FUNÇÕES MATEMÁTICAS

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MATEMÁTICA
FUNÇÕES MATEMÁTICAS
Na Matemática, as funções correspondem a uma associação dos elementos de dois conjuntos, ou seja, a função indica como os elementos estão relacionados.
Por exemplo, uma função de A em B significa associar cada elemento pertencente ao conjunto A a um único elemento que compõe o conjunto B, sendo assim, um valor de A não pode estar ligado a dois valores de B.
Domínio, contradomínio e imagem de uma função
Quando temos uma função f, os conjuntos que estão sendo relacionados recebem nomes especias. Assim, considere uma função f que leva elementos do conjunto A para os elementos do conjunto B:
f: A → B
O conjunto A, do que partem as relações, é denominado domínio da função, e o conjunto que recebe as “flechas” dessa relação é chamado de contradomínio. Denotamos esses conjuntos da seguinte maneira:
Df = A → Domínio de f
CDf = B → Contradomínio de f
O subconjunto do contradomínio de uma função formado por elementos que se relacionam com elementos do conjunto é denominado imagem da função e é denotado por:
Imf → Imagem de f
Propriedades das funções matemáticas
Função sobrejetora - nesse caso todos os elementos do domínio possuem um elemento na imagem, ou seja, a imagem é igual ao contradomínio; 
Função injetora - nesse tipo de função, cada elemento do domínio está associado a um único elemento da imagem. Deste modo, dois elementos não podem ter a mesma imagem;
Função bijetora - se injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, a função é classificada bijetora. Nesse caso, dois números distintos não podem possuir a mesma imagem, bem como o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.
As funções matemáticas são assuntos fundamentais para o estudo da matemática. Do ensino fundamental ao médio são estudadas cerca de 13 funções. Confira: 
• Função constante;
• Função par;
• Função ímpar;
• Função afim ou função de primeiro grau;
• Função linear;
• Função crescente;
• Função decrescente;
• Função quadrática ou função de segundo grau;
• Função modular;
• Função exponencial;
• Função logarítmica;
• Funções trigonométricas;
• Função raiz.
Função constante
A função constante é aquela caracterizada pela fórmula: 
f(x) = k 
Na qual:
X = Domínio, ou seja, todas as possibilidades que podemos colocar para calcular o valor final.
F(x) = Valor final da função de acordo com cada valor de x
K = Símbolo universal para constantes, ou seja, para um valor que sempre vale o mesmo.
Isso significa que, independente do valor que colocarmos em x, o resultado final sempre será o mesmo. Como resultado disso, o seu gráfico será uma reta que passa sempre pelo mesmo valor.
 
Exemplo: gráfico da função f(x) = 2.
Pela própria forma da lei de formação, podemos deduzir que é uma função constante. Portanto, o “x” pode assumir qualquer valor que o resultado “y” sempre valerá 2. Assim, temos o seguinte gráfico: 
Função par
função par é quando seu gráfico possui simetria em relação ao eixo vertical, ou seja, para todo ponto do gráfico (x, f(x)), o ponto (-x, f(-x)), com f(x)= f(-x) também está no gráfico.
Observe no gráfico abaixo que existe uma simetria em relação ao eixo y. As imagens dos domínios x = – 1 e x = 1 são correspondentes com y = 0 e os domínios x = –2 e x = 2 formam pares ordenados com a mesma imagem y = 3. Para valores simétricos do domínio, a imagem assume o mesmo valor. A esse tipo de ocorrência damos a classificação de função par.
Um a função f é considerada par quando f(–x) = f(x), qualquer que seja o valor de x Є D(f)
Exemplo:	
 
Função ímpar
Função ímpar é quando seu gráfico possui simetria em relação à origem, ou seja, para todo ponto do gráfico (x, f(x)), o ponto (-x, f(-x)), com f(x)= --f(-x) também está no gráfico. 
Observe o gráfico e visualize que existe uma simetria em relação ao ponto das origens. No eixo das abcissas (x), temos os pontos simétricos (2;0) e (–2;0), e no eixo das ordenadas (y), temos os pontos simétricos (0;4) e (0;–4). Nessa situação, a função é classificada como ímpar.
Uma função f é considerada ímpar quando f(–x) = – f(x), qualquer que seja o valor de x Є D(f).
Exemplo:
 
Função afim ou função de primeiro grau
A função de primeiro grau ou função afim é uma norma matemática que relaciona as variáveis de uma equação, ou seja, a dependência de um elemento em relação ao outro. Por isso, a função de primeiro grau é utilizada para definir a relação entre as variáveis x e y. Isso porque para cada valor dado a x, determinará o de y. O seu valor sempre dependerá de x. 
O conjunto de valores determinados para x é conhecido por domínio e para os de y como imagem (contradomínio). Já as variáveis x e y são chamados, respectivamente, de variável independente e variável dependente. Sendo assim, a função afim é definida pela seguinte fórmula:
y = ax + b ou f(x) = ax +b
Exemplos de função de primeiro grau 
A função de primeiro grau – que também é nomeada de função polinomial – é escrita por y = ax + b, sendo que o número a é nomeado de coeficiente de x e b de termo constante. Vejamos:
y= 5x + 7 ( a = 5 e b = 7)
y = - 4x + 20 ( a = - 4 e b = 20)
y = 8x ( a= 8 e b = 0)
Embora o sinal do segundo exemplo seja negativo, a função não deixa de ser do primeiro grau. Já para as equações em que o b não está inscrito na fórmula, o seu valor sempre será igual a zero. 
Resoluções
O principal objetivo de uma função de primeiro grau é especificar o valor da variável desconhecida, ou seja, da incógnita. Elas podem ser representadas por qualquer letra do alfabeto, entretanto as mais aplicadas são x, y e z. Assim:
y = ax + b 
20 = 3x + 5
20 – 5 = 3x
15 = 3x
x = 15/3
x = 5
De acordo com os conceitos matemáticos, quando um número da equação passa para o outro lado do sinal de igual, deve-se inverter a operação. Ou seja, se tiver subtraindo, mudará somando. Se tiver multiplicando, mudará dividindo e vice- versa. 
No exemplo acima, ao mudar o número 5 para depois do sinal de igual, ele passou para subtrair o valor de y (20). Já o 3, que multiplica o x, mudou para dividir o resultado da subtração de y. 
As expressões em que a variável x é negativa, deve-se multiplicar todos os componentes da equação por - 1:
y = ax + b 
12 = - 2x + 10
12 = - 2x + 10 . (- 1)
- 12 = 2x - 10
- 12 + 10 = 2x
- 2 = 2x
x = - 2/ 2
x = - 1
Gráfico da função de primeiro grau
A função de primeiro grau é caracterizada nos gráficos por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo dos valores do coeficiente angular (a) e do ponto de intersecção com o eixo y do plano cartesiano (b). 
Função Linear
A função linear é um tipo especial de função do 1° grau é aquela em que temos b = 0, isto é, sua lei de formação é do tipo f(x) = a.x, com a real e diferente de zero. Observe que toda função que não possui valor para o coeficiente b é classificada como função linear e, por consequência, é também uma função afim
Exemplos: f(x) = 2x
Essa é uma função linear que pode ser classificada como crescente, uma vez que a = 2 > 0. Podemos visualizar seu gráfico na imagem a seguir:
f(x) = 
Essa é uma função linear decrescente, pois a = – ½ < 0. Observe seu gráfico na figura a seguir:
f(x) = 3x
Essa é uma função linear classificada como crescente, já que a = 3 > 0. Podemos visualizar seu gráfico na imagem a seguir:
 
f(x) = – x
Essa é uma função linear decrescente. Ela é assim classificada porque a = – 1 < 0. Veja seu gráfico:
Observe que em todos os exemplos anteriores os gráficos apresentam algo em comum. Esta é uma característica muito importante do gráfico da função linear: a reta sempre intercepta os eixos x e y na origem das coordenadas (0,0).
f(x) = x
Temos aqui uma função linear crescente, pois a = 1 > 0. Mas além de ser uma função linear f(x) = x, é também uma função identidade — que é do tipo f(x) = a.x, com a = 1. Veja a seguir como é o gráfico da função identidade:
Função crescente
Quando a for maior que zero (a > 0), a função será positiva e, consequentemente, crescente. Isso acontece porque à medida que os valores de x aumentam, os de ytambém crescem. 
No processo de construção do gráfico, deve-se determinar valores reais de x para encontrar os de y. Entenda no plano cartesiano da função y = 2x – 1 (a = 2 e b = - 1). Na tabela a seguir atribuímos os valores de x = 1 e x = 2:
	
	y = 2x-1
	Y
	Par ordenado (x,y)
	X = 1
	y = (2.1) – 1
	1
	(1, 1)
	X = 2
	y= (2.2) – 1
	3
	(2, 3)
O eixo horizontal corresponde aos valores de x e no vertical os de y.
Função decrescente
Quando a for menor que zero (a < 0), a função será negativa e decrescente. Isso acontece porque nos momentos em que os valores de x aumentam, os de y diminuem. 
Veja no gráfico da função y = - x + 4 (a = -1 e b = 4):
	
	y = - x + 4
	y
	Par ordenado (x, y)
	X= - 2
	y = - ( - 2) + 4
	6
	(-2, 6)
	X = 1
	y = - ( 1) + 4
	3
	(1, 3)
Função quadrática ou função de segundo grau
A função de segundo grau, também chamada de função quadrática ou função polinomial do 2° grau, é escrita como: f(x) = ax² + bx + c. Sendo os coeficientes "a, b e c" números reais e "a" diferente de 0 (zero). 
O grau da função é determinado de acordo com o maior expoente que a incógnita x assume. Ou seja, se em uma função a incógnita x não tiver nenhum expoente, ela é classificada como de primeiro grau, mas se ela tiver o número dois como maior expoente, ela é classificada como de segundo grau.
 A função de segundo grau é ordenada de forma decrescente em relação aos seus expoentes. Confira como acontece a organização dela:
• f(x) = bx+ ax² + cx°: os expoentes que acompanham a incógnita x são respectivamente: 1, 2 e 0;
• f(x) = ax² + bx + cxº=0: deve-se organizar de forma decrescente os valores dos expoentes que acompanham as incógnitas;
• f(x) = ax² + bx + c = 0: sabendo que qualquer valor elevado ao expoente 0 (zero) é 1, temos cxº= c, logo 1 = c.
Função de segundo grau completa e incompleta
Uma função de segundo grau pode ser classificada como completa se todos os seus coeficientes (a, b e c) forem diferentes de 0 (zero). 
Exemplos:
f(x) = 2x² + 2y+ 1 --> a = 2, b = 2 e c = 1
f(x) = x² + 4y+ 6 --> a = 1, b = 4 e c = 6
A função de segundo grau também pode ser classificada como incompleta se um dos coeficientes, b ou c, forem iguais a 0 (zero). 
Exemplos:
f(x) = 2x² + 2 --> a = 2, b = 0 e c = 2
f(x) = 5x² --> a = 5, b = 0 e c = 0
Gráfico da função de segundo grau
A representação gráfica da função de segundo grau é uma parábola. Se a > 0, a concavidade da parábola estará voltada para cima e se a < 0, a concavidade da parábola estará voltada para baixo.
 
A parábola apresenta alguns elementos essenciais: as raízes (pontos onde o gráfico intercepta o eixo x) e o vértice (ponto de máximo ou mínimo a função). 
Vértice - para identificar o valor do vértice deve-se as fórmulas abaixo:
Pontos do vértices
Onde, = b² - 4ac e:
De acordo com é possível prever em quantos pontos o eixo x será interceptado:
• Se > 0, a função tem duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes;
• Se = 0, a função tem duas raízes reais iguais e a parábola é tangente ao eixo x;
• Se < 0, a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x;
Raízes - já para encontrar as raízes da função é mais simples, basta utilizar a 
fórmula de Bhaskara:
Estudo dos coeficientes "b e c"
Os coeficientes da equação são elementos que interferem na construção do gráfico. O coeficiente “a”, como já explicado, determina a concavidade da parábola. 
Enquanto o coeficiente “c” indica onde a parábola corta o eixo Y, estabelecendo as seguintes relações:
Se c>0, a parábola irá cortar o eixo Y acima da origem;
Se c<0, a parábola irá cortar o eixo Y abaixo da origem; 
Se c=0, a parábola irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0).
Já o coeficiente “b” determina a inclinação da parábola após passar o eixo y, estabelecendo as seguintes relações:
Se b<0, a partir do ponto de corte do eixo Y a curvatura da parábola irá descer;
Se b >0, a partir do ponto de corte do eixo Y a curvatura da parábola irá subir;
Se b = 0, após o ponto de corte não haverá inclinações.
Função modular
A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação.
De maneira mais formal, podemos definir função modular como:
f(x) = |x| ou y = |x|
A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:
f(x) = x, se x≥ 0 ou f(x) = – x, se x < 0
Essas características decorrem da definição de módulo.
Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = –x
O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:
A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.
Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Solução: pela definição de módulo, temos que:
f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0 e f(x) = – (x2 – 3x), se x<0
Daí, segue que:
x2 – 3x = 0
x = 0 ou x = 3, logo :
Temos também que:
– (x2 – 3x) = 0
x = 0 ou x = 3
Daí, segue que:
Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Função exponencial
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1.
Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.
Exemplos:
f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.
Gráfico da função exponencial
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).
Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.
Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica.
Função logarítmica
A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como f(x) = logax, com a real positivo e a ≠ 1.
Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x.
Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemosconstruir o gráfico da função logarítmica.
No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.
Funções trigonométricas
As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas são:
Função Seno
Função Cosseno
Função Tangente
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.
Funções Periódicas
As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.
O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A
O menor valor positivo de p é chamado de período de f.
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.
Função Seno
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = sen x
No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 1.
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:
Função Cosseno
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = cos x
No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo. 
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1.
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:
Função Tangente
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:
função f(x) = tg x
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.
Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x).
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:
Função raiz
A função raiz é definida pela fórmula:
f(x) = imagem
x = domínio
n = índice
Podemos reescrever da seguinte forma:
f(x) = x1/n
f(x) = imagem;
1/n = expoente. O n sempre deve ser positivo, ou seja, um número natural;
x = domínio. O x pode ser positivo ou negativo. Para x positivo, n pode ser ímpar ou par; para x seja negativo, n poderá ser somente ímpar. Essa restrição está relacionada com o fato de não existir raiz quadrada para n par e x negativo.
GRÁFICO DA FUNÇÃO RAIZ
A função raiz é positiva e crescente. À medida que o valor numérico de n aumenta, o crescimento diminui. Veja um comparativo:
Para f(x) = x ½ (n = 2) e f(x) = x 1/5 (n = 5):
EXEMPLOS DE FUNÇÃO RAIZ
Considere x = 16.
a) f(x) = x ½
b) f(x) = x1/4
Solução
a) f(x) = x ½
f(x) = 161/2
Fatore:
16|2
08|2
04|2
02|2
01|
f(x) = (2)4 . ½
f(x) = (2)4/2
f(x) = (2)2
f(x) = 4
b) f(x) = x1/4
f(x) = 161/4
Utilize a fatoração obtida anteriormente:
f(x) = 24 . ¼
f(x) = 24/4
f(x) = 21
f(x) = 2
2