Matemática básica

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MATEMÁTICA 
BÁSICA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVIERA
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Camila Adão barbosa 
Camila Cristiane Moreschi
Fernando Sachetti Bomfim
Patrícia Garcia Costa
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Cristiane Alves
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande 
responsabilidade sobre as escolhas que 
fazemos, e essas nos guiarão por toda a vida 
acadêmica e profissional, refletindo diretamente 
em nossa vida pessoal e em nossas relações 
com a sociedade. Hoje em dia, essa sociedade 
é exigente e busca por tecnologia, informação 
e conhecimento advindos de profissionais que 
possuam novas habilidades para liderança e 
sobrevivência no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino a 
Distância, a proporcionar um ensino de qualidade, 
capaz de formar cidadãos integrantes de uma 
sociedade justa, preparados para o mercado de 
trabalho, como planejadores e líderes atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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U N I D A D E
01
SUMÁRIO DA UNIDADE
1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS .....................................................................................................................4
2. AS OPERAÇÕES NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS .....................................................................................5
2.1 A ADIÇÃO E A SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS REAIS ..............................................................................................5
2.2 – A MULTIPLICAÇÃO E A DIVISÃO DE NÚMEROS REAIS ..................................................................................9
2.3 – A POTENCIAÇÃO E A RADICIAÇÃO ................................................................................................................... 14
OPERAÇÕES NO CONJUNTO DOS 
NÚMEROS REAIS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVIERA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA BÁSICA
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
1. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números naturais é representado por: . Note que o 
primeiro elemento desse conjunto é o 0 e o sucessor do 0 é o 1, o sucessor do 1 é o 2, e assim por 
diante. Em é sempre possível realizar as operações de adição e multiplicação, isto é, a soma e o 
produto de dois números naturais sempre resultam em um número natural.
O conjunto dos números inteiros é representado por 
. Note, nesse conjunto, que há simetria em relação 
ao 0, isto é, o simétrico (ou oposto) de -2 é 2 e vice-versa. Em é sempre possível realizar as 
operações de adição, subtração e multiplicação, isto é, a soma, a subtração e a multiplicação 
resultam sempre em números inteiros. 
O conjunto dos números racionais é o conjunto tal que todo número que pertence a ele 
é escrito da forma de fração com numerador e denominador inteiros e denominador diferente 
de zero. Simbolicamente é indicado como: . Observe que a 
restrição faz-se necessária uma vez que não existe divisão por zero. A fração aparente é 
aquela que indica um número inteiro (por exemplo, e ), caso contrário, tem-
se uma fração não aparente (por exemplo, e ). Dado um número racional , , sua 
representação decimal é obtida a partir da divisão de a por b o que pode resultar em números 
decimais exatos (por exemplo, ) ou em decimais periódicos (por exemplo, , 
 e nessas situações, as frações que geram esses decimais periódicos são denominadas 
de fração geratriz).
O conjunto dos números irracionais é o conjunto formado pelos números que não admitem 
uma representação decimal exata e nem a representação na forma de uma dízima periódica. Há 
infinitos números irracionais. Eis alguns exemplos: 0,20200200020000..., -3,81828383..., , , 
, , , dentre outros.
O conjunto dos números reais, denotado por é o conjunto obtido pela união dos 
conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Nesse conjunto numérico cada 
número fica associado a um único ponto na reta real. Observe que dado dois números reais 
quaisquer, digamos x e y, ocorre somente uma dessas possibilidades: x < y ou x = y ou x > y. Pode-
se empregar a notação para dizer que x < y ou x = y.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
2. AS OPERAÇÕES NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Nesta seção vamos nos dedicar ao estudos das operações de adição, subtração, 
multiplicação, potenciação e radiciação.
2.1 A adição e a subtração de números reais
A ideia da operação de adição é a de acrescentar uma quantidade a outra já existente. Essa 
operação matemática apresenta as seguintes propriedades:
i) comutativa – a ordem das parcelas não altera o valor da soma. Por exemplo, 82 + 21,1 = 21,1 
+ 82 = 103,1.
ii) associativa – na adição de dois ou mais números, podemos associar as parcelas de modos 
diferentes. Por exemplo, (12,5 + 942) + 4 = 12,5 + (942 + 4) = 958,5.
iii) elemento neutro – 0 é o único número que, ao ser somado a outro número, em qualquer 
ordem, tem como resultado o outro número. Por essa razão, 0 é denominado elemento neutro da 
adição. Por exemplo, .
Existem diversas situações, em matemática, que aparecem operações matemáticas 
simultâneas de adição e subtração. As expressões numéricas são expressões que envolvem 
números e operações e ao efetuar uma expressão numérica, obtém-se um único valor que é 
chamado de valor da expressão numérica. Para o cálculo de expressões numéricas que envolvam 
apenas adição e subtração devemos respeitar as seguintes regras: 
i) adições e subtrações devem ser efetuadas na ordem que aparecem.
ii) obedecer aos sinais de associação, inicialmente as operações entre parênteses, em 
seguida as entre colchetes e, por fim, entre chaves.
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Exercícios de fixação
1) (ENEM) Um cientista trabalha com as espécie I e II de bactérias em um ambiente de cultura. 
Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1.250 bactérias da espécie II. O gráfico representa 
as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana. 
 
Em que dia dessa semana a 
quantidade total de bactérias nesse 
ambiente de cultura foi máxima? 
(A) Terça-feira. 
(B) Quarta-feira. 
(C) Quinta-feira. 
(D) Sexta-feira. 
(E) Domingo
2) (CESGRANRIO) 
Empregados Desempregados Total
Homens 33% 45%
Mulheres
Total 71% 100%
A tabela acima classifica um grupo de adultos por sexo e por situação empregatícia. Ainda que a 
tabela esteja incompleta, é possível afirmar corretamente, com relação a esse grupo, que há
(A) 17% de mulheres desempregadas.
(B) 39% de desempregados.
(C) 65% de mulheres.
(D) mais homens desempregados do que mulheres desempregadas.
(E) mais homens empregados do que mulheres empregadas.
3) (FGV) Considere as instruções a seguir, dadas a um computador: 
1) Inicialize o valor de X com 4 e o valor de Y com 0 (zero); 
2) Some 7 ao valor de X; 
3) Some X ao valor de Y; 
4) Se o valor de Y for no mínimo 100, vá para a instrução 5; caso contrário, vá para a 
instrução 2 e prossiga a partir de lá; 
5) Imprima o valor de X; 
6) Pare. 
O valor de X que será impresso na instrução 5é:
(A) 101 
(B) 54 
(C) 29 
(D) 25 
(E) 39
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
4) (FGV) Escrevendo a soma como uma fração irredutível, a soma do numerador com 
o denominador dessa fração é
(A) 51 
(B) 55 
(C) 64 
(D) 70 
(E) 61
5) (FGV) Quanto vale a soma ?
(A) 1 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
6) (CESPE – UnB) Certa quantia em reais foi dividida entre três irmãos. Um deles ficou com da 
quantia, outro ficou com e o terceiro, com o restante. Então, o terceiro ficou com uma fração da 
quantia igual a
(A) 7/20. 
(B) 5/20. 
(C) 3/20. 
(D) 1/20.
7) (FCC) Do total de pessoas que estiveram comprando bilhetes nos guichês de uma estação 
de Metrô em certo dia, sabe-se que foi atendido por Dagoberto, por Breno e as demais por 
Leandro. Nessas condições, o número de pessoas atendidas por Leandro corresponde a que fração 
do total de pessoas atendidas nesse dia?
(A) 1/5
(B) 9/40 
(C) 1/4
(D) 19/40 
(E) 31/40
8) (FGV) Em certa escola, onde só há ensino médio e fundamental, o número de alunos do 
ensino fundamental é 5/9 do número de alunos do ensino médio. Em relação ao total de alunos 
da escola, qual é a fração que representa a quantidade de alunos do ensino médio?
(A) 1/14 
(B) 3/14 
(C) 5/14 
(D) 9/14 
(E) 11/14
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9) (CESGRANRIO) Deficit comercial de um país é a diferença entre o valor total das importações 
e das exportações realizadas em um determinado período. Em outubro de 2010, os Estados 
Unidos importaram 197,44 bilhões de dólares e exportaram 158,66 bilhões de dólares. Qual foi, 
em bilhões de dólares, o deficit comercial dos Estados Unidos nesse mês?
(A) 31,78 
(B) 38,78 
(C) 39,72 
(D) 41,22 
(E) 41,88
10) O valor da soma entre a fração irredutível que representa o número 0,04 com resulta na 
fração irredutível . Nessas condições, o valor de a + b é
(A) 30 
(B) 29 
(C) 20 
(D) 6 
(E) 5 
11) (ENEM) O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro 
semestre de 2012 na região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a soma das 
taxas de desemprego aberto e oculto.
Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da 
mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual 
a essa taxa em dezembro de 2011. 
Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, 
de 
(A) 1,1. 
(B) 3,5. 
(C) 4,5. 
(D) 6,8. 
(E) 7,9.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
12) (CESGRANRIO) No modelo ao lado, as distâncias representadas pelas letras M, N e P são, 
respectivamente, iguais a 8,4 m, 1,5 m e 4,1 m, e as distâncias correspondentes às letras Q e R são 
iguais. Qual é, em metros, a medida da distância R?
 
(A) 1,2 
(B) 1,3 
(C) 1,4 
(D) 1,5 
(E) 1,6
2.2 – A multiplicação e a divisão de números reais
Uma das ideias associadas à multiplicação é a de adicionar parcelas iguais, isto é, 
. Essa operação ainda está associada a ideia de disposição retangular, 
a ideia do número de possibilidades e a ideia de proporcionalidade. Essa operação matemática 
apresenta as seguintes propriedades, no conjunto dos números reais:
i) comutatividade – a ordem dos fatores não altera o produto. Exemplo: 
.
ii) associativa – a ordem em que três fatores são multiplicados é irrelevante. Exemplo: 
iii) existência do elemento neutro – o número 1 não altera o resultado da multiplicação quando é 
um dos fatores. Exemplo: .
iv) distributividade – o produto de um número real por uma soma (ou subtração) é igual à soma 
dos produtos das parcelas pelo número real. Exemplo: .
v) existência de um elemento inverso multiplicativo - qualquer que seja o número real diferente 
de 0, existe outro número real também diferente de 0 que, multiplicado por ele, resulta em 1. 
Exemplo: .
Algumas das ideias associadas a operação de divisão são a de repartir igualmente uma 
dada quantidade e a medida ou quantas vezes uma quantidade cabe em outra. Assim, ao dividir 
o número real X  pelo número real  d,  devemos procurar um número  real q  que multiplicado 
por d resulte em X. Para essa situação, cada um desses números recebem um nome: X é o dividendo, 
d é o divisor e q o quociente. No entanto, nem sempre é possível encontrar esse número q, e em 
algumas situações, o produto de d por q apenas fica muito próxima de X. Em casos como esse, a 
diferença de P pelo resultado da multiplicação de d por q é denominado resto e é denotado por r. 
Assim, para o caso geral das operações de divisão, temos que
A operação de divisão não é comutativa, não é associativa e não possui elemento neutro. 
No cálculo de uma expressão numérica, as operações indicadas devem ser efetuadas na 
seguinte ordem: i) multiplicações e divisões; ii) adições e subtrações. Se, houver multiplicação e 
divisão (ou adição e subtração), devemos primeiro efetuar as operações na ordem que aparecem. 
Vale lembrar que, em expressões com sinais de associação, estes devem ser eliminados primeiro 
na seguinte ordem: parênteses, colchetes e chaves.
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Exercícios de fixação
13) (ENEM) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los 
uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro 
dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é 
o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 
23 Netunos. 
Revista Veja. Ano 41, nº 25, 25 jun. 2008 (adaptado).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter? 
(A) 406 
(B) 1.334 
(C) 4.002 
(D) 9.338 
(E) 28.014
14) (FGV) O corpo humano possui cerca de 50 bilhões de células e a população brasileira é de 
cerca de 200 milhões de habitantes. A quantidade de células de toda a população brasileira é cerca 
de: 
(A) 1016. 
(B) 1017. 
(C) 1018. 
(D) 1019. 
(E) 1020.
15) (CESGRANRIO) Uma refinaria tinha, em 2004, capacidade para processar 224 mil barris 
de petróleo por dia. Com a ampliação das instalações, essa capacidade aumentou em 3/8 no ano 
seguinte. Assim, pode-se concluir que, em 2005, a capacidade de processamento dessa refinaria, 
em milhares de barris diários, passou a ser de:
(A) 252. 
(B) 308. 
(C) 318. 
(D) 352. 
(E) 368.
16) (FGV) Quanto vale a divisão ?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
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17) (FGV) O produto é igual a 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
18) (FCC) Sejam x e y números tais que e . A razão é igual a 
(A) 4/9 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 1/5
(E) 1/3
19) (FCC) Simplificando-se a expressão obtém-se um número
 (A) ímpar. 
(B) divisível por 5. 
(C) múltiplo de 6. 
(D) negativo. 
(E) maior do que 4.
20) (ENEM) Uma pessoa precisa comprar 15 sacos de cimento para uma reforma em sua casa. 
Faz pesquisa de preço em cinco depósitos que vendem o cimento de sua preferência e cobram 
frete para entrega do material, conforme a distância do depósito à sua casa. As informações sobre 
preço do cimento, valor do frete e distância do depósito até a casa dessa pessoa estão apresentadas 
no quadro.
Depósito Valor do saco de cimento
Valor do frete 
para cada quilômetro
Distância entre a casa
e cada depósito
(R$) (R$) (Km)
A 23,00 1,00 10
B 21,50 3,00 12
C 22,00 1,50 14
D 21,00 3,50 18
E 24,00 2,50 2
A pessoa escolherá um desses depósitos para realizar sua compra, considerando os preços do 
cimento e do frete oferecidos em cada opção. Se a pessoa decidir pela opção mais econômica, o 
depósito escolhido para a realização dessa compra será o 
(A) A. 
(B) B. 
(C) C.(D) D. 
(E) E.
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21) (ENEM) Os gráficos representam a produção de peças em uma indústria e as horas 
trabalhadas dos funcionários no período de cinco dias. Em cada dia, o gerente de produção aplica 
uma metodologia diferente de trabalho. Seu objetivo é avaliar a metodologia mais eficiente para 
utilizá-la como modelo nos próximos períodos. Sabe-se que, neste caso, quanto maior for a razão 
entre o número de peças produzidas e o número de horas trabalhadas, maior será a eficiência da 
metodologia.
Em qual dia foi aplicada a metodologia mais eficiente? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5
22) (ENEM) Os exercícios físicos são recomendados para o bom funcionamento do organismo, 
pois aceleram o metabolismo e, em consequência, elevam o consumo de calorias. No gráfico, 
estão registrados os valores calóricos, em kcal, gastos em cinco diferentes atividades físicas, em 
função do tempo dedicado às atividades, contado em minuto.
Qual dessas atividades físicas proporciona o maior consumo de quilocalorias por minuto? 
(A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) IV. 
(E) V.
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23) (FGV) As torneiras A, B e C, que operam com vazão constante, podem, cada uma, encher um 
reservatório vazio em 60 horas, 48 horas e 80 horas, respectivamente. Para encher esse mesmo 
reservatório vazio, incialmente abre-se a torneira A por quatro horas e, em seguida, fecha-se 
a torneira A e abre-se a torneira B por quatro horas. Por fim, fecha-se a torneira B e abre-se a 
torneira C até que o reservatório se encha por completo. De acordo com o processo descrito, o 
tempo necessário e suficiente para encher o reservatório por completo e sem transbordamento é 
de 
(A) 84 horas. 
(B) 76 horas. 
(C) 72 horas. 
(D) 64 horas. 
(E) 60 horas.
24) (FGV) Suponha que as medidas de tempo sejam convertidas para um sistema métrico decimal, 
de tal forma que um dia tenha 10 horas métricas e uma hora métrica tenha 100 minutos métricos. 
Um relógio digital, nesse sistema, marcaria, por exemplo, 9:99 um minuto métrico antes da meia-
noite e 0:00 à meia noite. Ana acorda diariamente às 6 horas no sistema de medidas de tempo 
usual e acaba de comprar um despertador digital que marca as horas no sistema métrico citado. 
Para acordar no horário habitual, Ana deve ajustar seu novo despertador para 
(A) 3:60. 
(B) 5:20. 
(C) 2:50. 
(D) 6:00. 
(E) 4:30.
25) (FGV) Sendo a e b números reais distintos, considere a operação . O valor de 
 é
(A) 0
(B) 1/2
(C) 3/5
(D) 5/3
(E) 5/8
26) (FGV) Na reta numérica indicada a seguir, todos os pontos marcados estão igualmente 
espaçados.
Sendo assim, a soma do numerador com o denominador da fração irredutível que representa x 
é igual a 
(A) 39. 
(B) 40. 
(C) 41. 
(D) 42. 
(E) 43.
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27) (CESGRANRIO) Quando um estudo de sustentabilidade de usinas hidrelétricas é realizado, 
diversos fatores são levados em consideração. Um desses fatores é o “indicador de área alagada”, 
i, que corresponde à razão entre a área (em km2) alagada na formação do reservatório de água 
da usina e a potência instalada nela (em MW). O valor encontrado deve ser situado nas classes 
estabelecidas para esse indicador. Essas classes são apresentadas na tabela seguinte.
Classes do indicador de área alagada
Classes Intervalo das classes km2/MW
Muito alta
Alta
Média
Baixa
Muito baixa
Uma usina hidrelétrica, cuja área alagada é de 2.600 km2 e a potência instalada é de 8.400 MW, 
apresenta indicador de área alagada i na classe
(A) Muito Alta 
(B) Alta 
(C) Média 
(D) Baixa 
(E) Muito Baixa
2.3 – A potenciação e a radiciação
A operação de multiplicação em que todos os fatores são iguais, tal como em 
 pode ser escrito de forma abreviada como e a operação 
efetuada é denominada potenciação. Assim, seja e , então a potência 
, em que a é denominado base, n expoente e o resultado da operação é denominado potência.
Vamos considerar que e que . Assim, é verdadeiro que
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
v) 
vi) 
vii) 
viii) 
Vale lembrar que se e então, o resultado de . Vale, ainda, que 
e então, o resultado de é indeterminado. E, por fim, o resultado de também é 
indeterminado. 
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Números muito grandes ou muito pequenos podem ser escritos por meio de um produto 
da forma , com e , em que essa representação é denominada de notação 
científica.
A operação oposta à potenciação é denominada radiciação. A raiz quadrada de um 
número real e não negativo, digamos a, denotado por é o número real não negativo, digamos 
b, tal que Por exemplo, . Por outro lado, a raiz n-ésima ( ) de um número 
real, denotado por , é o número real b tal que . No caso da raiz n-ésima, se n for par, a e 
b devem ser não negativos. 
Admita que a e b sejam números reais e que os denominadores sejam sempre diferentes 
de zero. Nessas condições são válidas as seguintes propriedades:
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
v) , com quando n é par.
Exercícios de fixação
28) O resultado da expressão numérica:
é uma fração imprópria e irredutível do tipo . A soma de todos os dígitos de é
(A) primo. 
(B) ímpar. 
(C) zero. 
(D) par. 
(E) negativo.
29) (OBM) Qual dos números a seguir é maior?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
30) (CESGRANRIO) O número de algarismos do produto é igual a
(A)17. 
(B) 18. 
(C) 36. 
(D) 34. 
(E) 35.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
31) (ENEM) O Índice de Massa Corporal (IMC) pode ser considerado uma alternativa prática, 
fácil e barata para a medição direta de gordura corporal. Seu valor pode Massa ser obtido pela 
fórmula , na qual a massa é em quilograma e a altura, em metro. As crianças, 
naturalmente, começam a vida com um alto índice de gordura corpórea, mas vão ficando mais 
magras conforme envelhecem, por isso os cientistas criaram um IMC especialmente para as 
crianças e jovens adultos, dos dois aos vinte anos de idade, chamado de IMC por idade.
Uma mãe resolveu calcular o IMC de seu filho, um menino de dez anos de idade, com 1,20 m de 
altura e 30,92 kg. Disponível em: http://saude.hsw.uol.com. Acesso em: 31 jul. 2012. Para estar 
na faixa considerada normal de IMC, os valores mínimo e máximo que esse menino precisa 
emagrecer, em quilograma, devem ser, respectivamente, 
(A) 1,12 e 5,12. 
(B) 2,68 e 12,28. 
(C) 3,47 e 7,47. 
(D) 5,00 e 10,76. 
(E) 7,77 e 11,77.
32) (ENEM) Medir distâncias sempre foi uma necessidade da humanidade. Ao longo do tempo 
fez-se necessária a criação de unidades de medidas que pudessem representar tais distâncias, 
como, por exemplo, o metro. Uma unidade de comprimento pouco conhecida é a Unidade 
Astronômica (UA), utilizada para descrever, por exemplo, distâncias entre corpos celestes. Por 
definição, 1 UA equivale à distância entre a Terra e o Sol, que em notação científica é dada por 
1,496 x 102 milhões de quilômetros. Na mesma forma de representação, 1 UA, em metro, equivale 
a
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
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33) (UNIFEI) Em ambientes universitários federais os servidores técnico-administrativos são 
convidados a participar de pesquisas com bastante frequência. Por exemplo, suponha que um 
aluno solicite a um servidor técnico-administrativo a análise da simplificação de oito expressões 
simples de potenciação. Isso com o intuito de coletar dados sobre a proficiência em matemática 
desses servidores. As expressões com suas respectivas simplificações de potências são apresentadas 
a seguir:
1ª) 512/52 = 56 
2ª) 22 32 = 66 
3ª) 23 4 = 83 
4ª) (3 + 3)4 = 34 + 34 
5ª) (33)2 = 36 
6ª) (−3)6 = 36 
7ª) 35/34 = 3 8ª)82 − 25 = 25 
 Se, para cada um desses itens, a simplificação de potência for assinalada com V se estiver 
correta e com F se estiver incorreta, o resultado será: 
(A) 1ª) V; 2ª) F; 3ª) F; 4ª) F; 5ª) V; 6ª) V; 7ª) F e 8ª) V. 
(B) 1ª) F; 2ª) F; 3ª) F; 4ª) F; 5ª) V; 6ª) V; 7ª) V e 8ª) V. 
(C) 1ª) V; 2ª) V; 3ª) F; 4ª) F; 5ª) V; 6ª) F; 7ª) F e 8ª) V. 
(D) 1ª) V; 2ª) V; 3ª) F; 4ª) F; 5ª) V; 6ª) V; 7ª) F e 8ª) F.
34) (CESGRANRIO) A terça parte do número real é igual a 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
35) (ENEM) A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus 
influenza. Ao entrar no nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se 
para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo os pulmões. O vírus influenza 
é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm. Em notação científica, o 
diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
36) (FCC) A expressão do número na notação científica é:
(A) (B) (C) 8 (D) (E) 
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37) (CESGRANRIO) O valor de é
(A) 0,111... 
(B) 0,333... 
(C) 0,666... 
(D) 0,999... 
(E) 1,111...
38) (FCC) Simplificando a expressão 
obtém-se
(A) 0,0607. 
(B) 0,607. 
(C) 6,07. 
(D) 60,7. 
(E) 607.
39) (CESGRANRIO) A soma é igual a
(A) 
(B) 
(C)
(D) 
(E) 
40) O valor de é igual a
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
41) (CEFET – RJ) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz 
quadrada do produto obtido seja igual a 45?
(A) 2700
(B) 2800
(C) 2900
(D) 3000
42) A soma de todos os dígitos do número real é 
(A) menor que 10.
(B) maior que 10 e menor que 15.
(C) maior que 15 e menor que 20.
(D) maior que 20 e menor que 25.
(E) maior que 25.
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43) (ENEM) O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar 
os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a 
expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor 
valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes 
índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo , o 
terceiro , o quarto X2 e o último X3. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo. 
Qual desses países obteve o maior IDH? 
(A) O primeiro. (B) O segundo. (C) O terceiro. (D) O quarto. (E) O quinto.
3. PORCENTAGEM
A ideia de porcentagem foi empregada em épocas remotas como a do antigo Império 
Romano. O imperador Augusto cobrava um imposto de sobre o preço da venda de todos os 
bens. No século XV manuscritos italianos utilizavam expressões como “20 p100” e “XX p cento” 
para indicar vinte por cento. Em 1650, o sinal “per ” era utilizado para indicar porcentagem. 
Posteriormente, esse sinal se perdeu no tempo, e ficou o sinal que se utiliza atualmente: “%”. 
 Diversos assuntos ligados à Matemática Financeira requerem o uso de porcentagem. Por 
exemplo: cálculo de juros em compras financiadas, empréstimos bancários entre outras situações. 
A porcentagem é uma fração cujo denominador é 100 e sua utilização se faz por regra de três 
simples. Assim, 
• 50% é a mesma coisa que 50/100, ou 0,5.
• 30% é a mesma coisa que 30/100, ou 0,3.
• 70% é a mesma coisa que 70/100, ou 0,7.
 Seguindo o raciocínio acima, para calcular a porcentagem de um número total, 
considerando o “universo”, basta multiplicar a fração (porcentagem) pelo total.
Quando uma mercadoria sofre n acréscimos de taxas i1, i2, ..., in, cada um deles calculado 
sobre o valor anterior, diz-se que ela sofreu acréscimos sucessivos. Assim, o valor final, (VF), 
depois de cada acréscimo passa a ser o valor inicial, (VI), do acréscimo seguinte. Logo, o valor 
final após os n acréscimos é:
Quando uma mercadoria sofre n abatimentos de taxas i1, i2, ..., in, cada um deles calculado 
sobre o líquido anterior diz-se que ela sofreu abatimentos sucessivos. Assim, o valor final depois 
de cada abatimento passa a ser o valor inicial do abatimento posterior. Portanto,
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Exercícios de fixação
44) O valor de é
(A) 12,5%
(B) 5%
(C) 15%
(D) 50%
(E) 100%
45) (CESGRANRIO) João recebeu de herança um terreno de 450 m2. Ele pretende construir uma 
casa que ocupará 40% da área desse terreno. Qual será, em m2, a área ocupada pela casa?
(A) 160 
(B) 180 
(C) 190 
(D) 200 
(E) 220
46) (CESGRANRIO)
Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões 
do planeta. Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença 
entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano?
(A) 9,08 
(B) 10,92 
(C) 12,60 
(D) 21,68 
(E) 24,80
47) (FGV) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses 
seguidos. A desvalorização total nesses três meses foi de:
(A) 60%. 
(B) 56,6%. 
(C) 53,4%. 
(D) 51,2%. 
(E) 48,8%.
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48) (CESGRANRIO) O preço internacional do barril de petróleo subiu 10% ao mês, em cada um 
dos dois primeiros meses do ano e caiu 10% ao mês em cada um dos dois meses seguintes. Ao fim 
desses quatro meses, o preço do barril de petróleo sofreu variação de, aproximadamente,
(A) menos 4%. 
(B) menos 2%. 
(C) 0%. 
(D) mais 2%. 
(E) mais 4%.
49) (CESPE - UnB) Em uma unidade da Federação, no ano passado, 5.000 investidores aplicaram 
seus recursos em agronegócios. Entre esses, 35% investiram em negócios relacionados a 
fruticultura, sendo que apenas 26% destes investiram em frutas cítricas. Nessa situação, o número 
de investidores que aplicaram seus recursos em negócios relacionados à fruticultura de frutas não 
cítricas é igual a
(A) 1.295.
(B) 1.060.
(C) 835.
(D) 455.
50) (FCC) Uma obra civil, composta por quatro serviços, foi planejada para ser executada em seis 
meses, conforme o cronograma da figura abaixo.
Ao final do quinto mês
(A) 67% do serviço 1, 100% do serviço 2, 67% do serviço 3 e 50% do serviço 4 deverão estar 
concluídos.
(B) 67% do serviço 1 e 100% dos serviços 2 e 3 estão concluídos e o serviço 4 deverá estar se 
iniciando.
(C) 100% dos serviços 1, 2 e 3 estão concluídos e o serviço 4 deverá estar se iniciando.
(D) 75% do serviço 1, 100% dos serviços 2, 3 e 50% do serviço 4 deverão estar concluídos.
(E) 100 % dos serviços 1 e 2, 67 % do serviço 3 e 50 % do serviço 4 deverão estar concluídos.
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51) (ENADE) Entendendo a importância do planejamento para o melhor desempenho empresarial, 
uma empresa realizou uma reunião para revisar o planejamento do terceiro trimestre. Na reunião, 
o diretor de Marketing informou que a projeção de vendas para o mês de julho, agosto e setembro 
era R$100.000,00, R$120.000,00 e R$200.000,00. Esclareceu que 50% das vendas são realizadas 
a vista e as demais a prazo, sendo metade para 30 dias e a outra parte para 60 dias. O diretor 
financeiro informou que, nos meses de maio e junho, a empresa realizou vendas de R$ 160.000,00 
e R$ 140.000,00 e que há recebimentos acerca de outros rendimentos no valor de R$ 2.000 por 
mês. 
 Para dar continuidade ao planejamento financeiro, é necessário conhecer o total de 
recebimentos do período. Com base nas informações dadas na reunião, conclui-se que os 
recebimentos totais projetados para os meses de julho, agosto e setembro foram, respectivamente 
de 
(A) R$ 52.000,00; R$ 87.000,00 e R$ 157.000,00.
(B) R$ 115.000,00; R$ 97.500,00 e R$ 155.000,00. 
(C) R$ 117.000,00; R$ 99.500,00 e R$ 157.000,00.
(D) R$ 125.000,00; R$ 100.000,00e R$ 155.000,00. 
(E) R$ 127.000,00; R$ 122.000,00 e R$ 157.000,00.
52) (ENEM) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional 
em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram 
cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos 
inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no 
segundo, 45%. Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores 
proporcionaram cura de 
(A) 16%. 
(B) 24%. 
(C) 32%. 
(D) 48%. 
(E) 64%.
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53) (ENEM) A lei municipal para a edificação de casas em lotes de uma cidade determina que 
sejam obedecidos os seguintes critérios: 
• afastamento mínimo de 4 m da rua; 
• afastamento mínimo de 1 m da divisa com outro lote; 
• área total construída da casa entre 40% e 50% da área total do lote.
 Um construtor submeteu para aprovação na prefeitura dessa cidade uma planta com 
propostas para a construção de casas em seus 5 lotes. Cada lote tem área medindo 200 m². A 
imagem apresenta um esquema, sem escala, no qual estão representados os lotes, as ruas e os 
afastamentos considerados nos projetos entre as casas e as divisas dos lotes. As medidas indicadas 
no esquema estão expressas em metro.
A prefeitura aprovará apenas a planta da casa 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 4. 
(E) 5.
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54) (ENEM) O colesterol total de uma pessoa é obtido pela soma da taxa do seu “colesterol 
bom” com a taxa do seu “colesterol ruim”. Os exames periódicos, realizados em um paciente 
adulto, apresentaram taxa normal de “colesterol bom”, porém, taxa do “colesterol ruim” (também 
chamado LDL) de 280 mg/dL. O quadro apresenta uma classificação de acordo com as taxas de 
LDL em adultos.
Taxa de LDL (mg/dL)
Ótima menor do que 100
Próxima de ótima de 100 a 129
Limite de 130 a 159
Alta de 160 a 189
Muito alta 190 ou mais
O paciente, seguindo as recomendações médicas sobre estilo de vida e alimentação, realizou o 
exame logo após o primeiro mês, e a taxa de LDL reduziu 25%. No mês seguinte, realizou novo 
exame e constatou uma redução de mais 20% na taxa de LDL. De acordo com o resultado do 
segundo exame, a classificação da taxa de LDL do paciente é
(A) ótima. 
(B) próxima de ótima. 
(C) limite. 
(D) alta. 
(E) muita alta.
55) (ENEM) Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de 
sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação 
central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre 
os outros dois pontos de sustentação. No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três 
pontos de sustentação serão, em toneladas, respectivamente, 
(A) 1,8; 8,4; 1,8. 
(B) 3,0; 6,0; 3,0. 
(C) 2,4; 7,2; 2,4. 
(D) 3,6; 4,8; 3,6. 
(E) 4,2; 3,6; 4,2.
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56) (ENEM) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra 
de Domicílios. 
Supondo-se que, no Sudeste, 14.900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles 
possuíam telefone móvel celular?
(A) 5.513 
(B) 6.556 
(C) 7.450 
(D) 8. 344 
(E) 9.536
57) (ENEM) O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recursos 
naturais, dispondo de uma das maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas 
calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas 
de preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. 
Aproximadamente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 
milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a fruticultura. 
FORTES, G. Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos. Folha de S. Paulo, 
30 out. 2011.De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada 
para agricultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de 
(A) 32,8%. 
(B) 28,6%. 
(C) 10,7%. 
(D) 9,4%.
(E) 8,0%.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
1. RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA ......................................................................27
2. FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS ..................................................................................................................32
PROPORÇÃO E REGRA DE TRÊS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVIERA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA BÁSICA
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1. RAZÃO, PROPORÇÃO, Regra de três simples e composta
Denominamos razão entre dois números reais a e b (com ) o quociente , onde 
o número a é dito antecedente e o número b, consequente. Dizemos, ainda que a razão é de 
a para b. A palavra razão vem do latim ratio e significa divisão. Aplicamos o uso de razão em 
diversas situações do cotidiano. Por exemplo, considere que em um concurso público houve 1.200 
candidatos inscritos e que foram aprovados 480 candidatos. Dessa forma, a razão de candidatos 
aprovados é de , e esse número indica que de cada 5 candidatos inscritos no 
concurso, 2 foram aprovados. Diz-se que razão inversa de é se, e somente se, Dizemos, 
ainda, que duas razões são inversas quando o produto entre elas é igual a 1. 
A palavra proporção vem do latim proportione e significa “uma relação entre partes de 
uma grandeza”. Assim, proporção é a igualdade entre duas razões. 
Dados quatro números reais, digamos a, b, c e d, não nulos, nessa ordem, dizemos que 
eles formam uma proporção quando a razão do primeiro para o segundo é igual à razão do 
terceiro para o quarto. Assim,
 ou 
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo os números b e c os meios da 
proporção e os números a e d os extremos da proporção.
Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
 
Dados quatro números reais, a, b, c e d, não nulos, nessa ordem. Para as proporções são 
válidas as seguintes propriedades:
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1º Propriedade
Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo (ou primeiro) termo 
assim como a soma dos dois últimos termos está para o quarto (ou terceiro) termo. Assim,
 ou
2º Propriedade
Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo (ou primeiro) 
termo assim como a diferença dos dois últimos termos está para o quarto (ou terceiro) termo. 
Assim,
3º Propriedade
Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como 
cada antecedente está para o seu consequente. Assim,
4º Propriedade
Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim 
como cada antecedente está para o seu consequente. Assim,
5º Propriedade
Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes assim 
como cada antecedente está para o quadrado do seu consequente. Assim,
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado. São exemplos de grandezas: 
preço de mercadorias, tempo, temperatura, velocidade de um automóvel, entre outros. As 
grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. A variação de uma grandeza 
pode variar outra grandeza, por exemplo: se observarmos a taxa de juro pago por uma aplicação 
na poupança (1ª grandeza) e a quantidade de dinheiro aplicado nesse investimento (2ª grandeza), 
temos que a 2ª grandeza irá aumentar ou diminuir dependendo se a 1ª grandeza irá aumentar ou 
diminuir também. Grandezas cuja variação interfere na variaçãode outras são ditas grandezas 
proporcionais. As grandezas proporcionais são classificadas em diretamente ou inversamente 
proporcionais.
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando a razão entre os valores 
da primeira é igual à razão entre valores correspondentes da segunda, ou seja, são grandezas que 
crescem juntas e diminuem juntas. Desta forma, dobrando uma delas, a outra também dobra; 
triplicando uma delas, a outra também triplica e assim por diante.
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Os números reais, não nulos, x, y e z são diretamente proporcionais aos números reais, não 
nulos, a, b e c, se existir a igualdade:
em que, k é dito fator de proporcionalidade (ou razão de proporcionalidade).
A regra de sociedade é um método utilizado para dividir lucros ou prejuízos entre sócios 
em uma empresa. Dessa maneira, a divisão dos lucros e/ou prejuízos em um dado período deve 
ser feita em partes diretamente proporcionais ao capital empregado por cada sócio. O exemplo a 
seguir ilustra a aplicação da regra da sociedade.
Por outro lado, duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando a razão 
entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre valores correspondentes da segunda, 
ou seja, são grandezas que variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Desta 
forma, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz 
para a terça parte e assim por diante.
Os números reais, não nulos, x, y e z são inversamente proporcionais aos números reais, 
não nulos, a, b e c, se existir a igualdade:
ou ainda
em que, k é dito fator de proporcionalidade (ou razão de proporcionalidade).
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem 
quatro valores, dos quais são conhecidos três desses valores. Assim, portanto, determina-se um 
valor com base nos outros três já conhecidos. Para resolver uma regra de três, usa-se o seguinte 
roteiro:
(1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e 
mantendo, em linha, as grandezas de espécie diferentes em correspondência.
(2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
(3º) Montar a proporção e resolver a equação.
A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem 
N valores, dos quais são conhecidos N -1 desses valores. Assim, portanto, determina-se um valor 
com base nos outros N-1 já conhecidos.
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Exercícios de fixação
1) (CESGRANRIO) A razão entre as quantias que Leonardo gastou ao ir à farmácia e ao mercado 
é igual a . No mercado, Leonardo gastou R$ 63,00 a mais do que na farmácia. Quanto ele gastou, 
em reais, na farmácia?
(A) 25,20 
(B) 32,20 
(C) 41,40 
(D) 52,40 
(E) 88,20
2) (CESGRANRIO) As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na mesma casa e a divisão das 
despesas mensais é proporcional ao número de pessoas de cada família. Na família de Alda são 
três pessoas e na de Berta, cinco. Se a despesa, num certo mês, foi de R$ 1.280,00, quanto pagou, 
em reais, a família de Alda?
(A) 520,00 
(B) 480,00 
(C) 450,00 
(D) 410,00 
(E) 320,00 
3) (CESPE – UnB) Paulo e Maria constituíram uma sociedade investindo, cada um, as quantias 
de R$ 1.800,00 e R$ 3.000,00, respectivamente. Essa sociedade produziu R$ 800,00 de lucro. Se 
esse lucro for repartido entre os dois, de forma diretamente proporcional às quantias investidas, 
então Paulo receberá
(A) R$ 100,00 a menos que Maria.
(B) R$ 150,00 a menos que Maria.
(C) R$ 200,00 a menos que Maria.
(D) R$ 300,00 a menos que Maria.
4) (CESPE – UnB) Os sócios Luís e Antônio repartiram o lucro de R$ 6.900,00 obtidos na 
realização de uma negociação. A partilha foi feita de forma diretamente proporcional ao capital 
que cada um deles investiu. Luís investiu R$ 5.400,00 a mais que Antônio e obteve um lucro 
correspondente à soma de 120% do obtido por Antônio e R$ 300,00. Nessa situação, a quantia 
investida por Antônio rendeu um lucro
(A) inferior a 10%.
(B) superior a 10% e inferior a 15%.
(C) superior a 15% e inferior a 20%.
(D) superior a 20% e inferior a 25%.
(E) superior a 25%.
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5) (FCC) Dois analistas judiciários devem emitir pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento 
de processos. Eles decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que são, ao mesmo 
tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e inversamente proporcionais aos 
seus respectivos tempos de serviço no Tribunal Regional do Trabalho. Se um deles tem 32 anos e 
trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto o outro tem 48 anos e lá trabalha há 16 anos, o número 
de pareceres que o mais jovem deverá emitir é
(A) 18 
(B) 24 
(C) 32 
(D) 36 
(E) 48
6) (ENADE) Um produtor rural de soja aplicará um inseticida para controle de pragas cuja 
bula recomenda a dosagem de 2 l⋅ha-1 (litro por hectare) do produto comercial. Ele possui um 
pulverizador com capacidade de 400 litros, devidamente regulado para distribuir esse volume 
em 4 ha. Considerando-se essas informações, qual quantidade do produto comercial deve ser 
adicionada ao tanque de pulverização utilizando o seu volume total?
(A) 2 litros
(B) 4 litros
(C) 8 litros
(D) 10 litros
(E) 12 litros
7) (CESGRANRIO) Vinte e quatro operários fazem uma obra em 5 dias. Em quantos dias quarenta 
operários, igualmente capacitados, fariam a mesma obra?
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 4,5
8) (FCC) Suponha que 8 máquinas de terraplanagem, todas com a mesma capacidade operacional, 
sejam capazes de nivelar uma superfície de 8.000 metros quadrados em 8 dias, se funcionarem 
ininterruptamente 8 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos metros quadrados 
poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas, em 16 dias de trabalho e 16 horas por dia de 
funcionamento ininterrupto?
(A) 16.000 
(B) 20.000 
(C) 64.000 
(D) 78.000 
(E) 84.000
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9) (FGV) Em um posto de vacinação, três profissionais de saúde aplicam 180 vacinas em três 
horas. Admitindo-se que neste posto de vacinação todos os profissionais de saúde são igualmente 
eficientes e que todas as vacinas demandam o mesmo tempo de aplicação, o tempo necessário 
para que cinco profissionais de saúde deste posto de vacinação apliquem 300 vacinas é de:
(A) 2 horas e 40 minutos. 
(B) 3 horas. 
(C) 3 horas e 30 minutos.
(D) 4 horas e 40 minutos. 
(E) 5 horas.
2. FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS
Nesse tópico vamos relembrar tópicos de fatoração e produtos notáveis. Quando 
dominamos esses tópicos diversos cálculos matemáticos ficam mais simples. 
Acompanhe a situação matemática descrita abaixo:
Nessa identidade, o membro foi escrito na forma da multiplicação 
 de dois fatores, e . Nessas condições, efetuamos a fatoração 
de e que é o fator comum. Observe que aparece como fator que é 
comum a cada parte do membro . De fato,
Existem situações em que a fatoração pode ser feita empregando agrupamento dos termos 
de uma expressão, como foi feito na expressão abaixo. Acompanhe o exemplo abaixo:
As identidades expostas apresentam produtos de expressões algébricas que são conhecidos 
como produtos notáveis. A tabela 1 apresenta os principais e que merecem sua atenção, pois em 
muitas situações em engenharia você fará uso. 
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Tabela 1 – Os principais produtos notáveis 
Diferença de quadrados
Quadrado da soma
Quadrado da diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença
Soma de cubos
Diferença de cubos
Exercícios de fixação
10) Desenvolva os produtos notáveisque seguem:
A) 
B) 
C) 
D) 
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E) 
11) Fatore as expressões que seguem:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
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12) Simplifique as expressões que seguem:
A) com 
B) com 
C) com 
13) Determine, sem usar calculadora, o valor de .
14) Efetue as seguintes operações algébricas:
A) 
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B) 
C) 
D) 
E) 
F) 
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G) 
H) 
I) 
J) 
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15) A diferença entre os quadrados de dois números consecutivos é igual a 279. Qual o valor do 
produto desses dois números?
(A) 19.458
(B) 19.459
(C) 19.460
(D) 19.461
(E) 19.462
16) A expressão algébrica definida por é igual a 
 O valor de é igual a
(A) 4
(B) 28
(C) 54
(D) 72
(E) 86
17) A expressão algébrica definida por é igual a 
 O valor de é igual a
(A) -35
(B) 14
(C) 6
(D) 20
(E) -15
18) Dado que e que , o valor da expressão é igual a fração irredutível . 
Nessas condições, é igual a
(A) 1.150
(B) 1.151
(C) 1.152
(D) 1.153
(E) 1.154
19) Ao simplificar a expressão algébrica definida por:
com resulta em tal que . Nessas condições, é igual a 
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
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20) Ao simplificar a expressão algébrica definida por:
resulta em tal que . Nessas condições, é igual a 
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
21) O valor de é igual a
(A) 1.868.573
(B) 1.868.375
(C) 1.868.753
(D) 1.868.537
(E) 1.868.735
22) A forma fatorada da expressão algébrica definida por
é igual a . Nessas condições, é igual a
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0
23) Ao simplificar a expressão numérica definida por
o resultado é igual a tal que . Nessas condições, é igual a
(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) 1
24) A expressão numérica é verdadeira quando o número 
 aparecer N vezes dentro do radical. Nessas condições, o valor de N é 
(A) menor que 25
(B) maior que 25 e menor que 50
(C) maior que 50 e menor que 75
(D) maior que 75 e menor que 100
(E) maior que 100
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25) Se é verdadeiro para todo x real, com e . Nessas condições, 
A+B é igual a 
(A) - 5
(B) +5
(C) -10
(D) 10
(E) 0
26) Ao simplificar a expressão numérica o resultado encontrado é . Nessas 
condições, é igual a
(A) -9
(B) +9
(C) 0
(D) -27
(E) 27
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03
SUMÁRIO DA UNIDADE
1. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ....................................................................................................................................42
2. LOGARITMOS ..........................................................................................................................................................48
SUMÁRIO DA UNIDADE ..............................................................................................................................................53
EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E LOGARITMOS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVIERA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA BÁSICA
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1. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
Uma equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. 
Por exemplo, e são equações. Nesse caso, a letra x é a incógnita 
da equação, que por sua vez quer dizer “grandeza a determinar”. Nas equações, o que antecede o 
sinal de igual denomina-se 1º membro, e tudo o que sucede o sinal, 2º membro.
Uma inequação  é toda sentença matemática aberta que apresenta pelo menos um 
valor desconhecido (incógnita) e representa uma desigualdade. Por exemplo, e 
 são inequações. Nas  inequações  usamos os símbolos: > que significa 
“maior que”, < que significa “menor que”, que significa “maior ou igual a” e que significa 
“menor ou igual a”. Nas inequações, o que antecede o sinal de desigualdade denomina-se 1º 
membro, e tudo o que sucede o sinal, 2º membro.
O conjunto universo é o conjunto de todos os valores que a incógnita pode assumir e é 
denotado por U. O conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, atribuídos a incógnita, que 
tornam verdadeira a equação ou a inequação, e é denotado por V. Os elementos do conjunto 
verdade de uma equação são denominados raízes da equação. 
Uma equação do primeiro grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na 
forma com e A equação do primeiro grau tem uma raiz e esta pode ser 
determinada resolvendo a equação para x. 
Uma equação do segundo grau na incógnita x é toda equação escrita na forma 
 com e . A equação do 2ºgrau possui duas raízes e estas são 
determinadas a partir da “fórmula de Bhaskara”:
em que é denominado discriminante da equação. Os tipos de raízes da 
equação do segundo grau dependem do valor do discriminante. A saber: 
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Exercícios de fixação
1) Resolva em as equações do primeiro grau a seguir.
A) 
B) 
C) 
D) 
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2) Resolva em as equações do segundo grau a seguir.
A) 
B) 
C) 
D) com 
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E) com 
3) Resolva em as equações que seguem.
A) 
B) 
 
4) Resolva em as inequações que seguem.
A) 
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B) 
C) 
D)
E) 
4) (UEM – PR) A equação possuiu duas raízes no conjunto dos números 
inteiros. A soma dessas raízes é ...
5) (ENADE) Sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada 
a cultura, é dada pela função com O tempo mínimo necessário para 
esse número ultrapassar 6 colônias é de 
(A) 1 hora.
(B) 2 horas. 
(C) 3 horas.
(D) 4 horas. 
(E) 6 horas.
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6) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida 
do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, 
com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a 
figura abaixo.
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
(A) 3/2 m 
(B) 4/3 m 
(C) 1 m 
(D) 2 m 
(E) 5/3 m
7) (ENADE) Suponha que um instituto de pesquisa de opinião pública realizou um trabalho 
demodelagem matemática para mostrar a evolução das intenções de voto nas campanhas dos 
candidatos Paulo e Márcia a governador de um Estado, durante 36 quinzenas. Os polinômios que 
representam, em porcentagem, a intenção dos votos dos eleitores de Paulo e Márcia na quinzena 
x são, respectivamente, e , em que 0 
≤ x ≤ 36 representa a quinzena, P(x) e M(x) são dados em porcentagens. De acordo com as 
pesquisas realizadas, a ordem de preferência nas intenções de voto em Paulo e Márcia sofreram 
alterações na quinzena
(A) 6. 
(B) 12. 
(C) 20.
(D) 22.
(E) 30.
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2. LOGARITMOS
O logaritmo de um número a na base b é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de 
modo que a potência bx  seja igual a a, sendo a e b números reais e positivos e . Desta forma, o 
logaritmo é a uma operação na qual queremos descobrir o expoente que uma dada base deve ter para 
resultar em uma certa potência. Assim,
Forma logarítmica Forma exponencial
As consequências da definição
• O logaritmo de qualquer base, cujo logaritmando seja igual a 1, o resultado será iguala 
0, ou seja, .
• Quando o logaritmando é igual a base, o logaritmo será igual a 1, assim, 
• Quando o logaritmo de b na base b possui uma potência m, ele será igual ao expoente m, 
ou seja .
• Quando dois logaritmos com a mesma base são iguais, os logaritmandos também serão 
iguais, ou seja, .
• A potência de base b e expoente será igual a a, ou seja, .
 A seguir são apresentadas as propriedades operatórias dos logaritmos. Sejam a, b, M e N 
números reais positivos, a e , temos
1º) logaritmo de um produto
2º) logaritmo de um quociente
3º) logaritmo de uma potência
4º) Mudança de base de um logaritmo
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Exercícios de fixação
9) Use a definição e calcule os logaritmos abaixo.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
10) Determine o valor do número real 
11) Determine o valor de .
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12) Determine os valores de x para os quais é possível resolver 
13) Dado que , , e , determine os logaritmos 
abaixo.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
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14) Se , então vale
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
15) Sendo e , o valor do é igual a
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
16) Sendo e , então o valor de x em é 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
17) Considere a equação , no conjunto dos números reais. A 
soma dos valores de x que satisfazem esta equação é
(A) 0. 
(B) 2. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 2/3.
18) (FUVEST) O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação 
 Então, é igual a
(A) 1/4 
(B) 1/2 
(C) 1 
(D) 3/2 
(E) 2
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19) (UEL) O iodo-131 é um elemento radioativo utilizado em medicina nuclear para exames de 
tireoide e possui meia-vida de 8 dias. Para descarte de material contaminado com 1 g de iodo-
131, sem prejuízo para o meio ambiente, o laboratório aguarda que o mesmo fique reduzido a 
10-6 g de material radioativo. Nessas condições e dado que , o prazo mínimo, em dias, 
para o descarte do material é de
(A) 20 
(B) 90 
(C) 140 
(D) 160 
(E) 200 
20) (CESGRANRIO) Um investimento de R$ 1.000,00 foi feito sob a taxa de juros compostos de 
3% ao mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$ 1.159,27. Qual o valor de t?
(Dados: ; ; )
(A) 5
(B) 7
(C) 10
(D) 12
(E) 15
21) Determine o valor de .
22) Qual o menor valor de x que torna a expressão verdadeira? Dado: 
 e 13).
23) (FGV) Um estudo do impacto ambiental provocado pelo desmatamento de uma região prevê 
que a quantidade de pássaros de certa espécie irá diminuir segundo a lei: em que n0 
(n0 > 0) é a quantidade estimada de pássaros antes do início do desmatamento e n(t) é a quantidade 
existente t anos depois. Determine o tempo necessário para que a população de pássaros dessa 
espécie se reduza à oitava parte da população no início do desmatamento.
24) O número de acessos a determinado site vem aumentando exponencialmente, de acordo com 
a função A = k.bm, onde k e b são constantes reais não nulas, como 
mostra o gráfico abaixo. A primeira medição (1.000 acessos) foi feita 
em janeiro. Considerando-se que o aumento exponencial observado 
tenha sido mantido ao longo dos meses, quantos foram os acessos a 
esse site em abril?
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04
SUMÁRIO DA UNIDADE
1. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO .................................................................................................54
2. RELAÇÕES BÁSICAS EM TRIGONOMETRIA .........................................................................................................60
TRIGONOMETRIA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVIERA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA BÁSICA
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1. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Define-se como triângulo retângulo a qualquer triângulo que possua um de seus ângulos 
internos reto, como ilustra a Figura 1.
Figura 1 – Triângulo retângulo
No triângulo retângulo da Figura 1 c é o valor da medida da hipotenusa; b e a são os 
valores das medidas dos catetos; é o cateto adjacente ao ângulo ; é o cateto oposto ao 
ângulo . Um teorema bastante importante que é obtido a partir de um triângulo retângulo é o 
Teorema de Pitágoras:
Em um triângulo retângulo podemos definir as razões trigonométricas. Vejamos:
Um ângulo é denominado de central quando possuir o vértice no centro da circunferência. 
A medida de um ângulo central é igual à medida de seu arco correspondente, como ilustra a 
Figura 2 (A). Define-se como 1 (um) grau, a medida do ângulo central cujo arco correspondente 
representa partes da circunferência, como ilustra a Figura 2(B). Define-se como 1 radiano 
(unidade rad) a medida do ângulo central, cujo arco correspondente representa o mesmo 
comprimento do raio dessa circunferência, como ilustra a Figura 2(C). A Tabela 1 apresenta 
alguns valores de seno, cosseno e tangente para alguns ângulos notáveis. 
(A) (B) (C)
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Figura 2 – (A) Ângulo central; (B) Medida de ângulo em grau; (C) Medida de ângulo em 
radiano.
Tabela 1 – Valores de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis
α 30º 45º 60º
seno
cosseno
tangente 1
Agora, vejamos algumas relações métricas em um triângulo retângulo, que são obtidas a 
partir de semelhança de triângulos.
LEI DOS SENOS
A lei dos senos determina que em um triângulo qualquer, a relação do seno de um ângulo é sempre 
proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. Esse teorema demonstra que num mesmo 
triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante. 
Figura 3 – Triângulo ABC
Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, como ilustrado na Figura 3, a lei dos senos 
admite as seguintes relações:
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LEI DOS COSSENOS
A  lei dos cossenos  é utilizada para calcular a medida de um lado ou de um ângulo 
desconhecido de um triângulo qualquer, conhecendo suas outras medidas. “Em qualquer 
triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, 
menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.” Assim, pela lei dos 
cossenos temos as seguintes relações entre os lados e os ângulos de um triângulo:
Exercícios de fixação
1) (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um 
ângulo de 120º com a margem do rio.
Sendo a largura do rio 60m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de
(A) (B) (C) (D) (E) 
2) (FGV) Qual a área do triângulo ABC indicado na figura?
3) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30º. Caminhando 
24 m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um 
ângulo de 60º. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio.
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4) Um avião decola de um ponto B sob a inclinação constante de 15º com a horizontal. A 2 km 
de B se encontra a projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura, 
conforme a figura. (Dados: 
É correto afirmar que
(A) não haverá colisão do avião com a serra.
(B) haverá colisão do avião com a serra antes de 
alcançar 540 m de altura.
(C) haverá colisão do avião com a serra em D.
(D) se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a 
inclinação, não haverá colisão do avião com a serra.
5) Para que o telhado de uma casa possa ser construído deve-se levar em consideração alguns 
fatores de dimensionamento, dentre os quais as especificações relacionadas com a largura e oângulo de elevação do telhado. Conforme exemplo ilustrado na figura a seguir. De acordo com as 
informações anteriormente indicadas no exemplo ilustrado, a medida da elevação do telhado é
(A) 0,90 m.
(B) 1,74 m.
(C) 1,80 m.
(D) 3,00 m.
(E) 3,48 m.
6) O Edifício Joelma tornou-se conhecido nacional e 
internacionalmente quando, em fevereiro de 1974, um 
incêndio provocou a morte de 188 pessoas. Foi inaugurado 
em 1971 e continha vinte e cinco andares, sendo dez de 
garagens. Hoje é denominado Edifício Praça da Bandeira. 
Suponha que cada andar tem 2 metros de altura e um carro 
de bombeiro tenha se posicionado em frente ao prédio 
incendiado. Se a inclinação máxima da escada é 30° e o seu 
tamanho máximo é 60m, qual será o último andar alcançado 
pela escada?
(A) 5º andar
(B) 7º andar
(C) 8º andar
(D) 10º andar
(E) 15º andar
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7) Um turista com um teodolito, situado a 120 metros da base da Torre Eiffel, mede o ângulo 
entre a horizontal e o topo da antena no alto da torre: 60,6º. Qual a altura da torre?
8) (UFG) Numa operação de emergência, os técnicos de uma empresa de telefonia, para dar 
sustentação a um poste, utilizaram um outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 
4m de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo. 
Considerando-se que foram utilizados 10m de cabo para ligar os dois postes, qual é a altura do 
poste telefônico em relação ao solo?
9) (UEM-PR) Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um aparelho, 
estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos a = 30° e β = 60° e a medida 
do segmento BC = 5 m, conforme especificado na figura. Nessas condições, a altura da torre, em 
metros, é..
10) (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, 
e o ângulo A vale 30º. O seno do ângulo B vale
(A) 1/2 
(B) 2/3
(C) 3/4 
(D) 4/5
(E) 5/6
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11) (UFSM) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou 
calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, 
segundo a figura.
Assim, a distância d é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
12) (UEL) Entre os povos indígenas do Brasil contemporâneo, encontram-se os Yanomami. 
Estimados em cerca de 9000 indivíduos, vivem muito isolados nos estados de Roraima e 
Amazonas, predominantemente na Serra do Parima. O espaço de floresta usado por cada aldeia 
Yanomami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três círculos concêntricos: o 
primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio 
de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária familiar; e o terceiro, com raio de 20 km, a 
área das expedições de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e novas. Considerando 
que um indivíduo saia de sua aldeia localizada no centro dos círculos, percorra 8 km em linha 
reta até um local de caça individual e a seguir percorra mais 8 km em linha reta na direção que 
forma 120° com a anterior, chegando a um local onde está localizada sua roça antiga, a distância 
do ponto de partida até este local é:
(A) (B) (C) 3 (D) (E) 
13) (UPM) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa em escala 1:10000, como na figura. Das 
alternativas, a que melhor se aproxima da distância entre as ilhas A e B é
(A) 2,3 km
(B) 2,1 km
(C) 1,9 km
(D) 1,4 km
(E) 1,7 km
14) (UFGO) Um avião, em procedimento de pouso, 
encontrava-se a 700 m de altitude, quando a linha que 
liga o trem de pouso ao ponto de toque formava um 
ângulo θ com a pista de pouso, conforme a ilustra-
ção abaixo. Para a aterrissagem, o piloto programou 
o ponto de toque do trem de pouso com o solo para 
300 m após a cabeceira da pista, indicada por C na 
figura. Sabendo que =0,28 e que o ponto P é a 
projeção vertical do trem de pouso no solo, determine 
a distância, em metros, do ponto P ao ponto C.
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15) (UNICAMP) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números ímpares inteiros 
consecutivos cuja soma é 15. A) Quais são esses números? B) Calcule a medida do maior ângulo 
desse triângulo.
2. RELAÇÕES BÁSICAS EM TRIGONOMETRIA
Se x é um ângulo agudo num triângulo retângulo. De acordo com as definições das funções 
trigonométricas, podemos verificar que:
Conhecendo os valores de senos, cossenos e tangentes dos ângulos notáveis, podemos calcular 
essas razões para alguns ângulos não notáveis. Veremos, então, algumas expressões que nos 
permitem encontrar o seno, o cosseno e a tangente de um arco, transformando-o em uma soma 
ou uma diferença de arcos. Dados dois arcos a e b, temos:
Estas expressões nos permitem encontrar o seno, o cosseno e a tangente de arcos que medem o 
dobro de um arco a dado.
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Exercícios de fixação
16) Simplificando a expressão 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 1
17) (FGV) Simplificando a expressão obtemos
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
12) Simplificando a expressão obtemos
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
13) Simplificando a expressão , obtemos 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
14) Sendo e , o valor de é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
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15) Calcule o valor de
A) 
B) cos
C) tg
16) Resolver a equação 
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17) Resolver a equação 
18) Em certa região, a temperatura média mensal, em graus Celsius, varia de acordo com a lei 
, em que t é medido em mês. Determine a amplitude térmica da região.
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19) Resolva a equação , sendo 
20) Resolva a equação