NÚMEROS BINOMIAIS E TRIÂNGULO DE PASCAL 04

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NÚMEROS BINOMIAIS E TRIÂNGULO DE PASCAL – TD 04 PROFESSOR CARLOS CLEY
1
NÚMEROS BINOMIAIS
Número binomial é todo número da forma:
p)!(np!
n!
p
n







, (n, p  N e 0  p  n).
n é o numerador e p é o denominador do
binomial.
Ex: 35
!4.6
!4.5.6.7
!4!.3
!7
3)!(73!
7!
3
7








para p = 0 ,
1
!0
1
0!.n!
n!
0
n






para p = 1,
n
1)!1.(n
1)!n.(n
1)!1!.(n
n!
1
n











para p = n,
1
!0
1
n!.0!
n!
n)!n!.(n
n!
n
n








Exemplos:
 1;
0
5






7
1
7






e 1
9
9






.
Atenção!
p n, Cp)!p!.(n
n!
p
n













01. Calcule:
a) C 10,5
b) 





3
11
c) 





0
17
d) 





1
51
e) 





72
72
02. Resolva a equação 











6
x
 5.
7
x
.
Dois números binomiais são
consecutivos se tem mesmo numerador e
denominadores consecutivos.






p
n
e










 1p
n
são binomiais consecutivos.
Ex1: 





3
7
e 





4
7
são binomiais consecutivos
Ex2: 





5
8
e 





4
8
são binomiais consecutivos.
Propriedade (Relação de Stifel)
A soma de dois binomiais consecutivos
resulta num binomial cujo numerador é uma
unidade maior que o numerador dos binomiais
somados, e cujo denominador é o maior dos
denominadores envolvidos na soma.





















1p
1n
1p
n
p
n
Ex: 


















3
6
3
5
2
5
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2
03. Reduza cada soma a um único número
binomial:
a) 











8
12
 
7
12
b) 











10
23
 
9
23
c) 























12
20
10
18
11
19
 
9
18
d) 
























7
17
6
16
5
15
4
15
Michael Stifel (1486-1567) foi
um matemático alemão que descobriu
o logarítmo e inventou uma breve tabela
logarítimica décadas antes de John Napier.
Entrou no monastério de Augustinian, em
Esslingen, e foi ordenado em 1511. Foi expulso
do monastério em 1522, por acreditar que de
certa forma a igreja retinha dinheiro dos mais
pobres. Procurou refúgio com Luteranos e
viveu na própria casa de Lutero por um tempo.
Lutero conseguiu um cargo de pastor para
Stifel, mas ele cometeu o erro de querer
“prever” o fim do mundo. Quando perceberam
que ele estava errado, foi preso e demitido de
seu cargo. Em 1559 Stifel conseguiu um cargo
na universidade de Jena, onde lecionou
aritmética e geometria, embora sua pesquisa
fosse sobre aritmética e álgebra. Também
criou um regra para o binômio de Newton que
mencionava que "a soma de dois números
binomiais de mesmo numerador e
denominadores consecutivos é um
número binomial cujo numerador possui
uma unidade a mais que os numeradores
das parcelas e o denominador é o maior
dos denominadores das parcelas." Essa
regra ficou conhecida como Relação de Stifel.
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel, acessado em 13/08/2013.Adap.)
04. Demonstre a relação de Stifel:





















1p
1n
1p
n
p
n
.
BINOMIAIS COMPLEMENTARES
Dois binomiais são complementares se
tem mesmo numerador e denominadores cuja
soma resulta o numerador.






p
n
e 





 pn
n
são complementares.
Ex: 





2
6
e 





4
6
são complementares.
Propriedade
Binomiais complementares são iguais.














pn
n
p
n
Ex: 












1
100
99
100
05. Reduza cada soma 











5
37
 
31
37
a um único
número binomial.
NÚMEROS BINOMIAIS E TRIÂNGULO DE PASCAL – TD 04 PROFESSOR CARLOS CLEY
3
06. O determinante abaixo vale zero.
Justifique.
4!
9
14
5
14
 
 5!
4
15
11
15
 
1!
7
13
6
13
 




































Igualdade
Considere os dois números binomiais






p
n
e 





q
n
. Se 












q
n
p
n
, então:
p = q ou p + q = n
07. Calcule x nas equações:
a) 











11-5x
17
 
2x
17
b) 
















 5x
x
3x
x 22
c) 


















3
9
2
9
x
10
d) 


















6
11
x
10
5
10
TRIÂNGULO DE PASCAL
Quando expomos os binomiais 





p
n
em
linhas e colunas, de modo que os de mesmo
numerador fiquem em uma mesma linha e os
de mesmo denominador fiquem em uma
mesma coluna, estamos construindo o
triângulo de Pascal . Veja!
































































































































































































































n
n
 . . . 
6
n
 
5
n
 
4
n
 
3
n
 
2
n
 
1
n
 
0
n
 n linha
 . . . . . . . . 
 . . . . . . . . 
 . . . . . . . . 
6
6
 
5
6
 
4
6
 
3
6
 
2
6
 
1
6
 
0
6
 6 linha
5
5
 
4
5
 
3
5
 
2
5
 
1
5
 
0
5
 5 linha
4
4
 
3
4
 
2
4
 
1
4
 
0
4
 4 linha
3
3
 
2
3
 
1
3
 
0
3
 3 linha
2
2
 
1
2
 
0
2
 2 linha
1
1
 
0
1
 1 linha
0
0
 0 linha
Substituindo-se cada elemento do
triângulo pelo seu resultado, por exemplo, até
a linha 6, o triângulo fica assim:
linha 0  1
linha 1  1 1
linha 2  1 2 1
linha 3  1 3 3 1
linha 4  1 4 6 4 1
linha 5  1 5 10 10 5 1
linha 6  1 6 15 20 15 6 1
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4






























 







1n
1pn
 
n
pn
 ... 
n
2 n
 
n
1n
 
n
n
Propriedades
 O primeiro elemento de cada linha é da
forma 





0
n
, logo é igual a 1.
 O último elemento de cada linha é da forma






n
n
, logo é igual a 1.
 Em uma linha, binomiais equidistantes dos
extremos são iguais. Veja!
 1 5 10 10 5 1 
 
5
5
 
4
5
 
3
5
 
2
5
 
1
5
 
0
5





































 A soma de dois elementos consecutivos de
uma mesma linha é igual ao elemento
situado imediatamente abaixo do segundo
elemento somado (relação de Stifel).Veja!
 A soma de todos os elementos de uma
mesma linha do triângulo de Pascal é igual a
n2 , onde n é a ordem da linha. Veja!
linha 0  1  20 = 1
linha 1  1 1  21 = 2
linha 2  1 2 1  22 = 4
linha 3  1 3 3 1  23 = 8
linha 4  1 4 6 4 1  24 = 16
linha 5  1 5 10 10 5 1  25 = 32
n2 
n
n
 ... 
3
n
 
2
n
 
1
n
 
0
n
 





























 A soma dos elementos de uma mesma
coluna do triângulo de Pascal, iniciando-se
com o 





n
n
, é igual ao elemento situado na
linha imediatamente abaixo e na coluna
imediatamente à direita da coluna do último
elemento somado.
 A soma dos elementos de uma mesma
diagonal do triângulo de Pascal, iniciando-se
com o 





0
n
, é igual ao elemento situado na
mesma coluna e na linhaimediatamente
abaixo da linha do último elemento somado.





 





 





 





 






p
1pn
 
p
pn
 ... 
2
2 n
 
1
1n
 
0
n
08. Aplicando as propriedades, complete:
a) 























8
8
...
2
8
1
8
0
8
b) 























8
15
...
8
10
8
9
8
8
c) 























7
15
...
2
10
1
9
0
8
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5
09. (Bahiana) A expressão 












8
12
7
12
E é
equivalente a:
A) 





15
24
B) 





7
11
C) 





7
13
D) 





5
13
E) 





9
12
10. O grande cientista francês Pierre de
Fermat (1601-1665) descobriu a seguinte
relação envolvendo números binomiais
consecutivos:














 p
n
 .
1p
pn
1p
n
Usando a expressão acima, calcule o valor de
x na igualdade 











9
x
 3.
10
x
.
RESOLVA EM CASA!
11. (UNIFOR) A soma
























25
30
...
2
7
1
6
0
5
é igual a:
A) 





25
31
D) 





25
30
B) 





26
30
E) 





27
31
C) 





26
31
12. (UNEB) Sabendo que a diferença entre os
números binomiais 





3
n
e 





2
n
é igual a zero,
pode-se afirmar que o determinante da matriz








n1
21
é igual a
01) – 3 04) 4
02) – 1 05) 6
03) 2
13. (PUC) Se 












1p
n
p
n
A) p = p + 1 D) n é ímpar
B) n é par E) n.r.a
1pp C)  e n = p + (p + 1)
14. (PUC) Resolver a equação:
C(x + 2), 4 = 11.Cx,2
A) x = 10
B) x = - 13
C) x = 10 ou x = - 13
D) solução impossível
E) n.r.a.
NÚMEROS BINOMIAIS E TRIÂNGULO DE PASCAL – TD 04 PROFESSOR CARLOS CLEY
6
15. A soma 























28
30
...
2
4
1
3
0
2
é igual a
A) 





29
31
D) 





29
29
B) 





28
31
E) n.d.a.
C) 





28
30
 .2
16. Calcule o valor de 

n
1i
i , sem usar a
fórmula para o cálculo da soma dos termos de
uma progressão aritmética.
17. Calcule a soma 


n
1i
1)i.(iS .
18. Calcule a soma 2).(i1)i.(iS
n
1i


.
19. A soma das raízes da equação


















2x
25
16
24
7
24
, é:
A) 0 D) 22
B) 1 E) 172
C) 2
20. O valor de 
1
3n
1
2n
8
8
1
2n
1
1n
0
6
1
1n
1
n
0
5
 





 





 











 





 











 












, é:
A) 0 D) 2n
B) 3 E) n + 4
C) n
21. A expressão 






20
2p
p
20
é igual a:
A) 220 D) 220 – 3
B) 220 – 1 E) 220 – 4
C) 220 – 21
22. Um conjunto A tem n elementos. O
número de subconjuntos de A com quatro
elementos é igual ao número de subconjuntos
de A com oito elementos. O número de
elementos de n é:
A) 8 D) 11
B) 9 E) 12
C) 10
23. (PUC) No triângulo de Pascal
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
. . . . . . . .
A soma dos elementos da linha n com os da
linha n + 1 é:
A) n(n+1) D) 2.2n+1
B) 2n.2n+1 E) 3n.2n+1
C) 3.2n
24. (UFMG) Calcule n para que 





1
n
, 





2
n
, 





3
n
estejam em PA.
A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
C) 5
25. (UECE) A soma das soluções da equação













14x
18
8
18
é:
A) 8 D) 7
B) 5
C) 6
GABARITO
11 A 16  21 C
12 01 17  22 E
13 D 18  23 C
14 A 19 A 24 E
15 B 20 A 25 B
 – n.(n+1)/2
 – n.(n+1).(n+2)/3
 – n.(n+1).(n+2).(n+4)/4