Relacoes-Trigonometricas-Triangulo-Retangulo

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Relações Trigonométricas ENEM
1. (Fmj 2021) Em um trapézio retângulo ABCD, o lado AD mede e o ângulo mede conforme mostra a figura.
Sabendo-se que a diagonal AC mede a medida do lado AB desse trapézio é 
a) 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. (Fmp 2021) Para medir a altura aproximada de um prédio (PQ) em relação a um plano de referência, um professor fez, com seus alunos, as medições com o teodolito, ilustradas na figura abaixo.
Dados:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
A altura dessa torre, em metros, é, aproximadamente, 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. (Unesp 2021) Na aviação, o perímetro da região que define a fase final da manobra de aproximação para um helicóptero pairar ou pousar pode ser definido por meio de sinalizadores uniformemente espaçados. As características dimensionais desses sinalizadores de perímetro estão indicadas na figura a seguir.
Uma empresa contratada para produzir esse sinalizador está definindo os parâmetros para a produção em escala do artefato. Para tanto, é necessário conhecer o valor do ângulo de abertura do sinalizador, indicado na figura, respeitadas as medidas nela apresentadas.
Considere a tabela trigonométrica a seguir.
	
Ângulo 
	14,5°
	26,6°
	30,0°
	60,0°
	63,4°
	72,9°
	
	0,25
	0,45
	0,50
	0,87
	0,89
	0,96
	
	0,97
	0,89
	0,87
	0,50
	0,45
	0,29
	
	0,26
	0,50
	0,58
	1,73
	2,00
	3,25
De acordo com a tabela, o ângulo necessário para a produção do sinalizador é igual a: 
a) 126,8° 
b) 120,0° 
c) 116,5° 
d) 150,0° 
e) 107,1° 
 
4. (Unesp 2020) Uma das finalidades da Ciência Forense é auxiliar nas investigações relativas à justiça civil ou criminal. Observe uma ideia que pode ser empregada na análise de uma cena de crime.
Uma gota de sangue que cai perfeitamente na vertical, formando um ângulo de 90º com a horizontal, deixa uma mancha redonda. À medida que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, a mancha fica cada vez mais longa.
As ilustrações mostram o alongamento da gota de sangue e a relação trigonométrica envolvendo o ângulo de impacto e suas dimensões.
Considere a coleta de uma amostra de gota de sangue e a tabela trigonométrica apresentadas a seguir.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
De acordo com as informações, o ângulo de impacto da gota de sangue coletada na amostra foi de 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
5. (G1 - ifpe 2020) André estava esperando a condução escolar quando percebeu que, pela posição do sol, um poste projetava uma sombra de comprimento conforme a figura. Pesquisando na internet, ele descobriu que aquele tipo de poste tinha metros de altura. Como ele estava estudando Trigonometria na escola, tentou descobrir o comprimento da sombra (representado pela letra o qual é de, aproximadamente,
(Dados: 
 
a) metros. 
b) metros. 
c) metros. 
d) metros. 
e) metros. 
 
6. (G1 - ifmt 2020) Na figura abaixo, determine o valor de ou seja, a altura do helicóptero em relação ao solo, sabendo que metros e 
 
a) metros 
b) metros 
c) metros 
d) metros 
e) metros 
 
7. (G1 - ifpe 2020) Uma das mais fantásticas construções humanas é a Torre Eiffel, imagem de referência da cidade de Paris, na França. Construída no final do século XIX, ela impressiona pelo seu tamanho. Uma pessoa, a metros de distância do centro da base da Torre, consegue avistar seu topo segundo um ângulo de com a horizontal. Desconsiderando a altura da pessoa e tomando a altura da Torre corresponde, aproximadamente, à altura de um prédio de quantos andares? (Considere que cada andar mede 
a) andares. 
b) andares. 
c) andares. 
d) andares. 
e) andares. 
 
8. (G1 - cftmg 2020) As alturas de dois prédios, em relação ao solo, são e Do topo de um deles (ponto avista-se o topo do outro (ponto sob um ângulo de em relação ao plano horizontal, como mostra a figura a seguir.
Nessas condições, é correto afirmar que a distância de até é, em cm, igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
9. (G1 - cp2 2019) A haste (de de comprimento) de uma bandeira está apoiada, verticalmente, sobre o telhado de uma escola. De um ponto do plano horizontal onde a escola se situa, avistam-se a ponta superior e a base dessa haste, em ângulos de e respectivamente, conforme mostra a figura:
Considere: 
A altura aproximada da escola, em metros, é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
10. (Famerp 2019) Duas equipes de escavação vão perfurar um túnel em uma montanha, sendo que uma delas partirá de e a outra de a fim de se encontrarem. Para cavar nas direções corretas os engenheiros precisam determinar as medidas dos ângulos e indicados na figura, que essa direção forma com as retas perpendiculares e respectivamente.
Dados:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
De acordo com o projeto e com os dados fornecidos, e são, respectivamente, iguais a 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
 
11. (G1 - ifpe 2019) Analise a figura a seguir e responda o que é solicitado. 
Um avião está voando paralelamente ao solo conforme demonstrado na figura. Marcelinho, cuja distância dos olhos até o solo é de avista o avião com um ângulo de visão de Nesse momento, a distância do avião ao solo é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
12. (G1 - cotil 2019) A acessibilidade urbana é um tema que merece atenção, especialmente quando as cidades crescem sem que haja planejamento de ações que garantam o bem-estar, a segurança e a autonomia no uso de equipamentos urbanos por pessoas com algum tipo de limitação, seja ela de mobilidade, idade ou percepção. Assim, para a construção de uma rampa de acesso, calculando-se sua inclinação, usa-se a seguinte expressão matemática:
 em que:
 é a inclinação da rampa em porcentagem;
 é a altura do desnível;
 é o comprimento da projeção horizontal.
Qual é o ângulo formado em uma rampa que possui de inclinação? 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
13. (G1 - ifpe 2019) Após a instalação de um poste de energia, há a orientação de que ele fique apoiado por um período de horas, após a sua fixação no terreno, por meio de cabos de sustentação. A figura a seguir ilustra um modelo de um desses cabos de sustentação.
Sabendo que o cabo de sustentação do poste forma um ângulo de com a vertical e que ele está conectado ao poste a uma altura de metros, determine o comprimento mínimo do cabo. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
14. (G1 - cotil 2019) O prefeito de uma cidade turística pretende construir um teleférico unindo o parque cultural ao topo de uma montanha de de altura, como mostra a figura abaixo. Considerando que a plataforma de embarque do teleférico deve estar a uma altura de do chão e que o pico da montanha possa ser observado sob um ângulo de determine a distância percorrida pelo teleférico do ponto de embarque ao topo da montanha.
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
15. (G1 - ifal 2018) Um atleta de metro de altura, percebe que, ao fazer flexões no momento em que estica os braços, seu corpo, em linha reta, forma um ângulo de com o piso. Nessas condições, a que altura do piso se encontra a extremidade da sua cabeça? (Considere que os braços formam com o piso um ângulo reto). 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
16. (G1 - ifpe 2018) Os alunos pré-egressos do campus Jaboatão dos Guararapes resolveram ir até a Lagoa Azul para celebrar a conclusão dos cursos. Raissa, uma das participantes do evento, ficou curiosa pra descobrir a altura do paredão rochoso que envolve a lagoa. Então pegou em sua mochila um transferidor e estimou o ângulo no ponto na margem onde estava, e, após nadar, aproximadamente, metros em linha reta em direção ao paredão, estimou o ângulo no ponto conforme mostra a figura a seguir: 
De acordo com os dados coletados por Raissa, qual a altura do paredão rochoso da Lagoa Azul? 
Dados: e 
a) metros. 
b) metros. 
c) metros.d) metros. 
e) metros 
 
17. (Enem 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
18. (G1 - ifal 2017) Ao soltar pipa, um garoto libera de linha, supondo que a linha fique esticada e forme um ângulo de com a horizontal. A que altura a pipa se encontra do solo? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
19. (Enem (Libras) 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções.
Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo metro, conforme mostra a figura.
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.
	
Ângulo (Grau)
	Seno
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Uma estimativa para o ângulo de inclinação quando dado em grau, é tal que 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
20. (G1 - ifpe 2017) O professor de matemática do Campus Pesqueira lançou um desafio à turma de Edificações: estimar a altura da Serra do Ororubá utilizando apenas um transferidor. Sara, aluna da turma, lembrou que existe uma placa turística a de distância da serra de onde se consegue enxergar o cume da Serra. Chegando a esta placa, Sara, com o transferidor perpendicular ao solo, estimou um ângulo de entre a base e o cume da Serra do Ororubá. Sabendo que e tomando como referência o esquema mostrado na figura abaixo, certo que Sara não errou os cálculos, qual é a altitude estimada da Serra do Ororubá calculada por ela?
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
21. (G1 - ifpe 2017) Um aluno do IFPE, campus Garanhuns, estava caminhando próximo à Serra das Vacas e, ao avistar uma das torres eólicas, ficou curioso a respeito da altura da mesma. Utilizando um transferidor, com a base paralela ao solo, observou o ponto mais alto da torre sob um ângulo de Após caminhar em linha reta na direção da torre, passou a observar o mesmo ponto segundo um ângulo de Desconsiderando a altura do aluno, calcule a altura aproximada desta torre. (Use 
 
a) metros. 
b) metros. 
c) metros. 
d) metros. 
e) metros. 
 
22. (Fgv 2017) A torre de controle de tráfego marítimo de Algés, em Portugal, tem o formato de um prisma oblíquo, com base retangular de área A inclinação da torre é de aproximadamente com deslocamento horizontal de da base superior em relação à base inferior do prisma.
	Dados:
	
	
	
	
	
	
	
	
Nas condições descritas, o volume do prisma que representa essa torre, aproximado na casa da centena, é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
23. (G1 - ifpe 2017) Um estudante do curso técnico de Edificações do IFPE Campus Recife, precisou medir a altura de um edifício de andares. Para isso, afastou-se metros do edifício e, com um teodolito, mediu o ângulo de conforme a imagem abaixo.
Usando as aproximações e esse estudante concluiu corretamente que a altura desse edifício é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
24. (Usf 2017) As rampas são uma boa forma de assegurar a acessibilidade para cadeirantes e indivíduos com mobilidade reduzida. A acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos é assegurada em lei.
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), de acordo com a Lei Brasileira de Inclusão da Pessoa com Deficiência (13.146/2015), regula a construção e define a inclinação das rampas, bem como os cálculos para a sua construção. As diretrizes de cálculo da ABNT, indicam um limite máximo de inclinação de (proporção de Isso significa que uma rampa, para vencer um desnível de deve ter, no mínimo, de comprimento e isso define que o ângulo de inclinação da rampa, em relação ao plano horizontal, não pode ser maior que 
De acordo com as informações anteriores, para que uma rampa, com comprimento igual a e inclinação de em relação ao plano, esteja dentro das normas da ABNT, ela deve servir para vencer um desnível com altura máxima de
Use: e 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
25. (Uerj 2016) O raio de uma roda gigante de centro mede Do centro ao plano horizontal do chão, há uma distância de Os pontos e situados no mesmo plano vertical, pertencem à circunferência dessa roda e distam, respectivamente, e do plano do chão. Observe o esquema e a tabela:
	
 (graus)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
A medida, em graus, mais próxima do menor ângulo corresponde a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [D]
Cálculo do lado 
Como temos:
 
Resposta da questão 2:
 [B]
Como o ângulo de é ângulo externo do triângulo externo temos que o ângulo vale Sendo assim, o triângulo é isosceles, e o lado vale Logo, pela figura abaixo, temos:
 
Resposta da questão 3:
 [A]
Do triângulo da figura abaixo, temos que:
 
Resposta da questão 4:
 [A]
Desde que o seno do ângulo de impacto, é dado pela razão entre a largura e o comprimento da gota de sangue, temos
Portanto, da tabela, segue que 
Resposta da questão 5:
 [C]
Calculando:
 
Resposta da questão 6:
 [D]
Calculando:
 
Resposta da questão 7:
 [B]
Sendo a altura da torre, temos:
Sendo o número aproximado de andares, devemos ter que:
Ou seja, dentre as opções, podemos concluir que a torre possui aproximadamente andares. 
Resposta da questão 8:
 [C]
No triângulo destacado na figura, temos:
 
Resposta da questão 9:
 [C]
Calculando:
 
Resposta da questão 10:
 [A]
Calculando:
 
Resposta da questão 11:
 [D]
Calculando:
 
Resposta da questão 12:
 [D]
Considerando que o ângulo forma do pela inclinação da rampa, temos:
 
Resposta da questão 13:
 [D]
Sendo o comprimento do cabo, pode-se calcular:
 
Resposta da questão 14:
 [C]
 
Resposta da questão 15:
 [A]
Considere a situação
Utilizando da relação de seno temos:
 
Resposta da questão 16:
 [B]
Considerando a altura do paredão e a distância do ponto ao paredão, temos:
Fazendo temos:
Logo, a altura do paredão será:
 
Resposta da questão 17:
 [B]
Seja a altura do cilindro.
Na figura é possível perceber que foram dadas seis voltas em torno do cilindro. Logo o cateto adjacente ao ângulo de mede e, portanto, temos
 
Resposta da questão 18:
 [A]
Considere a situação
Aplicando o seno de temos:
 
Resposta da questão 19:
 [C]
Segue de imediato que 
Portanto, de acordo com as informações da tabela, podemos afirmar que 
Resposta da questão 20:
 [D]
Utilizando a relação tangente do triangulo em questão temos:
Como o temos que, em metros: 
Resposta da questão 21:
 [B]
Analisando o problema temos a seguinte situação formando dois triângulos:
Aplicando a lei da tangente sobre o ângulo de temos:
Aplicando a lei da tangente sobre o ângulo de temos:
 
Resposta da questão 22:
 [A]
Seja a altura do prisma. Logo, sabendo que temos 
 
 Por conseguinte, a resposta é 
Resposta da questão 23:
 [B]
Utilizando a relação de tangente do ângulo temos:
 
Resposta da questão 24:
 [E]
De acordo com as informações do problema temos a rampa de de comprimento vencendo um desnível de medida 
Calculando o desnível temos:
 
Resposta da questão 25:
 [C]
Portanto, 
 
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60,
°
1,32
59
°
0,85
0,51
1,66
74
°
0,96
0,28
3,50
37
°
74
°
59
°
53
°
31
°
"x",
213cm,
10
"x"),
Tg0,75)
α
=
17
16
13
14
15
"h",
x60
=
93
cm
2
60.
α
=°
603
206
36
203
606
561
30
°
31,7,
=
53
cm
2
3m).
140
110
200
170
80
2.640cm4.720cm.
A),
B)
43
cm
3
30,
°
A
B
2.360
2.640
4.160
4.320
7m
60
°
45,
°
83
cm
3
31,7
@
4.
7.
10.
17.
AB
A
B,
α
63
cm
3
,
β
AC
suur
BC,
suur
x
63,4
°
68,2
°
71,6
°
74
°
76
°
tgx
(h)
2
2,5
3
3,5
4
β
18,4
°
71,6.
°
21,8
°
68,2.
°
14
°
76.
°
26,6
°
63,4.
°
20
°
16
°
74.
°
1,5m,
30.
°
6,53m.
5m.
53.
6,5m.
11,5m.
hx100
i,
C
=
40
°
i
h
C
100%
180
°
90
°
60
°
45
°
48
seno
4
60
°
10
10m
5m
25m
20m
12m
200m
5m
0,342
30,
°
350m
370m
390m
410m
1,70
30
°
85cm.
853cm.
0,643
1703
cm.
3
852cm.
340cm.
A,
70
B,
sen(17)0,29,
°=
tan(17)0,30,
°=
cos(27)0,89
°=
tan(27)0,51.
°=
cosseno
50
51
89
70
29
30
°
6
cm,
π
363
243
0,940
43
36
72
90m
30
°
45m.
453m.
303m.
452m.
30m.
0,766
60
,
α
1,80
α
0,0
0,0
1,0
0,017
1,5
0,026
h
1,8
0,031
2,0
0,034
3,0
0,052
,
α
01,0
α
£<
1,01,5
α
£<
1,51,8
α
£<
21,60
1,82,0
α
£<
2,03,0
α
£<
1km
50
°
sen500,77;
°=
cos500,64;
°=
tg501,19;
°=
1.000m
640m
32,15
770m
1.190m
830m
30.
°
60m
45.
°
31,73)
=
85
82
72
47,00
90
75
2
247m.
76,7,
°
9m
α
sen
α
cos
α
tg
α
28,45
13,3
°
0,23
0,97
0,24
3
9.300m.
3
8.900m.
3
8.300m.
3
4.600m.
3
4.200m.
6
38,30
45
28,
°
sen280,41,
°=
cos280,88
°=
tg280,53,
°=
21,15m.
23,85m.
39,6m.
143,1m.
126,9m.
8,33%
1:12).
1m,
12m
7.
°
β
14m
7
°
sen70,12;cos70,99
°=°=
tg70,12.
°=
1,2m.
1,32m.
1,4m.
1,56m.
1,68m.
C
φ
CACB10m.
==
C
11m.
A
B,
6cm
ACB,
16m
3,95m
θ
sen
φ
sen
θ
15
°
0,259
30
°
0,500
45
°
0,707
60
°
0,866
ACB
cos
φ
45
60
75
105
CD:
(
)
2
22
2136CD
CD523616
CD4cm
=+
=-=
=
BECD,
=
BE
sen60
AB
34
2AB
83
ABcm
3
°=
=
\=
40
°
ABQ,
tg
φ
µ
Q
402020.
°-°=°
ABQ
BQ
50m.
hh
sen400,643
5050
h32,15m
°=Þ=
\=
0,5
tg2
20,25
63,4
2
126,8
β
β
β
==
=°
\=°
,
α
1,5
sen0,6.
2,5
α
==
37.
α
@°
10
tg
x
10
x
0,75
x13m
α
=
=
\@
x6060
tg603h
hh
3
h203m
°=Þ=Þ=
\=
H
H3H
tg30
5613561
1,7561
HH317,9m
3
°=Þ=Þ
×
Þ=Þ=
N
317,9
N106
3
=@
110
ABC,
4720264012080
sen30AB4160cm
AB2AB
-
°=Þ=Þ=
hh
tg451xh
xx
h7h77
tg603h3h71,7hh7h10
hh0,7
°=Þ=Þ=
++
°=Þ=Þ-=Þ-=Þ==
BC20146m
AC314118m
18
tg371,6
6
9071,69018,4
ββ
αβαα
=-=
=++=
==Þ=°
+=°Þ+°=°Þ=°
altitudeaviãox1,5
x1x
sen30x5
10210
altitudeavião51,56,5m
=+
°=Þ=Þ=
=+=
α
α
hx100h
1001tg145
Cc
αα
=Þ=Þ=Þ=°
x
10110
cos60x20m
x2x
°=Þ=Þ=
1951195
sen30x390m
x2x
°=Þ=Þ=
catetooposto1x
sen(30)x85cm.
hipotenusa21,7
°=Þ=Þ=
x
y
B
sen
α
(
)
x
tg27xytg27x0,51y(I)
y
x
tg17xy70tg17x0,30y21(II)
y70
°=Þ=×°Þ=
°=Þ=+×°Þ=+
+
(I)(II),
=
0,51y0,30y210,21y21y100
=+Þ=Þ=
x0,5110051m.
=×=
h
30
°
6
6272cm
×p×=
p
h
tg30h243cm.
72
°=Û=
30
°
h1h
sen(30)
90290
h45m.
°=Þ=
=
cos
α
1,8
sensen0,03.
60
αα
=Û=
[1,5;1,8[.
α
Î
catetoopostocatetooposto
tg(5)1,19catetooposto1,19km
catetoadjacente1
°=Û=Þ=
catetoopostoaltura
=
altura1.190m.
=
45,
°
catetoopostoh
tg(45)1hx
catetoadjacentex
°=Þ=Þ=
30
°
catetooposto3h3x
tg(30)
catetoadjacente360x360x
(60x)33x603x33x
60(1,73)1,73x3x
103,81,27x
x82h82m
°=Þ=Þ=
++
+×=Þ+=
×+=
=
@Þ=
tg
α
h
1
tg76,7,
tg13,3
°=
°
h9
tg76,7h
90,24
h37,5m.
°=Þ@
Þ@
2
24737,59.300m.
×@
28,
°
catetoopostoaltura
tg(28)0,53altura23,85m.
catetoadjacente45
°=Þ=Þ=
14m
x.
x,
x
sen7x14sen7x140,12x1,68m
14
°=Þ=×°Þ=×Þ=
31
°
51
sen30
102
7,05
sen0,70545
10
αα
βα
==Þ=°
==Þ=°
µ
AOB304575.
=°+°=°
BÂD
0,51
0,85
0,60
37
°
0,60
0,80
0,75
53
°
0,80
0,60