Geometria Analítica: Circunferência

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MATEMÁTICA II
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GEOMETRIA ANALÍTICA: 
CIRCUNFERÊNCIA32
INTRODUÇÃO
Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão 
a uma mesma distância r de um ponto fixo O, chamado de centro.
Se O(a,b) e P(x,y), teremos:
2 2
O,P C,Pd (x a) (y b) , mas se d r= − + − =
2 2r (x a) (y b)= − + −
Equação reduzida da circunferência
(x – a)2+ (y –b)2 = r2
Se desenvolvermos os S produtos notáveis encontraremos:
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação geral da circunferência de centro O (a,b) e raio r, 
pode ser escrito como: 
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 +b2 - r2 = 0
2 2 2
m 2a
onde n 2b
k a b r
= −
 = −
 = + −
que poderá também ser representada na forma:
x2 + y2 + mx + ny + k = 0
Para determinar a equação de uma circunferência com 
centro em C(-2, 5) e raio 3, teríamos a equação reduzida 
( ) ( )2 2x 2 y 5 9+ + − = , que poderá ser escrita na forma geral: 
2 2x y 4x 10y 20 0+ + − + = .
COMPLETANDO OS QUADRADOS
Analisando o processo inverso que acabamos de verificar 
acima, iremos descobrir agora qual é a circunferência representada 
pela equação na forma geral dada (e saber de fato se a equação irá 
representar uma circunferência ou não).
Será utilizado um processo prático que consiste em completar 
os quadrados para assim podermos reescrever a equação na sua 
forma reduzida.
Dada a equação 2 2x y 4x 4y 17 0+ + − − = , iremos agrupar os ter-
mos em x e em y e isolar o termo livre ( )2 2x 4x y 4y 17+ +…+ − +… =
. Perceba que no primeiro membro estão faltando dois números 
reais que completam dois quadrados perfeitos, que seriam os nú-
meros 4 e 4, e que deverão também ser adicionados ao segundo 
membro da equação. 
Assim, teríamos:
x² + 4x + 4 + y² –4y + 4 = 17 + 4 + 4
(x + 2)2 + (y – 2)2 = 25
que é a equação que representa uma circunferência de centro 
(-2, 2) e raio 5.
ANALISANDO OS COEFICIENTES
Como vimos no exemplo acima, podemos escrever a equação 
da circunferência da forma 2 2Ax By Cxy Dx Ey F 0+ + + + + = , com 
coeficientes reais. Mas nem sempre isso é possível.
Agora tomando a equação geral da circunferência 
x² + y² - 2ax - by + a² + b² - r² = 0, vamos analisar as 
condições para que os coeficientes dessa equação represente uma 
circunferência.
Primeiro, vamos dividir toda a equação 
2 2Ax By Cxy Dx Ey F 0+ + + + + = por A 0.≠
2 2B C D E Fx y xy x y 0
A A A A A
+ + + + + =
Comparando cada coeficiente com a equação geral da 
circunferência, iremos obter as relações:
( )2 2
B 1 A B 0 
A
os coeficientes de x e y  devem  ser  iguais e  diferente de zero
= → = ≠
(os coeficientes de x² e y² devem ser iguais e diferentes de zero)
( )C 0 C 0  não pode haver o termo xy
A
= → =
D D2a a
A 2A
−
= − → =
E E2b b
A 2A
−
= − → =
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
F F D E 4AFa b r   r a b r
A A 4A 4A 4A
D E 4AFr  com  D E 4AF 0
4A
= + − → = + − → = + − →
+ −
→ = + − >
Essas relações servirão para determinar se realmente a 
equação dada é de uma circunferência ou não. Caso seja, poderá 
determinar as coordenadas do centro e o raio.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E 
UMA CIRCUNFERÊNCIA
Seja uma circunferência qualquer de equação x2 + y2 + mx +ny + 
k = 0 com centro em O (a, b) e um ponto P qualquer de coordenadas 
(x, y). Podemos representá-los de três formas possíveis:
1º Caso → Ponto exterior → dPO > r
o
P
r
dPO
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MATEMÁTICA II 32 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA
Representado pela inequação (x - a)2 + (y - b)2 > r2
2º Caso → Ponto pertencente a circunferência → dPO = r
o
P
r
dPO
Representado pela equação (x - a)2 + (y - b)2 = r2
3º Caso → Ponto interior → dPO < r
o
P
r
dPO
Representado pela inequação (x - a)2 + (y - b)2< r2
Circunferência com centro na origem:
C(0,0) a = 0 e b = 0
Equação Geral
x2 + y2 = r2
PROEXPLICA
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 
CIRCUNFERÊNCIA E RETA
Seja uma circunferência qualquer de equação 
x2 + y2 + mx +ny + k = 0 
com centro em O(w, t) e uma reta s qualquer de equação 
ax + by + c = 0. 
Podemos representá-las de três formas possíveis:
1º Caso → Reta tangente à circunferência.
SOd r=
2 2
aw bt c
r
a b
+ +
=
+
2º Caso → Reta secante à circunferência.
dSO < r
3º Caso → Reta exterior à circunferência.
dSO > r
Uma outra maneira de descobrirmos as posições relativas 
entre reta e circunferência é resolvendo o sistema.
PROEXPLICA
2 2
ax by c 0
x y mx ny k 0
+ + =
 + + + + =
Que resultará em uma equação de 2º grau onde:
• D > 0 → reta secante (dois pontos comuns).
• D = 0 → reta tangente (um ponto comum).
• D < 0 → reta exterior (sem ponto comum).
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS 
CIRCUNFERÊNCIAS 
TANGENTES EXTERNAS
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem 
somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A distância 
entre os centros é igual à soma das medidas de seus raios.
dOC = r1 + r2
TANGENTES INTERNAS 
Duas circunferências são tangentes internas quando 
possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior 
da outra. A distância entre os dois centros seja igual à diferença 
entre os dois raios.
dOC = r1 – r2
CIRCUNFERÊNCIAS EXTERNAS. 
Duas circunferências são consideradas externas quando 
não possuem pontos em comum. A distância entre os centros 
das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de 
seus raios.
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32 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA
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MATEMÁTICA II
dOC > r1 + r2
CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES. 
Duas circunferências são consideradas secantes quando 
possuem dois pontos em comum. A distância entre os centros 
das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de 
seus raios.
| r1 - r2 | < dCO < r1 + r2
CIRCUNFERÊNCIAS INTERNAS. 
Duas circunferências são consideradas internas quando não 
possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da 
outra. A distância entre os centros das circunferências deve ser maior 
que zero e menor que a diferença entre as medidas de seus raios.
0 ≤ dOC < | r1 – r2 |
CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS. 
Duas circunferências são consideradas concêntricas quando 
possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os 
centro é nula.
dCO = 0
COMO ÁREA DE CIRCUNFERÊNCIAS PODE CAIR NO ENEM?
Quando se deseja pintar uma determinada superfície 
plana, muitas das vezes se faz necessário o cálculo 
volumétrico da quantidade de tinta necessária. Para 
isso é necessário ter o conhecimento das principais 
áreas de figuras planas bem como as equações de 
retas e curvas tal qual a questão a seguir.
01. Na decoração de uma pré-escola são usadas placas com 
formas de figuras geométricas. Uma destas placas é formada 
por uma figura que pode ser definida por x2 + y2– 8x – 8y + 28 ≤ 0 
quando projetada em um plano cartesiano xy, onde x e y são 
dados em metros. Esta placa vai ser pintada usando duas 
cores, cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy. 
Considerando o plano cartesiano xy como re-ferência, a região 
acima da reta será pintada de vermelho e a região abaixo da 
reta, de verde. Sabendo que a escola vai fazer 12 destas placas 
e que é necessária uma lata de tinta para pintar 3m2 de placa, 
serão necessárias, no mínimo, quantas latas de tinta vermelha?
a) 12 b) 24 c) 26 d) 32 e) 48
Resolução: C 
(x2 - 4 · x + 16) - 16 + (y2 - 4 · y + 16) - 16 + 28 ≤ 0
(x - 4)2 + (y - 4)2 ≤ 22 → Círculo de raio r = 2 e centro O (0, 0)
Área de cada placa → s = π · r2 → s = π · 22 → s = 4 · π
Área das 12 placas → S = 12 · s → S = 48 · π
A reta y = x divide cada círculo ao meio.
Área a ser pintada em vermelho = 24 · π 75,4 m2
75,4/3 ≅ 25,1 
Logo, serão necessárias 26 latas.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01.Escreva a equação de uma circunferência de centro em C(3, -4) 
e que passa pela origem de um plano cartesiano.
02. Analise se a equação 2x² + 2y² - 4x – 6y -3 = 0 é uma equação 
de uma circunferência. 
03.Dado um ponto ( )P 1,  2 , descubra qual a posição do ponto em 
relação à circunferência x² + y² - 4x -4y + 4 = 0.
04.Sabendo que a circunferência x² +y² + 6x – 6y + 9 = 0 é tangente 
ao eixo x em um ponto A, determine as coordenadas de A.
05. Determine a posição relativa entre as duas circunferências a 
seguir: x² + y² = 81 e x² + y² - y = 0.
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (ENEM) Para apagar os focos A e B de um incêndio, que 
estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de 
um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um 
bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre 
o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura 
menos elevada.
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros 
poderiam ter entre eles é 
a) 30 b) 40 c) 45 d) 60 e) 68
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MATEMÁTICA II 32 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA
02. (ENEM) Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-
geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do 
plano cartesiano dando "tiros", seguindo trajetórias que devem passar 
pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em 
uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma 
circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de 
coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, 
cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro 
for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da 
origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda 
restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0; 4),B (4;4), 
C(4;0), D(2;2) e E(0;2). 
Passando pelo ponto A, qual a equação forneceria a maior 
pontuação? 
a) x = 0
b) y = 0
c) x² + y² = 16
d) x² + (y - 2)² = 4
e) (x - 2)2 + (y - 2)² = 8
03. (ENEM) A figura mostra uma criança brincando em um balanço 
no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do 
suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer 
um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a 
alcançar a posição horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória 
do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo 
do suporte do balanço, o eixo x é paralelo ao chão do parque, 
e o eixo y tem orientação positiva para cima.
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte 
do gráfico da função 
a) 2f(x) 2 x= − − 
b) 2f(x) 2 x= − 
c) 2f(x) x 2= − 
d) 2f(x) 4 x= − − 
e) 2f(x) 4 x= − 
04. (UEG) Uma circunferência no primeiro quadrante tangencia os 
eixos coordenados. Sabendo-se que a distância entre o centro (x0, 
y0) dessa circunferência e a origem do sistema é d 3 2,= então a 
equação da circunferência é 
a) 2 2x y 6x 6y 9 0+ − − + = 
b) 2 2x y 6x 6y 9 0+ + + − = 
c) 2 2x y 3x 3y 6 2 0+ + + − = 
d) 2 2x y 3x 3y 6 2 0+ − − + = 
e) 2 2x y 27 0+ − = 
05. FUVEST) No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a,b) 
tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à 
parábola de equação y = x² e a>0, a ordenada b do ponto P é igual a 
a) 2 2 2+ 
b) 3 2 2+ 
c) 4 2 2+ 
d) 5 2 2+ 
e) 6 2 2+ 
06. (FUVEST) A equação x² + 2x + y² + my = n, em que m e n são 
constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. 
Sabe-se que a reta y = - x +1 contém o centro da circunferência e a 
intersecta no ponto (-3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, 
a) -4 e 3 b) 4 e 5 c) -4 e 2 d) -2 e 4 e) 2 e 3
07. (FUVEST) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de 
coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação (x - 1)² + (y - 2)² = 1. 
Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a 
distância de P a Q é 
a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 
08. (FUVEST) No plano cartesiano 0xy, a circunferência C é 
tangente ao eixo 0x no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). 
Nessas condições, o raio de C vale 
a) 5 
b) 2 5 
c) 5 
d) 3 5 
e) 10 
09. (UFRGS) A menor distância entre as circunferências de 
equação (x - 1)² + (y - 2)² = 1 é
a) 2
b) 5
c) 10. 
d) 10 2.+ 
e) 10 2.− 
10. (FUVEST) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência 
C de equação (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais 
C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o 
maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a: 
a) 2 2 - 2 
b) 2 2 - 1 
c) 2 2 
d) 2 2 + 2 
e) 2 2 + 4 
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32 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA
135
MATEMÁTICA II
11. (UECE) Em um plano munido do sistema de coordenadas 
cartesiano usual, a circunferência s possui dois de seus diâmetros 
sobre as retas representadas pelas equações 4x – 3y + 2 = 0 e 
3x + 4y – 11 = 0. Se a medida de um diâmetro de s é 6 u.c., então, a 
equação que representa a circunferência s é
u.c. ≡ unidades de comprimento 
a) 2 2x y x 2y 10 0.+ + + − = 
b) x² + y² - 2x - 2 y + 4 = 0. 
c) 2 2x y 2x y 10 0.+ + + − = 
d) x² + y² - 4x -2 y + 4 = 0. 
12. (UECE) No plano cartesiano, a reta t, paralela x 3 y= tangencia 
a circunferência 2 2x y 4x 4y 4 0+ − − + = no ponto Z (x y),= y 2.> 
Para os pontos x = (2, 0) e y = (0, 2) na circunferência, a medida do 
arco xyz (que contém o ponto y) é igual a
Observação: 1tg 30
3
° = 
a) 4 .
3
π 
b) 5 .
3
π 
c) 5 .
4
π 
d) 6 .
5
π 
13. (UECE) Considere, em um plano com o sistema de coordenadas 
cartesiano usual, a circunferência que contém os pontos 
M(0, 0), P(3, 0) e Q (0, 4). Se K é o centro dessa circunferência, 
então, a equação da reta que contém o ponto K e é perpendicular 
ao segmento PQ é 
a) 6x 8y 25 0.+ − = 
b) 4x 3y 0.− = 
c) 6x 8y 7 0.− + = 
d) 4x 3y 12 0.+ − = 
14. (UECE) Em um plano munido com o sistema de coordenadas 
cartesianas usual, fixada uma unidade de comprimento (u.c.), a 
equação x² + y² + 2x – 2y + 1 = 0, representa uma circunferência 
com centro no ponto P (p,q) cuja medida do raio é r u.c. Assim, é 
correto afirmar que o valor da soma p + q + r é igual a 
a) 0 b) 3. c) 1. d) 2.
15. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas 
usual, a equação da reta que contém o ponto P(9, 8) e é tangente 
à curva representada pela equação x² + y² - 10x - 10y + 25 = 0 é 
a) 3x + 4y – 59 = 0,
b) 3x – 4y + 5 = 0.
c) 4x – 3y – 12 = 0.
d) 4x + 3y – 60 = 0.
16. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesiano 
usual, as equações das retas tangentes à circunferência 
x² + y² - 10y + 16 = 0 e que passam pelo ponto (0, 0) são 
a) 3x – 4t = 0 e 3x + 4y = 0.
b) 2x – 3y = 0 e 2x + 3y = 0. 
c) 4x –3t = 0 e 4x + 3y = 0.
d) 3x – 2y = 0 e 3x + 2y = 0.
17. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas 
usual, a distância do centro da circunferência x² + y² – 6x + 8y + 9 = 0 
à origem é
u.c. ≡ unidade de comprimento
a) 3 u.c. b) 6 u.c. c) 5 u.c. d) 4 u.c.
18. (UNICAMP) Sabendo que 𝑐 é um número real, considere, no 
plano cartesiano, a circunferência de equação x² + y² = 2cx. Se o 
centro dessa circunferência pertence à reta de equação x + 2y = 3, 
então seu raio é igual a 
a) 2. b) 3 c) 2. d) 3. 
19. (FUVEST) Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros 
no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os 
dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em 
dois pontos distintos de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2). 
O valor de (x1 + y1)
2 + (x2 + y2)
2 é igual a 
a) 5
2
 b) 7
2
 c) 9
2
 d) 
11
2 e) 
13
2 
20. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) 
pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro 
em (-1/2, 4) é tangente a C no ponto (0, 3). Então, o raio de C vale 
a) 5
8
 
b) 5
4
 
c) 5
2
 
d) 
3 5
4
 
e) 5 
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UNICAMP) No plano cartesiano, considere a reta r de equação 
2x + y = 1 e os pontos de coordenadas A = (1, 4) e B = (3, 2). 
a) Encontre as coordenadas do ponto de intersecção entre a retar e a reta que passa pelos pontos A e B. 
b) Determine a equação da circunferência na qual um dos 
diâmetros é o segmento AB. 
02. (UNESP) Uma expedição arqueológica encontrou um pedaço 
de um prato de cerâmica antigo, supostamente circular. Para 
estimar o tamanho do prato, os arqueólogos desenharam o 
pedaço de cerâmica encontrado, em tamanho real, em um plano 
cartesiano de origem 0(0, 0). A circunferência do prato passa pela 
origem do plano cartesiano e pelos pontos A (-4, 2) e B(6, 4), como 
mostra a figura.
a) A área do pedaço de cerâmica é aproximadamente igual à área 
do triângulo ABO. Calcule a área desse triângulo, em cm².
b) Calcule as coordenadas do ponto em que estaria localizado 
o centro do prato cerâmico circular nesse sistema de eixos 
cartesianos ortogonais. 
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MATEMÁTICA II 32 GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA
03. (UFJF-PISM 3) Considere os pontos P(2, 4), Q(-1, 0) e S(-5, 3) 
a) Determine a equação da reta contendo o segmento PQ, da reta 
contendo o segmento PS e da reta contendo o segmento QS. 
b) Considere o triângulo de vértices P, Q e S. O triângulo dado é 
retângulo? Justifique sua resposta.
c) Obtenha a equação da circunferência que contém os pontos 
P, Q e S. 
04. (UERJ) Considere a circunferência c de equação x² + y² - 8x + 8 = 0, 
representada graficamente a seguir.
Determine as equações das retas r e s que passam pela origem e 
são tangentes à circunferência. 
05. (FUVEST) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem 
centro no ponto P (2, 1), e a reta t é tangente a C no ponto Q = (-1, 5). 
a) Determine o raio da circunferência C. 
b) Encontre uma equação para a reta t. 
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção 
de t com o eixo 0x. 
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. B
02. E
03. D
04. A
05. B
06. A
07. D
08. C
09. E
10. D
11. B
12. B
13. C
14. C
15. D
16. C
17. C
18. D
19. C
20. E
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01.
a) x = - 4 e y = 9; 
b) (x – 2)2 + (y-3)2 = 2. 
02.
a) 14 cm².
b) 3 41C ,
7 7
 =  
 
03.
a) 
4 4retaPQ y x
3 3
⇒ = + 
1 26retaPS y x
7 7
⇒ = +
3 3reta QS y x
4 4
⇒ = − −
b) Sim, pois as retas PQ e QS são perpendiculares
c) 
2 23 7 50x y
2 2 4
   + + − =   
   
04. As equações das retas r e s, são, respectivamente, y = x e y = -x. 
05.
a) r = 5
b)  reta t 3x 4y 23 0⇒ − + =
c) 125 S
6
=
ANOTAÇÕES