PROFMULTIPLO_EF2_ANO6_MAT_B2_C4_Múltiplos e divisores

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MATEMÁTICA
A
N
O
LIVRO DO PROFESSOR
OBJETIVOS
•	 Diferenciar sólidos geométricos, regiões planas 
e contornos.
•	 Classificar sólidos geométricos, regiões planas 
e contornos.
•	 Identificar e desenhar as vistas de um objeto 
tridimensional.
Sólidos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Bloco retangular e cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Prisma e pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Cilindro, cone e esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Vistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Contornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Tratamento da informação – Organizar 
dados em tabela simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Resolução de problemas – Redução a 
um problema mais simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Somando cultura – A pirâmide do Museu 
do Louvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Matemática e tecnologia – Classificando 
contornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Organizando o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
OBJETIVOS
•	 Explorar os critérios de divisibilidade.
•	 Identificar múltiplos e divisores de números na-
turais, números primos e números compostos.
•	Calcular o máximo divisor comum e o míni-
mo múltiplo comum de dois ou mais núme-
ros naturais.
Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Divisibilidade por 2 e por 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Divisibilidade por 4, por 5 e por 6 . . . . . . . . . . . . . . 121
Divisibilidade por 8, por 9 e por 10 . . . . . . . . . . . . . 123
Múltiplos de um número natural . . . . . . . . . . . . . . . 125
Divisores de um número natural . . . . . . . . . . . . . . . 128
Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Decomposição em fatores primos . . . . . . . . . . . . . 134
Máximo divisor comum (MDC) . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Mínimo múltiplo comum (MMC) . . . . . . . . . . . . . . . 142
Tratamento da informação – Pictograma . . . . 146
Resolução de problemas – Buscar a relação 
dos dados do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Somando cultura – As fases da lua . . . . . . . . . . . . 150
Matemática e tecnologia – Múltiplos 
e divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Organizando o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Exercícios integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Amplie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Matemática
Capítulo 3 Figuras geométricas, 86 Capítulo 4 Múltiplos 
e divisores, 114
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131GUIA DIDÁTICO
4capítulo
Você já reparou nas embalagens que encontramos nos mercados? 
Muitas contêm várias unidades de um mesmo produto. Porém, 
quando queremos combinar um produto com outro, enfrentamos o 
seguinte problema: a quantidade de produtos em cada embalagem 
é diferente.
Múltiplos e 
divisores
A ilustração mostra alguns exemplos dessas embalagens com suas respectivas quantidades.
114
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INFORMAÇÃO ADICIONAL
Neste capítulo serão estudados con-
ceitos e propriedades do conjunto 
dos números naturais, tais como di-
visibilidade, múltiplos e divisores de 
um número natural, números primos, 
números compostos, o teorema fun-
damental da aritmética e decomposi-
ção de um número em fatores primos. 
Esse estudo é de grande importância 
na compreensão da aritmética e na 
resolução de situações do cotidiano.
Neste capítulo os temas abordados são:
• Divisibilidade
• Divisibilidade por 2 e por 3
• Divisibilidade por 4, por 5 e por 6
• Divisibilidade por 8, por 9 e por 10
• Múltiplos de um número natural
• Divisores de um número natural
• Números primos
• Decomposição em fatores primos
• Máximo divisor comum (MDC)
• Mínimo múltiplo comum (MMC)
• Tratamento da informação: Pic-
tograma
• Resolução de problemas: Buscar 
a relação dos dados do problema
• Somando cultura: As fases da Lua
• Matemática e tecnologia: Múlti-
plos e divisores
162 GUIA DIDÁTICO
Para começar
1 Você costuma ir ao mercado? Quais outros produtos consumi-
dos por você costumam vir em embalagens com quantidades 
diferentes? 
2 No exemplo ilustrado, há alguma maneira de comprar a mesma 
quantidade de salsichas e de pães para cachorro-quente? Caso 
haja, quantas embalagens deveríamos comprar de cada produto? 
3 Ainda com base no exemplo, é possível comprar a mesma quan-
tidade de hambúrgueres e de pães? Caso seja, quantas embala-
gens de cada um deveríamos comprar?
Respostas pessoais.
Suponha que você vai comprar uma embalagem de salsicha que vem com dez unidades 
para montar cachorros-quentes com uma salsicha em cada um. Como as embalagens de 
pão para cachorro-quente costumam vir com quatro unidades cada, não é possível comprar 
uma quantidade exata de embalagens para montar dez sanduíches. Se você comprar dois 
pacotes de pão, sobrarão salsichas; se comprar três, sobrarão pães sem salsicha.
2 Espera-se que os alunos percebam que existem várias maneiras. Uma delas é 
comprar dois pacotes de salsicha e cinco pacotes de pão para cachorro-quente.
Espera-se que os alunos 
percebam que é possível. 
Uma delas é comprar uma embalagem de hambúrguer e três pacotes de pão.
pesquise
Cada vez mais empresas bus-
cam colocar seus produtos em 
embalagens retornáveis, reci-
cláveis ou feitas com material 
reciclado. Procure nas emba-
lagens dos produtos que você 
consome o símbolo do mate-
rial com que ela foi feita. Verifi-
que e pesquise:
• Se o material da embalagem 
foi reciclado.
• Se ele ainda pode ser reciclado.
• Se a matéria-prima do material 
é certificada para esse tipo de 
embalagem.
No link a seguir, você pode obter 
informações sobre os símbolos 
dos materiais reciclados e a certi-
ficação de matérias-primas.
http://oxbr.cc/Sj3kd4
115
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Inicialmente, leia o texto da página 114 
do Livro 2 com os alunos e peça que 
observem as embalagens dos produtos 
apresentadas na imagem para iden-
tificar a quantidade disponível em 
cada uma. Converse com eles sobre 
a situação proposta e estimule-os a 
compartilhar as estratégias que usariam 
para resolver o problema.
Os exercícios 2 e 3 do boxe Para 
começar trabalham, de maneira in-
tuitiva, o conceito de múltiplo comum 
de dois números naturais. Estimule 
os alunos a determinar a solução 
dessas questões por meio de tenta-
tiva e erro. Eles devem verificar que 
mais de uma combinação de quan-
tidades de embalagens satisfaz o 
problema.
AMPLIE
Os números primos têm grande re-
levância em praticamente todas as 
áreas da matemática, não somente 
na teoria dos números ou na cripto-
grafia. O livro indicado a seguir traz 
mais informações sobre a história e 
as propriedades desses números.
JucimarPeruzzo. O Fascínio dos 
Números Primos. Santa Catarina: 
[edição do autor], 2012.
163GUIA DIDÁTICO
CAP 4
ObjetivO
•	Analisar se um número natural 
é ou não divisível por outro.
Considere a seguinte pergunta:
Quantas vezes o número 7 cabe em 84?
Para responder a essa pergunta, precisamos efetuar a divisão 
de 84 por 7:
8 4 7
1 4 1 2
0
O quociente é 12, e o resto é zero, ou seja, o 7 cabe exatamente 
12 vezes em 84. Do mesmo modo, para determinar quantas vezes 
o número 12 cabe em 84, devemos fazer o seguinte cálculo:
8 4 1 2
0 7
Assim, concluímos que o 12 cabe exatamente 7 vezes em 84.
Dizemos que 84 é divisível por 7 e por 12, pois a divisão de 84 
tanto por 7 quanto por 12 é exata, ou seja, tem resto zero. Por esse 
motivo, dizemos também que 7 e 12 são divisores de 84.
Como o número 84 pode ser escrito na forma 7 × 12 = 84, dize-
mos que 84 é um múltiplo de 7 e de 12.
Divisibilidade
• Um número natural é múltiplo de outro quando pode ser escrito 
como um produto deste por outro número natural.
• Um número natural é divisível por outro quando o resto da divisão do 
primeiro pelo segundo é zero. Dessa maneira, o segundo número é um 
divisor do primeiro, e o primeiro número é um múltiplo do segundo.
Exemplo 1
Observe a divisão de 2 010 por 6 e por 4:
Como a divisão de 2 010 por 6 apresenta resto zero, temos que 
2 010 é divisível por 6, ou que 2 010 é múltiplo de 6, ou, ainda, que 6 
é um divisor de 2 010.
Já a divisão de 2 010 por 4 tem resto 2, ou seja, diferente de zero. 
Por isso, 2 010 não é divisível por 4, ou 2 010 não é múltiplo de 4, ou, 
ainda, 4 não é um divisor de 2 010.
Converse com os colegas so-
bre as seguintes questões:
• O zero é divisor de algum nú-
mero natural? 
• O zero é divisível por algum 
número natural? Caso seja, 
por qual(is) número(s)?
• Há um número que seja múl-
tiplo de qualquer número na-
tural? Caso haja, que número 
é esse?
Para refletir
Não.
 Sim. Por 
todos eles, exceto pelo próprio zero.
Sim. O zero.
2 0 1 0 6
2 1 3 3 5
3 0
0resto zero
2 0 1 0 4
 1 0 5 0 2
2 resto diferente 
de zero
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OBJETIVO
• Retomar o conceito 
de divisibilidade entre 
números naturais.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retome o conceito de divisibilidade 
entre números naturais e a ideia do 
algoritmo da divisão.
Dados dois números naturais x e y, 
tais que x < y, pode-se determinar 
quantas vezes x cabe em y por meio 
da razão y : x. Quando o resto da di-
visão é zero, afirma-se que x é divisor 
de y, ou ainda que y é múltiplo de x. 
Aproveite o exemplo apresentado 
para verificar se o conceito de divisor 
e o de múltiplo estão claros para os 
alunos. Se necessário, explore outros 
exemplos de divisão.
Use o boxe Para refletir para esclarecer 
possíveis dúvidas sobre a divisão entre 
números naturais. Estimule a troca de 
impressões entre os alunos e, se consi-
derar pertinente, faça um registro das 
principais conclusões na lousa.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Dados dois números naturais a e b, 
pelo algoritmo da divisão existem 
os números naturais q e r tais que 
a = bq + r. Nesse caso, a é o di-
videndo, b é o divisor, q é o quo-
ciente e r é o resto da divisão. 
O quociente q e o resto r devem 
satisfazer à relação 0 ≤ r < q.
Se b é divisor de a, então a = bq, ou 
seja, a é múltiplo de b. O número 
q indica quantas vezes a é maior do 
que b.
Se r > 0, então r é o menor número 
natural que deve ser adicionado a bq 
para que essa soma seja igual a a.
164 GUIA DIDÁTICO
Divisibilidade
Exemplo 2
A papelaria em que Joana trabalha recebeu 9 876 canetas, e o 
gerente quer vendê-las em pacotes com 6 unidades cada. É possível 
separar todas as canetas em grupos de 6 sem que sobre nenhuma?
Paulo, colega de Joana, ao saber que havia 9 876 canetas, disse 
que a divisão era possível e começou a separá-las em grupos de 6, 
amarrando cada grupo com um elástico. Para garantir que não so-
brariam canetas, Joana fez a seguinte conta e verificou que Paulo 
estava certo.
9 8 7 6 6
3 8 1 6 4 6
2 7
3 6
0resto zero
Observe que, como o número de canetas, 9 876, é um múl-
tiplo de 6, é possível formar grupos com 6 canetas sem sobrar 
nenhuma.
Converse com os colegas so-
bre as afirmações a seguir e 
classifique-as em verdadeiras 
ou falsas.
• Nenhum número par é divisí-
vel por um número ímpar. 
• Nenhum número ímpar é di-
visível por um número par.
Procure exemplos de números 
pares e ímpares para testar es-
sas afirmações.
Para refletir
Falsa. Por exemplo, 10 é divisível por 5.
Verdadeira.
Exemplo 3
Os 155 alunos do 6o ano de um colégio serão divididos em 
8 grupos para a realização dos trabalhos da feira de ciências. 
É possível que todos os grupos tenham a mesma quantidade 
de alunos?
Para responder à pergunta, precisamos verificar se 155 é divisível 
por 8.
1 5 5 8
7 5 1 9
3resto diferente de zero
Como 155 não é divisível por 8, não é possível formar grupos 
com a mesma quantidade de alunos, ou seja, haverá grupos com 
formações diferentes.
ObservaçÃO
Há situações em que é necessá-
rio formar grupos de objetos ou 
de pessoas. Se quisermos que 
esses grupos tenham sempre 
a mesma quantidade e, ainda, 
que não sobre ninguém fora de 
um grupo, devemos escolher 
quantidades que sejam divisí-
veis umas pelas outras.
m
a
t
e
m
á
t
ic
a
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Explore os exemplos desta página; chame a 
atenção dos alunos para a relação entre a di-
visão de números naturais e as situações do 
dia a dia. Aproveite este momento da aula para 
esclarecer possíveis dúvidas a respeito do al-
goritmo da divisão.
Use a atividade proposta no boxe Para refletir 
para investigar se os alunos assimilaram o con-
ceito de divisão entre números naturais e suas 
aplicações. Registre na lousa as principais ob-
servações e os exemplos citados pelos alunos 
para validar as respostas.
Verifique se os alunos compreenderam a re-
lação existente entre o divisor e o múltiplo, 
isto é, se um número n é divisor de um nú-
mero m, também se pode afirmar que m é 
múltiplo de n.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• A figura a seguir representa uma 
barra de chocolate. Um grupo 
de amigos pretende dividi-la 
igualmente, sem subdividir os 
retângulos menores.
Responda:
a) De quantas diferentes maneiras essa 
divisão pode ser feita?
b) Para que a divisão da barra de 
chocolate em partes iguais seja feita 
nas condições propostas, quantas 
pessoas podem compor esse 
grupo?
c) Quantos pedaços retangulares 
menores receberia cada pessoa, 
de acordo com a quantidade de 
amigos no grupo?
Resolução
a) Os divisores do número 24 são 1, 2, 3, 
4, 6, 8, 12 e 24. Excluindo-se o número 
1, uma vez que necessariamente 
deve existir mais de uma pessoa no 
grupo, há 7 possibilidades para dividir 
a barra de chocolate nas condições 
propostas.
b) Este grupo pode ser composto de 2, 3, 
4, 6, 8, 12 ou 24 pessoas.
c) 2 amigos: 12 pedaços; 3 amigos: 
8 pedaços; 4 amigos: 6 pedaços; 
6 amigos: 4 pedaços; 8 amigos: 
3 pedaços; 12 amigos: 2 pedaços e 
24 amigos: 1 pedaço.
165GUIA DIDÁTICO
CAP 4
exercício resolviDo
•	 A Copa do Mundo de Futebol e as Olimpíadas são eventos esportivos 
realizados de 4 em 4 anos. A Copa do Mundo de 2010 foi sediada na 
África do Sul, e os Jogos Olímpicos de 2012, em Londres, Inglaterra. 
A Copa seguinte será em 2014, no Brasil. Logo em seguida, em 2016, 
serão realizadas as Olimpíadas do Rio de Janeiro, também no Brasil.
a) Os números 2 014 e 2 016 são múltiplos de 4?
b) Qual desses dois eventos acontecerá em 2060? E em 2062?
Resolução
a) Precisamos verificar se 2 014 e 2 016 são divisíveis por 4.
 Logo, temos que 2 016 é múltiplo de 4, mas 2 014 não é.
b) De acordo com a solução do item a, percebemos que os anos de 
Copa do Mundo são pares e não são múltiplos de 4, ao passo que os 
anos de Olimpíadas são todos múltiplos de 4.
 Logo, em 2060 haverá Olimpíadas, e em 2062, Copa do Mundo.
Exercícios
2 0 6 0 4
0 6 5 1 5
20
0
2 0 6 2 4
0 6 5 1 5
2 2
2 resto diferente de zeroresto zero
2 0 1 4 4
0 1 4 5 0 3
2
2 0 1 6 4
0 1 6 5 0 4
0resto diferente de zero resto zero
exercícios ProPostos
1 Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F).
a) 524 é divisível por 3. ( ) b) 360 é divisível por 12 e por 15. ( )
c) 928 é divisível por 7. ( ) d) 555 é múltiplo de 3, de 5 e de 9. ( )
2 Uma escola está organizando uma competição esportiva com 132 alu-
nos nas seguintes categorias: basquete, com 5 alunos por equipe; vôlei, 
com 6 alunos por equipe; e futebol, com 11 alunos por equipe.
a) É possível formar equipes de modo que todos esses alunos participem 
das três modalidades, sem ninguém ficar de fora em nenhuma delas? 
b) Quantas equipes podem ser formadas para cada modalidade?
12 equipes de futebol, 22 de vôlei e 26 de basquete.
F
F
V
F
Não, pois 132 não é divisível por 5, apenas por 11 e por 6.
ObjetivO
•	 Verificar se um número natural é 
ou não divisível por outro.
1 a) 524 3
22 174
14
2
 b) 360 12
00 30
 360 15
60 24
0
 c) 928 7
22 132
18
4
 d) 555 60
25 185
15
0
 555 5
05 111
05
0
 555 9
15 61
6
2 a) 132 5
32 26
2
132 6
12 22
0
132 11
22 12
0
 b) O número de equipes em cada 
modalidade corresponde ao 
quociente da divisão efetuada no 
item a.
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OBJETIVO
• Enfatizar o conceito 
de divisibilidade entre 
números naturais.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Aproveite o Exercício resolvido para 
comentar com os alunos que a divisão 
de qualquer número par por 4 tem 
resto, necessariamente, igual a 0 ou 
igual a 2. Deixe claro que se o resto da 
divisão de um ano par por 4 é igual a 0, 
há Jogos Olímpicos nesse ano; se o 
resto da divisão de um ano par por 
4 é igual a 2, há Copa do Mundo.
No item b do exercício 2, espera-se 
que os alunos percebam que, ao for-
mar os times de basquete, dois dos 
competidores ficarão de fora das es-
calações. Esse número se refere ao 
resto da divisão de 132 por 5.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Observe a sequência formada 
pelas potências do número 7:
70 = 1
71 = 7
72 = 49
73 = 343
74 = 2 041
75 = 16 807
76 = 117 649
77 = 823 543
78 = 5 764 801
79 = 40 353 607
 Responda:
a) Há alguma regularidade nessa 
sequência numérica? Caso haja, 
cite-a.
b) Que algarismos se repetem na 
ordem das unidades?
c) Quantos são esses algarismos?
d) Qual é o último dígito de 7304?
Resolução
a) Os últimos dígitos das potências de 7 se 
alternam nesta ordem: 1, 7, 9 e 3.
b) 1, 7, 9 e 3.
c) São 4 algarismos.
d) Para determinar o último dígito 
de uma potência de 7, divide-se 
o expoente da potência por 4 e 
considera-se o resto dessa divisão. 
O último algarismo da potência 
corresponde ao último algarismo do 
cálculo 7 elevado ao resto obtido.
 Como 304 é divisível por 4 (resto zero), 
o último algarismo de 7304 é 1.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Observe a demonstração do resultado: na 
divisão de um número par por 4, as únicas 
possibilidades para o resto são 0 ou 2.
Se a é um número par, ele pode ser escrito na 
forma a = 4q + r, em que 0 ≤ r ≤ 3.
Supondo, por absurdo, que r é ímpar, esse 
número pode ser escrito como r = 2m + 1, 
em que m é um número natural.
Logo, a = 4q + 2m + 1 ⇔
⇔ a = 2(2q + m) + 1.
Com isso, a é um número da forma 2n + 1, 
o que é uma contradição, pois a é um nú-
mero par (hipótese).
Portanto, na divisão de um número par por 4, 
as únicas possibilidades para o resto são 0 ou 2.
166 GUIA DIDÁTICO
CAP 4 Divisibilidade por 2 e por 3
No exemplo 2, da página 117 , Paulo conhecia uma maneira de 
saber se a divisão de 9 876 por 6 era exata sem precisar efetuar a 
conta. Por isso, podemos dizer que Paulo conhecia o critério de 
divisibilidade por 6. Com isso ele ganhou tempo e, antes de Joa-
na, sabia que era possível formar grupos de 6 canetas sem que hou-
vesse sobra.
CálCulO mentAl
Sem efetuar a divisão, lembran-
do-se apenas das tabuadas, 
responda se o número 13 425 é 
divisível por 5. E por 10? 
E quanto ao número 48 730, ele 
é divisível por 5? E por 10?
Sim. Não.
Sim. Sim.
Um critério de divisibilidade é uma regra que permite saber se um nú-
mero é divisível por outro, ou seja, se uma divisão é exata, sem que seja 
necessário efetuar o cálculo.
Critério de divisibilidade por 2
Ao multiplicar os números naturais por 2, obtemos os seguin-
tes valores:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …
Observando esses números, é possível notar que eles têm algo 
em comum: todos são números pares. Assim, temos que um nú-
mero é divisível por 2 quando é par. Caso o número seja ímpar, não 
é divisível por 2.
Exemplos
• 3 752 é par, portanto é divisível por 2.
• 276 é par, portanto é divisível por 2.
• 11 237 é ímpar, portanto não é divisível por 2.
Critério de divisibilidade por 3
Quando multiplicamos os números naturais por 3, obtemos 
tanto números pares quanto números ímpares. Portanto, saber se 
um número é par ou ímpar não é suficiente para descobrir se ele é 
divisível por 3. No entanto, veja o que ocorre quando somamos os 
algarismos dos números nos exemplos a seguir:
• 486 é divisível por 3, pois 3 × 162 = 486;
4 + 8 + 6 = 18, que é divisível por 3.
• 21 426 é divisível por 3, pois 3 × 7 142 = 21 426;
2 + 1 + 4 + 2 + 6 = 15, que é divisível por 3.
• 3 409 não é divisível por 3, pois 3 × 1 136 + 1 = 3 409;
3 + 4 + 0 + 9 = 16, que não é divisível por 3.
O que foi observado nesses exemplos é válido para qualquer 
número natural, ou seja, se a soma dos algarismos do número for 
divisível por 3, esse número é divisível por 3.
PArA reCOrdAr
Par ou ímpar
Um número natural é par quan-
do o seu último algarismo é 
0, 2, 4, 6 ou 8. Um número natu-
ral é ímpar quando o seu último 
algarismo é 1, 3, 5, 7 ou 9.
ObjetivO
•	 Explorar os critérios de divisibili-
dade por 2 e por 3.
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OBJETIVO
• Apresentar aos alunos os critérios 
de divisibilidade.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Use o exemplo 2 da página 117 do 
Livro 2 para mostrar aos alunos o uso 
e a definição dos critérios de divisibi-
lidade. Introduza o tema e explore as 
questões do boxe Cálculo mental. 
Espera-se que os alunos percebam a 
existência de regras que permitem 
determinar se um número é ou não 
divisor de outro sem efetuar a divisão.
Retome o conceito de número par e 
o de número ímpar. Da definição de 
número par é possível concluir que 
são divisíveis por 2. Depois de apre-
sentar o critério de divisibilidade por 3, 
mostre aos alunos que nem todo nú-
mero ímpar é divisível por 3. Essa con-
jectura pode surgir como analogia ao 
critério de divisibilidade por 2.
Enfatize que a paridade de um núme-
ro é usada como critério de divisibili-
dade apenas para determinar se esse 
número é divisível por 2.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Os critérios de divisibilidade conheci-
dos para os números naturais são pos-
síveis devido à estrutura decimal e 
posicional do sistema de numeração 
indo-arábico. Essa é mais uma das van-
tagens desse sistema de numeração.
167GUIA DIDÁTICO
Divisibilidade por 2 e por 3CAP 4
exercício resolviDo
•	 Você já brincou de Ding-Dong? É uma brincadeira em que um grupo 
de amigos faz uma roda e escolhe dois números, por exemplo, 2 e 3. 
Um dos amigos fala “Um!”, e cada um dos outros fala o próximo núme-
ro natural, mas seguindo estas regras:
 • Se o número for múltiplo de 2, deve-se falar “Ding!” em vez dele.
 • Se for múltiplo de 3, deve-se falar “Dong!”.
 • Se for múltiplo de 2 e de 3, deve-se falar “Ding-Dong!”.
 • Só se pronuncia o número se ele não for múltiplo de 2 nem de 3.
O que uma pessoa deve dizer se a sua vez for a do número:
a) 50? b) 48? c) 53?
Resolução
a) 50 é par, logo é divisível por 2. Como 5 + 0 = 0 (não é divisível por 3), 
50 não é divisível por 3. Logo, deve-se dizer “Ding!”.
b) 48 é par, logo é divisível por 2. Como 4 + 8 = 12 (divisível por 3), 
48 também é divisível por 3. Logo, deve-se dizer “Ding-Dong!”.
c) Como 53 é ímpar e 5 + 3 = 8 (não é divisível por 3),53 não é divisível 
por 2 nem por 3. Logo, deve-se dizer “cinquenta e três”.
exercícios ProPostos
1 Determine se cada número é divisível por 2 ou por 3.
a) 512 É divisível por 2. b) 689 
c) 567 É divisível por 3. d) 864 É divisível por 2 e por 3.
2 Qual é a melhor opção para dividir 39 alunos em grupos com a mes-
ma quantidade de alunos: dividi-los em duplas ou em trios?
Em trios, pois 39 é divisível por 3, mas não é divisível por 2.
3 Valentina pensou em um número entre 30 e 40 e percebeu que:
 I Não era divisível nem por 2, nem por 3.
 II Se ela subtraísse uma unidade, o número resultante seria divisí-
vel por 2, mas não seria divisível por 3.
 III Se ela subtraísse duas unidades, o número resultante seria divisí-
vel por 3, mas não seria divisível por 2.
 IV Se ela somasse uma unidade, o número resultante seria divisível 
por 2 e por 3.
 Descubra o número em que Valentina pensou.
O número 35.
1 a) 512 é par. 5 + 1 + 2 = 8, e 8 não é 
divisível por 3.
 b) 689 é ímpar. 6 + 8 + 9 = 23, e 23 
não é divisível por 3.
 c) 567 é ímpar. 5 + 6 + 7 = 18, e 18 é 
divisível por 3.
 d) 864 é par. 8 + 6 + 4 = 18, e 18 é 
divisível por 3.
2 39 é ímpar. 3 + 9 = 12, e 12 é 
divisível por 3.
3 Por I, o número não é par, ou seja, 
não é 32, 34, 36 ou 38; nem é 33 
ou 39 (ambos são divisíveis por 3). 
Então, pode ser 31, 35 ou 37. Por II, 
temos que não pode ser 31 (pois 
30 é par e é divisível por 3), nem 37 
(pois 36 é par e é divisível por 3), mas 
pode ser 35 (pois 34 é par, mas não 
é divisível por 3). De fato, o número 
escolhido é 35, pois ele satisfaz as 
afirmações III e IV: 33 é divisível por 
3, mas não é divisível por 2; 
36 é divisível por 2 e por 3.
Não é divisível nem por 2 nem 
por 3.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Verifique se os alunos compreende-
ram as regras do jogo Ding-Dong e o 
raciocínio usado para determinar as 
respostas do Exercício resolvido. 
Aproveite para relembrar os critérios 
de divisibilidade estudados e, se ne-
cessário, oriente como eles podem 
ser usados no jogo. Se possível, faça 
pelo menos uma rodada do jogo 
com todos os alunos.
No exercício 1 os alunos devem apli-
car diretamente os critérios de divisi-
bilidade para determinar as soluções, 
enquanto no exercício 3 é necessária 
uma estratégia mais elaborada de 
resolução. Caso apresentem dificul-
dade, lembre-os do método de reso-
lução de trás para frente. Comente 
que eles podem listar os números de 
30 a 40 e excluir aqueles que não sa-
tisfazem às condições dadas.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Uma escola com número de 
alunos maior do que 650 e 
menor do que 660 preparou uma 
gincana de final de ano. Todos os 
alunos devem participar de pelo 
menos duas provas, de modo 
que uma delas seja disputada em 
duplas e a outra, em trios, sem que 
sobrem alunos nos dois casos.
 Considerando que as condições 
acima foram cumpridas, 
determine a quantidade de alunos 
que estudam nessa escola.
Resolução
O número procurado deve ser divisível 
por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Números divisíveis por 2: 
652, 654, 656 e 658.
Números divisíveis por 3: 
651, 654 e 657.
Portanto, a escola tem 654 alunos.
168 GUIA DIDÁTICO
CAP 4
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Divisibilidade por 4, por 5 e por 6
Critério de divisibilidade por 4
Temos que 100 é divisível por 4, pois 25 × 4 = 100. Dessa manei-
ra, veja como podemos verificar se o número 532 é divisível por 4.
532 = 5 × 100 + 32
É divisível por 4. Basta verificar se também 
é divisível por 4.
Assim, 532 é divisível por 4, pois o número formado pelos seus 
dois últimos algarismos, isto é, 32, é divisível por 4. Analogamente, 
para verificar se um número é divisível por 4, basta observar se os 
seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.
Exemplos
• 1 290 não é divisível por 4, pois 90 não é divisível por 4.
• 208 é divisível por 4, pois 8 é divisível por 4.
Critério de divisibilidade por 5
Ao multiplicar os números naturais por 5, obtemos:
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …
Observando esses números, é possível notar que eles têm algo 
em comum: todos terminam em 0 ou em 5. Por isso, temos que um 
número é divisível por 5 quando seu último algarismo é 0 ou 5.
Exemplos
• 3 455 é divisível por 5, pois seu último algarismo é 5.
• 623 não é divisível por 5, pois seu último algarismo é 3.
Critério de divisibilidade por 6
Para verificar se um número é divisível por 6, lembre-se de que 
6 = 2 × 3. Assim, um número é divisível por 6 quando satisfaz os 
critérios de divisibilidade por 2 e por 3, ou seja, quando é par e a 
soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos
• 2 280 é divisível por 6, pois é par, e 2 + 2 + 8 + 0 = 12, que é 
divisível por 3.
• 1 761 não é divisível por 6, pois, apesar de 1 + 7 + 6 + 1 = 15, 
que é divisível por 3, 1 761 é um número ímpar.
• 422 não é divisível por 6, pois, embora seja par, 4 + 2 + 2 = 8, 
que não é divisível por 3.
CálCulO mentAl
O número 2 520 é divisível por 4? 
E por 5? E por 6? É divisível por 4, 
por 5 e por 6.
ObjetivO
•	 Explorar os critérios de divisibili-
dade por 4, por 5 e por 6.
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OBJETIVO
• Apresentar aos alunos os critérios 
de divisibilidade.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Para explicar o critério de divisibilida-
de por 4 decompõe-se o número em 
uma soma de duas parcelas. A primei-
ra é formada pelos algarismos das 
dezenas e das unidades, e a outra 
corresponde à quantidade de cente-
nas que formam o número. Como 
todos os múltiplos de 100, 1 000 e as 
potências seguintes de 10 são divisí-
veis por 4, basta verificar o que ocorre 
com a primeira parcela (se for divisível 
por 4, o número também o é).
O critério de divisibilidade por 5 é 
simples e pode ser justificado com 
base na regularidade existente na 
tabuada do 5. 
Para determinar se um número é di-
visível por 6, basta usar os critérios 
apresentados para os números 2 e 3, 
uma vez que 6 pode ser escrito da 
forma: 6 = 2 × 3.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
O critério de divisibilidade por 7 é o único cri-
tério entre os números de 2 a 10 que usa um 
recurso de recorrência. Observe o enunciado:
Um número natural é divisível por 7 se, ao mul-
tiplicarmos o último dígito desse número por 2, 
e subtrairmos esse resultado do número ini cial 
sem o algarismo das unidades, o resultado for 
múltiplo de 7.
Exemplo: verificar se o número 1 225 é divisível 
por 7.
O último dígito desse número é 5.
5 × 2 = 10
122 − 10 = 112 (Pode ainda não ser óbvio que 
esse número é divisível por 7. O processo pode 
ser repetido.)
O último dígito de 112 é 2.
2 × 2 = 4
11 − 4 = 7 (7 é divisível por 7) 
Logo, 112 é divisível por 7 e, portanto, 1 225 é 
divisível por 7.
169GUIA DIDÁTICO
Divisibilidade por 4, por 5 e por 6CAP 4
exercício resolviDo
•	 Em um mercado há 136 garrafas de refrigerante, e o gerente quer 
vendê-las em uma promoção, em engradados, mas sem que sobre 
nenhuma garrafa avulsa. É possível montar engradados com 4 gar-
rafas de refrigerante? E com 6 garrafas?
Resolução
 Para responder a essas perguntas, precisamos saber se 136 é divisível 
por 4 e se é divisível por 6. Como 136 termina em 36, e 36 é divisível por 
4, então 136 é divisível por 4. Embora 136 seja par (portanto, divisível 
por 2), 1 + 3 + 6 = 10, que não é divisível por 3. Logo, 136 não é divi-
sível por 6. Assim, para que não sobrem garrafas, só é possível montar 
engradados com 4 garrafas.
exercícios ProPostos
1 Determine, em cada item, se o número dado é divisível por 4, por 5 
ou por 6.
a) 632 É divisível por 4. b) 336 É divisível por 4 e por 6.
c) 815 É divisível por 5. d) 520 É divisível por 4 e por 5.
e) 642 É divisível por 6. f) 1 440 É divisível por 4, por 5 e por 6.
g) 750 É divisível por 5 e por 6. h) 3 921 
2 Descubra qual é o algarismo indicado por X no número 5 22X, sa-
bendo que esse número é divisível por 4, por 5 e por 6.
O algarismo 0.
3 O número 546 é divisível por6. Reordene os três algarismos do nú-
mero 546 de modo a obter um número que seja:
a) divisível por 4. 456 ou 564.
b) divisível por 5. 465 ou 645.
4 Um número é divisível por 30 quando é divisível por 5 e por 6 e é 
divisível por 20 quando é divisível por 5 e por 4. Sabendo disso, res-
ponda às perguntas.
a) O número 9 320 é divisível por 20? E por 30?
É divisível por 20, mas não é divisível por 30.
b) O número 8 160 é divisível por 20? E por 30?
É divisível por 20 e por 30.
c) O número 7 630 é divisível por 20? E por 30?
Não é divisível nem por 20, nem por 30.
1 a) 32 é divisível por 4. 632 não termina 
em 0 ou 5. 632 é par, mas 6 + 3 + 2 = 
= 11, e 11 não é divisível por 3.
 b) 36 é divisível por 4. 336 não termina 
em 0 ou 5. 336 é par, 3 + 3 + 6 = 12, e 
12 é divisível por 3.
 c) 15 não é divisível por 4. 815 termina 
em 5. 815 é ímpar.
 d) 20 é divisível por 4. 520 termina em 
0. 520 é par, mas 5 + 2 + 0 = 7, e 7 
não é divisível por 3.
 e) 42 não é divisível por 4. 642 não 
termina em 0 ou 5. 642 é par, 6 + 4 + 
+ 2 = 12, e 12 é divisível por 3.
 f) 40 é divisível por 4. 1 440 termina 
em 0. 1 440 é par, 1 + 4 + 4 + 0 = 9, e 
9 é divisível por 3.
 g) 50 não é divisível por 4. 750 termina 
em 0. 750 é par, 7 + 5 + 0 = 12, e 12 é 
divisível por 3.
 h) 21 não é divisível por 4. 3 921 não 
termina em 0 ou 5. 3 921 é ímpar.
3 a) Os dois últimos algarismos devem 
ser divisíveis por 4: 456 ou 564.
 b) O último algarismo deve ser 5: 
465 ou 645.
4 a) 20 é divisível por 4, 9 320 termina 
em 0, 9 320 é par, 9 + 3 + 2 + 0 = 14, e 
14 não é divisível por 3. Então, 9 320 
é divisível por 4 e por 5 e, portanto, 
por 20.
 b) 60 é divisível por 4, 8 160 termina 
em 0, 8 160 é par, 8 + 1 + 6 + 0 = 15, 
e 15 é divisível por 3. Então, 8 160 
é divisível por 4, por 5 e por 6 e, 
portanto, por 20 e por 30.
 c) 30 não é divisível por 4, 7 630 
termina em 0, 7 630 é par, mas 
7 + 6 + 3 + 0 = 16, e 16 não é 
divisível por 3. Então, 7 630 
é divisível por 5, mas não por 4, 
nem por 6. Portanto, não é divisível 
por 20, nem por 30.
Não é divisível nem por 4, nem 
por 5, nem por 6.2 Para ser divisível por 5, devemos ter 
X = 0 ou X = 5. Se X = 0, então 5 220 é 
divisível por 4 (20 é divisível por 4) e é 
divisível por 6 (5 220 é par, 5 + 2 + 2 + 
+ 0 = 9, e 9 é divisível por 3). Se X = 5, 
então 5 225 não é divisível por 4 (25 
não é divisível por 4), nem é divisível 
por 6 (5 220 é ímpar). Então, X = 0.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Os alunos têm a oportunidade de 
aplicar os critérios de divisibilidade 
apresentados para resolver o exercí-
cio 1. Se necessário, para a realização 
do exercício 2, sugira aos alunos que 
considerem todas as possibilidades 
para o algarismo indicado por X e 
que eliminem aquelas que não sa-
tisfizerem todos os critérios ao mes-
mo tempo.
O exercício 4 propõe uma reflexão 
sobre outros critérios de divisibilida-
de, empregando raciocínio análogo 
ao usado para se determinar o critério 
de divisibilidade para o número 6. 
Verifique se os alunos percebem essa 
relação. Se achar pertinente, oriente-
-os a reler a explicação desse critério.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Determine os possíveis algarismos 
que podem substituir “?” em cada 
caso.
a) 1 2?4 é divisível por 4.
b) 4 56? é divisível por 6.
c) 35 76? é divisível por 5.
d) 3?4 é divisível por 6.
e) 15 ?24 é divisível por 4.
Resolução
a) 0; 2; 4; 6 ou 8.
b) 0 ou 6.
c) 0 ou 5.
d) 2; 5 ou 8.
e) Qualquer algarismo.
170 GUIA DIDÁTICO
CAP 4 Divisibilidade por 8, por 9 e por 10
Critério de divisibilidade por 8
Temos que 1 000 é divisível por 8, pois 125 × 8 = 1 000. Dessa 
maneira, veja como podemos verificar se o número 31 520 é divisí-
vel por 8.
31 520 = 31 × 1 000 + 520
É divisível por 8. Basta verificar se também 
é divisível por 8.
Portanto, 31 520 é divisível por 8, pois o número formado pelos 
seus três últimos algarismos, 520, é divisível por 8, já que 520 = 8 × 65. 
Analogamente, para verificar se um número é divisível por 8, basta 
observar se os seus três últimos algarismos formam um número 
divisível por 8.
Exemplos
• 2 368 é divisível por 8, pois 368 é divisível por 8.
• 11 238 não é divisível por 8, pois 238 não é divisível por 8.
Critério de divisibilidade por 9
O critério de divisibilidade por 9 é bem parecido com o critério 
de divisibilidade por 3. Veja o que ocorre quando somamos os alga-
rismos dos números nos exemplos a seguir:
• 1 458 é divisível por 9, pois 9 × 162 = 1 458;
1 + 4 + 5 + 8 = 18, que é divisível por 9.
• 289 não é divisível por 9, pois 9 × 32 + 1 = 289;
2 + 8 + 9 = 19, que não é divisível por 9.
O que foi observado nesses exemplos é válido para qualquer 
número natural, ou seja, se a soma dos algarismos do número for 
divisível por 9, esse número é divisível por 9.
Critério de divisibilidade por 10
Ao multiplicar os números naturais por 10, obtemos números 
que terminam em zero. Dessa maneira, podemos usar esse fato 
para definir um critério de divisibilidade por 10: um número é divi-
sível por 10 quando seu último algarismo é 0.
Exemplos
• 86 não é divisível por 10, pois seu último algarismo não é 0.
• 6 130 é divisível por 10, pois seu último algarismo é 0.
Multiplicação por 10
Para obter o produto de um nú-
mero natural por 10, basta acres-
centar um algarismo 0 no fim do 
número. Por exemplo:
• 505 × 10 = 5 050
• 147 × 10 = 1 470
• 3 910 × 10 = 39 100
• 20 000 × 10 = 200 000
Mais ainda
ObjetivO
•	 Explorar os critérios de divisibili-
dade por 8, por 9 e por 10.
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OBJETIVO
• Apresentar aos alunos os critérios 
de divisibilidade.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
O critério de divisibilidade por 8 é ex-
plorado de modo análogo ao que foi 
proposto no caso do número 4, ou seja, 
a decomposição. Destaque que a pri-
meira parcela é formada pelos algaris-
mos das centenas, das dezenas e das 
unidades, e a outra corresponde à 
quantidade de unidades de milhar que 
formam o número. Como todos os 
múltiplos de 1 000, 1 0 000 e as potên-
cias seguintes de 10 são divisíveis por 
8, basta verificar o que ocorre com a 
primeira parcela (se for divisível por 8, 
o número também o é).
O critério de divisibilidade por 9 é 
análogo ao de divisibilidade por 3. 
A soma dos algarismos deve ser divi-
sível por 9.
O critério de divisibilidade por 10 é 
trivial. Use o boxe Mais ainda para 
reforçar o procedimento de multipli-
cação por 10 (e suas potências) acres-
centando zeros à direita do número.
171GUIA DIDÁTICO
Divisibilidade por 8, por 9 e por 10CAP 4
exercícios ProPostos
1 Verifique se os números abaixo são divisíveis por 8, por 9 ou por 10.
a) 1256 É divisível por 8. b) 9 144 É divisível por 8 e por 9.
c) 2187 É divisível por 9. d) 4 320 É divisível por 8, por 9 e por 10.
e) 3100 É divisível por 10. f) 6 300 É divisível por 9 e por 10.
g) 5 612 h) 5 480 É divisível por 8 e por 10.
2 Mário tem de escolher um número para concorrer a um sorteio. 
Como seus três filhos têm, respectivamente, 8, 9 e 10 anos, ele quer 
escolher um número que seja divisível por 8, por 9 e por 10. Tendo 
à sua escolha os números 24, 160, 33 150 e 54 360, qual deles Mário 
deve escolher?
54 360
3 Escreva um número menor do que 2 000, com quatro algarismos:
a) que seja divisível por 8, mas não por 9 nem por 10.
Exemplo de resposta: 1 328
b) que seja divisível por 9, mas não por 8 nem por 10.
Exemplo de resposta: 1 926
c) que seja divisível por 8 e por 9, mas não por 10.
Exemplo de resposta: 1 872
d) que seja divisível por 8, por 9 e por 10.
Exemplo de resposta: 1 440
e) que não seja divisível nem por 8, nem por 9, nem por 10.
Exemplo de resposta: 1 235
exercício resolviDo
•	 Na época da Páscoa, uma loja decidiu montar um kit especial, com-
posto de trufas de chocolate dentro de uma caneca. A loja possui em 
seu estoque 1720 trufas. É possível montar kits com 8trufas sem que 
sobre nenhuma? E com 9 trufas? E com 10 trufas?
Resolução
 Vamos verificar a divisibilidade de 1720 por 8, por 9 e por 10. Como 
720 é divisível por 8, pois 8 × 90 = 720, 1720 também é divisível por 8. 
Como 1 + 7 + 2 + 0 = 10, que não é divisível por 9, então 1720 não é 
divisível por 9. Como 1720 termina em zero, é divisível por 10. Logo, para 
que não sobrem trufas, é possível montar kits com 8 ou 10 trufas cada.
Não é divisível nem por 8, 
nem por 9, nem por 10.
1 a) 256 é divisível por 8. 1 + 2 + 5 + 6 = 14, 
e 14 não é divisível por 9. 1 256 não 
termina em 0.
 b) 144 é divisível por 8. 9 + 1 + 4 + 4 = 18, 
e 18 é divisível por 9. 9 144 não 
termina em 0.
 c) 187 não é divisível por 8. 2 + 1 + 8 + 
+ 7 = 18, e 18 é divisível por 9. 2 187 
não termina em 0.
 d) 320 é divisível por 8. 4 + 3 + 2 + 0 = 9, e 
9 é divisível por 9. 4 320 termina em 0.
 e) 100 não é divisível por 8. 3 + 1 + 0 + 0 = 
= 4, e 4 não é divisível por 9. 3 100 
termina em 0.
 f) 300 não é divisível por 8. 6 + 3 + 0 + 0 = 
= 9, e 9 é divisível por 9. 6 300 
termina em 0.
 g) 612 não é divisível por 8. 5 + 6 + 1 + 2 = 
= 14, e 14 não é divisível por 9. 5 612 
não termina em 0.
 h) 480 é divisível por 8. 5 + 4 + 8 + 0 = 
= 17, e 17 não é divisível por 9. 5 480 
termina em 0.
2 Para que um número seja divisível por 
8, por 9 e por 10, ele deve terminar 
em 0, a soma de seus algarismos deve 
ser um múltiplo de 9, e os três últimos 
algarismos devem formar um número 
múltiplo de 8. O único número que 
satisfaz essas condições é o 54 360.
3 a) O número não pode terminar em 
0, a soma de seus algarismos não 
pode ser divisível por 9, e os últimos 
três algarismos devem formar um 
número divisível por 8.
 b) O número não pode terminar em 0, 
a soma de seus algarismos deve 
ser divisível por 9, e os três últimos 
algarismos não podem formar um 
número divisível por 8.
 c) O número não pode terminar em 0, 
a soma de seus algarismos deve 
ser divisível por 9, e os três últimos 
algarismos devem formar um 
número divisível por 8.
 d) O número deve terminar em 0, a 
soma de seus algarismos deve ser 
divisível por 9, e os três últimos 
algarismos devem formar um 
número divisível por 8.
 e) O número não pode terminar em 
0, a soma de seus algarismos não 
pode ser divisível por 9, e os três 
últimos algarismos não podem 
formar um número divisível por 8.
124
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Os alunos têm a oportunidade de apli-
car os critérios de divisibilidade apre-
sentados para resolver o exercício 1. 
Para resolver o exercício 2 eles podem 
eliminar inicialmente o 24, já que não 
é divisível por 10, e depois usar o cri-
tério de divisibilidade por 9. Final-
mente, é só verificar que o número 
restante é divisível por 8.
No exercício 3, observe que o algaris-
mo da ordem das unidades de milhar 
é 1. Os alunos precisam determinar 
quais são os algarismos que ocupam 
as demais ordens com base nas con-
dições apresentadas.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Veja o raciocínio de Paulo para 
determinar se 1 944 é divisível por 8.
 Ele escreveu: 1 944 = 1 000 + 944.
 Pensou: 1 944 é divisível por 8 se 
944 o for.
 Como Paulo não sabe se 944 é 
divisível por 8, ele pensou no 
seguinte:
 944 é um número par. Logo, é 
divisível por 2.
 A metade de 944 é 472.
 472 = 400 + 72
 O número 72 é divisível por 4.
 Desse modo, Paulo concluiu que 
1 944 é divisível por 8.
 Agora é a sua vez.
a) Explique o raciocínio de Paulo.
b) Determine quais dos números a 
seguir são divisíveis por 8 usando 
raciocínio semelhante ao de Paulo: 
2 584; 3 792 e 4 786.
Resolução
a) Paulo não sabe se 944 é múltiplo de 8, 
mas considera que 8 = 2 × 4. 
Logo, para 944 ser divisível por 8, deve 
ser divisível por 2; e o resultado dessa 
divisão deve ser divisível por 4 
(ou vice-versa). Como 944 é par, 
basta verificar se a metade desse 
número é divisível por 4, como de fato 
foi comprovado, o que permitiu a 
conclusão de Paulo.
b) 2 584 e 3 792.
172 GUIA DIDÁTICO
CAP 4 Múltiplos de um número natural
Chamamos de múltiplo de um número natural todo número 
que seja o resultado de uma multiplicação de dois números natu-
rais em que esse número é um dos fatores.
Para determinar os múltiplos de um número, multiplicamos 
esse número pelos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc., anotan-
do os resultados obtidos. Por exemplo, para escrever múltiplos de 
14, fazemos:
14 × 0 = 0 14 × 2 = 28 14 × 4 = 56
14 × 1 = 14 14 × 3 = 42 14 × 5 = 70
Portanto, os múltiplos de 14 são os números 0, 14, 28, 42, 56, 70, … 
Podemos indicar os múltiplos de 14 da seguinte maneira:
M(14): 0, 14, 28, 42, 56, 70, …
Observe que podemos prosseguir nos cálculos das multiplica-
ções indefinidamente, obtendo infinitos múltiplos de um número. 
Isso é possível porque existem infinitos números naturais.
Outra maneira de obter múltiplos de um número natural 
é somá-lo sucessivamente, iniciando em 0, conforme mostra o 
esquema abaixo:
M(14): 0, 14, 28, 42, 56, 70, …
+14 +14 +14 +14+14
Observe, nos exemplos a seguir, os múltiplos de 6 e os de 9.
Exemplos
• Múltiplos de 6
 M(6): 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …
• Múltiplos de 9
 M(9): 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, …, 90, 99, 108, …
Nos exemplos, há dois fatos que podem ser destacados. 
Um deles é que o número zero aparece nas duas sequências de 
múltiplos. O outro é que, quando comparamos as sequências 
dos múltiplos, percebemos que há alguns números que são co-
muns, por exemplo, 18 é múltiplo de 6 e também de 9. Por isso, 
o número 18 é chamado de múltiplo comum de 6 e 9. Representa-
mos os múltiplos comuns de 6 e 9 por M(6, 9): 0, 18, 36, 54, …
O zero é múltiplo de todo número natural.
Um número é chamado múltiplo comum de dois ou mais números na-
turais quando é múltiplo de cada um dos números naturais em questão.
Os múltiplos comuns a dois 
números naturais formam tam-
bém uma sequência de múlti-
plos. No exemplo ao lado, os 
múltiplos comuns de 6 e 9 são 
0, 18, 36, 54, ..., que são os múl-
tiplos de 18.
Nessas condições, responda: 
quais números naturais são 
múltiplos comuns de 4 e 6? 
Eles formam a sequência dos 
múltiplos de qual número 
natural? 
Para refletir
0, 12, 24, 36, 48, ... 
Dos múltiplos de 12.
ObjetivOs
•	 Explorar o conceito de múltiplo de 
um número natural.
•	 Identificar os múltiplos de um 
número natural.
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OBJETIVOS
• Retomar o conceito de múltiplo 
de um número natural.
• Discutir como identificar os 
múltiplos de um número natural.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
O conceito de múltiplo de um núme-
ro natural já foi abordado quando se 
tratou da divisibilidade entre dois nú-
meros naturais. Nesse estudo, verifi-
cou-se que na divisão exata de um 
número y por um número x, afirma-se 
que y é múltiplo de x.
Exemplo: na divisão 12 : 4 = 3, o resto 
é 0, ou seja, 12 é múltiplo de 4.
Nesta aula, mostre que os múltiplos 
de um número natural n são obtidos 
por meio do produto de n pelos nú-
meros naturais, o que determina a 
sequência:
M(n): 0 × n, 1 × n, 2 × n, 3 × n, 
4 × n, ...
Se julgar pertinente, registre esse mo-
delo genérico de sequência de múl-
tiplos na lousa e a sequência dos 
números naturais (IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, ...}). Peça aos alunos que escolham 
um valor arbitrário para n e registre a 
sequência dos múltiplos desse núme-
ro na lousa. Escreva tantas sequências 
quantas achar necessário.
Use exemplos de sequências que per-
mitam visualizar a existência de múl-
tiplos comuns entre elas. O boxe Para 
refletir pode ser usado para investi-
gar se os alunos compreenderam o 
conceito de múltiplo comum de nú-
meros naturais.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Observe as sequências de múltiplos a seguir.
 M(2): 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...
 M(3): 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...
 M(4): 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...
 Faça o que se pede:
a) Determineos quatro primeiros números da 
sequência M(2, 3).
b) Determine os quatro primeiros números 
da sequência M(2, 4).
c) Determine os dois primeiros números da 
sequência M(2, 3, 4).
Resolução
a) M(2, 3): 0, 6, 12 e 18.
b) M(2, 4): 0, 4, 8 e 12.
c) M(2, 3, 4): 0 e 12.
173GUIA DIDÁTICO
CAP 4
ObjetivO
•	 Identificar os múltiplos de um 
número natural.
exercício resolviDo
•	 Uma empresa vende ração para cães em sacos que podem ter 
3 quilogramas, 10 quilogramas ou 20 quilogramas. No momento, há 
280 quilogramas de ração aguardando para ser embalados. É possí-
vel embalar todos os 280 quilogramas apenas em sacos de 3 quilo-
gramas? E de 10 quilogramas? E de 20 quilogramas?
Resolução
 Precisamos verificar se 280 é múltiplo de 3, de 10 ou de 20. Isso é o 
mes mo que verificar se 280 é divisível por esses números. Como 
2 + 8 + 0 = 10, que não é divisível por 3, então 280 não é múltiplo de 3. 
Como 280 termina em zero, é múltiplo de 10. E como 280 = 20 × 14, 280 
é múltiplo de 20. Logo, se for preciso utilizar apenas um tipo de emba-
lagem, a empresa deve optar por sacos de 10 quilogramas ou por sacos 
de 20 quilogramas para embalar todos os 280 quilogramas de ração.
exercícios ProPostos
1 Classifique cada afirmativa a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F).
a) 241 é múltiplo de 7. ( F ) b) 864 é múltiplo de 8 e de 9. ( V )
c) 324 é múltiplo de 18. ( V ) d) 700 é múltiplo de 15 e de 25. ( F )
e) 512 é múltiplo de 16. ( V ) f) 1 981 é múltiplo de 19. ( F )
2 Escreva o que é pedido em cada item.
a) Os múltiplos de 7 que são maiores do que 60 e menores do que 100.
63, 70, 77, 84, 91 e 98.
b) Os múltiplos de 19 que são menores do que 150.
0, 19, 38, 57, 76, 95, 114 e 133.
c) Os múltiplos de 27 que estão entre 200 e 300.
216, 243, 270 e 297.
3 Indique:
a) Os dez primeiros múltiplos de 16.
0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128 e 144.
b) Os dez primeiros múltiplos de 24.
0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192 e 216.
c) Os quatro primeiros múltiplos comuns de 16 e 24.
0, 48, 96 e 144.
d) Os números listados no item c são múltiplos de qual número?
48
Exercícios
1 a) 241 7
31 34
3
 b) 864 8
064 108
0
 864 9
54 96
0
 c) 324 18
144 18
0
 d) 700 15
100 46
10
 e) 512 16
32 32
0
 f) 1 981 19
081 104
5
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OBJETIVO
• Propor a reflexão sobre o conceito 
de múltiplo de um número 
natural, bem como sua aplicação.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Use o Exercício resolvido para con-
versar com os alunos sobre aplica-
ções do conceito de múltiplo de um 
número natural.
Para resolver o exercício 1, é inviável 
exibir a sequência dos múltiplos de 
cada número. Os alunos devem asso-
ciar a definição de múltiplo ao fato de 
ser um conceito com base em divisão 
exata. Nos itens b e d essa condição 
deve ser verificada para os dois nú-
meros naturais em questão.
Na resolução do item d do exercício 3, 
espera-se que os alunos percebam in-
tuitivamente que a sequência obtida 
no item c é da forma 48 × n, em que 
n é um número natural.
174 GUIA DIDÁTICO
exercícios
4 Iraci tem uma granja na qual cria galinhas e codornas. Todos os dias, 
ela leva a produção de ovos da granja para ser vendida em um mer-
cado da cidade onde mora. Os ovos de galinha são agrupados em 
dúzias, e os de codorna, em grupos de 30. Hoje Iraci coletou na gran-
ja 720 ovos de galinha e 850 ovos de codorna. É possível embalar 
todos sem que sobre nenhum?
É possível embalar apenas todos os ovos de galinha.
5 Uma lanchonete vende um trio que inclui sanduíche, batata frita e 
refrigerante por 17 reais. Ao final de um dia, é possível que tenha 
sido arrecadado um total de 837 reais apenas com a venda desses 
trios? E um total de 952 reais?
Não. Sim.
6 Um navio que transporta alimentos atraca no Porto de Santos de 
três em três meses; um que transporta aparelhos eletrônicos aporta 
no mesmo local de cinco em cinco meses; e outro que transporta te-
cidos atraca nesse mesmo porto de seis em seis meses. Se em janeiro 
de 2012 esses três navios aportaram em Santos, responda:
a) Em que outros meses de 2012 o navio que transporta alimentos deve 
atracar no Porto de Santos?
Abril, julho e outubro.
b) O navio que transporta eletrônicos deve atracar no Porto de Santos 
em que outros meses de 2012?
Junho e novembro.
c) E em que outros meses de 2012 o navio que transporta tecidos deve 
aportar em Santos?
Julho.
d) Em que mês e ano, depois de janeiro de 2012, esses três navios de-
verão aportar no mesmo mês em Santos?
Em julho de 2014.
7 Júpiter leva cerca de 12 anos terrestres para fazer o movimento de 
translação, ou seja, para dar uma volta completa em torno do Sol.
a) Em 680 anos, Júpiter terá completado um número inteiro de voltas? 
Justifique sua resposta.
Não, pois 680 não é múltiplo de 12.
b) Encontre o número mais próximo de 1000 que corresponda a uma 
quantidade de anos suficiente para Júpiter completar um número 
inteiro de voltas.
O múltiplo de 12 mais próximo de 1000 é 996.
4 720 12
00 60
 850 30
250 28
10
6 d) Para que os três aportem em 
um mesmo mês, deve se passar 
o menor período de meses 
correspondente a um múltiplo 
comum de 3, 5 e 6. Como M(3, 5, 6) = 
= 0, 30, 60, ..., devem se passar 30 
meses, ou seja, dois anos e meio 
depois de janeiro de 2012.
7 a) 680 12
80 56
8
 b) 1000 12
40 83
4
 Portanto, 1 000 − 4 = 996 é múltiplo 
de 12.
5 837 17
157 49
4
 952 17
102 56
0
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• O piso de uma sala de 7 m de 
comprimento por 6 m de largura 
será revestido. Observe os modelos 
de lajota disponíveis:
Lajota I Lajota II
5 dm
2 dm
7 dm
3 dm
 Sabendo que as peças não serão 
recortadas, e que o preço unitário 
da lajota I é R$ 6,00 e o da lajota II 
é R$ 5,00, responda às questões a 
seguir.
 Dica: 1 metro (m) equivale a 
10 decímetros (dm).
a) É possível revestir todo o piso 
usando apenas a lajota I? Em caso 
afirmativo, quantas lajotas serão 
necessárias?
b) É possível revestir todo o piso 
usando apenas a lajota II? Em caso 
afirmativo, quantas lajotas serão 
necessárias?
c) Que tipo de lajota deve ser 
escolhido de modo que se gaste 
o menor valor possível com esse 
material?
Resolução
a) Sim, pois 60 é múltiplo de 3, e 70 é 
múltiplo de 5. Para revestir o piso, 
podem ser feitas 20 fileiras 
(60 : 3 = 20) de 14 lajotas 
(70 : 5 = 14) cada uma, o que sugere 
o uso de 280 lajotas (20 × 14 = 280).
b) Sim, pois 60 é múltiplo de 2, e 70 é 
múltiplo de 7. Para revestir o piso, 
podem ser feitas 30 fileiras 
(60 : 2 = 30) de 10 lajotas 
(70 : 7 = 10) cada uma, o que sugere 
o uso de 300 lajotas (30 × 10 = 300).
c) Gasto com a lajota I: R$ 1.680,00 
(280 × 6 = 1 680).
 Gasto com a lajota II: R$ 1.500,00 
(300 × 5 = 1 500).
 Deve ser escolhida a lajota II para se 
gastar o menor valor possível com 
esse material.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
O movimento dos planetas do sistema solar 
ao redor do Sol descreve trajetórias elípticas 
de diferentes excentricidades. Esse movi-
mento é chamado de translação.
Essa nomenclatura pode ser estendida a 
outras situações; na matemática, ela desig-
na uma transformação no plano.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No exercício 5, espera-se que os alunos per-
cebam que o valor total arrecadado com a 
venda de uma quantidade de produtos é 
múltiplo do valor unitário correspondente.
A resolução do item d do exercício 6 é 
obtida determinando-se o menor múlti-
plo comum de 3, 5 e 6, tema que será 
explorado posteriormente.
175GUIA DIDÁTICO
CAP 4 Divisores de um número natural
É sabido que, se um número natural é divisível por outro, então 
o segundo é um divisor do primeiro. Encontrar os divisores de um 
número significa, portanto, encontrar todos os números naturais 
pelos quais o número em questão é divisível.
Por exemplo, 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Por isso, os divi-
sores de 12, que vamos representar por D(12), são D(12): 1, 2, 3, 4, 
6, 12. Analogamente,podemos escrever que D(28): 1, 2, 4, 7, 14, 28 
e D(5): 1, 5.
Todo número natural maior do que 1 tem pelo menos dois divi-
sores: o número 1 e ele próprio. Para encontrar os demais divisores, 
caso existam, podemos escrever todos os produtos de dois núme-
ros naturais que resultem no número dado.
Exemplo
Vamos determinar os divisores de 36.
Sabemos que 36 = 1 × 36, 36 = 2 × 18, 36 = 3 × 12, 36 = 4 × 9 e 
36 = 6 × 6. Essas são as únicas maneiras de se escrever 36 como 
produto de dois números naturais. Portanto, D(36): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 
12, 18, 36.
Observação
Assim como no caso dos múltiplos de um número natural, te-
mos alguns números que são divisores comuns de dois ou mais 
números. Nos exemplos acima, 1, 2 e 4 são divisores tanto de 12 
quanto de 28. Por isso, dizemos que eles são divisores comuns de 
12 e 28, representados por D(12, 28): 1, 2 e 4. Outro fato que pode-
mos destacar é que, diferentemente da quantidade de múltiplos 
de um número, a quantidade dos divisores de um número natural 
é finita. Temos ainda que o número 1 está presente em todas as 
listagens de divisores.
O número 1 é divisor de todos os números naturais.
Um número é chamado divisor comum de dois ou mais números na-
turais quando é divisor de cada um dos números naturais em questão.
Converse com os colegas e 
responda:
• Qual número é divisível por 
qualquer número natural?
• Qual número natural só tem 
um divisor?
Para refletir
Números perfeitos
Um número natural cuja soma 
dos divisores seja igual ao do-
bro do número é chamado de 
número perfeito. Por exemplo, 
o número 6 é perfeito, pois D(6): 
1, 2, 3, 6 e 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 
= 2 × 6. Os números 28, 496 
e 8 128 também são números 
perfeitos. Até hoje os matemá-
ticos estudam esses números e 
tentam descobrir padrões en-
tre eles.
Mais ainda
Vamos analisar a situação a seguir.
Maria Beatriz recebeu uma tarefa de sua professora: traçar so-
bre as linhas de uma malha quadriculada retângulos que ocupem 
exatamente 18 quadradinhos da malha.
O número zero.
O número 1.
ObjetivOs
•	 Explorar o conceito de divisor de 
um número natural.
•	 Identificar os divisores de um 
número natural.
128
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OBJETIVOS
• Retomar o conceito de divisor de 
um número natural. 
• Dar aos alunos condições de 
identificar os divisores de um 
número natural.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retome o conceito de divisor de um 
número natural n e mostre aos alunos 
como são determinados os divisores 
de n, representados por D(n). Use o 
boxe Para refletir para verificar a 
compreensão sobre esse conceito e 
registre as principais conclusões.
Escreva na lousa, com a ajuda dos 
alunos, os divisores de dois números 
naturais, por exemplo 8 e 20. Chame 
a atenção para o fato de que os divi-
sores comuns entre m e n são repre-
sentados por D(m, n). Converse com 
eles sobre as diferenças existentes 
entre o conceito de múltiplo comum 
e o de divisor comum e sobre as par-
ticularidades de cada um. Particulari-
dades: a divisão de um múltiplo 
comum por m ou por n é exata; o 
mesmo ocorre com a divisão de m ou 
de n por qualquer um dos divisores 
comuns a eles. Diferenças: há infinitos 
múltiplos comuns de m e n, ao passo 
que m e n podem não ter divisores co-
muns além do número 1.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Os gregos da Antiguidade já sabiam 
da existência dos números perfei-
tos. Entretanto, conheciam somen-
te os quatro primeiros. Somente no 
século XV se adicionou outro núme-
ro a essa lista.
Euclides já havia demonstrado que 
os números perfeitos são da forma 
2n − 1(2n − 1), em que 2n − 1 é um 
número primo. Euler demonstrou que 
todo número perfeito par é obtido 
por essa expressão. Aliás, a existên-
cia de números ímpares perfeitos é 
uma questão aberta (não se sabe se 
eles existem).
176 GUIA DIDÁTICO
1
16
4
4
2
8
1
18
2
9
Divisores de um número natural
Todos os números que são qua-
drados perfeitos apresentam 
quantidade ímpar de divisores.
para reCOrdar
Números quadrados 
perfeitos
Os números 1, 4, 9, 16, ... são 
chamados de números qua-
drados perfeitos, pois podem 
ser escritos na forma de uma 
potência de expoente 2.
• 1 = 12 • 9 = 32
• 4 = 22 • 16 = 42
Todos os números que indicam as medidas dos lados dos re-
tângulos são divisores de 18. Então, para saber se Maria Beatriz 
não se esqueceu de nenhum retângulo, vamos determinar D(18).
Sabemos que 18 = 1 × 18, 18 = 2 × 9 e 18 = 3 × 6. Portanto, D(18): 
1, 2, 3, 6, 9, 18. Logo, Maria Beatriz se esqueceu do retângulo de 
lados 3 e 6.
Observação
Quando procuramos os divisores de um número por meio da 
escrita de todos os produtos que resultam nele, em geral determi-
namos os divisores aos pares. Isso ocorre porque ambos os fatores 
são divisores do número em questão. Porém, nem todo número 
natural tem uma quantidade par de divisores. Por exemplo:
D(16): 1, 2, 4, 8, 16, em um total de cinco divisores.
O número 16 apresenta uma quantidade ímpar de divisores. 
Veja o que acontece quando escrevemos as multiplicações de nú-
meros naturais que resultam nesse número:
16 = 1 × 16, 16 = 2 × 8 e 16 = 4 × 4.
Ao observar essas multiplicações, percebemos que o núme-
ro 16 é um quadrado perfeito (16 = 42). Por isso, quando deter-
minamos os divisores de 16 geometricamente, uma das figuras 
é um quadrado:
Veja a resposta que Maria Beatriz apresentou:
Ao desenhar 
todos os retângulos que 
satisfazem as condições da tarefa 
proposta, determinam-se 
geometricamente todos 
os divisores de 18.
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Use as representações geométricas 
em malha quadriculada para mostrar 
aos alunos um recurso adicional a fim 
de determinar os divisores de um nú-
mero natural. Peça a eles que repro-
duzam as representações em papel 
quadriculado e que, em seguida, de-
terminem os divisores de 20 e de 25. 
Se necessário, oriente-os sobre o uso 
desse material, por meio de represen-
tações na lousa.
Retome o conceito de número qua-
drado perfeito e relacione esse con-
ceito com a representação geométrica 
dos divisores desse tipo de número.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Marcos propôs um desafio a 
Amanda: ele pensaria em um 
número e ela lhe faria duas 
perguntas para tentar descobrir o 
número escolhido.
 Primeira pergunta: “Esse 
número está localizado entre 
quais números naturais na reta 
numérica?”.
 Resposta: “É maior do que 40 e 
menor do que 50”.
 Segunda pergunta: “O número de 
divisores desse número é par ou é 
ímpar?”.
 Resposta: “Ímpar”.
 Sabendo que Amanda resolveu o 
desafio, em que número Marcos 
pensou?
Resolução
Se o número de divisores do número 
pensado por Marcos é ímpar, então esse 
número é um quadrado perfeito.
O único quadrado perfeito maior do que 
40 e menor do que 50 é 49.
177GUIA DIDÁTICO
1
12 3
4
6
8
24
2
17
1
CAP 4
ObjetivO
•	 Identificar os divisores de um nú-
mero natural.
exercícios ProPostos
1 Use a malha quadriculada abaixo para determinar geometricamente 
os divisores de:
a) 17 1 e 17.
b) 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
2 Encontre todos os divisores de cada um dos números.
a) 48 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48.
b) 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.
c) 23 1 e 23.
d) 84 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84.
e) 90 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 e 90.
f) 130 1, 2, 5, 10, 13, 26, 65 e 130.
3 Elisa utilizou uma calculadora para verificar se os números 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9 e 10 são divisores de 1234 567 890. Faça o mesmo e assinale 
os divisores de 1234 567 890.
 ( X ) 2
 ( X ) 3
 ( ) 4
 ( X ) 5
 ( X ) 6
 ( ) 7
 ( ) 8
 ( X ) 9
 ( X ) 10
4 Dois números são chamados de amigáveis se a soma dos divisores 
de um deles (exceto ele próprio) é igual ao outro. Vamos verificar se 
o número 220 é amigável com algum outro número. Para isso, faça o 
que se pede.
a) Determine D(220).
D(220): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220.
Exercícios
2 a) 48 = 1 × 48= 2 × 24 = 3 × 16 = 
= 4 × 12 = 6 × 8
 b) 60 = 1 × 60 = 2 × 30 = 3 × 20 = 
= 4 × 15 = 5 × 12 = 6 × 10
 c) 23 = 1 × 23
 d) 84 = 1 × 84 = 2 × 42 = 3 × 28 = 
= 4 × 21 = 6 × 14 = 7 × 12
 e) 90 = 1 × 90 = 2 × 45 = 3 × 30 = 
= 5 × 18 = 6 × 15 = 9 × 10
 f) 130 = 1 × 130 = 2 × 65 = 5 × 26 = 
= 10 × 13
4 a) 220 = 1 × 220 = 2 × 110 = 
 = 4 × 55 = 5 × 44 = 10 × 22 = 11 × 20
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OBJETIVO
• Levar os alunos a determinar os 
divisores de um número natural.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No exercício 1, explore a representa-
ção geométrica para determinar os 
divisores dos números propostos. No 
exercício 2, use o método algébrico.
O conceito de números amigáveis é 
apresentado no exercício 4. Dois nú-
meros m e n são amigáveis se a soma 
dos divisores próprios de m é igual a 
n e se a soma dos divisores próprios 
de n é igual a m. Os pitagóricos acre-
ditavam que os números amigáveis 
possuíam propriedades místicas.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
O conjunto de divisores próprios 
de um número natural n é formado 
por todos os divisores de n cujo quo-
ciente entre n e tal divisor é maior do 
que 1, isto é, o conjunto dos divisores 
próprios de n é formado por todos 
os divisores de n, com exceção do 
próprio n.
178 GUIA DIDÁTICO
exercícios
b) Calcule a soma dos divisores de 220, exceto ele próprio.
284
c) Calcule D(n), em que n é a resposta do item b.
D(284): 1, 2, 4, 71, 142, 284.
d) Calcule a soma dos divisores de n, exceto o próprio n. E conclua: 220 
tem um par amigável?
Soma: 220. Portanto, 220 e 284 são amigáveis.
5 Observe a seguinte sequência de números, formada ao multiplicar 
os múltiplos de 3 maiores do que zero por 37:
 3 × 37 = 111
 6 × 37 = 222
 9 × 37 = 333
 12 × 37 = 444
 15 × 37 = 555
 …
a) Escreva os quatro próximos números que devem aparecer na 
se quên cia acima.
666, 777, 888 e 999.
b) Com base nessa sequência, determine quais são os divisores de 888.
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 37, 74, 148, 222, 296, 444 e 888.
6 Todos os divisores de 100 são mostrados em alguns dos balões a 
seguir. Circule-os.
 Agora, determine quais divisores de 100 também são divisores de:
a) 45 1 e 5.
b) 70 1, 2, 5 e 10.
c) 75 1, 5 e 25. 
d) 45, 70 e 75 1 e 5.
5 a) 18 × 37 = 666; 21 × 37 = 777; 
24 × 37 = 888 e 27 × 37 = 999.
 b) Como 888 = 24 × 37, os D(888) 
são todos os produtos dos D(24) 
com 37.
4 b) 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 
+ 55 + 110 = 284
 c) 284 = 1 × 284 = 2 × 142 = 4 × 71
 d) 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
6 a) D(45) = 1, 3, 5, 9, 15, 45
 b) D(70) = 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
 c) D(75) = 1, 3, 5, 15, 25, 75
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No exercício 5, espera-se que os 
alunos identifiquem a regularidade 
existente entre os resultados das 
multiplicações e, no item b, usem a 
igualdade 888 = 24 × 37 para deter-
minar os divisores de 888 com base 
nos divisores de 24, uma vez que 37 
é um número primo.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Observe os divisores dos números 
a seguir.
 D(1 184): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 
148, 296, 592, 1 184
 D(1 210): 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 
121, 242, 605, 1 210
 Os números 1 184 e 1 210 são 
números amigáveis?
Resolução
A soma dos divisores próprios de 1 184 
é igual a 1 210. A soma dos divisores 
próprios de 1 210 é igual a 1 184. Logo, 
1 184 e 1 210 são números amigáveis.
179GUIA DIDÁTICO
1 O fornecedor de laranjas de um feirante distribui as frutas em caixas que são montadas com quantidades 
inteiras de dúzias. Observe a imagem e responda:
Nesta caixa há 10 dúzias de laranjas.
a) Quantas laranjas há nessa caixa? 120 laranjas.
b) Esse fornecedor recebeu caixas maiores e vai aumentar a quantidade de laranjas em cada uma. Quais das 
opções a seguir indicam a possível quantidade de laranjas a ser embalada nas novas caixas? Marque com X.
 ( ) 150 laranjas ( X ) 144 laranjas ( )160 laranjas
 ( X ) 180 laranjas ( X ) 156 laranjas ( ) 200 laranjas
c) Como você pensou para responder à questão anterior? Converse com os colegas e com o professor.
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos verifiquem que apenas os números divisíveis por 12 correspondem às quantidades
que podem ser embaladas.
2 Leia a informação:
OUP 6EF2 MAT B02 CAP04 LP ICO 003 Fotografia de caixa com 
laranjas. Se possível, focalizada como na imagem de referência.
192 é divisível por 12, pois 192 = 12 × 16 + 0.
200 não é divisível por 12, pois 200 = 12 × 16 + 8.
resto
Com o auxílio da calculadora, complete os espaços a seguir:
a) 2 744 é divisível por 196 , pois 2 744 = 14 × 196 + 0.
b) 12 100 não é divisível por 95 , pois 12 100 = 95 × 127 + 35.
c) 7 412 não é divisível por 36, pois 7 412 = 36 × 205 + 32 .
3 Converse com os colegas e com o professor sobre outra maneira de justificar que 192 é divisível por 12.
Espera-se que os alunos relembrem o que foi estudado anteriormente citando que, para ser divisível por 12, o número deve
ser divisível por 2 e por 6 ao mesmo tempo ou então por 3 e por 4 ao mesmo tempo, pois 2 × 6 = 3 × 4 = 12. 
MAT CAP 4 Repertório conceitual: divisível
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OBJETIVOS
• Promover a reflexão dos alunos 
sobre o termo "divisível".
• Retomar a ideia da divisão 
como operação inversa 
da multiplicação.
ATIVIDADE COMPLEMENTAR
• Uma máquina que fabrica 
dispositivos eletrônicos produz 
750 unidades diariamente. Esses 
dispositivos são embalados 
em caixas para distribuição, 
de modo que todas as caixas 
tenham a mesma quantidade de 
dispositivos. Responda:
a) É possível embalar a produção 
diária dessa máquina em caixas 
com 25 unidades, sem que 
sobre algum dispositivo? E em 
embalagens com 100 unidades?
b) Se a produção diária dessa máquina 
fosse embalada em caixas com 
50 unidades, quantas caixas seriam 
necessárias?
Resolução
a) É possível embalar em caixas com 
25 unidades sem que sobre algum 
dispositivo, pois 750 é divisível por 25. 
Não é possível montar, nas mesmas 
condições, embalagens com 100 
unidades, pois 750 não é divisível 
por 100.
b) 15 caixas (750 : 50 = 15).
AMPLIE
Atividades do 
repertório conceitual:
http://oxbr.cc/48kAYj
180 GUIA DIDÁTICO
1 O fornecedor de laranjas de um feirante distribui as frutas em caixas que são montadas com quantidades 
inteiras de dúzias. Observe a imagem e responda:
Nesta caixa há 10 dúzias de laranjas.
a) Quantas laranjas há nessa caixa? 120 laranjas.
b) Esse fornecedor recebeu caixas maiores e vai aumentar a quantidade de laranjas em cada uma. Quais das 
opções a seguir indicam a possível quantidade de laranjas a ser embalada nas novas caixas? Marque com X.
 ( ) 150 laranjas ( X ) 144 laranjas ( )160 laranjas
 ( X ) 180 laranjas ( X ) 156 laranjas ( ) 200 laranjas
c) Como você pensou para responder à questão anterior? Converse com os colegas e com o professor.
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos verifiquem que apenas os números divisíveis por 12 correspondem às quantidades
que podem ser embaladas.
2 Leia a informação:
OUP 6EF2 MAT B02 CAP04 LP ICO 003 Fotografia de caixa com 
laranjas. Se possível, focalizada como na imagem de referência.
192 é divisível por 12, pois 192 = 12 × 16 + 0.
200 não é divisível por 12, pois 200 = 12 × 16 + 8.
resto
Com o auxílio da calculadora, complete os espaços a seguir:
a) 2 744 é divisível por 196 , pois 2 744 = 14 × 196 + 0.
b) 12 100 não é divisível por 95 , pois 12 100 = 95 × 127 + 35.
c) 7 412 não é divisível por 36, pois 7 412 = 36 × 205 + 32 .
3 Converse com os colegas e com o professor sobre outra maneira de justificar que 192 é divisível por 12.
Espera-se que os alunos relembrem o que foi estudado anteriormente citando que, para ser divisível por 12, o número deve
ser divisível por 2 e por 6 ao mesmo tempo ou então por 3 e por 4 ao mesmo tempo, pois 2 × 6 = 3 × 4 = 12. 
MAT CAP 4 Repertório conceitual:divisível
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Organize os alunos em duplas para comparti-
lhar ideias sobre as atividades propostas e re-
fletir sobre o termo “divisível”.
Na atividade inicial, verifique se os alunos en-
tenderam que a quantidade de laranjas dispos-
tas em cada caixa deve ser um múltiplo de 12, 
uma vez que são embaladas apenas quanti-
dades inteiras de dúzias. Certifique-se de que 
eles conhecem o conceito de dúzia e, se ne-
cessário, relembre esse conceito.
No item b, os alunos devem verificar quais nú-
meros são múltiplos de 12, ou seja, quais deles 
são divisíveis por 12. Incentive a troca de ideias 
entre os alunos no debate proposto no item c. 
Observe se eles empregam o conceito de di-
visão exata estudado anteriormente e como 
articulam a argumentação.
Na atividade 2, oriente-os a utilizar uma calcu-
ladora para facilitar os cálculos e explorar o al-
goritmo da divisão. Nessa atividade se usa a 
operação inversa da divisão para verificar quan-
do uma divisão é exata ou não. Para verificar 
esse fato, peça aos alunos que leiam a informa-
ção do boxe e enfatize o papel dos termos da 
divisão em cada igualdade apresentada, cha-
mando a atenção para o número correspon-
dente ao resto. Verifique se eles relacionam o 
resto igual a zero ao fato de a divisão correspon-
dente ser exata. Comente com eles que, ao 
usarem a calculadora para determinar o resul-
tado de uma divisão e verificarem um número 
com ponto ou vírgula no visor do instrumento, 
isso indica que a divisão é não exata. Se achar 
pertinente, oriente-os sobre como determinar 
o resto da divisão usando esse instrumento 
(multiplica-se a parte inteira do número que 
aparece no visor – quociente – pelo divisor e 
subtrai-se esse resultado do dividendo).
Se os alunos compreenderam que o resto igual 
a zero determina que a divisão corresponden-
te é exata, eles poderão usar essa conclusão 
para justificar o uso da palavra divisível no boxe 
da atividade 2. Oriente-os a compartilhar as 
observações relacionadas a esse fato com os 
colegas. Registre as principais informações 
levantadas por eles na lousa. Se achar perti-
nente, liste mais exemplos com o auxílio dos 
alunos, incentivando o uso da calculadora e 
das palavras múltiplo e divisor nesses debates, 
de modo que esses termos se tornem mais 
comuns no contexto escolar.
Depois de corrigir as atividades e debater as 
ideias, peça aos alunos que preencham a ficha. 
Para avaliarem esse registro, é interessante 
apresentar a definição de divisível presente no 
Dicionário Oxford Escolar de Matemática, repro-
duzida a seguir:
AMPLIE
A matéria indicada a seguir mostra 
como o algoritmo da divisão pode ser 
usado em uma situação lúdica, próxi-
ma ao contexto do aluno.
Antes da queimada, um pouco de 
matemática. Revista Cálculo. São 
Paulo: Editora Segmento, ano 2, n. 
20, pp. 24-5, ago. 2012.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z divisor
divisível
Em uma divisão que envolve 
apenas números naturais, 
um número é divisível por outro 
quando o resto da divisão 
do primeiro pelo segundo é zero.
VEJA TAMBÉM: 
divisão, número natural, resto
45 é divisível por 9, pois o resto 
da divisão de 45 por 9 é 0.
O 9 cabe exatamente 5 vezes no 45.
45 ÷ 9 = 5
181GUIA DIDÁTICO
CAP 4 Números primos
Todo número natural maior do que 1 apresenta pelo menos 
dois divisores: o número 1 e ele próprio. Alguns números têm ape-
nas esses dois divisores, ao passo que outros apresentam mais. 
Sabendo disso, podemos classificar os números naturais em duas 
categorias: números primos e números compostos.
Um número natural maior do que 1 é composto quando tem mais de 
dois divisores.
ObservAçÃO
Existem infinitos números com-
postos e infinitos números pri-
mos. O zero não é primo nem 
composto, assim como o nú-
mero 1.
Um número natural maior do que 1 é primo quando tem apenas dois 
divisores: o 1 e ele próprio.
Exemplos
• 2 é um número primo, pois D(2): 1, 2.
• 7 é um número primo, pois D(7): 1, 7.
• 6 é um número composto, pois D(6): 1, 2, 3, 6.
• 10 é um número composto, pois D(10): 1, 2, 5, 10.
O crivo de Eratóstenes
Eratóstenes foi um matemático grego que criou um método 
para determinar quais são os números primos menores do que 
dado número natural.
O método consiste em escrever a lista dos números naturais, 
de 1 até o número natural em questão e depois excluir todos os 
múltiplos dos números primos dessa lista, com exceção dos pró-
prios números primos.
Exemplo
Vamos determinar todos os números primos menores do que 
ou iguais a 30 pelo método de Eratóstenes. Primeiramente, escre-
vemos os números naturais de 1 até 30:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
O primeiro número primo é o 2. Vamos excluir da lista o 1, que 
não é primo, e todos os outros múltiplos do 2:
ObjetivOs
•	 Explorar o conceito de números 
primos e o de números compostos.
•	 Verificar se um número natural é 
primo ou composto.
Eratóstenes.
132
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OBJETIVOS
• Apresentar o conceito de número 
primo e o de número composto.
• Dar aos alunos condições para 
identificar se um número natural 
é primo ou composto.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Apresente o conceito de número pri-
mo e o de número composto de 
modo que os alunos compreendam 
que são definições mutuamente exclu-
sivas. Verifique se eles percebem que 
todos os números naturais, com exce-
ção do zero e do um, ou são números 
primos ou são números compostos.
Para facilitar esse entendimento re-
gistre vários exemplos na lousa en-
volvendo sequências de divisores de 
números primos e de números com-
postos, como os exemplos desta pá-
gina, fazendo os alunos visualizarem 
o que propõe a definição.
INFORMAÇÃO ADICIONAL
Euclides já havia demonstrado em 
sua obra Os Elementos que o conjun-
to de números primos é infinito. Por 
outro lado, ao se considerar a repre-
sentação desses números na reta 
numérica, percebe-se que o interva-
lo entre dois números primos au-
menta rapidamente à medida que a 
ordem de grandeza fica maior.
Os processadores modernos auxiliaram 
muito na descoberta de números 
primos. O último primo conhecido 
tem quase 13 milhões de dígitos. O 
principal uso dos números primos na 
modernidade é em criptografia, que 
consiste em criar chaves de decodifi-
cação de dados.
182 GUIA DIDÁTICO
Números primos
O próximo número não riscado depois do 2 é o 3. Logo, ele é 
um número primo. Então, precisamos excluir todos os múltiplos 
de 3, exceto o próprio 3. Em seguida, o próximo número não risca-
do depois do 3 é o 5. Portanto, ele é um número primo, e todos os 
seus múltiplos devem ser riscados, exceto o 5. Depois desses dois 
passos, obtemos o seguinte:
Converse com o professor e 
com os colegas sobre as per-
guntas a seguir e responda-as.
• Há outro número primo par 
além do 2? Por quê?
• Quais são os possíveis valores 
para o algarismo das unidades 
de um número primo maior 
do que 10? 
Para refletir
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Seguindo esse padrão, o próximo número primo é o 7, mas, 
como não há múltiplos de 7 para ser excluídos, o processo termina. 
Portanto, os números que não foram riscados são primos: 2, 3, 5, 7, 
11, 13, 17, 19, 23 e 29.
Como identificar números primos
Outra maneira de identificar se um número é primo consiste 
em aplicar os critérios de divisibilidade para verificar se ele é ou 
não divisível por outro número que não seja o 1 ou ele próprio. Nos 
casos em que os critérios de divisibilidade não são suficientes para 
determinar se um número é primo, dividimos o número em ques-
tão pelos números naturais menores do que ele até que o quocien-
te seja menor do que o divisor. Caso não seja encontrado nenhum 
divisor durante o processo, o número é primo.