Relatório - Momento de Inércia - Nota 9,5/10

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Física‌ ‌Experimental‌ ‌PR7B‌ ‌
Raphaela‌ ‌de‌ ‌Oliveira‌ ‌Gonçalves‌ ‌
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Relatório‌ ‌VIII - Momento de Inércia
Alunos:‌ ‌‌Anthony‌ ‌Carvalho‌ ‌Catti 		 Data:‌ 01/03/2021 
 Guilherme‌ ‌Henrique‌ ‌de‌ ‌Lima‌ ‌Machado‌ ‌
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I‌‌ ‌-‌‌ ‌Introdução‌ ‌
A inércia é a tendência natural de um objeto em resistir a alterações em seu estado original de repouso ou movimento. Em outras palavras, um objeto parado sempre tende a permanecer parado, e um corpo em movimento tende a manter o movimento. Essa tendência natural que cada corpo tem de manter seu estado inicial só pode ser alterada pela aplicação de uma força externa.
A inércia foi explicada por Isaac Newton em seu trabalho intitulado Philosophie Naturalis Principia Mathematica (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), publicado em 1687. Essa obra lançou as bases para o desenvolvimento dos conceitos da Mecânica, ramo da Física que se dedica ao estudo dos movimentos.
Um corpo de massa m, cujo centro de massa está posicionado a uma distância R de um ponto fixo, pode girar em torno desse ponto em um movimento circular conhecido como rotação. 
Figura 1: Movimento de rotação de um corpo.
No movimento de rotação, todos os pontos do objeto percorrem trajetórias circulares com a mesma velocidade angular. Normalmente, a descrição do movimento de rotação é feita com as equações do movimento circular uniforme e do movimento circular com aceleração constante. Um objeto qualquer pode rotacionar sobre um eixo próprio localizado em seu centro de massa.
Existe uma grandeza física associada à inércia de rotação. Ela é denominada momento de inércia. Assim como um corpo massivo apresenta sua tendência de permanecer em seu estado inicial de movimento com uma velocidade constante, que inclusive pode ser zero (repouso) também existe uma resistência à mudança no movimento rotacional. Esta resistência à mudança em sua velocidade angular é conhecida como momento de inércia do respectivo corpo.
A expressão matemática que descreve o momento de inércia é:
I = m.R²
No entanto, para objetos de seção circular, o momento de inércia depende da forma de distribuição da massa ao longo do raio de tal objeto. Essa distribuição é chamada de parâmetro β e apresenta um valor diferente para cada formato de objeto, vide imagem abaixo: 
Figura 2: Fórmula para o cálculo do momento de inércia de objetos de seção circular distintos. A fração nas equações representa o coeficiente β. Para um aro em torno do eixo de simetria, o β vale 1.
Portanto, para os objetos de seção circular, a expressão matemática do momento de inércia é dada por:
I = β.m.R²
Deste modo, contribui mais para o aumento do valor do momento de inércia a porção de massa que está mais afastada do eixo de giro.
Um objeto que executa um movimento no qual se modifica a sua posição de modo que todos os pontos percorram uma trajetória paralela e apresentem a mesma velocidade realiza um movimento de translação. Diz-se que há deslocamento em relação a um referencial externo ao objeto.
A combinação dos movimentos de rotação e translação é conhecida como rolamento. O estudo do rolamento sobre um plano dependente da rotação de um objeto sobre seu próprio eixo só é possível graças à força de atrito entre o objeto e o plano, que resulta na rotação do objeto e evita que este deslize sobre o plano, realizando apenas o movimento de translação puro.
 
Figura 3: Descrição dos movimentos de rotação, translação e rolamento.
Figura 4: Representação dos movimentos de rotação, translação e rolamento.
Em um plano inclinado um objeto poderá rolar se o ângulo de inclinação for favorável, conforme ilustra a figura a seguir:
Figura 5: Objeto de seção circular em rolamento sobre um plano inclinado.
Dentro do estudo dos rolamentos, há uma fórmula, obtida através da conservação da energia mecânica, que relaciona o coeficiente β de um objeto ao quadrado de sua velocidade: 
Figura 6: Equação relacionando o coeficiente β e o quadrado da velocidade de um corpo. A velocidade também depende do deslocamento. 
Dessa forma, pode-se observar que tanto a velocidade quanto a aceleração de um objeto de seção circular dependem exclusivamente da forma como sua massa está distribuída. Logo, é possível, experimentalmente, definir e comparar os coeficientes β de objetos através da transformação de suas formas de energias, sem a aferição de sua massa e suas medidas.
II‌ ‌‌-‌‌ ‌Objetivos
A prática objetiva determinar os coeficientes β associado ao momento de inércia de um aro e uma esfera a partir do rolamento em um plano inclinado.
III‌ ‌‌-‌‌ ‌Materiais ‌Utilizados
1. Rampa.
2. Suporte para elevação da rampa.
3. Esfera.
4. Aro.
5. Trena.
6. Cronômetro.
IV‌ ‌‌-‌‌ ‌Procedimentos‌
1. Mediu-se o comprimento da rampa com o auxílio da trena.
2. Elevou-se a rampa cerca de 13 cm e a prendeu no suporte para a rampa de modo a gerar um ângulo de 5º com a horizontal.
3. Fracionou-se a rampa em 5 (cinco) marcações de mesmo comprimento, gerando posições com distâncias de lançamento diferentes.
4. Fez-se uma marcação em vermelho no aro, para obter um ponto de referência em relação ao seu eixo.
5. Para cada uma das 5 (cinco) posições soltou-se a esfera de seu repouso 5 (cinco) vezes, cronometrando cada percurso.
6. Para cada uma das 5 (cinco) posições de lançamento soltou-se o aro de seu repouso 5 (cinco) vezes, cronometrando cada percurso.
7. Tabelou-se todos os dados obtidos.
Figura 7: Esfera e Aro (com marcação em vermelho) utilizados no experimento.
Figura 8: Soltou-se o aro de seu repouso.
Figura 9: O aro translada e rotaciona sobre seu próprio eixo até alcançar o final do percurso.
Figura 10: Eixo de rotação da esfera.
Figura 11: Medição do comprimento da rampa.
Figura 12: Medição da altura de elevação da rampa. Um ângulo de 5º fora formado.
Figura 13: Dividiu-se a rampa em 5 segmentos de mesmo comprimento.
Figura 14: Exemplo de medição do tempo gasto para um dos objetos alcançar o fim do percurso, solto a partir do quarto segmento.
V‌ ‌‌-‌‌ ‌Resultados‌
Seguem abaixo os valores tabelados das medições obtidas, o gráfico e o tratamento matemático:
 Figura 15: Valores tabelados para as grandezas distância, tempo, altura, comprimento e aceleração da gravidade, com suas respectivas incertezas.
Formulário utilizado:
Figura 16: Equação relacionando o coeficiente β e o quadrado da velocidade de um corpo. A velocidade também depende do deslocamento. 
V = a.t (velocidade = aceleração x tempo).
Tratamento matemático:
Gráficos:
Figura 17: Valores tabelados para os dados usados nas plotagens dos gráficos.
Figura 18: Gráfico da distância em função do tempo para o Aro. As grandezas B e C (velocidade e posição inicial) possuem incertezas maiores que seus valores, portanto, não apresentam significado físico.
Figura 19: Gráfico da velocidade² em função da distância para o aro. A grandeza B (Velocidade² inicial) possui a incerteza maior que seu valor, portanto, não apresenta significado físico.
Figura 20: Gráfico da distância em função do tempo para a esfera. As grandezas B e C (velocidade e posição inicial) possuem incertezas maiores que seus valores, portanto, não apresentam significado físico.
Figura 21: Gráfico da velocidade² em função da distância para a esfera. A grandeza B (Velocidade² inicial) possui a incerteza maior que seu valor, portanto, não apresenta significado físico.
Cálculos:
Figura 22: Cálculo do β com sua respectiva incerteza para o Aro.
Figura 23: Cálculo do β com sua respectiva incerteza para a esfera.
VI‌ ‌‌-‌‌ ‌Discussão‌ ‌dos‌ ‌resultados‌
A partir da análise dos gráficos plotados é possível obter as seguintes expressões para cada caso:
Aro:
	A partir da análise do gráfico Posição x Tempo é possível obter a seguinte expressão do valor do ajuste polinomial: Y = Ax² + Bx + C
Com a manipulação das incógnitas é possível associar a cada letra os seguintes termos: 
Y: Posição ocupada pelo aro na trajetória em (cm).
A: Aceleração.
X: Tempo.
B: Velocidade.C: Posição Inicial
Para o gráfico de Velocidade² x Distância, a expressão do ajuste linear é dado por: Y = Ax + B. Podendo associar-se os termos da seguinte maneira:
Y: Velocidade2 do objeto (m2/s²).
A: Expressão do parâmetro ẞ.
X: Distância.	
B: Velocidade² Inicial.
Através da análise e manipulação dos dados adquiridos foi possível determinar que o aro se desloca de forma acelerada e atinge uma aceleração a = ( 0,38 +/- 0,14 ) m/s² enquanto percorre a rampa de comprimento l = ( 1,500 +- 0,001 ) m em uma inclinação de 5º, atingindo ao final do percurso uma velocidade v = ( 0,4971 ) m/s. A incerteza da velocidade não pôde ser propagada pois não obtivemos a informação da incerteza das medições do tempo.
Utilizando a aceleração e velocidade encontradas, é possível encontrar o coeficiente ẞ, que é atrelado à simetria de distribuição de massa do objeto em questão. Para o aro, o valor encontrado foi ẞ = ( 1,57 +/- 0,05 ). Nota-se que este valor é um pouco diferente do resultado esperado, que seria o valor de ẞ igual a um. Essa diferença se dá pela sensibilidade das variáveis, denotando que qualquer desvio nas medições, mesmo que pequeno, irá causar uma diferença considerável no resultado final, impossibilitando o valor prático de se igualar ao valor teórico.
Esfera:
	A partir da análise do gráfico Posição x Tempo é possível obter a seguinte expressão do valor do ajuste polinomial: Y = Ax² + Bx + C
Com a manipulação das incógnitas é possível associar a cada letra os seguintes termos: 
Y: Posição ocupada pela esfera na trajetória em (cm).
A: Aceleração.
X: Tempo.
B: Velocidade.
C: Posição Inicial
Para o gráfico de Velocidade² x Distância, a expressão do ajuste linear é dado por: Y = Ax + B. Podendo associar-se os termos da seguinte maneira:
Y: Velocidade2 do objeto (m2/s²).
A: Expressão do parâmetro ẞ.
X: Distância.	
B: Velocidade² Inicial.
Através da análise e manipulação dos dados adquiridos foi possível determinar que a esfera se desloca de forma acelerada e atinge uma aceleração a = ( 0,57 +/- 0,12 ) m/s² enquanto percorre a rampa de comprimento l = ( 1,500 +/- 0,001 ) m em uma inclinação de 5º, atingindo ao final do percurso uma velocidade v = ( 0,6298 ) m/s. A incerteza da velocidade não pôde ser propagada pois não obtivemos a informação da incerteza das medições do tempo.
Utilizando a aceleração e velocidade encontradas, é possível encontrar o coeficiente ẞ, que é atrelado à simetria de distribuição de massa do objeto em questão. Para a esfera, o valor encontrado foi ẞ = ( 0,627 +/- 0,011 ).
Observa-se também que nesse caso, a velocidade e a aceleração foram maiores do que os valores alcançados pelo aro no caso anterior. O motivo dessa diferença se dá pela simetria de distribuição da massa da esfera, que pode ser definido como momento de inércia e é dependente do valor de ẞ, da massa do objeto, e de seu raio elevado ao quadrado, como mostrado a seguir:
Figura 24: Fórmula para cálculo do momento de Inércia.
Sendo assim, e tendo em vista os conceitos desenvolvidos na introdução, pode-se dizer que quanto mais próxima a massa estiver do eixo de rotação, menor será o momento de inércia, e quanto mais afastada a massa estiver do eixo de rotação, maior será seu momento de inércia. Portanto, a distribuição de massa do aro se concentrar em sua extremidade faz com que o mesmo tenha uma maior resistência a alterar seu estado de rotação, de modo que sua velocidade e aceleração finais sejam menores do que os valores de velocidade e aceleração da esfera, mesmo que eles possuam a mesma massa e o mesmo raio.
Para ambos os casos:
	
Podemos notar que houveram diferenças os valores de aceleração nos gráficos de Posição x Tempo são apenas a metade do valor real da aceleração, essa diferença se dá pelo fato de que o gráfico de posição é referente à equação da posição horária a seguir: 
Figura 25: Equação da posição horária no MRUA.
Portanto, o valor da aceleração representado no gráfico da posição é a metade da aceleração real do corpo em questão, sendo assim necessário multiplicar por 2 para que seja encontrado o valor real da aceleração.
Nota-se também que os valores de ẞ encontrados através dos cálculos condizem com os resultados práticos obtidos. A prática nos mostrou que o aro possui maior momento de inércia, portanto possui um valor maior de ẞ, já que a sua velocidade e aceleração ao final do movimento foram menores do que as mesmas variáveis para o caso da esfera. Enquanto isso, a esfera possui um menor coeficiente ẞ, logo, possui também um momento de inércia menor, indicado pela sua maior facilidade de alterar seu estado de rotação, alcançando maior velocidade a aceleração durante o movimento.
VII‌ ‌‌-‌‌ ‌Observações‌ ‌e‌ ‌cuidados‌ ‌sobre‌ ‌a‌ ‌prática‌
1. A Marcação em vermelho no aro ajuda a visualização do movimento de rotação, garantindo que acontece o rolamento no experimento.
2. As medidas dos tempos de rolamento, tanto para a esfera quanto para o aro ultrapassam a margem ideal de 2%, chegando a valores como 12%, o que reduz drasticamente a precisão dos resultados.
3. Para maior precisão dos resultados, cada medição do tempo deveria ser repetida respeitando um grau de 2% de variância.
4. Se os objetos do experimento não rotacionarem em algum momento do percurso o resultado deve ser descartado e a medição deverá ser realizada novamente.
5. O coeficiente de atrito tem papel fundamental para o rolamento, sendo imprescindível a escolha de um ângulo de lançamento correto. Dado a fórmula da força de atrito:
 Fat = µ.m.g.cosθ,
 onde µ representa o coeficiente de atrito, m representa a massa, g representa a aceleração da gravidade,
 temos que quanto menor for o valor do cosθ, menor será a força de atrito. Tendo em vista que o Cos diminui à medida que um ângulo aumenta, quanto maior o ângulo, menor será a força de atrito resultante, até um limite onde não haverá mais rotação dos objetos sobre o próprio eixo, embora a translação continue. 
VIII – Conclusão
	Conclui-se que a aceleração de um determinado corpo de prova, quando referente a um movimento rotacional, depende da inclinação do plano em que será realizado o movimento e da inércia de rotação do objeto em questão. Por este motivo, é possível perceber a diferença entre as velocidades alcançadas pelo aro e pela esfera, além da diferença entre as acelerações em cada um dos objetos. Sendo assim, é possível concluir que objetos de mesma massa e raio podem atingir velocidades diferentes dependendo de sua simetria de distribuição de massa.
	Conclui-se também que é possível encontrar a aceleração de um corpo tanto pela equação horária do movimento quanto pela equação da velocidade do corpo analisado. Sendo assim possível determinar de forma bastante confiável os valores reais da aceleração do corpo em estudo, pois há mais de uma forma de checá-los.
	Conclui-se, por fim, que os resultados da prática foram satisfatórios. Apesar dos resultados calculados para o caso do aro apresentarem valores um pouco diferentes dos esperados, os objetos se comportam da maneira esperada, de forma que o aro atingisse uma velocidade menor que a esfera, já que seu ẞ é maior, logo seu momento de inércia também é maior. Sendo assim, é possível afirmar que a prática em questão fora suficiente para determinar o comportamento físico e conclusão teórica dos efeitos do momento de inércia em movimentos rotativos.
IX - Referências Bibliográficas
Utilizou-se para consulta os seguintes materiais:
https://www.youtube.com/watch?v=RhcC_MwNBXE&feature=emb_logo
https://www.fisica.ufmg.br/ciclo-basico/wp-content/uploads/sites/4/2020/05/Momento_de_Inercia.pdf
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/plano-inclinado-com-atrito.htm
https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia#:~:text=Em%20mec%C3%A2nica%2C%20o%20momento%20de,de%20um%20corpo%20em%20rota%C3%A7%C3%A3o.
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https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-inercia.htm
https://www.infoescola.com/mecanica/momento-de-inercia/
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/131950/mod_resource/content/1/10_Rolamento_Momento_angular.pdfhttps://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/movimentos-translacao-rotacao.htm