habilidade de produzir imagens mentais dinâmicas para 
visualizar uma configuração em movimento. 
 Percepção de posições noespaço: habilidade de relacionar um objeto, figura 
ou imagem mental em relação a si mesmo. 
 Percepção de relações espaciais: habilidade de relacionar vários objetos, 
figuras e/ou imagens mentais uns com os outros ou simultaneamente consigo 
mesmo. 
 Discriminação visual: habilidade de comparar vários objetos, figuras e/ou 
imagens mentais para identificar semelhanças e diferenças entre eles. 
 
Dentre as habilidades de visualização, observa-se que os alunos têm maior 
dificuldade em constância perceptual e rotação mental, o que se observa quando, ao 
resolver exercícios envolvendo prismas, o aluno confunde as faces laterais com a 
base pelo fato de a figura ter sofrido uma rotação. 
 
72 
 
 
Prisma rotacionado 
Encontrar alternativas de ensino que atuem na construção da aprendizagem 
através dos níveis de Van Hiele e das habilidades de visualização espacial de 
Gutiérrez é uma discussão necessária para melhorar o rendimento dos alunos do 
Ensino Médio em Geometria Espacial. 
13.2 Um breve histórico acerca do ensino da Geometria no Brasil 
Segundo Valente (2008), os primeiros registros históricos sobre o ensino da 
Matemática no Brasil remontam o ano de 1669, quando a Coroa Portuguesa viu a 
necessidade de treinar melhor seus militares e, para isto, criou a Aula de Artilharia e 
Fortificações. 
No início houve dificuldades em sua implementação, pela falta de livros 
adequados, e em 1710 o curso ainda não havia iniciado. Apenas em 1738, depois que 
o militar português José Fernandes Pinto Alpoim chegou ao Brasil, as aulas tiveram 
início e foram consideradas obrigatórias a todo oficial. Alpoim foi o autor dos dois 
primeiros livros didáticos de Matemática escritos no Brasil, que ensinavam conceitos 
de Geometria e Aritmética: Exame de Artilheiros (1744) e Exame de Bombeiros 
(1748). Com isto podemos concluir que o ensino de Matemática no Brasil iniciou-se 
com a necessidade de defesa da colônia por parte dos militares, incentivada pela 
Coroa Portuguesa. 
Com a independência do Brasil, houve a necessidade de se criar a primeira 
Universidade Brasileira. Então, em 1827 são criados os Cursos Jurídicos, cujo acesso 
era dado por um exame que continha, dentre outras disciplinas, a Geometria. Por 
 
73 
 
conta deste exame, surgem os cursos preparatórios com a disciplina Geometria, que 
perduram por cerca de 100 anos, e a partir desta época, os conhecimentos 
matemáticos deixam de ser um conteúdo que servia apenas ao comércio e aos 
militares, e são promovidos à categoria de cultura geral. (VALENTE, 2008, p. 15) 
Com a criação do Colégio Pedro II, em 1837, iniciam-se as tentativas de 
exigência do diploma do secundário seriado para ingresso nas faculdades. Depois de 
várias reformas, segundo Ferreira (2005, p. 95), foi elaborado um plano gradual de 
estudos, com Geometria, Álgebra e Aritmética, no qual o aluno era promovido por 
série e não mais por disciplinas. 
Segundo Valente (2008), nos anos 30 surgem as faculdades de filosofia que 
formavam professores, e com isso alguns livros didáticos começam a ser publicados. 
A partir da reforma Francisco Campos, no primeiro governo de Getúlio Vargas, há a 
primeira reestruturação de ensino, que extingue os cursos preparatórios e faz surgir a 
disciplina Matemática, unindo Geometria, Álgebra e Aritmética. 
Em 1929, Euclides Roxo lança o livro Curso de Mathematica Elementar, numa 
tentativa de unir as 3 grandes áreas da Matemática. Seu livro ensinava, através da 
Geometria, conceitos de Álgebra e Aritmética, sendo adotado pelo Colégio Pedro II 
em 1930. Este autor propõe o uso do material concreto, pois ao ensinar o conceito de 
reta, por exemplo, solicitava que os alunos verificassem arames, bordas de papel, etc. 
Nessa mesma época surgem ginásios e liceus públicos, e a educação, antes exclusiva 
da elite, passa a ter adesão da classe média. 
Já na década de 60, surge o movimento da Matemática Moderna, onde a 
mesma é ensinada com rigor e formalidade. Segundo Pavanello (1993), a partir desse 
movimento a geometria assume posição secundária no ensino, pois perde seu caráter 
intuitivo e pauta-se na demonstração e no formalismo. Assim, o ensino dos 
conhecimentos geométricos inicia-se “pela noção de figura geométrica e de 
intersecção de figuras como conjunto de pontos do plano, adotando-se, para sua 
representação a linguagem da teoria dos conjuntos.” 
A Lei de Diretrizes e Bases do ensino do 1º e 2º graus (5692/ 71) contribui para 
o abandono do ensino da Geometria ao permitir que cada professor monte seu 
programa de ensino. Assim, muitos alunos do 1º grau deixam de aprender Geometria, 
pois os professores das quatro séries iniciais limitavam-se ao ensino de Aritmética e 
noções de conjunto. Logo, os alunos tinham aulas de Geometria no 2º grau, onde 
chegavam sem ter os conhecimentos prévios necessários, já que o Desenho 
 
74 
 
Geométrico havia sido substituído pela Educação Artística. (PAVANELLO, 1993, p. 
13). 
Com isso observa-se que a Geometria perdeu espaço com o movimento da 
Matemática Moderna, e a relutância por parte dos professores em ensinar este 
conteúdo contribuiu para que os alunos apresentassem baixo rendimento neste 
assunto. 
Porém, a partir da década de 80, surgem as teorias da Neurociência e a Teoria 
das Inteligências Múltiplas, que promovem o ensino de Geometria com base na 
experimentação sensorial dos alunos. Acreditamos que há uma tendência ao resgate 
da Geometria como posição de destaque, pela diversidade de materiais concretos que 
vêm sido utilizados pelos professores. 
13.3 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2006) são 
propostas que norteiam e organizam o conhecimento no Ensino Médio. 
Esses conjuntos de parâmetros afirmam que, no Ensino Médio, a Matemática 
deverá apresentar novas informações e, além disso, deverá oferecer instrumentos 
necessários para que o aluno continue aprendendo. Ainda ressalta a importância de 
que a Educação esteja voltada para o desenvolvimento da capacidade de 
comunicação. Com relação aos objetivos gerais da Matemática, não podemos deixar 
de destacar o desenvolvimento da capacidade de raciocínio e a resolução de 
problemas para aprimorar o entendimento de conceitos matemáticos. Deste modo, a 
fim de que se cumpram essas metas, trazemos a proposta do uso do material 
manipulável. 
Sabemos que a Matemática se faz presente no mundo e tem relação em 
diversas áreas do conhecimento, contribuindo diretamente para a evolução da 
humanidade. Sendo está uma disciplina muito importante para o desenvolvimento do 
raciocínio, os PCNEM destacam nesta direção as habilidades de argumentação lógica 
e no que se refere ao campo geométrico, citam o desenvolvimento das habilidades de 
visualização e desenho. Os PCN’s afirmam que: 
Essas competências são importantes na compreensão e ampliação da 
percepção de espaço e construção de modelos para interpretar questões da 
Matemática e de outras áreas do conhecimento. De fato, perceber as 
 
75 
 
relações entre as representações planas nos desenhos, mapas e na tela do 
computador com os objetos que lhes deram origem, conceber novas formas 
planas ou espaciais e suas propriedades a partir dessas representações são 
essenciais para a leitura do mundo através dos olhos das outras ciências, em 
especial a Física. (BRASIL, 2006, p. 44) 
 Por outro lado, se buscarmos um olhar mais crítico para o ensino da 
Matemática, perceberemos que este vem sendo feito ainda com muita formalidade 
dentro da sala de aula. E ainda tem-se observado um baixo rendimento nesta 
disciplina em avaliações como Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) , por 
exemplo. 
O Laboratório de Ensino de Matemática (LEM) pode ser um espaço 
especialmente dedicado à criação de situações pedagógicas desafiadoras e 
para auxiliar no equacionamento de situações previstas peloprofessor em 
seu planejamento, mas imprevistas na prática, devido aos questionamentos 
dos alunos durante as aulas. Nesse caso, o professor pode precisar de 
diferentes materiais com fácil acesso. Enfim, o LEM, nessa concepção, é uma 
sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar 
matemático, é um espaço para facilitar, tanto ao aluno como ao professor, 
questionar, conjecturar, procurar, experimentar, analisar e concluir, enfim, 
aprender e principalmente aprender a aprender. (LORENZATO, 2006, p.7) 
Com o LEM poderemos trabalhar melhor essas habilidades citadas 
anteriormente nos PCNEM. Porém, é preciso que o professor conheça seu laboratório. 
Sérgio Lorenzato também afirma que: 
A atuação do professor é determinante para o sucesso ou fracasso escolar. 
Para que os alunos aprendam significativamente, não basta que o professor 
disponha de um LEM. Tão importante quanto a escola possuir um LEM é o 
professor saber utilizar corretamente os materiais didáticos, pois estes, como 
outros instrumentos, tais como o pincel, o revólver, a enxada, a bola, o 
automóvel, o bisturi, o quadro-negro, o batom, o sino, exigem conhecimento 
especifico de quem os utiliza. (LORENZATO, 2006, p.23, 24) 
Para que Laboratório de Matemática funcione, existe uma série de fatores 
determinantes, porém o docente é a chave fundamental para utilizar essa ferramenta 
de maneira correta e ampliar os conhecimentos dos alunos. 
13.4 Alguns materiais concretos existentes para o Ensino de Geometria 
Espacial 
Nas últimas duas décadas, observa-se uma preocupação por parte dos 
educadores em inserir materiais concretos no ensino de Geometria Espacial. Na 
 
76 
 
internet, principalmente, há diversos exemplos de materiais que podem ser utilizados 
em sala de aula. 
Abaixo relacionamos alguns métodos baseados em esqueletos de poliedros: 
 
Garrote e varetas 
O método consiste em construir esqueletos de poliedros com garrotes (material 
hospitalar) como vértices e varetas como arestas. 
 
 
 
Poliedros com garrotes e varetas 
 
Massa de modelar e palitos 
 
O método consiste em utilizar massa de modelar como vértices e palitos como 
arestas. 
 
 
 
 
77 
 
Hexaedro de palitos e massa de modelar 
 
Criat-ímã 
É um kit composto por ímãs e hastes plásticas, vendido por empresas de 
materiais didáticos manipuláveis. 
 
 
Poliedro estrelado construído com criat-ímã 
 
Canudos e linha 
Neste método de montagem de esqueletos de poliedros, a linha passa pelo 
interior dos canudos com auxílio de uma agulha, unindo-os para formar os poliedros. 
Tutorial de construção do tetraedro regular com canudos e linha 
 
 
78 
 
É importante ressaltar que existem outros materiais concretos que levam em 
consideração apenas o formato dos poliedros, e não o seu interior, como dobraduras, 
maquetes, sólidos em madeira, etc. Estes materiais fogem ao escopo deste estudo, 
pois dificultam a distinção de vértices e arestas para o aluno no primeiro contato com 
Geometria Espacial, e não permitem a visualização de segmentos de reta e figuras no 
interior dos poliedros. 
Icosaedro construído com dobraduras 
 
 
 
 
Kit de sólidos geométricos em madeira 
 
A técnica das jujubas (balas de goma) 
 
A técnica das jujubas ou balas de goma (nome recebido em alguns estados do 
Brasil) consiste na construção de esqueletos de poliedros, de modo que as jujubas 
 
79 
 
representam os vértices, e os palitos, as arestas. A construção dos poliedros é de fácil 
execução e demanda pouco tempo, o que facilita seu uso na própria sala durante as 
aulas. Além disso, o material é de baixo custo, fácil acesso, e possibilita que a 
estrutura fique estável, o que geralmente representa um problema em outras técnicas. 
A seguir são apresentadas sugestões de construção de alguns poliedros 
notáveis utilizando a técnica. 
 
 
Tetraedro regular 
Material: 4 jujubas e 6 palitos. 
1º Passo: Construção de um triângulo equilátero. 
Encaixe duas jujubas nas extremidades de um palito e espete um palito em 
cada uma dessas jujubas. Feche o triângulo encaixando uma jujuba para unir os dois 
palitos com as extremidades livres. 
 
Triângulo equilátero 
2º Passo: Em cada uma das três jujubas do triângulo equilátero, espete um 
palito na vertical, inclinado para o interior do triângulo. 
 
 
 
Triângulo com palitos espetados 
3º Passo: Una as extremidades livres dos três palitos colocados no 2º passo 
com uma jujuba. 
 
 
80 
 
 
Tetraedro 
 
Hexaedro regular (Cubo) 
 Material: 8 jujubas e 12 palitos. 
1º Passo: Construção de um quadrado. Encaixe duas jujubas nas 
extremidades de um palito e espete um palito em cada uma dessas jujubas. Encaixe 
uma nova jujuba em cada extremidade livre dos palitos e feche o quadrado espetando 
um novo palito entre as duas jujubas soltas. 
 
 
Quadrado 
2º Passo: Em cada uma das quatro jujubas do quadrado espete um palito na 
posição vertical. 
 
Quadrado com palitos espetados 
 
81 
 
3º Passo: Construa outro quadrado seguindo o 1º passo e encaixe-o nas 
extremidades livres dos palitos espetados no 2º passo. 
 
 
Hexaedro 
 
Pirâmide regular de base quadrada 
Material: 5 jujubas e 8 palitos. 
1º Passo: Construa um quadrado. (Vide hexaedro regular). 
 
 
 
 2º Passo: Em cada uma das quatro jujubas do quadrado espete um palito na 
posição vertical. 
 
 
82 
 
 3º Passo: Una as extremidades livres dos quatro palitos colocados no 2º passo 
com uma jujuba. 
 
Pirâmide de base quadrada 
 
Octaedro regular 
Material: 6 jujubas e 12 palitos. 
1º Passo: Construa uma pirâmide regular de base quadrada (Vide construção 
anterior). 
 
 
2º Passo: Vire a pirâmide de cabeça para baixo e espete um palito no sentido 
vertical em cada uma das quatro jujubas da base quadrada. 
 
83 
 
 
Pirâmide de cabeça para baixo com palitos espetados 
3º Passo: Una as extremidades livres dos quatro palitos colocados no 2º passo 
com uma jujuba. 
 
 
 
Octaedro 
 
Prisma regular de base triangular 
Material: 6 jujubas e 9 palitos. 
1º Passo: Construa um triângulo equilátero (Vide 1º passo da construção do 
tetraedro regular). 
 
84 
 
 
 
2º Passo: Em cada uma das três jujubas do triângulo espete um palito na 
posição vertical. 
 
 
 
Triângulo com palitos espetados 
3º Passo: Construa outro triângulo e encaixe-o nas extremidades livres dos 
palitos espetados no 2º passo. 
 
 
85 
 
Prisma regular de base triangular 
 
Dodecaedro regular 
Material: 20 jujubas e 15 palitos cortados ao meio (total de 30 palitinhos). 
1º Passo: Construção de um pentágono regular. 
Para isso, una cinco palitos com cinco jujubas, formando um pentágono. 
 
 
 
Pentágono 
2º Passo: Em cada uma das cinco jujubas do pentágono espete um palito 
levemente inclinado para fora do mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
Pentágono com palitos espetados 
3º Passo: Encaixe uma jujuba em cada extremidade livre dos cinco palitos. 
 
 
 
Pentágono com palitos e jujubas 
4º Passo: Em cada uma das novas jujubas, espete dois palitos em formato de 
“V” levemente inclinados para dentro. Una cada dois palitos com uma jujuba. 
 
 
 
Palitos em “v” 
5º Passo: Espete em cada jujuba um palito e encaixe uma nova jujuba na 
extremidade livre do mesmo. 
 
6º Passo: Una as cinco novas jujubas com palitos formando um pentágono 
paralelo ao primeiro pentágono (1º Passo). 
 
87 
 
 
 Dodecaedro 
 Observação: Na montagem deste poliedro foi necessário utilizar palitos 
cortados ao meio, para reduzir o tamanho da aresta e melhorar a estabilidade da 
construção. 
 
Icosaedro regular 
Material: 12 jujubas e 30 palitos. 
1º Passo: Construa um pentágono regular (Vide construção anterior) 
 
 
 
2º Passo: Em cada uma das cinco jujubas do pentágono espete um palito. 
 
 
 
88 
 
3º Passo: Una as extremidades livres dos