Ebook Matemática Financeira - FGV

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Matemática Financeira – Versão 1 2 
 
Fundação Getulio Vargas 
Programa de Certificação de Qualidade 
 
Curso: 
Graduação em Administração 
 
Matemática Financeira 
 
 
 
Professor elaborador: 
Gerson Lachtermacher é Ph.D e M.Sc. em Management Sciences pela 
University of Waterloo – Ontário, Canadá. Engenheiro elétrico pela UFRJ. Autor 
de diversos artigos nacionais e internacionais e dos livros Pesquisa operacional 
na tomada de decisões (LTC/GEN, 2016), Introdução à matemática financeira 
(FGV/Saraiva, 2012), Matemática financeira – Série Management (FGV, 2018). 
Ex-diretor de Gestão Acadêmica do IDE-FGV. Ex-professor associado da FCE-
UERJ. Ex-professor de graduação e mestrado do IBMEC-RJ e da UFRJ, ex-
coordenador do curso de Administração do IBMEC-RJ e ex-diretor acadêmico 
do IBMEC Tecnologia Educacional (IbmecTE). 
 
Matemática Financeira – Versão 1 3 
 
Sumário 
 
Capítulo 1 – Conceituação de juros e regime de capitalização .......................... 7 
1.1. Princípios básicos .................................................................................... 7 
1.2. Juros ........................................................................................................ 7 
1.3. Taxa de juros ........................................................................................... 8 
1.4. Regime de capitalização e de juros ....................................................... 10 
1.4.1. Capitalização descontínua, ou discreta ........................................... 11 
1.4.2. Regime de juros simples .................................................................. 11 
1.4.3. Regime de juros compostos ............................................................ 12 
1.4.4. Evoluções dos montantes segundo os regimes de capitalização .... 14 
Capítulo 2 – O regime de juros simples ........................................................... 15 
2.1. Princípios básicos .................................................................................. 15 
2.2. Juros simples ......................................................................................... 15 
2.2.1. Períodos fracionários ....................................................................... 17 
2.2.2. Juros simples na HP 12C ................................................................ 18 
2.2.3. Juros simples no Excel .................................................................... 20 
2.3. Juro exato e juro comercial .................................................................... 21 
2.3.1. Juro exato e juro comercial (ou ordinário) na HP 12C ..................... 22 
2.3.2. Juro exato e juro comercial (ou ordinário) no Excel ......................... 24 
2.4. Valor nominal e valor atual ..................................................................... 24 
2.5. Equivalência de capitais – juros simples ................................................ 26 
Capítulo 3 – O regime de juros compostos ...................................................... 28 
3.1. Princípios básicos .................................................................................. 28 
3.2. Relações em regime de juros compostos .............................................. 28 
3.2.1. Utilização da HP 12C em regime de juros compostos ..................... 30 
3.2.2. Utilização do Excel em regime de juros compostos ......................... 32 
Matemática Financeira – Versão 1 4 
 
3.3. Números fracionários de períodos ......................................................... 34 
3.3.1. Convenção linear ............................................................................. 34 
3.3.2. Convenção exponencial ................................................................... 35 
3.3.3. Períodos fracionários na HP 12C..................................................... 36 
3.3.4. Períodos fracionários no Excel ........................................................ 37 
3.4. Valor nominal e valor atual ................................................................. 38 
3.5. Equivalência de capitais – juros compostos ....................................... 39 
Capítulo 4 – Os diversos tipos de taxas ........................................................... 41 
4.1. Taxas proporcionais ............................................................................... 41 
4.2. Taxas equivalentes ................................................................................ 41 
4.2.1. Taxas equivalentes no regime de juros simples .................................. 41 
4.2.2. Taxas equivalentes no regime de juros compostos ............................ 42 
4.3. Taxa efetiva e taxa nominal ................................................................... 44 
4.4. Taxa real e taxa aparente ...................................................................... 46 
4.5. Taxa over ............................................................................................... 49 
Capítulo 5 – A operação de desconto .............................................................. 51 
5.1. Princípios básicos .................................................................................. 51 
5.2. Descontos simples ................................................................................. 51 
5.2.1. Desconto racional simples ............................................................... 51 
5.2.2. Desconto comercial simples ............................................................ 53 
5.2.3. Desconto bancário ........................................................................... 54 
5.2.4. Taxa de juros implícita ou efetiva..................................................... 55 
5.3. Descontos compostos ............................................................................ 59 
5.3.1. Desconto racional composto, ou desconto financeiro ...................... 60 
Capítulo 6 – Equivalência financeira ................................................................ 61 
6.1. Conceito de capitais equivalentes .......................................................... 61 
6.1.1. Capitais equivalentes no regime de juros simples ........................... 61 
Matemática Financeira – Versão 1 5 
 
6.1.2. Capitais equivalentes no regime de juros compostos ...................... 61 
6.2. Conceito de conjuntos equivalentes de capitais..................................... 62 
6.2.1. Conjuntos equivalentes no regime de juros simples ........................ 63 
6.2.2. Conjuntos equivalentes no regime de juros compostos ................... 63 
6.3. Vencimento comum ............................................................................... 63 
6.4. Vencimento médio ................................................................................. 65 
6.5. Compras a prazo .................................................................................... 65 
6.5.1. Regime de juros simples .................................................................. 66 
6.5.2. Regime de juros compostos ............................................................ 67 
Capítulo 7 – Anuidades constantes .................................................................. 73 
7.1. Definições e classificações .................................................................... 73 
7.2. Anuidades periódicas, uniformes e finitas .............................................. 75 
7.2.1. Anuidades postecipadas .................................................................. 75 
7.2.2. Anuidades antecipadas .................................................................... 88 
7.2.3. Anuidades diferidas ......................................................................... 94 
7.3. Anuidades periódicas, uniformes e perpétuas ....................................... 96 
7.3.1. Anuidades perpétuas postecipadas ................................................. 96 
7.3.2. Anuidades perpétuas antecipadas ...................................................98 
Capítulo 8 – Amortização de débitos ................................................................ 99 
8.1. Princípios básicos de amortização de dívida ......................................... 99 
8.1.1. Empréstimos a curto prazo .............................................................. 99 
8.1.3. Relações básicas ........................................................................... 102 
8.2. Método Francês, ou de prestações constantes.................................... 104 
8.2.1. Construção do quadro de amortização .......................................... 108 
8.2.2. Uso da HP 12C .............................................................................. 109 
8.3. Método das quotas constantes ou sistema de amortizações constantes
 .................................................................................................................... 109 
Matemática Financeira – Versão 1 6 
 
Capítulo 9 – Correção monetária ................................................................... 112 
9.1. Princípios básicos da correção monetária ........................................... 112 
9.2. Empréstimos no Sistema Financeiro de Habitação .............................. 114 
Capítulo 10 – Referências bibliográficas ........................................................ 118 
10.1. Bibliografia básica .............................................................................. 118 
10.2. Bibliografia complementar .................................................................. 118 
 
 
 
Matemática Financeira – Versão 1 7 
 
Capítulo 1 – Conceituação de juros e regime de 
capitalização 
Este capítulo é uma introdução aos conceitos de juros e regimes de 
capitalização. Serão vistos os seguintes tópicos: 
 
 Princípios básicos 
 Juros 
 Taxa de juros 
 Regimes de capitalização de juros 
 
1.1. Princípios básicos 
O objeto da matemática financeira é o estudo das relações formais que ligam 
quantidades monetárias que são trocadas em pontos distintos no tempo. 
O objetivo da matemática financeira é estudar a evolução do dinheiro ao longo 
do tempo. O valor de uma quantia se altera no tempo por diversos motivos, entre 
eles o processo inflacionário e a decisão de um indivíduo ou uma empresa sobre 
quando determinado consumo deve ser feito. 
Uma consequência fundamental da variação do valor ao longo do tempo é o fato 
de que a comparação entre quantias consideradas em datas distintas só pode 
ser efetuada quando referenciadas a uma mesma data. Portanto, operações 
algébricas só podem ser realizadas quando referenciadas a um só momento no 
tempo. 
1.2. Juros 
Do ponto de vista da economia, os fatores de produção são divididos em 
trabalho, capital, terra e capacidade empresarial; por sua participação em certo 
processo produtivo, cada fator conta com uma remuneração. As quatro são, 
respectivamente, salário (do trabalho), juro (do capital), aluguel (da terra) e lucro 
(da capacidade empresarial). 
Conceitualmente, o juro é definido como a remuneração, a qualquer título, 
atribuída ao fator capital; ou, intuitivamente, é o valor pago a um agente 
econômico para postergar seu consumo (poupar). 
Matemática Financeira – Versão 1 8 
 
Assim, por exemplo, ao emprestarmos uma certa quantia por determinado 
período, costumamos cobrar um valor monetário, o juro, para que, no fim de um 
prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de 
um acréscimo que compense o fato de não termos utilizado o capital durante o 
período do empréstimo. Podemos, ainda, dizer que o ato de poupar, que implica 
trocar consumo presente por consumo futuro, é motivado por um prêmio – a 
possibilidade de um maior consumo –, que é denominado juros. 
Como o capital no mundo pode, economicamente, ser considerado um bem 
escasso, os juros podem ser entendidos como a remuneração paga por um 
agente econômico pela utilização do capital de outro agente econômico durante 
determinado período. 
1.3. Taxa de juros 
Na prática, a determinação do valor do juro cobrado em qualquer transação 
financeira é efetuada mediante a consideração de um coeficiente denominado 
taxa de juros. A taxa de juros, que sempre é referida a certo período de tempo – 
mês, semestre, ano etc. –, nada mais é do que a remuneração pela utilização da 
unidade de capital durante o período a que se refere. Ou seja, a taxa de juros 
pode ser interpretada como o “preço” cobrado pela utilização da unidade de 
capital durante o período considerado, ou, de maneira mais livre, como o “preço 
do dinheiro”. 
As taxas de juros costumam ser apresentadas sob uma das seguintes formas 
equivalentes: forma unitária e forma percentual. 
Assim, se uma empresa empresta R$100,00 pelo prazo de um mês e cobra o 
juro de R$10,00, diz-se que a taxa de juros foi de 10/100 = 0,10 ao mês (forma 
unitária), ou 10% ao mês (forma percentual). De maneira semelhante, se o 
empréstimo de R$100,00 pelo prazo de 12 meses fizer jus a uma remuneração 
de R$12,00, diremos que a taxa de juros será de 12/100 = 0,12 pelo período de 
12 meses; em outras palavras, a taxa de juros será de 0,12 ao ano (forma 
unitária), ou 12% ao ano (forma percentual). 
Genericamente, considerando i a taxa de juros, C0 o capital aplicado 
(emprestado) e C1 o capital recebido ao final de um período de tempo, que 
tomaremos como unidade, os juros J auferidos na transação serão: 
Matemática Financeira – Versão 1 9 
 
 
J = C1 – C0 
 
A taxa de juros relativa ao período considerado será: 
 
Sob a forma unitária: 
 
Sob a forma percentual: 
Na maioria das vezes, as taxas de juros costumam ser números positivos. 
Entretanto, isso nem sempre acontece. 
Para esclarecer esse ponto, suponha que uma operação financeira que estamos 
interessados em analisar seja a aquisição de um lote de ações na bolsa de 
valores. Se aplicamos R$100,00, é possível que, com sorte, o lote de ações 
passe a valer R$120,00 um ano após a data da aquisição. Nesse caso, o valor 
auferido como juros, aqui chamado de lucro, é de R$20,00. Consequentemente, 
a taxa de juros, que nesse tipo de operação é denominada taxa de rentabilidade, 
será: 
 
Entretanto, no caso de aplicações em ações, que são ativos de risco, é comum 
acontecer o inverso – o preço das ações cair. Assim, se, no final do ano o lote 
das ações passar a valer somente R$80,00, teremos: 
 
 
Matemática Financeira – Versão 1 10 
 
E, para o cúmulo do azar, se a empresa que emitiu as ações falir, as ações 
podem não ter mais nenhum valor. Ou seja, o capital final será nulo. Nessas 
condições, teremos: 
 
 
Logo, de maneira geral, podemos dizer que taxas de juros (rentabilidade) são, 
sob forma unitária, números reais não inferiores a –1 (i ≥ -1). Antes de 
prosseguirmos devemos apresentar algumas definições: 
 Capital (principal ou valor presente). Corresponde ao valor de uma 
quantia na data zero e é representada por C0 ou C. 
 Montante (valor futuro). Corresponde ao valor de uma quantia numa data 
futura (n diferente de zero) e é representada por Cn ou Sn. 
 Número de períodos de capitalização. Corresponde ao número de 
períodos em que o capital será acrescido de juros e é representado por 
n. 
 Fator de taxa de juros ou de capitalização (1+i). Corresponde ao valor 
da taxa de juros unitária, em determinado período, acrescida de uma 
unidade. 
Esses valores são relacionados, para um período, da seguinte forma: 
 
 
 
1.4. Regime de capitalização e de juros 
Regime de capitalização é o processo de formação do juro. Esse processo pode 
ocorrer sob a forma contínua ou descontínua (discreta). 
O processo de capitalização contínua pressupõe que os juros são acrescidos ao 
capital em intervalos de tempo infinitesimais (dt do cálculo matemático). Já no 
Matemática Financeira – Versão 1 11 
 
processo de capitalização descontínuo (ou discreto), os juros são acrescidos ao 
final de um período discretode tempo (que é o período a que se refere a taxa de 
juros considerada). 
Caso tenha interesse e conhecimento em cálculo integral, sugerimos a leitura do 
livro Fundamentos da matemática financeira, de Clovis de Faro (Saraiva, 2006), 
para entender melhor o regime de capitalização contínua. 
1.4.1. Capitalização descontínua, ou discreta 
Na prática, convencionou-se que o juro só é formado no fim de cada período a 
que se refere a taxa de juros considerada. Ao pé da letra, esse é o procedimento 
adotado no caso de aplicações em cadernetas de poupança e em recibos de 
depósitos bancários (RDBs). Ou seja, ao fim de cada período, o capital sofre um 
acréscimo proporcional a esse capital, em que o fator de proporcionalidade (i) é 
a taxa de juros para o período considerado. 
Dentro desse caso também existe uma variação com relação à base sobre a qual 
incidirá a taxa de juros. Dois tipos de regimes de juros podem ser utilizados: 
simples e composto. No regime de juros simples, as taxas de juros incidirão 
somente sobre o capital inicial (C). No regime de juros compostos, as taxas de 
juros incidirão sobre o valor do capital ao final do período anterior (Sn-1). 
Se o número de períodos de uma aplicação for igual a 1, os dois regimes serão 
equivalentes. 
1.4.2. Regime de juros simples 
No regime de juros simples, os juros são definidos como a diferença entre o valor 
aplicado e o valor recebido ao final de uma aplicação. No caso de um único 
período: 
J = S1 – C ⇔ S1 = C + J = C + C x i 
Isto é, o montante (S1) ao final do primeiro período (n = 1) é igual ao capital inicial 
(C) mais os juros devidos por sua utilização durante um período a que se refere 
a taxa i considerada. 
S1 = C + J 
Se a aplicação for por dois períodos, os juros serão acrescidos ao capital duas 
vezes. 
Matemática Financeira – Versão 1 12 
 
S2 = S1 + J = C + J + J = C + 2J 
Ou seja, o montante (S2) ao final do segundo período (n = 2) é igual ao montante 
na época 1 acrescido do mesmo valor de juros obtido no primeiro período. 
Generalizando, caso a aplicação seja por n períodos de tempo, os juros serão 
acrescidos ao capital inicial n vezes. 
Sn = Sn-1 + J = C + [(n – 1) x J] + J = C + n x J 
Sn = C + n x (i x C) = C x (1 + i x n) 
Os juros formados ao fim de cada período não são acrescidos ao capital para 
efeitos do cálculo dos juros do período seguinte, o que torna o valor dos juros 
em cada período uma constante. 
O montante é, portanto, diretamente proporcional ao capital inicial (C) e ao 
número de períodos de aplicação desse capital. Em outras palavras, o montante, 
desconsiderando as descontinuidades, é uma função linear do prazo n. 
A Tabela 1.1 mostra a evolução, em cinco períodos, do montante de um 
empréstimo de R$1.000,00 tomado a uma taxa de juros de 10% ao período. 
Tabela 1.1. Evolução do montante de um empréstimo 
sob regime de juros simples 
 
 
1.4.3. Regime de juros compostos 
Como já sabemos, os juros são definidos como a diferença entre o valor aplicado 
e o valor recebido ao final de uma aplicação. No caso de um único período: 
J = S1 – C ⇔ S1 = C + J = C + C x i = C x (1 + i) 
Ou seja, o montante (S1) ao final do período 1 (n = 1) é igual ao capital inicial (C) 
mais os juros que lhe são devidos por sua utilização durante um período a que 
se refere a taxa i considerada. 
Matemática Financeira – Versão 1 13 
 
No caso de a aplicação ser por dois períodos de tempo, teremos não só juros 
devidos ao capital inicial, mas também juros devidos a juros recebidos durante o 
primeiro período. Pois, no segundo período, a taxa de juros (i) incide sobre o 
montante S1. 
J1 = C x i 
S1 = C + J1 = C + C x i = C x (1 + i) 
J2 = S1 x i = [C x (1 + i)] x i 
S2 = S1 + J2 = [C x (1 + i)] + [C x (1 + i)] x i = [C x (1 + i)] x (1 + i) = C x (1 + i)2 
 
Ou seja, o montante (S2), ao final do período 2 (n = 2), é igual ao montante em 
n = 1 acrescido do valor de juros J2. Note que J1 ≠ J2, uma vez que a taxa de 
juros (i) é aplicada sobre bases distintas, isto é, C e S1, respectivamente. 
No caso de a aplicação ser por três períodos de tempo, como a taxa de juros (i) 
incide sobre o montante S2 no terceiro período, segue-se que: 
 
J3 = S2 x i [C x (1 + i)2] x i 
S3 = S2 + J3 = [C x (1 + i)2] + [C x (1 + i)2] x i = [C x (1 + i)2] x (1+ i) = C x (1 + i)3 
 
Generalizando, ao fim de n períodos, teremos: 
Sn = C x (1 + i)n 
Os juros formados no fim de um período são acrescidos ao capital para efeito do 
cálculo dos juros do período seguinte, o que torna o valor dos juros em cada 
período diferente do anterior, pois passamos a ter juros devidos a juros, e não 
somente devidos ao capital inicial. Daí o nome de juros compostos. 
A Tabela 1.2 mostra a evolução, em cinco períodos, do montante de um 
empréstimo de R$1.000,00, tomado a uma taxa de juros de 10% ao período. 
Matemática Financeira – Versão 1 14 
 
Tabela 1.2. Evolução do montante de um empréstimo 
sob regime de juros compostos 
 
 
1.4.4. Evoluções dos montantes segundo os regimes de capitalização 
Consideremos os dois exemplos apresentados nas seções anteriores e vejamos 
sua evolução ao longo do tempo quando, sucessivamente, aplicados segundo 
cada um dos regimes apresentados, evidenciando quantitativamente as 
diferenças entre as evoluções. Assim, no fim de n períodos, teremos: 
Sn = C x (1 + i x n) = 1000 x (1 + 0,1 x n) → Regime de Juros Simples 
Sn = C x (1 + i)n = 1000 x (1 + 0,1)n → Regime de Juros Compostos 
Fazendo-se n variar, teremos as evoluções sumariadas na Tabela 1.3. 
Tabela 1.3. Confronto entre as evoluções dos montantes 
segundo os dois regimes de capitalização 
 
 
Podemos notar que, para a taxa considerada, as diferenças não são muito 
grandes no caso de pequenos períodos de aplicação. Também fica patente que, 
à exceção de um único período, a capitalização descontínua a juros compostos 
supera os respectivos montantes obtidos no regime de juros simples, e as 
diferenças crescem significativamente com o número de períodos de aplicação. 
 
Matemática Financeira – Versão 1 15 
 
Capítulo 2 – O regime de juros simples 
Este capítulo é uma introdução ao regime de juros simples. Serão vistos os 
seguintes tópicos: 
 Princípios básicos 
 Juros simples 
 Juro exato e juro comercial 
 Equivalência de capitais no regime de juros simples 
2.1. Princípios básicos 
Na prática, só se trabalha com o regime de capitalização descontínua, ou a juros 
simples ou a juros compostos. Por isso, muito embora já tenhamos deduzido as 
fórmulas básicas para aplicação nesses dois casos, vamos voltar a esses dois 
regimes partindo do pressuposto de que a fórmula para o cálculo de juros no 
regime de juros simples resulte diretamente de definição. 
2.2. Juros simples 
Por definição, o juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial 
(C), também chamado principal. É diretamente proporcional a esse capital e ao 
tempo em que este é aplicado. O fator de proporcionalidade é a taxa de juros por 
período (i). 
Assim, se C é o principal, i é a taxa de juros por período e n é o prazo de 
aplicação (expresso em número de períodos a que se refere a taxa i), o juro (J) 
obtido no fim do prazo de aplicação será: 
J = C x i x n (2.1) 
onde a taxa i deve estar na forma unitária. 
Trabalharemos sempre com a taxa i na forma unitária. E, salvo convenção em 
contrário, os juros e o principal só são devidos no fim do prazo de aplicação. 
As outras relações decorrentes da Equação 2.1 são: 
 
Matemática Financeira – Versão 1 16 
 
O juro pode ser definido como a diferença entre o montante no período n (Sn) e 
o capital inicial (C) de uma aplicação. Portanto, sob o regime de juros simples 
também existem as seguintes relações: 
J = Sn – C 
Sn = C x (1 + i x n) 
 
 
 
 
nas quais a relação 
Sn = C x (1 + i x n) (2.2) 
nos dá o montante (ou valor futuro) Sn, obtido pela aplicação de um capital inicialou principal C à taxa i durante n períodos. 
Assim, se Julia empresta a Luiza a quantia de R$2.000,00, a juros simples e taxa 
de 10% ao ano, pelo prazo de três anos, no fim desses três anos Luiza pagará 
a Julia um total de juros igual a 
J = C x i x n = 2000 x 0,1 x 3 = R$ 600,00 
além do principal. Ou seja, Julia deverá receber: 
Sn = C x (1 + i x n) 
S3 = 2000 x (1 + 0,1 x 3) = R$ 2.600,00 
 
Vale ressaltar que, nas equações, devemos empregar o prazo de aplicação (n), 
expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i. 
Matemática Financeira – Versão 1 17 
 
Portanto, para calcular o juro devido a um principal de R$20.000,00, à taxa de 
juros simples de 1% ao mês no fim de um ano, devemos entrar na fórmula com 
n = 12 meses. Teremos: 
J = C x i x n = 20000 x 0,01 x 12 = R$ 2.400,00 
2.2.1. Períodos fracionários 
Do ponto de vista teórico, no regime de capitalização descontínua a juros simples 
o juro só é formado no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de 
juros considerada. Assim, se Julia empresta R$2.000,00 a Luiza, à taxa de juros 
simples de 10% ao ano, pelo prazo de um ano, porém, antes do encerramento 
do prazo – digamos no fim de oito meses –, Luiza resolve saldar a dívida, ela 
não deve pagar pelo total de um ano, e sim pelos oito meses em que ficou com 
o dinheiro de Julia. 
Como a taxa é anual, os juros só seriam formados no fim de um ano e, assim, 
de acordo com a convenção de capitalização descontínua, no fim de oito meses 
ainda não haveria nenhum juro. Portanto, interpretando-se a convenção ao pé 
da letra, Luiza pagaria a Julia somente o principal, o que seria um absurdo, pois 
Julia deixaria de ter qualquer remuneração pela utilização de seu capital durante 
esses oito meses. 
Para contornar o impasse que surgiria em casos como esse, criou-se a 
convenção adicional de que a formação dos juros simples, ao longo do período 
a que se refere a taxa, siga estritamente uma função linear, sem 
descontinuidades. Ou seja, admite-se que os juros simples devidos pela 
utilização de um certo principal durante a fração própria p/q – onde p < q, do 
período a que se refere a taxa – é igual à fração p/q do juro que seria devido no 
fim do período. 
Isso posto, Luiza pagaria a Julia 8/12 avos do total de juros de um período de 
um ano: 
 
Além, naturalmente, do principal, ou seja: 
S8/12 = C + J8/12 = 2000 + 133,33 = R$ 2.133,33 
Matemática Financeira – Versão 1 18 
 
Agora, Julia empresta a Luiza R$2.000,00, à taxa de juros simples de 10% ao 
ano, pelo prazo de três anos. Porém, antes do encerramento do prazo, digamos, 
ao fim de um ano e oito meses, Luiza resolve saldar a dívida. 
O período mencionado não se refere a um número inteiro de anos, já que o 
período corresponde a um ano e oito meses corresponde, aproximadamente, a 
1,67 ano. 
Os juros devidos pela utilização do principal durante o primeiro ano são: 
J1 = C x i x n = 2000 x 0,1 x 1 = R$ 200,00 
Os juros devidos pela utilização do principal durante os oito meses finais são: 
 
O total de juros é: 
J = J1 + J8/12 = 200 + 133,33 = 333,33 
Note-se que o problema pode ser resolvido de uma só vez, considerando n = 
20/12 anos. 
 
Logo, as equações 2.1 e 2.2 passam a valer tanto para n inteiro quanto para n 
fracionário. 
Essa convenção adicional, chamada de convenção linear, é coerente com o 
conceito de taxas equivalentes, assunto que veremos no Capítulo 4. 
2.2.2. Juros simples na HP 12C 
Nesta seção, mostraremos, de forma simplificada, como utilizar a calculadora HP 
12C para efetuar cálculos de juros simples. 
Matemática Financeira – Versão 1 19 
 
As seguintes convenções serão utilizadas: 
 
 [XYZ] – aperte a tecla XYZ. 
 ↦123 – tecle os números 123. 
 ❑140 – aparece no visor o número 140. 
 [g][XYZ] – pressione a tecla g (azul) seguida da tecla XYZ (azul). 
 [f][XYZ] – pressione a tecla f (laranja) seguida da tecla XYZ (laranja). 
 
Como regra geral, para calcular os juros simples na HP 12C, o período deve ser 
expresso em dias, e a taxa de juros deve ser a taxa anual. 
Considere que Julia empresta a Luiza R$2.000,00, à taxa de juros simples de 
10% ao ano, pelo prazo de três anos. Porém, antes do encerramento do prazo, 
digamos, ao fim de um ano e oito meses, Luiza resolve saldar a dívida. 
A seguinte sequência de instruções deve ser executada para obter os juros 
simples e montante devidos: 
 
[f][REG]↦360[ENTER] ↦240[+][n]↦10[i]↦2000[CHS][PV] 
[f][INT] ❑333,33[+]❑2.333,333 
 
Matemática Financeira – Versão 1 20 
 
onde: 
 as teclas [f][REG] foram utilizadas, o que sempre deve ser feito no início 
de um novo problema, para limpar todas as memórias (registros) da HP 
12C; 
 ↦360[ENTER] ↦240[+][n] é o prazo expresso em dias (supondo todos os 
meses com 30 dias, ano comercial); 
 10[i] é a taxa anual, sob forma percentual; 
 2000[CHS][PV] é o capital inicial, ou principal, ou valor presente (em 
inglês, present value), com o sinal invertido através da tecla [CHS], para 
haver conformação com a interpretação de saída de caixa (investimento); 
 [f][INT] efetua o cálculo dos juros em regime de juros simples, cujo valor 
é, neste caso, 333,33, que aparece no visor; 
 [+] efetua a soma do principal (em memória interna da calculadora) com 
o valor dos juros que está no visor, gerando o valor do montante – neste 
caso, igual a 2.333,333, que passa a aparecer no visor. 
 
O primeiro número mostrado no visor, 333,33, corresponde aos juros devidos em 
um ano e oito meses, ou 600 dias (20×30); e 2.333,333 corresponde ao montante 
a ser pago para liquidar a dívida. Vale ressaltar que a HP 12C retorna um valor 
positivo para o montante se o capital inicial for negativo, sendo esta a razão para 
a inserção da tecla [CHS] após o número 2.000. 
2.2.3. Juros simples no Excel 
O Excel não tem nenhuma função específica para cálculo de juros simples, mas 
existem diversas funções financeiras disponíveis para isso, que serão discutidas 
à medida que avançarmos. Apesar de ser possível, não queremos desenvolver 
novas funções com a utilização da linguagem VBA. 
Mostraremos como efetuar o cálculo executado numa HP 12C em uma planilha 
Excel, tão comum nas empresas brasileiras. A Figura 2.1 mostra uma das 
maneiras de obter os juros e o montante. 
Matemática Financeira – Versão 1 21 
 
Figura 2.1. Resolução do exemplo em planilha de Excel 
 
As células de A2:A6 são apenas títulos introduzidos na planilha para facilitar a 
compreensão, em nada influenciando nos cálculos executados. As células 
C4:C6 apresentam apenas as transcrições das fórmulas introduzidas nas células 
B4:B6, onde efetivamente os cálculos são executados. 
Na célula B2 foi inserido o capital inicial R$2.000,00; na célula B3 foi colocada a 
taxa de juros de 0,10 ao ano. Aqui vale ressaltar que, quando inserimos o valor 
10% no Excel, ele representa, na verdade, o número 0,10, ou seja, a taxa 
unitária. Na célula B4 foi inserido o período em anos 1+(8/12), uma vez que a 
taxa está dada como anual. As células B5 e B6 representam as fórmulas 
teóricas: 
J = C x i x n 
e 
Sn = C + J 
 
2.3. Juro exato e juro comercial 
Nas operações correntes a curto prazo, em que o regime de juros simples 
geralmente é adotado, os prazos de aplicação costumam ser expressos em dias, 
embora as taxas usuais sejam as anuais. Então, para usar a Equação 2.1, é 
Matemática Financeira – Versão 1 22 
 
preciso expressar o prazo na unidade ano, o que pode ser feito de duas 
maneiras: 
 
 Considerando-se o ano civil (365 dias ou 366 dias). 
 Considerando-se o ano comercial (360 dias). 
 
Conforme se considere o ano civil ou o ano comercial, o juro será dito, 
respectivamente, juro exato ou juro comercial (também denominado ordinário). 
Assim, colocando-se o capital C à taxa anual de juros simples i durante n dias, 
teremos o juro exato dado por: 
 (2.3) 
conforme o ano em questão seja ou não bissexto,respectivamente. O juro 
comercial, que considera todos os meses com 30 dias, será dado por: 
 (2.4) 
Imediatamente se percebe que, para uma mesma taxa i e para um mesmo 
número de dias (n), Jexato > Jcomercial. Na prática, o usual é trabalhar com o juro 
comercial, ou ordinário. 
2.3.1. Juro exato e juro comercial (ou ordinário) na HP 12C 
Na Subseção 2.2.2, mostramos como efetuar o cálculo de juros simples com a 
HP 12C, sem nos preocuparmos em dizer se os juros eram exatos ou comerciais. 
A sequência de comandos mostrados se referia aos juros comerciais. 
Mostraremos, a seguir, como efetuar o cálculo de ambos os tipos. 
Julia empresta a Luiza R$2.000,00, em 01/01/2018, à taxa de juros simples de 
10% ao ano, que devem ser pagos em um ano, isto é, em 01/01/2019. Porém, 
antes do encerramento do prazo, em 10/09/2018, Luiza resolve saldar a dívida. 
Os juros exato e comercial e seus respectivos montantes devem ser pagos como 
mostrado a seguir. 
Para os juros comerciais, devemos calcular o número de dias do período de 
empréstimo, supondo todos os meses com 30 dias. Para tal, devemos executar 
a seguinte sequência de comandos na HP 12C: 
Matemática Financeira – Versão 1 23 
 
 
[f][REG][g][D.MY]❑DMY[CLX]↦01.012018[ENTER]↦10.092018

[g][∆DYS]❑252[X≷Y]❑249 
 
onde: 
 
a) [g][D.MY] é inicialmente utilizado para tornar o padrão de entrada de datas 
D.MY, ou seja, as datas devem ser inseridas no formato DD.MMAAAA 
(DD – dia com dois dígitos, seguidos de um ponto; MM – mês com dois 
dígitos; e AAAA – ano com quatro dígitos). O default da HP 12C é o 
formato M.DY, onde as datas devem ser inseridas no formato 
MM.DDAAAA. 
b) [g][∆DYS] calcula a diferença entre a data de início e a data do fim do 
empréstimo, que aparece no visor; neste caso, o número 252 que é o 
número exato de dias entre 01/01/2018 e 10/09/2018. 
c) [X≷Y] mostra no visor o número de dias comerciais entre a data de início 
e a data do fim do empréstimo, contados como se o número de dias de 
todos os meses fosse igual a 30 dias. 
 
Para o cálculo dos juros comerciais e do respectivo montante, é preciso executar 
a seguinte sequência de comandos: 
 
[f][REG]↦249[n]↦10[i]↦2000[CHS][PV][f][INT] ❑138,33[+]❑1.138,333 
 
Note que isso é o mesmo que calcular: 
 
 
 
Para os juros exatos, precisamos do número de dias contados, como em um 
calendário. No caso, o cálculo já foi feito acima, e o número é igual a 252. Assim, 
basta executar a seguinte sequência de comandos: 
Matemática Financeira – Versão 1 24 
 
[f][REG]↦252[n]↦10[i]↦2000[CHS][PV][f][INT]❑140,00[R↧]❑2.000,00 
[X≷Y]❑138,082[+] ❑2.138,082 
Note que isso é o mesmo que calcular: 
 
 
 
2.3.2. Juro exato e juro comercial (ou ordinário) no Excel 
O caso da Subseção 2.3.1 pode ser resolvido em uma planilha Excel, como 
mostrado na Figura 2.2. 
Figura 2.2. Resolução do exemplo da Subseção 2.3.1 em planilha Excel 
 
Para o cálculo do número de dias comerciais, o Excel dispõe de uma função 
denominada DIAS360. A função tem dois argumentos, a data inicial e a data final 
do período, e é utilizada na célula B6. As células C6:C8 indicam as fórmulas 
utilizadas em B6:B8. 
Para o cálculo do número de dias exato, o Excel dispõe de uma função 
denominada DIAS. Essa função tem dois argumentos: a data final e a data inicial 
do período. As células G6:G8 mostram as fórmulas utilizadas respectivamente 
em F6:F8. 
2.4. Valor nominal e valor atual 
Consideremos, na data de hoje, um compromisso financeiro pagável em 
determinada data futura; o valor que esse compromisso assume em sua data de 
vencimento é denominado valor nominal (N) do compromisso. 
Por outro lado, denomina-se valor atual (V) do compromisso o capital que, 
aplicado a uma determinada taxa de juros no dia de hoje, nos daria um montante 
igual ao valor nominal (N) do compromisso em sua data de vencimento. 
Matemática Financeira – Versão 1 25 
 
Assim, sendo N o valor nominal do compromisso; n o período de tempo entre a 
data de hoje e a de vencimento do compromisso expresso em número de 
períodos a que se refere a taxa i considerada; e V o seu valor atual, teremos, no 
regime de juros simples, a seguinte relação, de acordo com a Equação 2.2: 
 (2.5) 
Para fixar esses conceitos, consideremos o exemplo: 
Uma nota promissória (promessa de pagamento assinada por quem contrai uma 
dívida) é datada de 01/04/2019. Ela tem valor de face (valor da dívida na data 
em que esta foi contraída – data de emissão da nota) de R$2.000,00 e deve ser 
resgatada oito meses após sua data de emissão. Tem juros de 10% ao ano sobre 
o valor de face no regime de juros simples (diz-se que a nota tem termo de oito 
meses a juros simples de 10% a.a.). Em 20/07/2019, porém, ela é vendida a 
outra pessoa, para quem o dinheiro vale 11% ao ano no regime de juros simples. 
Quanto o segundo comprador deve pagar pela posse da nota promissória? Para 
uma melhor visualização do problema, consideremos o esquema apresentado 
na Figura 2.3. 
Figura 2.3. Esquema das operações financeiras
 
O valor nominal da nota (N), que é o valor da mesma na data de resgate, nada 
mais é do que o montante do valor de face para o prazo e a taxa estipulados na 
nota. Oito meses correspondem a 2/3 do ano, portanto o valor de N é dado por: 
 
A quantia a ser paga pela nota é o seu valor atual no dia 20/07, calculado a partir 
do valor nominal da nota, considerando-se a taxa de juros acertada entre as 
partes interessadas (no caso, 11% a.a.). Portanto o valor atual é dado por: 
Matemática Financeira – Versão 1 26 
 
 
Notas: 
a) O número de dias entre 20/07 e 01/12 foi computado segundo a regra de 
tempo exato, que consiste em contar os dias em um calendário, excluindo-
se uma das extremidades. Tal contagem de número de dias pode ser feita, 
como já vimos, com o auxílio da HP 12C. No caso: 
[g][D.MY]❑D.MY[CLx]↦20.072019 [ENTER]↦01.122019[g][DDYS]❑134 
b) Embora tenha sido considerada a regra de tempo exato para o cálculo do 
número de dias, ao se passar para a unidade ano, incoerentemente, 
considerou-se o ano comercial (360 dias). Tal prática é comum por parte 
do comprador da nota, pois visa a que esta tenha um menor valor atual. 
c) Como uma nota promissória nada mais é do que uma promessa de 
pagamento, deve ser caracterizada pelo valor desse pagamento, ou seja, 
seu valor nominal. Por isso, quando consideramos transações com notas 
promissórias ou papéis similares, a primeira coisa a ser feita é a 
determinação dos respectivos valores nominais. 
 
Com relação ao exemplo, ainda que o preço do dinheiro considerado pelo 
comprador seja igual à taxa de juros especificada na nota promissória, não 
podemos prescindir da determinação do valor nominal. Regra geral, se a 
transação de resgate antecipado é efetuada com uma terceira pessoa, deve-se 
sempre partir do valor nominal da nota promissória. 
2.5. Equivalência de capitais – juros simples 
Suponha que um capital C seja aplicado por n períodos a uma taxa i ao período. 
Logo, o montante ao final de n períodos é dado por: 
Sn = C x (1 + i x n) 
e representado pelo esquema mostrado na Figura 2.4. 
Matemática Financeira – Versão 1 27 
 
Figura 2.4. Esquema de equivalência de capitais em regime de juros 
simples 
 
Se a taxa corrente de mercado é i ao período, é indiferente dispor de C reais 
agora ou Sn reais daqui a n períodos. Logo, essas quantias são ditas 
equivalentes. 
Generalizando, diversas quantias E1, E2, …, Ej, pagáveis, respectivamente, nas 
datas n1, n2, …, nj, são ditas equivalentes em determinada data (a chamada data 
focal) se estas quantias, levadas a uma mesma taxa de juros i para a data focal, 
produzem, todas, a mesma quantia. 
A juros simples, capitais equivalentes em determinada época não serão 
equivalentes em outra data. Esse fato decorre da não cindibilidade do prazo, 
característica do regime de juros simples.Matemática Financeira – Versão 1 28 
 
Capítulo 3 – O regime de juros compostos 
Este capítulo é uma introdução ao regime de juros compostos. Serão vistos os 
seguintes tópicos: 
 Princípios básicos 
 Relações em regime de juros compostos na HP 12C e na planilha Excel 
 Número fracionário de períodos, convenções linear e exponencial 
 Valor nominal, valor atual e equivalência de capitais em juros compostos 
 
3.1. Princípios básicos 
No regime de capitalização descontínua a juros compostos, ao fim de cada 
período a que se refere a taxa de juros considerada, os juros devidos ao capital 
no início do período são incorporados ao capital. Quando isso ocorre, dizemos 
que são capitalizados, e esse montante de capital mais juros passa a render 
juros no período seguinte. Dessa maneira, ao contrário do regime de juros 
simples, em que só o capital inicial rende juros, teremos não só juros devidos ao 
principal, como também juros devidos aos juros formados nos períodos 
anteriores, donde o nome juros compostos. 
3.2. Relações em regime de juros compostos 
Consideremos que um capital inicial C, suposto pagável em determinada data 
de origem que chamaremos de época zero, é colocado para render juros 
compostos à taxa unitária i, que é referente a um certo período de tempo. No fim 
do período a que se refere a taxa, ou seja, no período um (n = 1), teremos juros 
devidos somente a esse principal e que serão representados por J1. Assim, 
teremos: 
 
J1 = S1 – C = C x (1 + i) – C = C x [(1+ i)] – 1] = C x i 
 
Matemática Financeira – Versão 1 29 
 
Ao final de dois períodos, ou seja, no período dois (n = 2), serão formados, 
analogamente, mais os seguintes juros: 
 
a) juros referentes ao principal por mais um período, i x C.. 
b) juros devidos a J1, referentes a um período, i x J1. 
 
Logo, tendo em vista os juros formados no período anterior, o total de juros 
acumulado até a época dois, J2, será igual a: 
 
J2 = J1 + (i x C) + (i x J1) = C x [(1+ i)2 – 1] 
 
Levando o montante ao final do segundo período (n = 2) a: 
 
S2 = C+ J2 = C x (1 + i)2 
 
Esse total passará a render juros no período seguinte. Portanto, no final do 
terceiro período (n = 3) serão formadas mais as seguintes parcelas de juros: 
 
a) juros referentes ao principal por mais um período i x C. 
b) juros devidos a J2 e referentes a um período i x J2. 
 
Tendo em vista o total que já tínhamos em n = 2, o novo total de juros acumulado, 
J3, será igual a: 
J3 = J2 + (i x C) + (i x J2) = C x [(1 + i)3 – 1] 
 
Levando o montante ao final do terceiro período (n = 3) a: 
 
S3 = C + J3 = C x (1 + i)3 
Matemática Financeira – Versão 1 30 
 
 
Generalizando, decorridos n períodos, o total de juros acumulados que teremos 
ao final do período n, Jn, será dado por: 
Jn = C x [(1 + i)n – 1] (3.1) 
A Equação 3.1 nos dá os juros devidos a um capital inicial C, colocado no regime 
de juros compostos à taxa i por período, durante um prazo igual a n períodos a 
que se refere a taxa considerada. As relações entre o capital inicial C, o montante 
ao final do período n e a taxa de juros em regime de juros compostos são: 
Sn = C x (1 + i)n 
Jn = C x [(1 + i)n – 1] = Sn – C 
 
 
 
 
3.2.1. Utilização da HP 12C em regime de juros compostos 
Nos dias de hoje, é mais fácil usar calculadoras (financeiras ou científicas) para 
fazer o cálculo necessário. Utilizaremos a HP 12C para resolver quatro 
exemplos. 
Exemplo 1: 
Qual o juro devido a um capital de R$10.000,00 colocado a juros compostos à 
taxa de 4,5% a.a. por um prazo de 10 anos? 
Solução: 
 
J10 = 10000 x [(1 + 0,045)10 – 1] = 5529,69 
S10 = C + J10 = 10000 + 5529,69 = 15529,69 
 
Matemática Financeira – Versão 1 31 
 
A calculadora HP 12C não efetua diretamente o cálculo do valor de juros pedido. 
No entanto, lembrando que os juros são dados pela diferença entre o montante 
ao final do período 10 e o capital inicial, tem-se: 
[f][REG]↦10[n]↦4.5[i]↦10000[CHS][PV][FV]❑15.529,69 
[RCL][PV][+]❑5.529,69 
Exemplo 2: 
Qual a taxa de juros, em regime de juros compostos, que transforma um capital 
de R$10.000,00 em um montante de R$15.529,69 num prazo de 10 anos? 
Solução: 
Podemos obter a taxa de juros anual executando os seguintes comandos na HP 
12C: 
[f][REG]↦10[n]↦15529.69[FV]↦10000[CHS][PV][i]❑4,499 
Ou seja, a taxa será de, aproximadamente, 4,5% a.a. 
Exemplo 3: 
Qual capital inicial que, aplicado à taxa de juros de 4,5% a.a., em regime de juros 
compostos, gera um montante de R$15.529,69 num prazo de 10 anos? 
Solução: 
Podemos obter o capital inicial executando os seguintes comandos na HP 12C: 
[f][REG]↦10[n]↦15529.69[CHS][FV]↦4.5[i][PV]❑9999,973 
Ou seja, o capital inicial será, aproximadamente, R$10.000,00. 
Exemplo 4: 
Qual o número de anos que, a uma taxa de 4,5% a.a. e em regime de juros 
compostos, transforma um capital de R$10.000,00 em um montante de 
R$15.529,69? 
Solução: 
Podemos obter o número de períodos executando os seguintes comandos na 
HP 12C: 
[f][REG]↦10000[CHS][PV]↦15529,69[FV]↦4.5[i][n]❑10 
 
Ou seja, serão necessários 10 anos. 
Matemática Financeira – Versão 1 32 
 
Nota: 
No caso do Exemplo 4, lançando mão da fórmula que exprime o valor de n como 
solução da equação exponencial, tem-se: 
 
Ou seja, n = 10 anos; o que confirma o resultado obtido com a HP 12C. 
Entretanto, deve-se ressaltar que a HP 12C sempre produz resultados inteiros 
para n. Para comprovar, vamos supor que, mantidos os demais valores do 
exemplo, o montante fosse de R$16.000,00. Teríamos, então: 
 
Por outro lado, a HP 12C produziria: 
[f][REG]↦10000[CHS][PV]↦16000[FV]↦4.5[i][n]❑11 
Ou seja, serão necessários 11 anos. A razão da discrepância deve-se ao fato de 
que, implicitamente, a HP 12C está levando ao pé da letra o conceito de 
capitalização descontínua; ou seja, os juros só são formados e adicionados ao 
capital no fim de cada período a que se refere a taxa de juros considerada. Dessa 
maneira, no caso, o montante de R$16.000,00 só seria alcançado no fim do 11º 
ano. 
Por outro lado, como veremos na Seção 3.3, a fórmula que exprime o valor de n 
como solução da equação exponencial faz uso da chamada convenção 
exponencial, que, na prática, costuma ser aplicada na maioria dos casos de 
prazos fracionários. 
3.2.2. Utilização do Excel em regime de juros compostos 
A planilha Excel dispõe de funções financeiras que podem ser aplicadas 
diretamente para cálculos em regime de juros compostos. Suas sintaxes podem 
ser obtidas na parte de ajuda do software. 
Para fixar esses conhecimentos, vamos resolver os quatro exemplos da 
Subseção 3.2.1 utilizando a planilha Excel. 
Matemática Financeira – Versão 1 33 
 
Exemplo 1a: 
Qual o juro devido a um capital de R$10.000,00 colocado a juros compostos à 
taxa de 4,5% a.a. por um prazo de 10 anos? 
Solução: 
 
Exemplo 2a: 
Qual a taxa de juros, em regime de juros compostos, que transforma um capital 
de R$10.000,00 em um montante de R$15.529,69 num prazo de 10 anos? 
Solução: 
 
Exemplo 3a: 
Qual capital inicial que, aplicado à taxa de juros de 4,5% a.a., em regime de juros 
compostos, gera um montante de R$15.529,69 num prazo de 10 anos? 
 
Exemplo 4a: 
Qual o número de anos que, a uma taxa de 4,5% a.a. e em regime de juros 
compostos, transforma um capital de R$10.000,00 em um montante de 
R$15.529,69? 
Matemática Financeira – Versão 1 34 
 
Solução: 
 
Notas: 
 O valor presente e o valor futuro devem sempre ter sinais contrários, como 
na HP 12C, a fim de evitar erro nos cálculos. 
 O número de “;” em cada fórmula é relevante, já que representa o número 
de parâmetros menos um de cada função. 
 Nem todos os parâmetros são obrigatórios, já que uma mesma função 
pode ser utilizada para mais de um tipo de cálculo, como veremos no 
Capítulo 7. Se um parâmetro for deixado em branco, o campo 
correspondente aparecerá com um separador ponto e vírgula seguido de 
outro separador pontoe vírgula (“;;”). 
 O Excel não arredonda o valor do número de períodos como a HP 12C, 
dando o resultado exato, igual ao da fórmula. 
3.3. Números fracionários de períodos 
Por um lado, é normal que o prazo de aplicação (n) não seja um número inteiro 
de períodos a que se refere a taxa de juros compostos. Por outro, na 
capitalização descontínua os juros só são considerados formados no fim de cada 
período de capitalização (período a que se refere a taxa). Diante desse impasse, 
foi necessário adotar convenções que permitissem solucionar o problema. 
Assim, tornou-se corrente o uso da convenção linear ou da convenção 
exponencial. 
3.3.1. Convenção linear 
Assim como acontece no regime de juros simples, nesta convenção admitimos 
que os juros devidos a um principal por uma fração de período a que se refere a 
taxa são iguais à mesma fração dos juros que seriam devidos no fim do período. 
Ou seja, admitimos que a formação dos juros ao longo de um período obedeça 
a uma função linear. 
Matemática Financeira – Versão 1 35 
 
Para um capital C colocado à taxa i durante a fração própria p/q (p<q) do período 
a que se refere a taxa, o juros do primeiro período, J1, seria obtido por: 
J1 = C x [(1 + i)1 – 1] = i x C 
Temos por proporcionalidade que: 
 
Assim, na aplicação de um capital C colocado à taxa i no regime de juros 
compostos durante um prazo de aplicação m = n + p/q, onde n é um número 
inteiro de períodos de capitalização e p/q é uma fração própria desse período, 
temos: 
 (3.2) 
Hoje em dia, a convenção linear praticamente caiu em desuso nas operações do 
mercado financeiro. Entretanto, continua sendo usada em certas operações no 
mercado internacional de capitais. Isso, inclusive, é incorporado na calculadora 
HP 12C, como veremos adiante. 
Deve se notar, também, que a convenção linear pode ser interpretada como 
aplicação do regime de juros simples, à mesma taxa i, para a parte fracionária 
do prazo. 
Exemplo 5: 
Qual o juro devido a um capital de R$1.000,00 colocado a juros compostos à 
taxa de 6% a.a., no fim de 33 anos e seis meses, utilizando a convenção linear 
na parte fracionária do prazo? 
Solução: 
Se dispuséssemos de uma calculadora financeira ou científica, poderíamos usar 
suas funções para calcular os juros. 
 
3.3.2. Convenção exponencial 
A convenção exponencial, que é a mais lógica, usa o conceito de taxas 
equivalentes, assunto que veremos no Capítulo 4. Pela convenção exponencial, 
Matemática Financeira – Versão 1 36 
 
um capital C colocado à taxa i de juros compostos durante um prazo m = n + p/q 
rende juros normalmente durante os n primeiros períodos, ou seja, rende juros 
à taxa i. Em seguida, esses juros são incorporados ao capital, e o montante 
passa a render juros à taxa relativa à fração p/q do período a que se refere a 
taxa i, e que seja equivalente à taxa i, até o fim do prazo m. 
Tal procedimento nos conduz à seguinte fórmula: 
Jm = C x [(1 + i)n+plq – 1] (3.3) 
Exemplo 6: 
Qual o juro devido a um capital de R$1.000,00 colocado a juros compostos à 
taxa de 6% a.a., no fim de 33 anos e seis meses, considerando-se a convenção 
exponencial na parte fracionária do prazo? 
Solução: 
Se dispuséssemos de uma calculadora financeira ou científica, poderíamos 
utilizar suas funções para calcular os juros. 
 
J33,5 = 1000 x [(1 + 0,06)33+0,5 – 1] = R$ 6,042,82 
 
3.3.3. Períodos fracionários na HP 12C 
Para o cálculo para períodos fracionários, a calculadora HP 12C tem como 
default a utilização da convenção linear. Se a letra C – abreviatura de 
compounding (juros compostos) – estiver no visor da calculadora, será 
considerada a convenção exponencial para o caso de prazos fracionários. Do 
contrário, será considerada a convenção linear. 
Para alterarmos de uma convenção para outra, basta apertar as teclas 
[STO][EEX], nessa ordem. 
Exemplo 7: 
Qual o juro devido a um capital de R$1.000,00 colocado a juros compostos na 
taxa de 6% a.a., no fim de 33 anos e seis meses, utilizando, na parte fracionária 
do prazo, tanto a convenção linear quanto a convenção exponencial? 
Matemática Financeira – Versão 1 37 
 
Solução: 
a) Convenção linear 
Supondo que não esteja aparecendo a letra C no visor (caso esteja, aperte as 
teclas [STO][EEX]), teremos a seguinte sequência de passos: 
[f][REG]↦1000[CHS][PV]↦33.5[n]↦6[i][FV]❑7.045,81[RCL][PV}[+]❑6.045,81 
 
b) Convenção exponencial 
Para calcular o total de juros segundo a convenção exponencial, precisamos 
colocar a letra C no visor pressionando as teclas [STO][EEX]. Em seguida, 
repete-se a sequência de passos da convenção linear: 
[f][REG]↦1000[CHS][PV]↦33.5[n]↦6[i][FV]❑7.042,82[RCL][PV}[+]❑6.042,82 
 
3.3.4. Períodos fracionários no Excel 
a) Convenção linear 
Por default, para o cálculo do montante (função VF) para períodos fracionários, 
o Excel utiliza a convenção exponencial. Portanto, se quisermos calcular os juros 
precisaremos dividir o cálculo em duas partes: a inteira e a fracionária. 
 
b) Convenção exponencial 
Por default, o Excel utiliza, para o cálculo do montante (função VF) para períodos 
fracionários, a convenção exponencial. Portanto, se quisermos calcular os juros, 
precisaremos apenas subtrair o montante do capital inicial. 
Matemática Financeira – Versão 1 38 
 
 
Os resultados nos mostram que a convenção linear conduz a juros maiores do 
que os obtidos pela convenção exponencial. 
Como já dito, se usarmos a calculadora financeira HP 12C, devemos verificar se 
a mesma está programada para utilizar a convenção linear ou exponencial. 
3.4. Valor nominal e valor atual 
Os conceitos de valor nominal e de valor atual independem do regime de juros 
considerado; o que varia com o regime de juros são as suas expressões. 
Chamamos de montante de um principal C, aplicado à taxa i de juros compostos 
durante n períodos de capitalização, a soma do principal com os juros que lhe 
são devidos no fim do prazo de aplicação. O montante, ou valor futuro, é dado 
pela fórmula 3.4: 
Sn = C x (1 + i)n (3.4) 
Antes de definirmos o conceito de valor atual, precisamos introduzir o conceito 
de valor nominal. Para isso, devemos considerar um compromisso a ser saldado 
em determinada data posterior àquela em que nos supomos estar e cujo valor 
de resgate, na data de vencimento, é N. Dizemos que N é o valor nominal do 
compromisso. 
A denominação “valor nominal” se deve ao fato de que, por influência da taxa de 
juros, o valor do dinheiro varia com o tempo. Ou seja, em qualquer data anterior 
à de vencimento do compromisso, a quantia que o saldará será, para taxas 
positivas, inferior a N. 
A quantia que saldará a obrigação em uma data anterior à do vencimento – 
chamada de valor atual do compromisso nessa data e que representaremos por 
V – será o capital que, para a taxa de juros compostos especificada (taxa essa 
que, normalmente, é a corrente na data em que se calcula o valor atual), 
Matemática Financeira – Versão 1 39 
 
produza, na data original de vencimento, um montante igual ao valor nominal do 
compromisso. 
Tendo em vista os conceitos introduzidos e a Equação 3.4 – e considerando-se 
a taxa de juros compostos i por período numa data n períodos antes da data de 
vencimento de um compromisso de valor nominal N –, o valor atual V será tal 
que: 
 (3.5) 
3.5. Equivalência de capitais – juros compostos 
Suponha que um capital C seja aplicado por n períodos a uma taxa i ao período. 
Logo, o montante ao final de n períodos é dado por: 
Sn = C x (1 + i)n 
Adotando a convenção de desembolsos com sinal negativo (setas para baixo) e 
resgates com o sinal positivo (setas para cima), a operação financeira é 
representada pelo esquema mostrado na Figura 3.1. 
Figura 3.1. Esquema de equivalência de capitais 
 
Podemos dizer que, se a taxa corrente de mercado é i ao período, tanto faz 
dispor de C reais agora ou Sn reais daqui a n períodos.Logo, essas quantias 
são ditas equivalentes (Figura 3.1). 
Generalizando, diversas quantias E1, E2, …, Ej, pagáveis, respectivamente, nas 
datas n1, n2, …, nj, são ditas equivalentes em uma data, chamada de data focal, 
se estas quantias levadas a uma mesma taxa de juros i para a data focal 
produzem, todas, a mesma quantia em reais. 
Matemática Financeira – Versão 1 40 
 
No regime de juros compostos, capitais equivalentes em determinado período 
também o serão em qualquer outra data. 
 
Matemática Financeira – Versão 1 41 
 
Capítulo 4 – Os diversos tipos de taxas 
Este capítulo é uma introdução aos diversos tipos de taxas de juros e suas 
aplicações no mercado financeiro. Serão vistos os seguintes tópicos: 
 Taxas proporcionais 
 Taxas equivalentes 
 Taxas efetivas e taxas nominais 
 Taxas reais e taxas aparentes 
 Taxa over 
 
4.1. Taxas proporcionais 
Consideremos duas taxas, i1 e i2, que se referem respectivamente aos períodos 
t1 e t2. Essas duas taxas são ditas proporcionais se, expressando-se os períodos 
a que se referem numa mesma unidade de tempo, for verificada a seguinte 
relação: 
 (4.1) 
 
Na Equação 4.1, i1 e i2 podem estar ou sob a forma unitária ou sob a forma 
percentual, porém é necessário que ambas estejam sob a mesma forma. 
4.2. Taxas equivalentes 
Sejam duas taxas i1 e i2, respectivamente relativas aos períodos t1 e t2. Essas 
duas taxas serão ditas equivalentes se, para um mesmo prazo de aplicação, for 
indiferente colocar o capital a render juros à taxa i1 ou à taxa i2. Em outras 
palavras, as taxas i1 e i2 são equivalentes se fazem com que um mesmo principal 
produza o mesmo montante no fim de um mesmo prazo de aplicação. 
Como a formação do montante depende do regime de juros considerado, torna-
se necessário especificar em qual regime de juros as taxas em apreço são 
equivalentes. 
4.2.1. Taxas equivalentes no regime de juros simples 
Sendo C o capital inicial e tomando-se o período a que se refere a taxa i1 como 
prazo de aplicação, para que as taxas i1 e i2 sejam equivalentes será preciso que 
os montantes produzidos pelas duas taxas, no mesmo período, sejam iguais. 
Matemática Financeira – Versão 1 42 
 
Supondo que o período da taxa i2 seja k vezes menor que o período de i1, 
poderemos dizer que o montante produzido pela taxa i1 em um período da taxa 
i1 deve ser igual ao montante produzido pela taxa i2 em k períodos da taxa i2. 
Assim, em regime de juros simples, devemos ter: 
C x (1 + i1 x 1) = C x (1 + i2 x k) ⇔ (1 + i1 x 1) = (1 + i2 x k) 
Logo: 
 (4.2) 
Na Equação 4.2, verifica-se que, no regime de juros simples, duas taxas são 
equivalentes se são proporcionais, e vice-versa. 
4.2.2. Taxas equivalentes no regime de juros compostos 
Sendo C o capital inicial e tomando-se o período a que se refere a taxa i1 como 
prazo de aplicação, para que as taxas i1 e i2 sejam equivalentes será preciso que 
os montantes produzidos pelas duas taxas, no mesmo período, sejam iguais. 
Supondo que o período da taxa i2 seja k vezes menor que o período de i1, 
poderemos dizer que o montante produzido pela taxa i1 em um período da taxa 
i1 deve ser igual ao montante produzido pela taxa i2 em k períodos da taxa i2. 
Assim, em regime de juros compostos, devemos ter: 
C x (1 + i1)1 = C x (1 + i2)k ⇔ (1 + i1)1 = (1 + i2)k 
Portanto: 
I1 = (1 + i2)k -1 (4.3) 
ou 
 (4.4) 
 
Considerando os principais subperíodos utilizados no mercado financeiro, 
podemos estabelecer as seguintes relações de taxas equivalentes no regime de 
juros compostos: 
(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + iq)3 = (1 + it)4 = (1 + ib)6 = (1 + im)12 = (1 + id)360 (4.5) 
onde: 
Matemática Financeira – Versão 1 43 
 
 ia – denota uma taxa anual; 
 is – denota a taxa semestral equivalente; 
 iq – denota a taxa quadrimestral equivalente; 
 it – denota a taxa trimestral equivalente; 
 ib – denota a taxa bimestral equivalente; 
 im – denota a taxa mensal equivalente; 
 id – denota a taxa diária equivalente. 
Notas: 
1) Para dedução das relações entre as duas taxas equivalentes, lançou-se 
mão das fórmulas para cálculo de montantes, tanto no caso do regime de 
juros simples como no caso do regime de juros compostos. Convém 
lembrar que, para aplicação das relações deduzidas, essas fórmulas as 
taxas devem ser expressas sob a forma unitária. 
2) Na utilização das equações 4.2, 4.3 e 4.4, é conveniente considerar i1 a 
taxa referente ao maior período. 
3) Pode-se demonstrar matematicamente que, no regime de juros 
compostos, quando se passa de um período menor para um período 
maior, as taxas equivalentes são maiores do que as proporcionais. No 
caso contrário, quando se passa do período maior para o menor, o sentido 
da desigualdade é revertido. Na prática, quando se trabalha com taxas 
pequenas, as diferenças indicadas costumam ser desprezadas, e as taxas 
equivalentes se confundem com as taxas proporcionais. No entanto, tal 
procedimento é desaconselhável, pois, dependendo do prazo e da 
grandeza do principal, é possível incorrer em erros de valores 
consideráveis. 
Exemplo 1: 
Determine a taxa trimestral equivalente à taxa de 8% a.a., para o caso do regime 
de juros compostos. 
Solução: 
i1 será a taxa anual, enquanto a taxa trimestral será denotada por i2. Logo: 
i1 = 8%a.a. e k = 4 
 
Com o uso da HP 12C, executamos os seguintes comandos: 
Matemática Financeira – Versão 1 44 
 
[f][REG]↦1[ENTER]↦0.08[+]↦4[1/x][yx]❑1,01943↦1[–]❑0,01943 
ou usando as funções financeiras: 
[f][REG]↦1[CHS][PV]↦1.08[FV]↦4[n][i]❑1,94265 
O Excel pode obter a mesma taxa. 
 
Vale observar que, na fórmula utilizada na célula B4, executa-se o cálculo com 
a forma unitária, e não com a forma percentual da taxa. O valor exibido apresenta 
o formato percentual, pois a célula B4 tem formato de exibição %, porém o 
número na célula é realmente igual a 0,01943. A forma alternativa de cálculo é 
apresentada nas colunas D, E e F. 
4.3. Taxa efetiva e taxa nominal 
No mercado imobiliário, é comum anunciarem uma taxa de 12% ao ano com 
capitalização mensal; isto é, a taxa é expressa no período ano, mas os juros são 
adicionados ao final de cada mês, e não apenas no final do ano. Outro exemplo 
é o anúncio dos juros da caderneta de poupança que afirma que a taxa de juros 
é de 6% ao ano, com capitalização mensal; isto é, a taxa é expressa no período 
ano, mas os juros são adicionados no fim de cada mês, e não apenas do ano. 
Esses exemplos apresentam uma incoerência, pois, como a taxa é anual, os 
juros só são formados ao fim de cada ano; portanto, decorrido apenas um mês, 
ainda não houve formação de quaisquer juros, logo não poderá haver 
capitalização mensal. 
Embora exemplos como esses sejam absurdos se entendidos ao pé da letra, na 
prática eles são frequentes e caracterizam o que se convencionou chamar de 
taxas nominais. Ou seja, uma taxa nominal é aquela cujo período de 
capitalização não coincide com aquele a que ela se refere. 
Ainda por convenção, a taxa efetiva é a taxa que, relativa ao período de 
capitalização mencionado, lhe seja proporcional. 
Matemática Financeira – Versão 1 45 
 
Para compreender melhor esses dois conceitos, que se referem a taxas 
consideradas no regime de juros compostos (tendo em vista que, no regime de 
juros simples, as taxas são sempre efetivas), consideremos os seguintes 
exemplos. 
Exemplo 2: 
Qual o montante de um capital de R$10.000,00, colocado no regime de juros 
compostos à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral, durante dois anos? 
Solução: 
Neste caso, a taxa efetiva correspondente é a taxa semestral proporcional à de 
10% a.a., que é a taxa de 5% a.s. 
Logo: 
S4 = 10000 x (1 + 0,05)4 = R$ 12.155,06 
De maneira geral, dada uma taxa nominal (in) com k períodos de capitalização 
ao longo do período a que ela se refere (diz-se que a taxa é conversível k vezes 
ao longode seu período), a taxa efetiva proporcional, que representaremos por 
iep, será dada por: 
 (4.6) 
Considerando-se a expressão 4.3, a relação entre uma taxa nominal e a taxa 
efetiva equivalente (ie) relativa ao mesmo período da taxa nominal é dada por: 
 (4.7) 
Exemplo 3: 
Uma construtora anuncia o financiamento de um apartamento a uma taxa de 
juros de 12% ao ano com capitalização mensal (12% a.a.c.m.). Qual a taxa 
efetiva anual? 
Solução: 
 
Matemática Financeira – Versão 1 46 
 
4.4. Taxa real e taxa aparente 
No Brasil, principalmente antes do Plano Real, de 1994, éramos obrigados a 
conviver com aumentos generalizados e frequentes de preços, que em alguns 
casos chegavam a ser diários. Esse fenômeno, chamado de inflação, provocava, 
e provoca ainda hoje – embora em menor escala –, o chamado efeito de ilusão 
monetária. 
Para entender esse efeito, precisamos saber como é medida a inflação. Existem 
duas principais instituições que medem as taxas de aumento dos preços, 
denominadas taxas de inflação: o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística 
(IBGE) e o Instituto Brasileiro de Economia (IBRE), da Fundação Getulio Vargas. 
Resumidamente, a medida da inflação é efetuada com base na variação dos 
chamados índices de preços, que refletem o valor monetário de determinadas 
cestas de bens e serviços. Assim, sendo Î0 o valor do índice de preços relativo a 
uma data de origem e Î1 o valor desse mesmo índice de preços em outra data no 
futuro, dizemos que a taxa de inflação relativa ao período entre as duas datas é 
igual à taxa de variação do índice. Isto é, sendo I a taxa de inflação no período, 
temos que: 
 
Dessa forma, considerando que o valor do IGP-M em dezembro de 2004 foi Î0 = 
331,0005, passando a valer, em dezembro de 2018, Î1 = 707,441, a variação do 
IGP-M – ou seja, a taxa de inflação neste período de 14 anos – foi de: 
 
Entendida a sistemática de apuração da taxa de inflação, vejamos a 
interpretação do fenômeno ilusão monetária. 
A ocorrência de taxas positivas de inflação pode fazer com que certas transações 
financeiras, aparentemente lucrativas, sejam, uma vez descontado o efeito da 
inflação, traduzidas em prejuízos significativos. Se o valor do índice de preços 
cair, ao invés de subir, teremos deflação, que se reflete em uma taxa negativa 
de inflação. Para fixar as ideias, consideremos o seguinte exemplo. 
Matemática Financeira – Versão 1 47 
 
Exemplo 4: 
Certo indivíduo aplicou R$10.000,00 em letras de câmbio e recebeu, 18 meses 
depois, R$13.600,00. Supondo que, na data da aplicação, o valor de um certo 
índice de preços era Îo = 120 e que, ao final dos 18 meses, o valor desse mesmo 
índice de preços seja Î1 = 168, quais as taxas real (ir) e aparente (i) desta 
aplicação? 
Solução: 
A taxa aparente é a taxa que levou o capital a se transformar no montante, 
desconsiderando o efeito inflação, ou seja: 
 
ou 
 
A taxa real deve levar em conta a inflação. Ou seja, devemos expressar tanto o 
valor aplicado quanto o valor recebido numa moeda com mesmo valor de 
compra. Isso é feito dividindo-se cada valor em moeda corrente pelo índice de 
sua época. Assim, os valores do capital investido C’ e do montante S’ recebido, 
expressos nessa moeda com poder de compra constante, são, respectivamente: 
 
A taxa real é calculada como a taxa que, com base nos valores expressos nessa 
moeda constante, levou um capital igual a 83,333 a produzir um montante de 
80,952. Como o valor do montante é menor do que o do capital investido, tivemos 
uma taxa de juros real negativa. A taxa real de juros no período de 18 meses é 
dada por: 
 
Ou, em termos anuais i’r: 
 
Matemática Financeira – Versão 1 48 
 
Vemos, pois, que uma aplicação financeira aparentemente rentável se traduziu 
em um real prejuízo. 
De maneira geral, sendo C o valor monetário do capital aplicado, Î0 o valor do 
índice de preços na data de aplicação, e S1 e Î1 os valores correspondentes no 
fim do prazo de aplicação, a taxa real de juros para o período de investimento 
será dada por: 
 (4.9) 
Já a taxa aparente i no período de investimento é dada por: 
 (4.10) 
Finalmente, a taxa de inflação (I) no período de investimento é dada por: 
 (4.11) 
Portanto, podemos escrever: 
(1 + i) = (1 + ir) x (1 + l) (4.12) 
Exemplo 5: 
Se a taxa de juros para aplicação em letras de câmbio com prazo de um ano é 
de 12,2% a.a., e se, para o ano em questão, está prevista uma inflação de 4,5%, 
qual é a estimativa para a taxa anual real de investimento nesses papéis? 
Solução: 
 
Nota: 
Na prática, quando os valores da taxa aparente e da taxa de inflação são 
relativamente pequenos, costuma-se estimar a taxa real correspondente por 
simples diferença. No entanto, precisamos ter cuidado, pois podemos ser 
induzidos a erros nada desprezíveis. 
Matemática Financeira – Versão 1 49 
 
4.5. Taxa over 
Dentro da formulação, da execução e do acompanhamento da política monetária 
feitos pelo Banco Central, suas principais funções são adequar o volume dos 
meios de pagamento à real capacidade da economia e absorver recursos sem 
causar desequilíbrios nos preços. 
A influência sobre a evolução dos meios de pagamento implica o controle ou a 
regulação de crédito realizados através de operações de open market – também 
conhecidas como operações de mercado aberto –, do recolhimento compulsório 
e do redesconto. 
As operações de open market realizam-se, geralmente, mediante compra e 
venda de títulos governamentais de curto prazo no mercado livre. Por meio 
dessas operações, os bancos centrais conseguem regular a oferta de moeda na 
economia, executando a política monetária. 
A taxa overnight, também conhecida como taxa over, é a taxa de juros de um dia 
útil (segunda a sexta-feira, exclusive feriados) multiplicada por 30 (convenção do 
mercado, pois um mês tem 22 ou 23 dias úteis, dependendo do mês). Ou seja, 
a taxa efetiva de uma aplicação no mercado aberto é uma função da taxa 
nominal mensal, over (mês de 30 dias), neste mercado e do número de dias úteis 
(du) de aplicação, sendo representada por: 
 
Isso significa que um capital C investido durante du dias úteis gera um montante 
dado por: 
 
Por outro lado, muitas vezes é interessante transformar uma taxa efetiva ie em 
uma taxa over (nominal mensal). Para isso, devemos encontrar, primeiro, a taxa 
efetiva ao dia útil, depois convertê-la em taxa over multiplicando-a por 30. 
Matemática Financeira – Versão 1 50 
 
Para facilitar a explicação, vamos mostrar o exemplo 6, onde determinamos a 
taxa efetiva em um período de du dias úteis, considerando dias corridos para 
encontrar a taxa equivalente mensal. 
Exemplo 6: 
Uma taxa over está definida em 6% a.m. em um mês de 22 dias úteis. Determine 
a taxa efetiva mensal. 
Solução: 
 
 
Matemática Financeira – Versão 1 51 
 
Capítulo 5 – A operação de desconto 
Este capítulo é uma introdução às operações de descontos simples e composto. 
Serão vistos os seguintes tópicos: 
 
 Princípios básicos 
 Descontos simples: racional, comercial e bancário 
 Taxa de juros implícita ou efetiva: linear ou exponencial 
 Desconto composto racional 
 
5.1. Princípios básicos 
Desconto é o abatimento obtido ao se saldar um compromisso antes de sua data 
de vencimento, e descontar é o ato acima descrito. 
Se o regime de juros para determinar o valor atual na data do desconto, a partir 
do valor nominal do compromisso, é o de juros simples, o desconto será 
denominado simples; se é o de juros compostos, o desconto será denominado 
desconto composto. 
Tendo em vista os conceitos de valor nominal e atual, concluímos, a priori, que 
o desconto (D) nada mais é do que a diferença entre o valor nominal do 
compromisso (N) e seu valor atual na data do desconto (V), também chamado, 
no contexto deste capítulo, de valor descontado, ou seja: 
 
D = N – V (5.1) 
 
5.2. Descontossimples 
No regime de juros simples, distinguimos três tipos de descontos simples: o 
desconto racional, o desconto comercial e o desconto bancário. 
5.2.1. Desconto racional simples 
O desconto racional simples, também chamado de desconto verdadeiro, ou, 
ainda, de desconto por dentro, é aquele obtido a partir da Equação 5.1, 
substituindo-se o valor nominal pelo valor futuro (S), o valor atual pelo capital (C) 
e o desconto pelos juros simples. Isto é, o valor do desconto é o valor dos juros 
simples que seria agregado ao capital, em determinado número de períodos, 
para produzir um montante igual ao valor nominal. 
Matemática Financeira – Versão 1 52 
 
Assim, sendo i a taxa corrente de juros simples por período, na data do desconto, 
o desconto racional (DR) obtido ao se descontar um certo compromisso de valor 
nominal N, n períodos antes de sua data de vencimento, será dado por: 
 (5.2) 
Considerando-se o valor descontado racional simples (VR), a diferença entre o 
valor nominal (N) e o desconto racional simples (DR), no caso de desconto 
racional simples o valor descontado será igual ao valor atual na data do 
desconto, do valor nominal (N) sob regime de juros simples. 
Comparando-se a fórmula 5.2, DR = VR × i × n, com a fórmula do juro simples, J 
= C × i × n, vemos que o desconto racional nada mais é do que os juros simples 
devidos ao valor atual, como dito anteriormente. 
A partir das equações 5.1 e 5.2, podemos obter 
 
Exemplo 1: 
Quais são o desconto racional simples e o valor descontado racional simples 
obtidos ao se descontar, seis meses antes do vencimento, uma nota promissória 
com valor de face de R$10.000,00, cujo termo é de 20 meses a juros simples de 
1,5% a.m., se a taxa corrente de juros simples for de 2% a.m.? 
Solução: 
Inicialmente, devemos calcular o valor nominal da nota promissória, que é: 
N = C x (1 + i x n) = 10000 x (1 + 0,015 x 20) = R$ 13.000,00 
Aplicando a Equação 5.2, teremos: 
 
VR = N – DR = 13000 – 1392,86 = R$ 11.607,14 
 
Matemática Financeira – Versão 1 53 
 
5.2.2. Desconto comercial simples 
Para simplificar o cálculo do desconto simples, na prática comercial foi adotado, 
por convenção, o chamado desconto comercial, ou por fora. Nessa convenção, 
em analogia com o desconto racional, o desconto comercial é interpretado como 
o juro simples devido ao valor nominal. 
Considerando-se Dc o desconto comercial, n o número de períodos antes do 
vencimento, N um compromisso de valor nominal e d a taxa corrente de 
desconto, o desconto comercial simples, na data do desconto, será dado por: 
DC = N x d x n (5.3) 
Vale ressaltar que utilizamos d em vez de i para diferenciar que a primeira taxa 
incide sobre o valor nominal, enquanto a segunda, como utilizado até agora, 
incide sobre o valor atual, ou presente. Trata-se de uma convenção notacional, 
pois tanto d quanto i representam a taxa corrente de juros simples. 
No caso do desconto comercial, o valor descontado, que passa a ser chamado 
também de valor atual comercial (Vc), será dado por: 
VC = N – DC = N – N x d x n = N x (1 – d x n) (5.4) 
Como o valor nominal geralmente é maior do que o valor atual (salvo taxas 
negativas), DC > DR e VC < VR. 
Exemplo 2: 
Quais são o desconto comercial simples e o valor atual comercial simples obtidos 
ao se descontar, seis meses antes do vencimento, uma nota promissória com 
valor de face de R$10.000,00, cujo termo é de 20 meses a juros simples de 1,5% 
a.m., se a taxa de desconto, no regime de juros simples, for de 2% a.m.? 
Solução: 
Considerando-se os mesmos dados do exemplo original visto no caso de 
desconto racional simples, teremos: 
N = C x (1 + i x n) = 10000 x (1 + 0,015 x 20) = R$ 13.000,00, 
DC = N x d x n = 13000 x 0,02 x 6 = R$ 1.560,00 
Vc = N – Dc = 13000 – 1560 = R$ 11.440,00 
 
Matemática Financeira – Versão 1 54 
 
5.2.3. Desconto bancário 
Nas operações de desconto realizadas em estabelecimentos bancários, além da 
dedução resultante da aplicação do desconto comercial simples, costuma-se 
cobrar uma taxa (s), que incide sobre o valor nominal do compromisso, para 
fazer face a despesas administrativas. 
As relações para o desconto bancário são as seguintes: 
 
Vb = N – Db 
Vb = N x (1 – d x n – s) 
Db = N x (d x n + s) 
 
O desconto bancário simples agrega ao desconto comercial uma taxa 
administrativa, incidente sobre o valor nominal do título. Logo, o desconto 
bancário simples é dado por: 
Db = Dc + N x s = N x d x s + N x s = N x (d x s + s) 
Exemplo 3: 
Se descontarmos, seis meses antes do vencimento, um título com valor nominal 
de R$13.000,00, em um banco que cobra 2% de taxas administrativas sobre o 
valor nominal do compromisso e tem taxa de desconto corrente de juros simples 
de 2% a.m., o desconto bancário (Db) que o título sofrerá será igual a: 
Solução: 
 
Db = N x (d x n + s) = 13000 x (0,02 x 6 + 0,02) = R$ 1.820,00 
 
Exemplo 4: 
Uma nota promissória datada de 01/07/2018 e com valor de face de 
R$10.200,00, cujo termo é a 120 dias com juros simples de 5% a.m., foi 
descontada, em 06/09/2018, num banco que tem taxa corrente de juros simples 
de 5,5% a.m. e taxa adicional de 0,25% a.m. para cobrir despesas bancárias. 
Qual será o valor descontado? 
Solução: 
Inicialmente, calculemos a data de vencimento, que é 29/10/2018. Essa data 
pode ser determinada com o auxílio da HP 12C, mediante a seguinte sequência 
Matemática Financeira – Versão 1 55 
 
de passos, supondo que o default da HP 12C em tipo de entrada M.DY (mês, 
dia, ano) esteja ativo: 
[f][REG][g][D.MY]↦01.072018 [ENTER]↦120[g][DATE]❑29.10.2018 
O mesmo cálculo poderia ser feito no Excel, como mostrado a seguir. 
 
O valor nominal, ou de resgate, da nota promissória é: 
N = V x (1 + i x n) = 10200 x (1 + 0,05 x 4) = R$ 12.240,00 
O número de dias entre o resgate e o vencimento pode ser calculado pela HP 
12C mediante os seguintes comandos: 
[f][REG][g][D.MY]↦06.092018 [ENTER]↦29.102018[g][DYS]❑53 
Poderíamos também utilizar o Excel para calcular o número de dias entre as 
duas datas, como mostrado na planilha. 
 
O valor descontado é dado por: 
 
Notemos a incoerência, propositada, em computar-se o número de dias por 
calendário e expressá-lo em termo de meses, considerando mês comercial. Tal 
prática é frequente, pois visa conduzir a um menor valor descontado. 
5.2.4. Taxa de juros implícita ou efetiva 
Do ponto de vista teórico, o desconto racional, ou verdadeiro, é o desconto que 
deveria ser aplicado sempre, pois resulta da consideração da teoria da 
Matemática Financeira – Versão 1 56 
 
matemática financeira, e não de convenções, como nos casos do desconto 
comercial e do desconto bancário (que é uma extensão do desconto comercial). 
Tendo em vista que é possível considerar o regime de juros simples ou o de juros 
compostos para relacionar os valores descontados e os respectivos valores 
nominais, é possível calcular dois tipos de taxas de juros efetivas para os 
descontos comerciais e bancários. 
Segundo o jargão de mercado, denominaremos “taxa efetiva linear” a taxa obtida 
quando da utilização do regime de juros simples; e “taxa efetiva exponencial” a 
taxa obtida quando da utilização do regime de juros compostos. 
Taxa efetiva linear 
A taxa implícita comercial linear é a taxa que, em regime de juros simples, 
transforma o valor descontado comercial no respectivo valor nominal, no período 
de desconto. Utilizando as fórmulas de juros simples, temos: 
 
ou 
 (5.7) 
Também podemos obter a taxa implícita comercial linear em função da taxa 
de desconto (d) utilizada no cálculo do valor descontado comercial (VC) com a 
seguinte fórmula: 
 (5.8) 
A taxa implícita bancária linear é a taxa que, em regime de juros simples, 
transforma o valor descontado bancário no valor nominal correspondente, no 
período de desconto. Utilizando as fórmulas de juros simples, temos: 
 (5.9)