Análise Matemática -CDI crc

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ANÁLISE MATEMÁTICA
CURSOS DE GRADUAÇÃO - EAD
Análise Matemática - Prof. Dr. Alessandro Ferreira Alves
Meu nome é Alessandro Ferreira Alves, sou Doutor 
em Matemática Aplicada a Engenharia Elétrica pela 
Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação 
da Universidade Estadual de Campinas (FEEC-
UNICAMP), mestre em Matemática Pura pelo 
Instituto de Matemática, Estatística e Computação 
da Universidade Estadual de Campinas (IMECC-
UNICAMP), com Licenciatura Plena em Matemática 
pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU). Sou 
coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a distância do 
Centro Universitário do Sul de Minas Gerais (UNIS-MG) desde o segundo semestre de 
2007. Atuo como docente no Centro Universitário do Sul de Minas Gerais (UNIS-MG), 
nas áreas de Matemática, Estatística e Computação em diversos cursos de graduação na 
modalidade presencial e a distância, tais como: Matemática, Física e Engenharias, bem 
como atuo em diversos cursos de pós-graduação, nas áreas de Métodos Quantitativos, 
Finanças e Métodos de Simulação em Finanças, tanto na modalidade em EAD como na 
modalidade presencial. Além disso, sou membro do Conselho Universitário (CONSUN) 
desta instituição desde o ano de 2009, atuando como representante do quadro de 
coordenadores da instituição. De outra forma, atuo com projetos de consultoria na área 
de Finanças, Estatística Aplicada a Mercado e Controle Estatístico de Processos (CEP). 
E-mail: alemengo2003@yahoo.com.br
Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educação
ANÁLISE MATEMÁTICA
Alessandro Ferreira Alves
Batatais
Claretiano
2014
Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educação
© Ação Educacional Claretiana, 2014 – Batatais (SP)
Versão: dez./2014
 
515 A477a 
 
      Alves, Alessandro Ferreira 
     Análise matemática / Alessandro Ferreira Alves – Batatais, SP : Claretiano,  
2014. 
             236 p.   
 
              ISBN: 978‐85‐8377‐331‐3 
      1. Números reais. 2. Sequências numéricas. 3. Funções reais de uma variável. 
      4. Conceituação. 5. Limites. 6. Continuidade. I. Análise matemática.   
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                                CDD 515 
Corpo Técnico Editorial do Material Didático Mediacional
Coordenador de Material Didático Mediacional: J. Alves
Preparação 
Aline de Fátima Guedes
Camila Maria Nardi Matos 
Carolina de Andrade Baviera
Cátia Aparecida Ribeiro
Dandara Louise Vieira Matavelli
Elaine Aparecida de Lima Moraes
Josiane Marchiori Martins
Lidiane Maria Magalini
Luciana A. Mani Adami
Luciana dos Santos Sançana de Melo
Patrícia Alves Veronez Montera
Raquel Baptista Meneses Frata
Rosemeire Cristina Astolphi Buzzelli
Simone Rodrigues de Oliveira
Bibliotecária 
Ana Carolina Guimarães – CRB7: 64/11
Revisão
Cecília Beatriz Alves Teixeira
Eduardo Henrique Marinheiro
Felipe Aleixo
Filipi Andrade de Deus Silveira
Juliana Biggi
Paulo Roberto F. M. Sposati Ortiz
Rafael Antonio Morotti
Rodrigo Ferreira Daverni
Sônia Galindo Melo
Talita Cristina Bartolomeu
Vanessa Vergani Machado
Projeto gráfico, diagramação e capa 
Eduardo de Oliveira Azevedo
Joice Cristina Micai 
Lúcia Maria de Sousa Ferrão
Luis Antônio Guimarães Toloi 
Raphael Fantacini de Oliveira
Tamires Botta Murakami de Souza
Wagner Segato dos Santos
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forma e/ou qualquer meio (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação e distribuição na 
web), ou o arquivamento em qualquer sistema de banco de dados sem a permissão por escrito do 
autor e da Ação Educacional Claretiana.
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SUMÁRIO
CONTEÚDO INTRODUTÓRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 9
2 GLOSSÁRIO DE CONCEITOS ............................................................................. 17
3 ESQUEMA DOS CONCEITOS-CHAVE ................................................................ 22
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 23
5 E-REFERÊNCIAS ................................................................................................ 23
UNIDADE 1 – ASPECTOS INTRODUTÓRIOS DA ANÁLISE MATEMÁTICA
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 27
2 CONTEÚDO BÁSICO DE REFERÊNCIA .............................................................. 28
2.1. ASPECTOS INTRODUTÓRIOS E ESPECÍFICOS 
 DA ANÁLISE MATEMÁTICA ....................................................................... 28
2.2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE FUNÇÕES ................................................... 34
2.3. PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS FUNÇÕES ....................................... 37
2.4. FORMAS BÁSICAS DE DEMONSTRAÇÕES ................................................ 49
2.5. O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ................................................ 51
2.6. ENUMERABILIDADE: QUAL O SIGNIFICADO DE UM CONJUNTO SER 
ENUMERÁVEL? ............................................................................................ 60
2.7. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ....................................................... 64
3 LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................. 80
4 CONTEÚDOS DIGITAL INTEGRADOR ............................................................... 82
5 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ....................................................................... 84
6 CONSIDERAÇÕES ............................................................................................. 88
7 E-REFERÊNCIAS ................................................................................................ 88
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 89
UNIDADE 2 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 93
2 CONTEÚDO BÁSICO DE REFERÊNCIA .............................................................. 94
2.1. COMO DEFINIR UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA?...................................... 94
2.2. LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA .................................................................... 95
2.3. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS: O QUE É ISSO? ........................................... 106
2.4. LIMITES E OPERAÇÕES .............................................................................. 109
2.5. SÉRIES NUMÉRICAS – ASPECTOS INTRODUTÓRIOS ............................... 111
2.6. SÉRIES CONVERGENTES ............................................................................ 113
2.7. SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES ............................................ 121
2.8. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA ................................................................ 123
3 CONTEÚDOS DIGITAIS INTEGRADORES ......................................................... 126
4 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ....................................................................... 127
5 CONSIDERAÇÕES ............................................................................................. 129
6 E-REFERÊNCIAS ................................................................................................ 130
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 130
UNIDADE 3 – LIMITES DE FUNÇÕES
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 133
2 COMO DEFINIR O LIMITE DE UMA FUNÇÃO y f(x)= ? ............................ 134
2.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS FUNDAMENTAIS ..............................................141
2.2. CONCEITOS TOPOLÓGICOS FUNDAMENTAIS ........................................ 141
2.3. O CONJUNTO DE CANTOR: UM CONJUNTO ESPECIAL! ......................... 146
2.4. A DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE ........................................................... 147
2.5. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES ......................................... 151
2.6. LIMITES LATERAIS ..................................................................................... 155
2.7. COMO PODEMOS FUGIR DAS INDETERMINAÇÕES 
 NOS CÁLCULOS DE LIMITES? ................................................................... 162
2.8. LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS .......................................... 165
3 CONTEÚDOS DIGITAIS INTEGRADORES ......................................................... 168
4 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................ 169
5 CONSIDERAÇÕES ............................................................................................. 172
6 E-REFERÊNCIAS ................................................................................................ 172
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 173
UNIDADE 4 – FUNÇÕES CONTÍNUAS E FUNÇÕES DERIVÁVEIS
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 177
2 CONTEÚDO BÁSICO DE REFERÊNCIA .............................................................. 182
2.1. FUNÇÃO CONTÍNUA: DEFINIÇÃO FORMAL E PRIMEIRAS 
 PROPRIEDADES ......................................................................................... 183
2.2. COMO VISUALIZAR FUNÇÕES CONTÍNUAS EM INTERVALOS 
 DA RETA REAL? ......................................................................................... 190
2.3. CONJUNTOS COMPACTOS: COMO 
 CARACTERIZAR CONTINUIDADE? ........................................................... 193
2.4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA: 
 A INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE ....................................................... 198
2.5. A NOÇÃO FORMAL DO CONCEITO DE DERIVADA .................................. 202
2.6. REGRAS OPERATÓRIAS ............................................................................. 208
2.7. DERIVADAS E CRESCIMENTO LOCAL ....................................................... 211
2.8. FUNÇÕES DERIVÁVEIS NUM INTERVALO ................................................ 215
2.9. IMPLEMENTAÇÃO NA PRÁTICA DOCENTE: 
 COMO DISCUTIR TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA NO ENSINO 
 FUNDAMENTAL E MÉDIO? ....................................................................... 216
3 CONTEÚDOS DIGITAIS INTEGRADORES ......................................................... 227
4 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ....................................................................... 229
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 232
6 E-REFERÊNCIAS ................................................................................................ 234
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 234
“Ao longo do tempo muitos homens conseguiram 
atingir o êxtase da criação. A estes homens, Deus os 
denominou de MATEMÁTICOS.” (Leonardo Euler).
Conteúdo
Números Reais: enumerabilidade, densidade, completicidade; Sequências 
Numéricas: limites, subsequências, Teorema de Bolzano-Weierstrass; Funções 
reais de uma variável: conceituação, limites, continuidade; Abordagem histórico-
metodológica e implementação na prática docente.
Bibliografia Básica
ÁVILA, G. Introdução à análise matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2000. 
______. Análise matemática para licenciatura. São Paulo: Edgard Blucher, 2001.
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro C. Patarra. 3. ed. São 
Paulo: Harbra, 1994. v. 2. 
Bibliografia Complementar 
BOULOS, P. Introdução ao cálculo: cálculo integral. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 
1999. v. 2. Séries.
DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercícios de análise matemática. Portugal: McGraw-Hill, 
1993.
______. Problemas e exercícios de análise matemática. São Paulo: Escolar Editora, [s. d.].
GUIDORIZZI, H. R. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v. 4.
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Tradução de Seiji Hariki. São Paulo: 
Makron Books, 1987. v. 2. 
CI
Conteúdo
Introdutório
É importante saber 
Esta obra está dividida, para fins didáticos, em duas partes:
Conteúdo Básico de Referência (CBR): é o referencial teórico e prático que de-
verá ser assimilado para aquisição das competências, habilidades e atitudes 
necessárias à prática profissional. Portanto, no CBR, estão condensados os prin-
cipais conceitos, os princípios, os postulados, as teses, as regras, os procedi-
mentos e o fundamento ontológico (o que é?) e etiológico (qual sua origem?) 
referentes a um campo de saber.
Conteúdo Digital Integrador (CDI): são conteúdos preexistentes, previamente 
selecionados nas Bibliotecas Virtuais Universitárias conveniadas ou disponibi-
lizados em sites acadêmicos confiáveis. São chamados “Conteúdos Digitais In-
tegradores” porque são imprescindíveis para o aprofundamento do Conteúdo 
Básico de Referência. Juntos, não apenas privilegiam a convergência de mídias 
(vídeos complementares) e a leitura de “navegação” (hipertexto), como tam-
bém garantem a abrangência, a densidade e a profundidade dos temas estuda-
dos. Portanto, são conteúdos de estudo obrigatórios, para efeito de avaliação. 
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© Conteúdo Introdutório
1. INTRODUÇÃO
Querido aluno, seja bem-vindo!
Daremos, neste instante, os primeiros passos para 
entendermos um dos conteúdos mais importantes para um 
curso de Licenciatura em Matemática: a Análise Matemática, 
que inicialmente poderíamos pensar como desenvolvimento e 
formalismo do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável real, 
ou seja, na descrição formal dos diversos resultados e propriedades 
que cercam as funções do tipo y = f(x). 
Quando falamos em Cálculo, no nível de uma disciplina 
introdutória, as apresentações comumente são realizadas de forma 
intuitiva e bem informal, talvez com nenhum rigor matemático em 
demonstrações de resultados. Didaticamente falando, poderíamos 
dizer que isso está correto, já que pela própria natureza dos temas 
discutidos, estes tiveram o seu desenvolvimento, a partir do século 
17 até aproximadamente 1820, de maneira intuitiva e baseado na 
informalidade.
Porém, a partir dos avanços da Matemática de uma forma 
geral, exigiram-se conceituações mais precisas das ideias de função, 
continuidade, derivada, convergência, integral etc. A necessidade 
de uma estruturação mais formal dos tópicos de Cálculo Diferencial 
e Integral ocasiona o surgimento de uma disciplina inicial de 
Análise Matemática. Em outras palavras, definimos de um modo 
bem simples que a Análise Matemática é uma formalização 
mais apurada dos tópicos de Cálculo Diferencial e Integral de 
uma variável real, ou seja, a disciplina surgiu diretamente da 
necessidade de descrevermos demonstrações rigorosas das ideias 
intuitivas do cálculo, tais como: limites, derivadas, integrais, séries 
e sequências, séries numéricas etc. 
É de fundamental importância que um licenciado em 
Matemática e futuro professor dessa área não possua lacunas 
em processos de demonstrações. Cabe ainda comentarmos que 
© Análise Matemática10
você terá a oportunidade de se familiarizar com as ferramentas e 
resultados de uma das mais relevantes áreas da Matemática.
Antes de começarmos a nossa discussão propriamente dita 
sobre a abordagem da Análise Matemática, devemos salientar 
que atualmente a Matemática pode ser dividida em cinco grandes 
áreas, que são: Análise, Topologia, Álgebra, Teoria dos Números e 
Matemática Aplicada. (Figura 1).
Figura 1 A divisão da Matemática nos dias atuais.
A parte relacionadaà Análise trabalha com o detalhamento 
rigoroso dos aspectos do Cálculo Diferencial e Integral, enquanto 
que a Topologia descreve as várias faces da geometria. De outra 
forma, a Álgebra retrata os conceitos, propriedades e resultados 
acerca da Álgebra Linear e Estruturas Algébricas. Além disso, a 
Teoria dos Números aborda os pontos principais relacionados aos 
números, ou seja, da Aritmética. Por fim, a Matemática Aplicada 
discute os pontos principais das ferramentas aplicadas à análise 
quantitativa de mercado, tais como os métodos da Matemática 
Financeira e as técnicas da Estatística aplicadas ao meio empresarial.
Assim, teremos alguns resultados e propriedades importantes 
a serem discutidos e demonstrados com maior rigor matemático, 
desde os mais simples até os mais complexos, como Teoremas 
Fundamentais relacionados a conjuntos compactos, dentre eles, 
podemos citar: 
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1) A série harmônica é divergente.
2) Toda função derivável é uma função contínua.
3) Descrição dos Axiomas de Peano para a construção do 
Conjunto dos Números Naturais.
4) Todo subconjunto dos números naturais é um conjunto 
enumerável.
5) A construção do conjunto dos números reais como um 
corpo ordenado completo.
6) O conjunto dos números reais não é enumerável.
7) O limite de uma função real quando existe é único.
8) Toda série absolutamente convergente é convergente.
9) (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limi-
tada de números reais possui uma subsequência conver-
gente.
10) (Teorema do Valor Intermediário): Seja :[ , ]f a b →ℜ 
contínua. Se (a) d (b)f f< < então existe c (a, b)∈ tal 
que f(c) d= 
Todos esses resultados são averiguados pela Análise Mate-
mática, com foco voltado para uma descrição matemática mais 
complexa e completa no sentido do formalismo matemático. Além 
disso, podemos salientar que você recordará, ainda, conceitos fun-
damentais da Matemática Elementar. 
É importante que você saiba que a Análise Matemática con-
tribuirá de forma significativa para uma formação sólida na sua 
área de atuação, já que alguns problemas básicos do Ensino Fun-
damental serão demonstrados e discutidos aqui. De outra forma, 
embora a Matemática e, especificamente o Cálculo Diferencial e 
Integral, possam assustar um pouco, será necessário conhecer vá-
rios conceitos importantes para sua aplicação na Análise Matemá-
tica, bem como no seu dia a dia profissional em sala de aula.
A seguir, abordaremos, brevemente, o que será estudado 
em cada uma de nossas unidades de estudo.
© Análise Matemática12
Na Unidade 1 você verá que para construirmos toda a teoria 
acerca do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável real será 
necessário introduzirmos a construção formal do conjunto dos 
números naturais tendo como ponto de referência os Axiomas de 
Peano, para discutirmos a noção de conjuntos finitos, infinitos e 
enumeráveis. 
Ressaltamos que apesar de aparentemente estarmos 
familiarizados com a noção de conjunto finito e infinito lhes daremos 
um tratamento diferenciado, trabalhando com a identificação de 
funções bijetoras para eles. Isso significa que estaremos definindo 
um conjunto finito quando este for o conjunto vazio ou se existir 
uma função bijetora entre ele e um subconjunto próprio finito dos 
naturais, conjunto esse denotado por In . 
Contrariamente, definimos que um subconjunto X dos 
naturais  é dito infinito, quando ele não é o conjunto vazio ou 
quando não existir uma função bijetora entre ele e um subconjunto 
próprio finito In . Aqui, já podemos notar o formalismo mais apurado 
em duas definições, ou seja, a nossa ideia sobre um conjunto finito 
é de que o ele possua um número finito de elementos, enquanto 
que para o conjunto infinito, imaginamos diretamente um conjunto 
que possua um número infinito de elementos.
Em seguida, apresentaremos a noção de enumerabilidade, 
que é a definição formal de conjuntos enumeráveis. Nesse 
caso, diremos que um subconjunto X dos números naturais 
é dito enumerável quando é finito ou quando existe uma 
bijeção : IN Xf → , além, é claro, de discutirmos as principais 
propriedades e resultados relacionados.
Discutiremos as principais propriedades e resultados do 
conjunto dos números reais, ou seja, mostraremos que este é um 
corpo ordenado completo. 
Daí, a partir dos conceitos introdutórios e propriedades 
colocadas anteriormente, provaremos alguns teoremas e 
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proposições acerca dos conjuntos finitos, infinitos e enumeráveis, 
donde poderíamos citar:
1) Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.
2) Conjunto finito e conjunto limitado no universo dos nú-
meros naturais são conceitos equivalentes.
3) Todo subconjunto dos números naturais é enumerável. 
4) O conjunto dos números racionais é enumerável.
5) O conjunto dos números reais é um corpo ordenado 
completo.
6) O conjunto dos números reais, bem como o conjunto 
dos irracionais não são conjuntos enumeráveis.
Além disso, apresentaremos uma leitura complementar, de-
monstrando algumas técnicas relacionadas à Lógica Matemática, 
bem como o Princípio da Indução Finita (PIF), que é muito impor-
tante para a justificativa de diversas demonstrações a serem feitas 
ao longo dos nossos estudos. 
Na Unidade 2, estaremos interessados em apresentar toda a 
teoria associada às sequências e séries numéricas, bem como os 
principais teoremas relacionados e critérios de convergência. Em 
verdade, esta unidade poderia ter como ponto de partida o que 
conhecemos com relação às progressões geométricas. De outro 
modo, discutiremos um resultado fundamental, que é o Teorema 
de Bolzano-Weirtress, mostrando que toda sequência limitada de 
números reais possui uma subsequência convergente.
Definimos uma sequência de números reais como sendo uma 
função dos naturais no conjunto dos reais, que associa a cada nú-
mero natural n um número real nx , denominado o n-ésimo termo 
da sequência. Além disso, formalmente falando, apresentaremos 
a noção de limite de uma sequência, bem como discutiremos as 
propriedades relacionadas a sequências convergentes, limitadas e 
monótonas. Esse conceito de limite de uma sequência será gene-
ralizado na unidade seguinte, quando falaremos em limite de uma 
função y = f(x). A seguir, é colocada a parte sobre as Séries Numé-
© Análise Matemática14
ricas, donde é sabido que dentro do Cálculo Diferencial e Integral é 
necessária a representação de funções como somas infinitas. Isso 
requer que a operação usual de adição em conjuntos finitos de nú-
meros seja estendida para conjuntos infinitos. Para tanto, usamos 
um processo de limite por meio de sequências, dando origem ao 
estudo das séries numéricas. Também serão discutidas nas entre-
linhas séries convergentes e divergentes, bem como os principais 
critérios para a caracterização da convergência ou não das séries 
numéricas. 
Assim, alguns resultados importantes serão apresentados e 
demonstrados, tais como:
1) Uma sequência não pode convergir para dois limites dis-
tintos, ou seja, o limite de uma sequência, se existir, é 
único.
2) Se uma sequência é convergente, então qualquer subse-
quência desta também é convergente.
3) Toda sequência limitada de números reais possui uma 
subsequência convergente. 
4) Toda série absolutamente convergente é convergente.
5) O termo geral de uma série convergente tem limite igual 
a zero.
6) A soma de séries convergentes também é uma série con-
vergente.
Na unidade 3, abordaremos os aspectos relacionados às 
noções topológicas na reta, bem como apresentaremos o limite de 
uma função y = f(x) e propriedades associadas. A Topologia, cuja 
a palavra é proveniente do grego, significando "estudo do lugar", 
é o ramo da Matemática que estuda os espaços topológicos, 
sendo então considerada uma extensão da geometria. Assim, 
para os nossos propósitos, estaremos encarando a topologia 
para descrever uma família de conjuntos abertos utilizadospara 
definirmos o conceito de limite de uma função, ou seja, com 
relação aos aspectos topológicos, estaremos interessados em 
15
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descrever apenas os pré-requisitos necessários para o nosso 
estudo de funções.
Na verdade, você já vem se familiarizando com a ideia de 
função desde o Ensino Médio. Tendo em conta a importância 
desse conceito no Cálculo e na Análise, vamos retomá-lo nesta e 
na unidade seguinte, quando estudaremos limites, continuidade 
e a derivada de funções. Embora a ideia de função possa ser 
identificada em obras do século 14, foi a partir do século 17 que 
ela teve grande desenvolvimento teórico e utilização. Isso porque 
nessa época surgiu a Geometria Analítica, e muitos problemas 
matemáticos puderam ser convenientemente formulados e 
resolvidos em termos de variáveis ou incógnitas, que podiam ser 
representadas em eixos de coordenadas.
A noção de limite, que estudamos na parte de sequências 
numéricas, será agora estendida à situação mais geral onde temos 
uma função :f X →ℜ , definida num subconjunto qualquer 
X dos números reais. Na verdade, estamos interessados em dar 
um tratamento mais completo com relação à noção de limite 
estudada no Cálculo Diferencial e Integral de uma variável real. 
Historicamente, deve ser salientado que o conceito de limite de 
uma função é posterior ao de derivada. Ele surgiu da necessidade 
de calcular limites de razões incrementais que definem derivadas, 
que estudaremos mais a frente.
Daí, a partir dos conceitos preliminares e propriedades 
associadas, discutiremos resultados pertinentes aos aspectos 
topológicos, donde poderíamos citar:
1) A interseção de um número finito de conjuntos abertos 
é um conjunto aberto.
2) O conjunto dos racionais é denso com relação ao conjun-
to dos números reais.
3) O limite de uma função, quando existe, é único. 
4) O limite da soma é igual a soma entre os limites.
© Análise Matemática16
5) A função 
1( )f x sen
x
 =  
 
 não possui limite no ponto x 
= 0.
6) A função ( ) | x |f x = possui limite no ponto x = 0.
Na Unidade 4, apresentamos as funções contínuas e 
deriváveis, bem como os seus principais resultados relacionados. 
A noção de função contínua é um dos pontos centrais da 
Topologia, denominação dada à parte da Geometria dentro da 
Matemática. Ela será estudada nesta unidade em seus aspectos 
mais básicos, como introdução a uma abordagem mais ampla e 
como instrumento para aplicação na parte de derivadas e na 
resolução de diversos exemplos simulados. Como é sabido, quando 
falamos em função contínua, lembramos, grosso modo, que uma 
função é contínua quando a sua representação geométrica não 
possui nenhum "furo" ou "salto". 
Com relação à parte das funções deriváveis, salientamos 
inicialmente a sua interpretação geométrica por meio da inclinação 
da reta tangente, depois visualizamos a definição formal e regras 
operatórias, bem como a parte dos resultados fundamentais. 
É necessário destacarmos a aplicabilidade da derivada nas mais 
diversas áreas do conhecimento. Observe a Figura 2.
Figura 2 A aplicabilidade do conceito de derivadas em Administração e Economia.
17
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© Conteúdo Introdutório
A partir dos conceitos introdutórios e das propriedades colo-
cadas anteriormente, provaremos alguns teoremas e proposições 
acerca das funções contínuas e deriváveis, donde poderíamos ci-
tar:
1) Se f é uma função derivável no ponto 0x então f é contí-
nua no ponto 0x .
2) A soma de funções contínuas é uma função contínua.
3) O produto de funções contínuas também é uma função 
contínua. 
4) (Teorema do Valor Intermediário): seja :[ , ]f a b →ℜ 
contínua. Se (a) d (b)f f< < , então existe c (a, b)∈ tal 
que (c) df = .
5) Se I é um intervalo da reta real e :f I →ℜ é contínua, 
então ( )f I é um intervalo, ou seja, funções contínuas 
transformam intervalos em intervalos.
Vale salientar ainda que apenas o conteúdo que apresenta-
mos não é suficiente para a formação de conceitos sólidos; por 
isso, é de fundamental importância que você pesquise os livros 
apresentados nas referências bibliográficas de cada unidade de 
estudo. 
É importante que você saiba que ninguém aprende Matemá-
tica ouvindo ou assistindo o professor na sala de aula virtual, por 
mais organizadas e claras que sejam as suas explicações teóricas e 
por mais que se entenda tudo o que ele explica. É necessário estu-
dar por conta própria logo, resolvendo os exercícios após as aulas. 
Mãos a obra e ótimos estudos! 
2. GLOSSÁRIO DE CONCEITOS
"Zero, esse nada que é tudo” (Laisant).
O Glossário de Conceitos permite a você uma consulta rá-
pida e precisa das definições conceituais, possibilitando-lhe um 
© Análise Matemática18
bom domínio dos termos técnico-científicos utilizados na área de 
conhecimento dos temas tratados em de Análise Matemática. A 
seguir, listamos a definição dos principais conceitos:
1) Afirmações equivalentes: significa que uma afirmação 
implica na outra afirmação.
2) Análise Matemática: é a parte da Matemática que se 
preocupa com o formalismo apurado dos resultados do 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável real.
3) Axiomas de Peano: são as propriedades características 
da construção formal dos naturais.
4) Conjunto aberto: é um conjunto que coincide com o 
conjunto de seus pontos interiores.
5) Conjunto compacto: é um conjunto que é limitado e fe-
chado.
6) Conjunto de Cantor: é um subconjunto especial do in-
tervalo fechado [0; 1]. Em verdade, é um conjunto que 
é compacto, tem interior vazio, não possui pontos isola-
dos e é não enumerável.
7) Conjunto enumerável: é um subconjunto X dos naturais 
que é finito ou que existe uma bijeção : INf X→ .
8) Conjunto fechado: é um conjunto que coincide com o 
seu fecho.
9) Conjunto finito: é um conjunto que possui um número 
finito de elementos.
10) Conjunto infinito: é um conjunto que não possui um nú-
mero finito de elementos, ou seja, é um conjunto que 
não é finito.
11) Conjunto limitado inferiormente: é um subconjunto X 
dos números reais tal que tal que x ≥ a para todo x X∈
. O número a é chamado de cota inferior.
12) Conjunto limitado superiormente: é um subconjunto X 
dos números reais tal que x ≤ b para todo x X∈ . O nú-
mero b acima é chamado de cota superior.
13) Conjunto limitado: um subconjunto X dos naturais é dito 
limitado quando existir um número natural p tal que x ≤ 
p para todo x X∈ .
19
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14) Conjunto não enumerável: é um conjunto que não é 
enumerável.
15) Derivada de f(x): geometricamente falando, é a inclina-
ção da reta tangente ao gráfico de f no ponto x.
16) Desigualdade triangular: desigualdade fundamental en-
volvendo o módulo da soma de dois números reais.
17) Elemento máximo: é o maior elemento do subconjunto 
X dos reais.
18) Elemento mínimo: é o menor elemento do subconjunto 
X dos reais.
19) Função bijetiva (bijeção): é uma função simultanea-
mente injetiva e sobrejetiva.
20) Função contínua: é uma função cujo gráfico não possui 
nenhum salto ou furo.
21) Função injetiva: é uma função que satisfaz a ≠ b então 
f(a) ≠ f(b) onde a e b são dois pontos do domínio da fun-
ção.
22) Função sobrejetiva: é uma função em que o contrado-
mínio coincide com o conjunto imagem.
23) Homeomorfismo: um homeomorfismo entre os conjun-
tos X e Y é uma bijeção contínua :f X Y→ cuja inversa 
1 :f Y X− → é também contínua.
24) Ínfimo: é a maior das cotas inferiores de um subconjun-
to X dos reais.
25) Intervalo degenerado: é um intervalo que se reduz a um 
único ponto, ou seja, quando os extremos do intervalo 
são iguais.
26) Intervalo: subconjuntos especiais da reta real.
27) Lema: é uma afirmação aceita como verdadeira perante 
demonstração, que é usada muitas vezes como proposi-
ção para a prova de um teorema.
28) Limite de uma função real ( )lim ( ) :x a f x L→ = quer dizer 
que podemos tornar f(x) tão próximo deL quanto se 
queira desde que se torne x X∈ suficientemente próxi-
mo, porém, diferente do ponto a.
© Análise Matemática20
29) Número irracional: é um número que não é racional.
30) Número racional: é um número que se escreve como 
fração, ou seja, que a sua representação decimal ou é 
finita ou é infinita periódica. 
31) Ponto aderente: é um ponto que é limite de alguma se-
quência de pontos do subconjunto X dos reais.
32) Ponto anguloso: quando as derivadas laterais (direita e 
esquerda) existem e são diferentes em um ponto x, dize-
mos que esse ponto é um ponto anguloso do gráfico da 
função de f.
33) Ponto crítico: é um ponto de uma função derivável ao 
qual a derivada se anula.
34) Ponto de acumulação: o número real a é um ponto de 
acumulação do conjunto X ⊂ℜ quando toda vizinhan-
ça V de a contém algum ponto de X diferente do próprio 
a. Isto é, ( ) – { }V X a∩ ≠∅ . Indicamos por X’ o con-
junto dos pontos de acumulação de X.
35) Ponto fixo: Um ponto x X∈ tal que f(x) = x é denomina-
do ponto fixo da função :f X →ℜ .
36) Princípio da boa ordenação: é uma das principais pro-
priedades acerca da relação de ordem x < y.
37) Princípio da indução finita (PIF): técnica de demonstra-
ção muito utilizada na Matemática, principalmente para 
justificativa de fórmulas de recursão.
38) Proposição: é uma afirmação aceita como verdadeira 
perante demonstração.
39) Proposições primitivas: são afirmações aceitas como 
verdadeiras sem demonstrações. As proposições primi-
tivas são também conhecidas como axiomas ou postu-
lados. Por exemplo, um postulado bastante conhecido 
é que "por dois pontos distintos existe (passa) uma, e 
somente uma, reta”. 
40) Regra da cadeia: regra utilizada para o cálculo de deriva-
das de funções compostas.
41) Regra de L’Hospital: é uma regra das mais populares 
aplicações da derivada.
21
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42) Sequência convergente: é uma sequência que possui li-
mite.
43) Sequência divergente: é uma sequência que não possui 
limite.
44) Sequência limitada: é uma sequência limitada superior-
mente e inferiormente. Isso equivale a dizer que existe k 
> 0 tal que | |nx k≤ para todo n IN∈ .
45) Sequência monótona: é uma sequência ( )nx que se tem 
1n nx x +≤ para todo n IN∈ ou então 1n nx x+ ≤ para todo 
n.
46) Sequência numérica (sucessão numérica): é uma fun-
ção :x IN →ℜ , que associa a cada número natural n 
um número real nx , chamado o n-ésimo termo da se-
quência.
47) Série absolutamente convergente: a série na∑ é de-
nominada absolutamente convergente quando | |na∑ 
converge.
48) Série condicionalmente convergente: a série na∑ 
é denominada absolutamente convergente quando 
| |na = +∞∑ .
49) Série convergente: é uma série que possui limite.
50) Série divergente: é uma série que não possui limite.
51) Série numérica: é uma soma do tipo 1 2 ... ...n na a a a+ + + + 
com um número infinito de parcelas.
52) Subsequência: é uma sequência de uma sequência.
53) Supremo: é a menor das cotas superiores de um subcon-
junto X dos reais.
54) Teorema: é uma proposição que se deduz de conceitos 
primitivos, de definições e de postulados ou de proposi-
ções já aceitas como verdadeiras. Em um teorema des-
tacam-se duas partes: a hipótese e a tese.
55) Valor absoluto de x (módulo de x): é o maior dos núme-
ros x ou – x.
© Análise Matemática22
3. ESQUEMA DOS CONCEITOS-CHAVE
O Esquema a seguir possibilita uma visão geral dos conceitos 
mais importantes deste estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise Matemática 
Axiomas de 
Peano 
Conjunto dos 
Números Reais 
Noções 
Topológicas 
Sequências 
Numéricas 
Limite e 
Propriedades 
Relacionadas 
Limite de uma 
Função 
Funções 
Contínuas 
Séries 
Numéricas 
Critérios de 
Convergência 
Funções 
Deriváveis 
Teoremas Fundamentais 
Figura 3 Esquema dos Conceitos-Chave de Análise Matemática.
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
23
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ÁVILA, G. Introdução à análise matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2000. 
______. Análise matemática para licenciatura. São Paulo: Edgard Blucher, 2001.
BOULOS, P. Introdução ao cálculo: cálculo integral. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 
1999. v. 2. Séries.
DEMIDOVITCH, B. Problemas e exercícios de análise matemática. Portugal: McGraw-Hill, 
1993.
EDWARDS, Jr. C. H.; PENNEY, D. E. Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro: 
Prentice-Hall do Brasil, 1997. v. 1.
FIGUEIREDO, D. G. Análise I. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 1996.
GUIDORIZZI, H. R. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v. 4.
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Tradução de Cyro C. P. 3. ed. São Paulo: 
Harbra, 1994. v. 2. 
LIMA, E. L. Análise real. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA, 1989. 
v. 1.
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Tradução de Seiji Hariki. São Paulo: 
Makron Books, 1987. v. 2. 
THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v. 1.
5. E-REFERÊNCIAS 
ENADE. Questões. Disponível em: <http://ebooks.pucrs.br/edipucrs/enade/matemati-
ca2008.pdf>. Acesso em: 27 nov. 2013. 
INFOESCOLA. Números naturais. Disponível em: <http://www.infoescola.com/matema-
tica/numeros-naturais/>. Acesso em: 8 out. 2013.
MATEMÁTICA ESSENCIAL. Matemática encial: alegria financeira fundamental mé-
dio geometria trigonometria superior cálculos. Disponível em: <http://pessoal.sercom-
tel.com.br/matematica/superior/calculo/nreais/nreais.htm>. Acesso em: 8 out. 2013. 
OBM. Olimpíada brasileira de matemática. Disponível em: <http://www.google.com.br/
url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=6&ved=0CEoQFjAF&url=http%3A
%2F%2Fwww.obm.org.br%2Fexport%2Fsites%2Fdefault%2Frevista_eureka%2Fdocs%2F
artigos%2Finducao.doc&ei=LRVUUt29C4G49gT1s4HYDQ&usg=AFQjCNGEf2pCbegE4HP
dQlNtWIOR0Ltdew>. Acesso em: 8 out. 2013.
PROFMAT. Mestrado profissional em matemática em rede nacional. Disponível em: 
<http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/345>. Acesso em: 8 out. 2013. 
SABE.BR. A importância da matemática nas áreas do conhecimento. Disponível em: 
<http://www.sabe.br/blog/matematica/files/2011/10/A-Import%C3%A2ncia-da-
Matem%C3%A1tica.pdf>. Acesso em: 27 nov. 2013. 
SLIDESHARE. Exerícios. Disponível em: <http://www.slideshare.net/RodrigoThiagoPas-
sosSilva/exerccios-pif>. Acesso em: 8 out. 2013. 
UNESP. Introdução à ánalise. Disponível em: <http://www.mat.ibilce.unesp.br/personal/
pauloricardo/introducaoanalise.pdf>. Acesso em: 8 out. 2013. 
UOL. Educação. Disponível em: <http://educacao.uol.com.br/matematica/inducao-infi-
nita-raciocinio-logico-na-matematica.jhtm>. Acesso em: 8 de out. 2013.
USP. Universidade estadual de São Paulo. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/ferra-
mentas/pif/exercicios/exercicios.htm>. Acesso em: 8 out. 2013.
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1
Objetivos
• Apresentar a construção formal do conjunto dos números naturais pelos 
Axiomas de Peano.
• Compreender a definição formal de conjuntos finitos e infinitos.
• Compreender a definição formal de conjuntos enumeráveis. 
• Estar plenamente familiarizado com técnicas relacionadas a demonstrações 
de resultados, tais como teoremas, proposições e lemas.
• Caracterizar as operações básicas do conjunto dos números reais a fim de 
compreendermos a estrutura algébrica de corpo.
• Identificar o Princípio da Indução Finita.
• Compreender a definição de supremo e ínfimo no conjunto dos números re-
ais.
• Caracterizar o conjunto dos números reais como um corpo ordenado com-
pleto.
• Compreender, relacionar e aplicar os principais resultados do cálculo diferen-
cial e integral de uma variável em situações do dia a dia.
Conteúdos
• Axiomas de Peano.
• Conjunto dos números naturais.
• Operações básicas.
• Conjuntos finitos.
• Conjuntos infinitos.
• Conjuntos limitados.
• Conjuntos enumeráveis.
• Conjunto dos números reais como corpo ordenado completo.
• Supremo e ínfimo.
• Princípioda Indução Finita (PIF).
• Técnicas de demonstração.
Aspectos Introdutórios da 
Análise Matemática
© Análise Matemática26
Orientações para o estudo da unidade
Antes de você iniciar o estudo desta unidade, é importante que você leia com 
atenção as orientações a seguir:
1) Tenha sempre à mão o significado dos conceitos explicativos no Glossário e 
suas ligações pelo Esquema de Conceitos-Chave para o estudo de todas as 
unidades desta obra. Isso poderá facilitar sua aprendizagem e seu desem-
penho.
2) Lembre-se de que quando falamos em análise matemática, referimo-nos ao 
Cálculo Diferencial e Integral com demonstrações formais, tal abordagem a 
ser discutida é de fundamental importância para a formação sólida de um 
licenciando em Matemática, bem como para o desenvolvimento de sua car-
reira profissional na área acadêmica. Utilizamos a Matemática de forma di-
reta e indireta a todo momento.
3) Mantenha sempre ao seu lado os livros que compõem a nossa bibliografia 
básica e/ou complementar, porém, é importante também que pesquise e 
discuta com seus colegas a respeito dos exercícios propostos no decorrer do 
seu estudo. 
4) Você, como futuro professor, deve lembrar-se de que, apesar do grau de 
complexidade da disciplina, na maioria das vezes, o repúdio pela Matemá-
tica é motivado por professores que não tiveram habilidade suficiente para 
mostrar-lhe a beleza e aplicabilidade dessa ciência, na sua forma mais apli-
cada ou abstrata.
5) Sempre leia mais de uma vez os conceitos e/ou descrição dos resultados 
propostos nesta obra, pois nem sempre conseguiremos entender na primei-
ra ou segunda leitura realizada tais definições e métodos de demonstração. 
6) Nunca tenha receio de revisitar os conceitos apresentados nesta unidade, 
muito menos em indagar, a fim de sanar suas dúvidas. Com este estudo, 
você verá que a Matemática é bela e muito útil para o desenvolvimento de 
novas teorias mais complexas.
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© U1 - Aspectos Introdutórios da Análise Matemática
1. INTRODUÇÃO
A Análise Matemática é uma formalização mais apurada do 
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável real, estudado nas 
disciplinas específicas de Cálculo, ou seja, ela surgiu diretamen-
te da necessidade de descrevermos demonstrações rigorosas das 
ideias intuitivas do cálculo, tais como: limites, derivadas, integrais, 
séries e sequências, séries numéricas etc. 
Segundo Ferreira (2010, p. 4): 
A Matemática é produto da cultura humana e faz parte do nosso 
cotidiano. Por isso, deve ser trabalhada de forma a ser aprendida 
por todos. É uma ciência exata, cuja produção envolve o pensar 
crítico e criativo. Ela atualmente esta presente em todas as áreas 
do conhecimento, participando de forma significativa para o desen-
volvimento de novas teorias, resolvendo diversas situações. Nes-
ta disciplina, ao invés de atuar como um transmissor de regras e 
modelos do fazer simplesmente [...] tentarei ser um organizador 
de aprendizagens, um consultor que oferece as informações e um 
estimulador da aprendizagem.
Assim, como estamos acostumados a alguns questionamen-
tos relativos aos conteúdos de Matemática, você poderia estar se 
perguntando: “se já estudamos Cálculo, para que me servirá uma 
disciplina como esta? Por que todo esse formalismo?” 
Um dos objetivos principais da Análise Matemática seria a 
prática contínua de demonstrações, desde as mais simples até as 
mais complexas. Saliento ainda que, para um licenciado em Mate-
mática ser um bom professor de Ensino Básico, é necessário que 
ele tenha a habilidade de trabalhar com definições, bem como de 
enunciar e demonstrar resultados (teoremas, proposições, lemas 
etc.) de forma bem peculiar. 
No que se refere à Matemática Elementar, recordaremos com 
você alguns conceitos básicos e resultados de problemas simples, 
bem como discutiremos novas teorias, como a parte envolvendo 
enumerabilidade e corpo ordenado completo, em que muitas ve-
zes não conseguimos acompanhar o raciocínio de um exercício por 
falta de conhecimentos básicos. 
© Análise Matemática28
Desse modo, nesta unidade introdutória, pretendemos apre-
sentar os conceitos básicos necessários para o desenvolvimento 
de todo nosso conteúdo, de forma suficiente para que você possa 
acompanhar com mais tranquilidade, mais adiante, os conceitos e 
resultados mais complexos do Cálculo Diferencial e Integral, que 
serão apresentados nas unidades subsequentes desta obra. Para 
tal, aqui discutiremos a construção formal do conjunto dos núme-
ros naturais pelos Axiomas de Peano, bem como a caracterização 
do conjunto dos números reais como um Corpo Ordenado Com-
pleto. Além disso, revisaremos algumas técnicas de demonstração 
e o Princípio da Indução Finita, numa espécie de leitura comple-
mentar da unidade.
2. CONTEÚDO BÁSICO DE REFERÊNCIA
O Conteúdo Básico de Referência apresenta de forma sucinta 
os temas abordados nesta unidade. Para sua compreensão inte-
gral é necessário o aprofundamento pelo estudo dos Conteúdos 
Digitais Integradores.
2.1. ASPECTOS INTRODUTÓRIOS E ESPECÍFICOS DA ANÁLISE 
MATEMÁTICA
De acordo com a história da Matemática, as ideias referen-
tes ao Cálculo Integral já faziam parte dos estudos de Arquimedes 
(287-212 a.C.) sobre áreas e volumes. Todavia, o que percebemos 
é que o Cálculo Diferencial e Integral se desenvolveu de forma gra-
dativa com o passar do tempo; não foi um desenvolvimento de 
imediato. Por exemplo, a ponte que liga a derivada com a integral 
só foi escrita em meados do século 17 (Figura 1).
29
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© U1 - Aspectos Introdutórios da Análise Matemática
Figura 1 A caminhada do Cálculo Diferencial e Integral no século 17.
 O motivo pelo qual talvez o cálculo não se desenvolveu 
com Arquimedes e seus comandados foi com relação ao medo de 
descrever formalmente o infinito. A fim de demonstrar seus re-
sultados, desviando das situações que envolviam o infinito, Arqui-
medes usava o método da"dupla redução ao absurdo". Mas como 
descobria esses resultados? Provavelmente ele se valia de passa-
gens ao limite. Em outras oportunidades recorria a raciocínios físi-
cos, que eram seguidos de demonstrações rigorosas (Figura 2).
Figura 2 Arquimedes e o medo do “infinito”.
 A característica mais significativa da Matemática grega era 
precisamente essa insistência no rigor e no cuidado em não utilizar 
o conceito do infinito, pelas contradições que podia acarretar. 
Como vários abalizados historiadores da ciência já observaram, 
esse traço do pensamento grego foi a causa principal que levou a 
Matemática da época a uma completa estagnação (Figura 3).
© Análise Matemática30
Figura 3 A Matemática da Grécia. 
O fato de a Matemática grega haver se enveredado pelo lado 
da Geometria, com prejuízo da Matemática numérica (Aritmética 
e Álgebra), especialmente o simbolismo algébrico, foi sem dúvi-
da outra razão pela qual o Cálculo não pôde se desenvolver na 
antiguidade, sendo que tal Matemática numérica só apareceu no 
século 18, no Ocidente europeu (Figura 4). 
Figura 4 Surgimento da Matemática numérica.
Outro fator importante, que preparou o caminho para o sur-
gimento do Cálculo Diferencial e Integral, foi a familiaridade que 
os matemáticos dos tempos modernos adquiriram em relação às 
obras clássicas, especificamente falando sobre as ideias de Eucli-
des e Arquimedes. 
31
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© U1 - Aspectos Introdutórios da Análise Matemática
Paralelamente, há de se considerar ainda a atitude dos ma-
temáticos da época, que não se pautavam pelos mesmos padrões 
de rigor dos matemáticos gregos. Eles preferiam avançar no de-
senvolvimento dos novos métodos e técnicas mesmo que isso cus-
tasse a falta de rigor.
No século 17, o cálculo de áreas e volumes pelos métodos 
infinitesimais teve início com os trabalhos de Kepler (1571-1630), 
em conexão com a descoberta de sua 2ª lei planetária, ou Lei das 
Áreas. Nesse estudo, Kepler é levado a considerar somas de infini-
tos termos de áreasinfinitesimais, produzindo áreas finitas. Uma 
situação mais simples, em que isso é fácil de se entender, é a do 
cálculo do volume da esfera. Kepler lembra que o procedimento 
usado por Arquimedes no cálculo da área do círculo equivalia a 
considerar o círculo como união de uma infinidade de triângulos 
infinitesimais, todos de vértice no centro e base na circunferên-
cia do círculo. Ele adota procedimento semelhante no cálculo do 
volume da esfera; esta é considerada como a união de uma infini-
dade de pirâmides de vértices no centro e base em sua superfície. 
A soma dos volumes dessas pirâmides, de altura igual ao raio da 
esfera, resulta no produto de 1/3 do raio pela soma das áreas das 
bases (que é a área 24. .rπ da superfície da esfera), ou seja, 
3
.4 3rπ .
A importância maior do trabalho de Kepler sobre o cálcu-
lo de volumes de tonéis está no método dos indivisíveis, que ele 
desenvolveu e utilizou. Demorou um pouco, mas, alguns anos de-
pois da publicação do livro de Kepler, vários outros matemáticos 
seguiram o mesmo caminho. Essencialmente, o que eles faziam 
era imaginar a figura cuja área ou volume se pretendia calcular, 
como união de uma infinidade de elementos infinitesimais, como 
explicamos anteriormente para o caso do círculo e da esfera. Des-
sa forma, vemos que os matemáticos do século 17, ao dividirem 
as figuras em elementos infinitesimais, imitavam o procedimen-
to de Arquimedes, só que ficavam apenas na parte intuitiva, sem 
© Análise Matemática32
se preocuparem em demonstrar rigorosamente seus resultados, 
como fazia o matemático grego.
 Galileu, em seus Diálogos sobre duas novas ciências, tam-
bém tratou o cálculo de áreas pelos métodos infinitesimais. Bo-
naventura Cavalieri (1598-1647), que foi seu discípulo e seguidor, 
depois professor em Bolonha, teve um papel importante no de-
senvolvimento desses métodos. Estimulado pelo próprio Galileu, 
ele calculava a área de uma figura plana, considerando-a consti-
tuída de uma infinidade de segmentos de retas paralelas, que ele 
chamava indivisíveis de área. Similarmente, um sólido geométrico 
era interpretado como constituído de uma infinidade de figuras 
planas paralelas, de espessura infinitesimal, dispostas numa pilha, 
como as páginas de um livro. Essas figuras eram os indivisíveis de 
volume. Os matemáticos do século 17 não usavam limites: eles 
consideravam as figuras geométricas já decompostas numa infi-
nidade de indivisíveis. Raciocinando dessa maneira, Cavalieri foi 
levado aos princípios que hoje são conhecidos por seu nome. 
Como esses métodos, precisavam de uma razoável funda-
mentação lógica; Cavalieri foi criticado e tentou responder aos crí-
ticos, todavia, sem sucesso, já que não dominava a teoria de limi-
tes ou a teoria de integração. A justificação dos métodos, dizia ele, 
deveria preocupar os filósofos, não os matemáticos. O fato é que 
os raciocínios com os infinitesimais, sem a devida fundamentação 
lógica, eram eficazes e foram largamente utilizados ate o início do 
século 19.
Sabe-se que em uma disciplina introdutória de cálculo não 
existe a preocupação com as demonstrações formais, ou seja, os 
conteúdos são colocados de forma intuitiva e bastante informal. 
Assim, a introdução de uma conceituação mais organizada com ri-
gor matemático é o que se propõe em uma primeira disciplina de 
Análise, mais especificamente, o que propõe a Análise Matemá-
tica. Em outras palavras, um dos objetivos principais dos nossos 
estudos é o de praticarmos demonstrações, ou seja, enunciarmos 
e demonstrarmos teoremas diversos do Cálculo (Figura 5).
33
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Figura 5 Objetivos Centrais da disciplina.
Revisão de Conceitos
Vejamos agora alguns conceitos básicos que serão de grande 
utilidade para o entendimento de novas definições e da formaliza-
ção de diversos resultados a serem apresentados ao longo do seu 
estudo. Cabe ressaltar que alguns desses conceitos são de conhe-
cimento da Matemática Elementar. Além disso, salientamos que 
para a parte relacionada sobre funções já vamos trabalhar com 
os conjuntos numéricos, apesar de colocarmos o formalismo com 
relação às suas construções um pouco mais a frente.
A noção de função surge quando se procura estudar fenôme-
nos e fatos do nosso mundo e, especialmente, nos mais diversos 
campos do conhecimento. Quantas vezes criamos ou procuramos 
relacionar as coisas entre si, por exemplo, ao estudarmos a relação 
do lucro com a quantidade vendida de determinado produto, ou 
de outra forma, ao estudarmos o fenômeno da queda livre de um 
corpo, podemos associar a cada instante a sua velocidade, bem 
como a sua posição. Em outras palavras, diretamente e indireta-
mente, estamos utilizando a noção de função de uma variável real.
© Análise Matemática34
É importante mencionar que, muitas vezes, ao observarmos 
fenômenos da nossa realidade, podemos caracterizar dois 
conjuntos e alguma lei que associa os elementos de um dos 
conjuntos aos elementos do outro. Uma análise dessas três coisas 
– os dois conjuntos e a lei – pode esclarecer detalhes sobre a 
interdependência dos elementos desses conjuntos e descrever o 
fenômeno em observação.
2.2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE FUNÇÕES
Você verá a seguir alguns conceitos básicos sobre funções.
Definição 1 – função: podemos definir função como sendo 
um caso particular de uma relação, ou seja, sendo A e B dois 
conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se, e 
somente se, nessa relação para cada ,X X A∈ , tivermos um único 
,Y Y B∈
Exemplo: sejam A o conjunto dos alunos de um colégio e 
 o conjunto dos números inteiros. Se associarmos a cada aluno 
a sua idade, estabelecemos uma função de A em  , pois, dessa 
maneira, associamos a cada elemento de A um único elemento de 
 .
Exemplo: consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = 
{-1, 0, 1, 2, 3}, temos que a relação V = {(0,0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)} 
é uma função de A em B, já que para todo elemento x A∈ , sem 
exceção, existe um só elemento y B∈ tal que ( , )x y V∈ . Observe 
a Figura 6. 
35
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Figura 6 A representação gráfica da função V do exemplo.
Salientamos que existem várias formas para representarmos 
funções. Por exemplo, consideremos a função f definida no 
conjunto dos números reais com contradomínio o próprio 
conjunto dos números reais, tal que 2 3y x= + . Assim, temos, por 
exemplo, que 2x = , então 7y = . Dizemos que 7 é a imagem de 
2 pela função f e escrevemos (2) 7f = . De modo similar, temos 
que (0) 3, ( 1) 1f f= − = e assim por diante. Inicialmente, em vez 
de escrevermos 2 3y x= + , podemos escrever ( ) 2 3f x x= + e, 
para indicar que a função foi definida de  em  , escrevemos 
:f →  (Figura 7).
© Análise Matemática36
Figura 7 Diretrizes diversas sobre função. 
Ao considerarmos uma função definida de A em B, chamamos 
A e B respectivamente de domínio e contradomínio da função. Ao 
conjunto de todas as imagens, chamamos de conjunto imagem.
Exemplo (domínio, contradomínio e conjunto ima-
gem): consideremos os conjuntos { / 2 3}A x x= ∈ − ≤ ≤ , 
{ / 1 9}B x x= ∈ − ≤ ≤ e a função 2: / ( )f A B f x x→ = , temos 
que: 
A é o domínio 
B é o contradomínio
{0, 1, 4, 9} é o conjunto imagem
Assim, de forma resumida, podemos falar as definições de 
domínio, contradomínio e conjunto imagem, como você pode 
observar na Figura 8.
null
37
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Figura 8 A interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem. 
2.3. PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS FUNÇÕES
Relembraremos algumas propriedades importantes da Teo-
ria das Funções, tais como paridade, crescimento, composição e 
inversão de funções. Inicialmente, para falarmos com relação a pa-
ridade de funções, onde temos funções pares e funções ímpares, 
necessitamos do conceito de conjunto simétrico, queé descrito 
como segue.
Definição 2 – conjunto simétrico: consideremos A um sub-
conjunto não vazio de  , diremos que A é um conjunto simétrico 
se, e somente se, x A∈ implicar que x A− ∈ .
Contrariamente dizemos que o conjunto A é não simétrico, 
ou seja, quando não for satisfeita a condição de que x A∈ implica 
que x A− ∈ .
© Análise Matemática38
Exemplo (conjuntos simétricos): desta forma, podemos 
perceber, claramente, que os conjuntos a seguir são simétricos: 
• A = ]-3, 3[ (conjunto aberto com extremos -3 e 3)
• B = [-3, 3] (conjunto fechado com extremos -3 e 3)
• C =  (conjunto dos números inteiros)
•  = conjunto dos números racionais
•  = conjunto dos números reais
Dessa maneira, podemos perceber, claramente, que os 
conjuntos abaixo não são simétricos: 
A = [-3, 4]
 = conjunto dos números naturais
Definição 3 – função par: consideremos f uma função cujo 
domínio seja um conjunto simétrico. Diremos que f é uma função 
par se, e somente se, ( ) ( )f x f x− = , para todo x pertencente ao 
domínio de f.
Exemplo (função par): a função 2( )f x x= (função quadrática) 
é uma função par, já que podemos visualizar claramente que 
2 2 2( ) ( ) ( )f x x f x x x= = − = − = (Figura 9).
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39
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Figura 9 O gráfico da função 2( )f x x= que é uma função par.
Exemplo (função par): a função ( ) | |f x x= (função modular: 
módulo de x) é uma função par, já que podemos visualizar 
claramente na Figura 10 que: ( ) | | x f( x) | x | xf x x= = = − = − =
Figura 10 O gráfico da função ( ) | |f x x= que é uma função par.
Definição 4 – função ímpar: consideremos f uma função cujo 
domínio seja um conjunto simétrico. Diremos que f é uma função 
ímpar se, e somente se, f( x) f(x)− = − .
© Análise Matemática40
Exemplo (função ímpar): a função 3f(x) x= (função polino-
mial) é uma função ímpar, já que podemos visualizar claramente 
na Figura 11 que 3 3f( x) ( ) f(x)x x− = − = − = − .
Figura 11 O gráfico da função 3f(x) x= que é uma função ímpar.
Exemplo (função ímpar): a função ( )f x senx= (função tri-
gonométrica seno) é uma função ímpar, já que podemos visualizar 
claramente que f( x) ( ) ( )sen x senx f x− = − = − = − (Figura 12).
Figura 12 O gráfico da função ( )f x senx= que é uma função ímpar.
41
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Veja na Figura 13 a parte relacionada ao crescimento de uma 
função. Para tal, vamos considerar A e B subconjuntos de  , e f 
uma função de A em B, isto é, :f A B→ . Seja I um subconjunto 
de A, I A⊂ . Com relação ao crescimento de funções, temos os 
seguintes tipos:
Figura 13 Tipos de funções com relação à propriedade de crescimento.
Definição 5 – função crescente no intervalo I: diremos 
que uma função f é uma função crescente em I se, e somente 
se, para todo par de elementos de I, 1 2 2 1{ , },x x x x> , tivermos 
2 1( ) ( )f x f x> , isto é, quando x aumenta f(x) aumenta. Observe 
a Figura 14.
© Análise Matemática42
Figura 14 Função crescente em I.
Definição 6 – função decrescente no intervalo I: diremos 
que f é uma função decrescente em I se, e somente se, para todo 
par de elementos de I, 1 2 2 1{ , },x x x x> , tivermos 2 1( ) ( )f x f x< , 
isto é, quando x aumenta f(x) diminui (Figura 15).
43
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Figura 15 Função decrescente em I.
Definição 7 – função constante no intervalo I: a função f é 
uma função constante em I se, e somente se, para todo par de ele-
mentos 1 2{ , }x x de I, tivermos 2 1( ) ( )f x f x= (Figura 16).
© Análise Matemática44
Figura 16 Função constante em I.
Agora, vamos falar sobre a composição de funções; já fala-
mos diretamente e indiretamente sobre tal assunto, desde quan-
do falamos de função polinomial do primeiro grau em tópicos de 
Matemática Elementar. Em verdade, criamos uma função compos-
ta quando substituirmos a variável independente x de uma função 
por outra função (Figura 17).
Figura 17 O surgimento da função composta.
Definição 8 – função composta: consideremos f uma função 
definida de A em B e seja g uma função definida de B em C. Deno-
45
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minamos de função composta de g com f a função h, definida de A 
em C, tal que ( ) ( )( ) g f xh x = para todo x pertencente a A, a qual 
é denotada por (g f)(x) .
Exemplo (função composta): Assim, por exemplo, considere-
mos as funções: 
: / ( ) 2 3f f x x→ = − +  e 
g : / ( ) 3 4g x x→ = −  ,
Dessa forma, temos que:
(g f)(x) ( ( )) 3. ( ) 4 3.( 2 3) 4g f x f x x= = − = − + −
Portanto, (g f)(x) 6 5x= − +
Exemplo (função composta): assim, por exemplo, considere-
mos as funções: 
: / ( ) 2 3f f x x→ = − +  
e 
g : / ( ) 3 4g x x→ = −  ,
Vamos encontrar (g f)(2) .
Solução: temos que:
f( 2) 2.(2) 3 1− = − + = −
E assim:
(g f)(2) ( (2)) ( 1) 3.( 1) 4 7g f g= = − = − − = −
Exemplo (função composta): consideremos 2( )f x x= e 
3( )g x x= , vamos encontrar o valor de ( )(2)f g .
Solução: temos que:
3g(2) 2 8= =
Logo:
2( )(2) ( (2)) (8) 8 64f g f g f= = = =
© Análise Matemática46
Outro conceito muito importante sobre a Teoria de Funções 
é a parte relacionada à inversão de funções, ou o conhecimento 
da função inversa 1f − de uma dada função f. Nesse contexto, de 
forma bastante simples, percebe-se que a variável dependente se 
torna independente; e a variável independente se torna depen-
dente (Figura 18).
Figura 18 A inversão de papéis das variáveis dependente e independente. 
Porém, para definirmos, formalmente, o conceito de função 
inversa, necessitamos de alguns conceitos auxiliares, já que não é 
toda função que admite função inversa; portanto, temos os con-
ceitos: de função injetora, função sobrejetora e função bijetora 
(Figura 19).
47
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Figura 19 Conceitos necessários para a definição de função inversa. 
Definição 9 – função injetiva: falamos que uma função 
:f A B→ é uma função injetora se, e somente se, para cada par 
de variáveis distintas em A, tivermos imagens distintas em B, isto 
é, se 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x≠ ⇒ ≠ .
Definição 10 – função sobrejetiva: dizemos que uma função 
:f A B→ é uma função sobrejetora se, e somente se, o seu con-
junto imagem for igual ao seu próprio contradomínio B.
Definição 11 – função bijetiva: falamos que uma função 
:f A B→ é uma função bijetora se, e somente se, ela for injetora 
e também sobrejetora. 
Tendo em vista tais definições, diremos que a condição ne-
cessária e suficiente para que uma função admita inversa é que ela 
seja bijetora.
Definição 12 – função inversa: dizemos que uma função 
:f A B→ admite inversa 1f − quando f for uma função bijetiva, 
ou seja, quando f é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
© Análise Matemática48
Exemplo (função inversa): sendo :f →  tal que f(x) 2 x 1= − , 
vamos encontrar a função inversa 1f − de f.
Solução: na função f temos que 2 x 1y = − . Como ( ; )u v f∈
implica 1(v;u) f −∈ , temos na função inversa 1f − que 2 1x y= − .
2 1 1 2x y x y y= − ⇒ + = ⇒ = .
Exemplo (função inversa): sendo f uma função bijetora tal 
que 2 1( )
5 2
xf x
x
−
=
+
, vamos encontrar 1f − .
Solução: na função f temos 
2 1
5 2
xy
x
−
=
+
, consequentemente, 
em 1f − , temos que:
2 1 5 2 2 1 2 1 2 5 2 1
5 2
2 1(2 5 ).
2 5
yx xy x y x y xy x
y
xx y y
x
−
= ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ + =
+
+
− ⇒ =
−
Para finalizarmos esta parte sobre a função inversa, obser-
vemos que:
1) Se f é uma função bijetora de A em B, então o domínio 
e o contradomínio de f são respectivamente o contrado-
mínio e o domínio da sua inversa 1f − .
2) Considerando f uma função bijetora e 1f − a sua inversa, 
então 1 1( ( )) (f( )) xf f x f x− −= = para todo x no domínio.
3) Se f é uma função bijetora e ( ; )u v f∈ , então 1(v;u)f −∈ , 
consequentemente, os gráficos de f e 1f − são curvas si-
métricas com relação à bissetriz dos quadrantes ímpa-
res. Observe a Figura 20.
49
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Figura 20 A simetria entre os gráficos de 
2f(x) x= e 1( )f x x− = .
2.4. FORMAS BÁSICAS DE DEMONSTRAÇÕES
Em diversas áreas da Matemática utilizamos as principais 
formas de demonstração para justificativas de resultados diversos 
e especificamente falando na Análise Matemática. Para tal, defini-
remos alguns elementos básicos referente às técnicas de demons-
trações a seguir. 
Definição 13 – proposições primitivas: são aquelas afirma-
ções consideradas verdadeiras sem a necessidade de justificativa 
perante a demonstração, ou seja, são afirmações aceitas como 
verdadeiras sem demonstrações. As proposições primitivas são 
também conhecidas como axiomas ou postulados. 
© Análise Matemática50
Exemplo (proposição primitiva): por exemplo, um postulado 
bastante conhecido é que"por dois pontos distintos existe (passa) 
uma, e somente uma, reta”.
Definição 14 – teorema: é uma proposição que se deduz de 
conceitos primitivos, de definições e de postulados, ou de propo-
sições já aceitas como verdadeiras. Ou ainda, podemos definir um 
teorema como sendo uma proposição do tipo p q→ .
Em um teorema se destacam duas partes: a hipótese e a 
tese. A hipótese é o conjunto de condições admitidas como verda-
deiras, enquanto que a tese é o que se pretende concluir verdadei-
ro como consequência da hipótese.
Exemplo (teorema): “se um triângulo é equilátero então ele 
é equiângulo", temos que:
Hipótese: um triângulo é equilátero.
Tese: ele é equiângulo.
Devemos ter em mente que os teoremas são, em geral, 
enunciados na forma: 
Se ..p.. então ..q...
Onde p é a hipótese e q é a tese. Ou seja, demonstrar um 
teorema é concluir a veracidade da tese.
Definição 15 – proposição: é uma afirmação aceita como 
verdadeira perante demonstração.
Definição 16 – lema: é uma afirmação aceita como verdadei-
ra perante demonstração, que é usada muitas vezes como proposi-
ção para a prova de um teorema.
Definição 17 – corolário: denominamos corolário a um teo-
rema, que é uma consequência quase direta, de outro já demons-
trado, ou seja, cuja prova é trivial ou imediata.
Todas essas informações iniciais sobre as técnicas de de-
monstração serão muito úteis principalmente com relação às di-
null
51
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versas demonstrações que apresentaremos ao longo de toda a 
nossa obra. Sempre estaremos apontando teoremas, proposições 
e lemas no decorrer dos resultados a serem comprovados de ma-
neira formal.
Para ampliar seus conhecimentos e obter maiores detalhes 
sobre a parte relacionada à Lógica Matemática, é interessante que 
você leia:
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. rev. e 
amp. São Paulo: Edgard Blucher, 2006, p. 4-10. 
2.5. O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Aspectos Introdutórios
Vamos caracterizar o conjunto  dos números naturais por 
meio de três propriedades específicas, as quais são chamadas de 
Axiomas de Peano, que são descritas a seguir e se encontram na 
obra de Elon (1989, p. 1).
P1) (Axioma de Peano 1) Existe uma função injetiva (ou injetora 
ou 1 a 1) :s →  . Desta forma, para os nossos propósitos a 
imagem s(n) de cada número natural n∈ será denominado de 
sucessor de n.
P2) (Axioma de Peano 2) Existe um único número natural, que 
denotaremos por 1, 1∈ tal que 1 ( )s n≠ para todo n∈ .
P3) (Axioma de Peano 3) Se um conjunto X ⊂  é tal que 1 X∈
e ( )s X ⊂  (isto é, ( )n X s n X∈ ⇒ ∈ ) então X =  .
De outra forma, podemos visualizar ou reformular as 
propriedades mencionadas da seguinte maneira:
P1’) (Axioma de Peano 1’) Todo número natural tem um sucessor, 
que ainda é um número natural; números diferentes têm sucessores 
diferentes.
P2’) (Axioma de Peano 2’) Existe um único número natural 1 que 
não é sucessor de nenhum outro.
© Análise Matemática52
P3’) (Axioma de Peano 3’) Se um subconjunto dos números naturais 
contém o número 1 e contém também o sucessor de cada um dos 
seus elementos, então esse conjunto contém todos os números 
naturais.
No final desta unidade, apresentaremos alguns exemplos 
que ilustram a aplicabilidade do Axioma de Peano 3, o conheci-
do PIF (Princípio da Indução Finita), ferramenta muito importante 
na Matemática e, especificamente falando, na parte de Teoria dos 
Números. De maneira intuitiva, nós podemos pensar que todo nú-
mero natural n pode ser obtido a partir do número 1, tomando-se 
seu sucessor (1)s , o sucessor deste, (s(1))s , e assim por diante, 
com um número finito de etapas.
Outra informação importante que devemos salientar é que 
neste primeiro momento não encaramos o número zero como um 
número natural, ou seja, observemos que começamos a contar os 
naturais a partir do número 1. Em verdade, isso é uma briga que 
existe dentro da Matemática, entre duas frentes, que são a Álge-
bra e a Análise. Além disso, o PIF serve como alicerce para uma 
maneira de demonstração de teoremas sobre números naturais, 
conhecido como o Método de Indução, ou Recorrência, pelo qual 
podemos caracterizar o seu funcionamento por meio da seguinte 
descrição: 
Se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P 
válida para o número n daí resultar que P é válida também para 
seu sucessor s(n), então P é válida para todos os números naturais 
(CARDONA; AZAMBUJA; SANTOS, 2014). 
Esse princípio será de fundamental importância ao longo da 
Análise Matemática. 
Demonstração: “Como exemplo de demonstração por in-
dução, mostraremos que, para todo n∈ , temos que s(n) n≠ , 
ou seja, vamos provar que para todo n∈ , temos que s(n) n≠ ” 
(ELON, 1989, p. 2).
Prova: notemos, inicialmente, que a afirmação é verdadeira 
para n 1= porque, pelo Axioma de Peano 2, temos que 1 ( )s n≠
null
null
53
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para todo n∈ , logo, em particular, podemos considerar para 
n 1= , ou seja, 1 (1)s≠ . Agora, vamos supor que a afirmação seja 
verdadeira para um certo n∈ , ou seja, suponhamos que seja vá-
lida que ( )n s n≠ . Como vimos na descrição dos Axiomas de Pea-
no, a função sucessor (s) é injetiva, que segue que s(n) ( (n))s s≠ , 
isto é, a afirmação é verdadeira para s(n) . (Note que nessa última 
passagem usamos apenas a definição de função injetiva que foi 
apresentada anteriormente nesta unidade). C.q.d.
Salientamos que sempre que colocarmos uma demonstração, 
no seu final aparecerá a abreviação C.q.d., que significa “como 
queríamos demonstrar”, para mostrarmos que tal demonstração 
foi finalizada.
Além disso, quando consideramos o conjunto  dos números 
naturais, são definidas duas operações binárias importantes, que 
são a adição e a multiplicação. No caso da adição, esta associa a 
cada par de números naturais ( , )m n sua soma m n+ , enquanto 
que a multiplicação faz corresponder ao par de números naturais 
( , )m n seu produto .m n . É importante notarmos que tais operações 
são caracterizadas pelas seguintes igualdades, que lhes servem de 
definição:
• 1 ( )m s m+ =
• m s(n) s(m n)+ = + , isto é, m (n 1) (m n) 1+ + = + +
• .1m m=
• .( 1) .m n m n m+ = +
Em outras palavras, só para ilustrarmos, no caso das igual-
dades anteriores, podemos visualizá-las como sendo: somarmos 
1 a m significa tomarmos o sucessor de m. E se já conhecemos a 
soma m n+ também conheceremos ( 1)m n+ + , que é o sucessor 
de m n+ . De outro modo, quanto à multiplicação, para a terceira 
igualdade mencionada, multiplicarmos m por 1 não altera o núme-
ro dado m. Para visualização da existência das operações + e . com 
as propriedades descritas, bem como sua unicidade, que se faz por 
© Análise Matemática54
indução, você pode consultar a obra de Elon (1989, p. 2). De outra 
maneira, temos as seguintes propriedades da adição e multiplica-ção, já conhecidas por você, que são: 
• Associatividade: 
m (n p) (m n) p,m.(n .p) (m.n).p+ + = + + =
•	 Distributividade: m.(n p) m.n m.p+ = +
•	 Comutatividade: m n n m,m.n n.m+ = + =
•	 Lei do corte: m n , . .m p n p m n n p n p+ = + ⇒ = = ⇒ =
Definição 18 – m é menor do que n (ELON, 1989, p. 3): “Con-
sideremos dois números naturais m e n. Escrevemos m n< quan-
do existir p∈ tal que n m p= + . Neste caso, falamos que m é 
menor do que n”. Ressaltamos ainda que a notação m n≤ nos diz 
que m n< ou que m n= . 
Quando falamos na relação de ordem < sobre o conjunto dos 
números naturais, uma das mais importantes propriedades dessa 
relação é o conhecido Princípio da Boa Ordenação, como enuncia-
mos e veremos a seguir.
Teorema 1 – Princípio da Boa Ordenação: todo subconjunto 
não vazio A ⊂  possui um menor elemento, isto é, um elemento 
0n A∈ tal que 0n n< para todo n A∈ (ELON, 1989, 3).
Prova: a fim de provarmos essa afirmação, para cada núme-
ro n∈ , chamemos de In o conjunto dos números naturais me-
nores do que n, ou seja, I {1,2,..., }n n= . Assim, temos dois casos a 
considerar:
Caso 1: neste caso, consideremos que 1 pertença ao conjun-
to A. Se 1 A∈ , então 1 será o menor elemento de A e, assim, não 
temos nada a provar. 
Caso 2: aqui vamos considerar o caso de o elemento 1 não 
pertencer a A, ou seja, 1 A∉ . Dessa maneira, tomemos o conjunto 
X dos números naturais n tais que In A⊂ − . Como o conjunto 
unitário 1I {1} A= ⊂ − , vemos que 1 X∈ . De outro modo, como 
55
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A é um conjunto não vazio, concluímos que o conjunto X é um 
subconjunto próprio dos naturais, isto é, que X ≠  . Logo, a con-
clusão do Axioma de Peano 3 não é válida. Assim, concluímos que 
deve existir um número natural n X∈ tal que 1n X+ ∉ . Então 
I {1,2,..., }n n A= ⊂ − , logo 0n 1 n A+ = ∈ . Portanto, caracteriza-
mos que 0n é o menor elemento do conjunto A. C. q. d.
2.6. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS: QUAL O 
SIGNIFICADO FORMAL?
Antes de definirmos a noção formal de Conjunto 
Finito, ressaltamos que continuaremos usando a notação 
I { / }n p p n= ∈ ≤ , para denotarmos o conjunto dos números 
naturais menores ou iguais a n.
Definição 19 – conjunto finito (ELON, 1989, p. 3):
Dizemos que um conjunto X é dito finito quando ele é o conjunto 
vazio ou quando existir uma bijeção entre ele e In . Se escrevermos 
1 1 2 2( ), ( ),..., ( )n nx f x x f x x f x= = = temos então que 
1 2{ , ,..., }nX x x x= . A bijeção f é dita uma contagem dos 
elementos de X e o número n é denominado o número de 
elementos, ou número cardinal do conjunto finito X. 
Teorema 2: “Se A é um subconjunto próprio de In , não pode 
existir uma bijeção f : A In→ ” (ELON, 1989, p. 4).
Prova: suponhamos por absurdo, que o teorema seja falso 
e consideremos 0n ∈ o menor número natural para o qual exis-
tem um subconjunto próprio 
0
A nI⊂ e uma bijeção 0f : A In→ . 
Se 0n A∈ , então existe uma bijeção 0g : A In→ com 0 0g(n ) n= . 
Nesse caso, a restrição de g ao conjunto 0A {n }− é uma bijeção 
do subconjunto próprio 0A {n }− sobre 0 1nI − , o que contraria a mi-
nimalidade do elemento 0n . 
Contrariamente, se tivermos 0n A∉ , então tomamos 
a A∈ com 0f(a) n= , e a restrição de f ao subconjunto próprio 
0 1
{ } nA a I −− ⊂ será uma bijeção sobre 0 1nI − , o que novamente vai 
© Análise Matemática56
contrariar a minimalidade de 0n , ou seja, encontramos uma con-
tradição. Dessa maneira, segue que o teorema é verdadeiro, ou 
seja, se A é um subconjunto próprio de In , não pode existir uma 
bijeção f : A In→ . C. q. d.
Corolário 1: se f : Im X→ e g : In X→ são bijeções, então 
m n= (ELON, 1989, p. 4).
Prova: suponhamos por absurdo que o Corolário seja falso, 
ou seja, m n≠ , suponhamos ainda sem perda de generalidade que 
m n< . Dessa forma, sendo m n< então Im seria um subconjunto 
próprio de In , o que violaria o Teorema 1, pois
1 : I Im ng f
− → é 
uma bijeção, ou seja, encontramos uma contradição. Similarmen-
te, podemos mostrar que não é possível m n> . Logo, o Corolário 
é verdadeiro, portanto, temos que m n= . C. q. d.
Corolário 2: consideremos X um conjunto finito do conjunto 
dos naturais. Uma função : X Xf → é injetiva se, e somente se, 
for sobrejetiva (ELON, 1989, p. 4).
Prova: com efeito, existe uma bijeção : In Xϕ → . A aplica-
ção : X Xf → será injetiva ou sobrejetiva se, e somente se, a apli-
cação composta 1 f : I In nϕ ϕ
− →  o for também. Logo, podemos 
considerar f : I In n→ . Para justificarmos tal resultado, temos uma 
prova envolvendo a bicondicional (se e somente se), ou seja:
(⇒ ) Suponhamos que f seja injetiva, então pondo A f(I )n= 
teremos uma bijeção 1 : A Inf
− → . Pelo Teorema 2 anterior, 
A In= e f é sobrejetiva. 
(⇐ ) Reciprocamente, suponhamos que f seja sobrejetiva 
então, para cada x In∈ , podemos escolher y g(x) In= ∈ tal que f(y) x= . Isso define uma aplicação g : I In n→ tal que f(g(x)) x=
para todo x In∈ . Então g é injetiva e, pelo que acabamos de 
provar, g é sobrejetiva. Assim, se 1 2y , y In∈ forem tais que 
1 2f(y ) f(y ) tomamos 1 2x , x In∈ com 1 1 2 2g(x ) , g(x ) yy= = = 
e teremos 1 1 1 2 2 2( ( )) ( ) ( ) f(g(x ))x f g x f y f y x= = = = = . Daí 
1 1 2 2y g(x ) g(x ) y= = = , logo f é injetiva. C. q. d.
57
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Corolário 3: “Não pode existir uma bijeção entre um conjun-
to finito e uma parte própria sua” (ELON, 1989, p. 5).
Prova: notemos que o Corolário 3 é uma mera reformulação 
do Teorema 2.
Agora, vamos mostrar um resultado aparentemente natural 
de se pensar, porém, um pouco mais complexo para provar, que é 
o fato de que um subconjunto de um conjunto finito é também 
finito. Esse fato é enunciado no Teorema 3, logo a seguir.
Teorema 3: todo subconjunto de um conjunto finito é finito 
(ELON, 1989, p. 5).
Prova: vamos provar, primeiramente, o seguinte caso parti-
cular: se X é finito e a X∈ , então o subconjunto X – {a} é também 
finito. De fato, existe uma bijeção f : In X→ , a qual, pelo corolá-
rio anterior, podemos supor que cumpre ( )f n a= . Se 1n = , então 
{ }X a− =∅ é finito. Se 1n > , a restrição de f a 1nI − é uma bijeção 
sobre { }X a− , logo { }X a− é finito e tem 1n − elementos. O caso 
geral se prova por indução no número n de elementos de X. Ele é 
evidente quando X =∅ ou 1n = . Supondo o teorema verdadei-
ro para conjuntos com n elementos, consideremos X um conjunto 
com 1n + elementos e Y um subconjunto de X. Se Y X= , nada há 
para provarmos. Caso contrário, existe um elemento a X∈ com 
a Y∉ . Então, na realidade, Y { }Y X a⊂ − . Como { }X a− tem n 
elementos, concluímos que Y é finito. C. q. d.
Definição 20 – conjunto limitado: um subconjunto X ⊂  é 
dito limitado, quando existe p∈ tal que x p≤ para todo x X∈ 
(ELON, 1989, 5).
Corolário 02: um subconjunto X ⊂  é finito se, e somente 
se, for limitado (ELON, 1989, p. 5).
Prova: mais uma vez, observemos que se trata de uma prova 
do tipo ida e volta. Desse modo, temos que:
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(⇒ ) Neste sentido, notemos que temos por hipótese que 
X é finito e devemos mostrar que X é limitado. Para tal, como X é 
finito, podemos escrever X como 1 2{ , ,..., }nX x x x= ⊂  ; assim, se 
colocarmos 1 2 ... np x x x= + + + , vemos claramente que para todo 
x em X, que x p< , ou seja, X é limitado. 
(⇐ ) Neste sentido, temos por hipótese que X é limitado e 
devemos provar que X é finito. Para tal, se X ⊂  é limitado, en-
tão X I p⊂ para algum p∈ , segue-se pois o Teorema 2, em que 
provamos anteriormente que o conjunto X é finito. C. q. d. (Figura 
21).
Figura 21 Relação entre conjunto finito e limitado.
Agora vamos definir a noção de conjunto infinito, que, em 
verdade, já podemos pensar de forma natural que se trata do con-
trário da noção de conjunto finito.
Definição 21 – conjunto infinito: um conjunto X é dito infini-
to quando ele não é finito. Assim, X é