Funções: Monoticidade, Paridade e Periodicidade

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Davi Lopes
assunto: Funções: MonoticiDaDe, pariDaDe e perioDiciDaDe
frente: MateMática ii
AULAS 16 A 19
EAD – ITA/IME
005.030 – 131045/18
Resumo Teórico
Funções: Monoticidade, 
Paridade e Periodicidade
Monoticidade, Crescimento e Decréscimo
• Função Estritamente Crescente: Dizemos que uma função f, 
definida em um subconjunto dos reais, é estritamente crescente se, 
para quaisquer x e y reais no domínio: 
x < y ⇒ f(x) < f(y)
• Função Estritamente Decrescente: Dizemos que uma função f, 
definida em um subconjunto dos reais, é estritamente decrescente 
se, para quaisquer x e y reais no domínio: 
x < y ⇒ f(x) > f(y)
• Função Crescente: Dizemos que uma função f, definida em um 
subconjunto dos reais, é estritamente crescente se, para quaisquer 
x e y reais no domínio: 
x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)
• Função Decrescente: Dizemos que uma função f, definida em 
um subconjunto dos reais, é estritamente decrescente se, para 
quaisquer x e y reais no domínio: 
x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)
• Função Constante: Dizemos que uma função f, definida 
em um subconjunto dos reais, é estritamente decrescente se, 
para quaisquer x e y reais no domínio, temos que f(x) = f(y).
• Função Monótona: É toda função que é crescente ou que é 
decrescente.
Fato Útil: Se f é estritamente crescente, ou estritamente decrescente, 
então f é uma função injetora.
Paridade
Seja f: A → R uma função. Dizemos que:
• f é uma função par se f(–x) = f(x), ∀x ∈ A.
• f é uma função ímpar se f(–x) = –f(x), ∀x ∈ A.
Fato Útil 1: Se uma função f é par e ímpar, então ela é a função nula 
(f(x) = 0, para todo x real).
Fato Útil 2: O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y, 
e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
Periodicidade
Dizemos que uma função f: A → B é periódica de existir p ≠ 0 
tal que, para todo x ∈ A, temos f(x) = f(x + p). Se p for o menor valor 
positivo que satisfaz a igualdade acima, então p é chamado de 
período fundamental da função. 
Exercícios
01. Seja f: N → N uma função estritamente crescente tal que 
f(f(n)) = 3n, ∀n ∈ N. Analise as seguintes afirmações:
I. f é injetora;
II. f(1) = 2;
III. f(2) = 3;
IV. f(3) = 4.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
02. Uma sequência a
1
, a
2
, a
3
,… é definida por a
1
 = 2, a
2
 = 5 e, 
para todo n ≥ 1, a
n + 2
 = 
1 1+ +a
a
n
n
. Qual o valor de a
2002
?
A) 
3
5
 B) 
4
5
C) 2 D) 3 
E) 5
03. Das afirmações que seguem, indique qual é a falsa:
A) O produto de duas funções pares é uma função par.
B) O produto de duas funções ímpares é uma função ímpar.
C) A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.
D) A soma de duas funções pares é uma função par.
E) Alguma das alternativas anteriores é falsa.
04. Sejam f, g: R → R, tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes 
afirmações:
I. f(x) · g(x) é ímpar.
II. f(g(x)) é par.
III. g(f(x)) é ímpar.
É(são) verdadeira(s) apenas:
A) I B) II 
C) III D) I e II 
E) I, II e III
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05. Os valores de k para que a função f(x) = (k – 2)x + 1 seja 
estritamente decrescente são:
A) k < 2 B) k ≤ 2 
C) k ≥ 2 D) k ≥ –2 
E) k = 2
06. Dadas as funções f(x) = 
1
1
+
−
e
e
x
x
, x ∈ R*, e g(x) = x · senx, x ∈ R, 
podemos afirmar que:
A) ambas são pares.
B) f é par e g é ímpar.
C) f é ímpar e g é par.
D) f não é par e nem ímpar, e g é par.
E) ambas são ímpares.
07. Seja f: R → R uma função não nula, ímpar e periódica, de período p. 
Considere as seguintes afirmações:
I. f(p) ≠ 0;
II. f(–x) = –f(x + p), ∀x ∈ R;
III. f(–x) = f(x – p), ∀x ∈ R;
IV. f(x) =–-f(–x), ∀x ∈ R.
Podemos concluir que:
A) I e II são falsas. 
B) I e III são falsas. 
C) II e III são falsas. 
D) I e IV são falsas.
E) II e IV são falsas.
08. Considere uma função f: R → R não constante e tal que 
f(x + y) = f(x)f(y),∀x, y ∈ R. Das afirmações:
I. f(x) > 0,∀x ∈ R;
II. f(nx) = (f(x))n, ∀x ∈ R, ∀x ∈ N;
III. f é par.
É(são) verdadeira(s), apenas:
A) I e II 
B) II e III 
C) I e III 
D) I, II, III 
E) nenhuma
09. Seja f: R → R uma função ímpar, tal que f(x + 5) = f(x), ∀x ∈ R e
f
1
3
1




= . O valor da soma f f
16
3
29
3




+ 



 + f(12) + f(–7) é:
A) –2 
B) –1 
C) 0 
D) 1 
E) 2
10. A função f é dada pela tabela a seguir:
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
Por exemplo, f(2) = 1. Quanto vale f(f(…f(f(4))…)), onde o f 
aparece 2009 vezes?
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4
E) 5
11. Defina S
k
 = {1, 2, …, k}, k ∈ N. Considere as afirmações:
I. Se m < n, então não existe função sobrejetora f: S
m
 → S
n
;
II. Se m ≤ n, então há 
n!
(n m)!−
 funções injetoras f: S
m
 → S
n
;
III. Há 
n m
m
+ −



1
 funções crescentes f: S
m
 → S
n
;
IV. Há mn funções f: S
m
 → S
n
.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 
B) 1
C) 2 
D) 3 
E) 4
12. Seja f uma função real de variável real dada por f(x) = |x – 3| + 5x. 
Podemos afirmar corretamente que:
A) f é uma função par.
B) f é uma função ímpar.
C) f é uma função crescente.
D) f é uma função decrescente.
E) f(x) ≥ 0 para todo número real.
13. A respeito da função f: [0, +∞) → [0, +∞), f(x) = 
x
x1 +
. 
Analise as afirmações sobre f:
I. Injetora;
II. Sobrejetora;
III. Estritamente Crescente;
IV. Ímpar
Quantas são verdadeiras?
A) 0 
B) 1
C) 2 
D) 3
E) 4
14. Considere uma função f: R*
+
 → R dada por f(xy) = f(x) + f(y), 
para todos x, y reais. Analise as sentenças:
I. f(1) = 0;
II. f(xn) = nf(x), ∀x ∈ R*
+
, n ∈ N;
III. f é par;
IV. f(x) > f(y) se x > y.
É(são) verdadeira(s):
A) Apenas I 
B) Apenas I e II 
C) Apenas I, II e III 
D) Apenas I, II e IV
E) I, II, III, IV
15. Analise as afirmações:
I. Se f(x + p) = f(x), ∀x, então f é periódica;
II. Se existe x tal que f(x + p) = f(x), então f é periódica;
III. Não existe função simultaneamente par e ímpar;
IV. Todo gráfico de função ímpar passa pela origem.
São verdadeiras:
A) I 
B) I e III 
C) I, II e III 
D) I e IV 
E) NDA.
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16. Seja f: R → R uma função tal que, para todos x, y reais: 
f(x) + f(y) + 1 > f(x + y) > f(x) + f(y)
Considere as afirmações:
I. f(0) = 0;
II. f é uma função ímpar, isto é, f(–x) = –f(x), ∀x ∈ R.
III. f(2x) = 2f(x)
IV. Existe apenas uma função cumprindo as desigualdades acima.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1 
C) 2 D) 3 
E) 4
17. Se f: R → R uma função ímpar de período 2, então f(4) é igual a:
A) 0 B) 2
C) 4 D) –2
E) –4
18. Qual das seguintes funções é periódica?
A) f(x) = ex B) f(x) = x · cosx
C) f(x) = sen 
1
x




 (x ≠ 0) D) f(x) = x –  x  
E) NDA.
19. Seja f uma função ímpar e g(x) = xf(x) + f(xn) + f(x)n. Então, 
podemos afirmar que:
A) Se n é ímpar, então g é par.
B) Se n é ímpar, então g é ímpar.
C) Se n é par, então g é par.
D) Se n é par, então g é ímpar.
E) Se n é par, então g não é par, nem ímpar.
20. Se f(x) = {0, se x é racionalx, se x é irracional e g(x) = {x, se x é racional0, se x é irracional
Então, a respeito da função f – g, considere as afirmações:
I. f – g é injetora;
II. f – g é sobrejetora;
III. f – g é estritamente crescente;
IV. f – g é ímpar.
Quantas são verdadeiras?
A) 1 
B) 2
C) 3 
D) 4
21. Sejam f e g funções reais e de variável real. Analise as afirmações 
a seguir:
I. Se f(x) e g(x) são pares, então f(x) + g(x) é par;
II. Se f(x) e g(x) são ímpares, então f(x) + g(x) é ímpar;
III. Se f(x) e g(x) são pares, então f(x) · g(x) é par;
IV. Se f(x) e g(x) são ímpares, então f(x) · g(x) é ímpar;
V. Se f(x) e g(x) são pares, então f(g(x)) é par;
VI. Se f(x) e g(x) são ímpares, então f(g(x)) é ímpar;
Quantas são verdadeiras?
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 5 
E) 6
22. Seja f: −



π π
2 2
, → R dado por f(x) = x + tgx. Considere as 
seguintes afirmações:
I. f é estritamente crescente;
II. f é bijetora;
III. f é contínua;
IV. f é ímpar.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3 
E) 4
23. Sejam f e g funções reais dadas por f(x)= 
sen x
x
2
cos
 e g(x) = 2, 
cada uma definida no seu domínio mais amplo possível. 
Analise as informações a seguir:
I. O conjunto solução da equação f(x) = g(x) contém infinitos 
elementos;
II. No intervalo 
3
4
5
4
π π
, ,




 a função f é crescente;
III. O período da função f é p = π.
Sobre as afirmações, é correto afirmar que:
A) Todas são falsas.
B) Apenas III é verdadeira.
C) Apenas I e II são verdadeiras.
D) Apenas II e III são verdadeiras
E) NDA.
24. Em relação à periodicidade e à paridade da função f: R → R, 
definida por f(x) = sen x + cos x, pode-se afirmar corretamente 
que:
A) f é periódica e par.
B) f é periódica e ímpar.
C) f é periódica, mas não é par nem ímpar.
D) f não é periódica, não é par e nem ímpar.
E) NDA.
25. Seja f: R → R uma função tal que f(x) ≤ x e f(x + y) ≤ f(x) + f(y), 
para todos os reais x e y.
A) Calcule f(0).
B) Mostre que f é ímpar.
26. Demonstre que toda função f: R → R pode ser escrita como 
f(x) = g(x) + h(x), onde g: R → R é uma função par e h: R → R 
é uma função ímpar.
27. Seja:
f(x) =
x
10
, se o último dígito de x é 0
x + 1, caso contrário




Se a
0
 = 2009 e a
n + 1
 = f(a
n
), determine o menor n ∈ R tal que a
n
 = 1.
28. Sejam A e B dois subconjuntos de N. Por definição, uma função 
f: A → B é crescente se a
1
 > a
2
 → f(a
1
) ≥ f(a
2
), para quaisquer 
a
1
, a
2
 ∈ A.
A) Para A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, quantas funções de A para B 
são crescentes?
B) Para A = {1, 2, 3} e B = {1, 2,…, n}, quantas funções de A para B 
são crescentes, onde n é um número inteiro positivo?
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29. Para cada inteiro positivo k, seja f
1
 (k) o quadrado da soma dos 
algarismos de k. Se n ≥ 2, seja f
n
 (k) = f
1
(f
n – 1)
 (k)). Mostre que a 
sequência a
n
 = f
n
 (11), n ≥ 1, é periódica.
30. Determine todas as funções estritamente crescentes f: N → N 
tais que f(2) = 2 e f(m) · f(n) = f(mn), para todos os inteiros 
positivos m e n.
Gabarito
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
D E B D A C B A C E
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D C C B E A A D C B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
D E B C – * * * – *
* 26: g
f
e h
f
(x)
(x) f( x)
(x)
(x) f( x)
=
+ −
=
− −
2 2
 27: 30
 28: A) 10 B) 
n +



2
3
 30: f(x) = x
– Demonstração.
Anotações
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: DAVI LOPES 
DIG.: NAILTON – REV.: TEREZA